2011 - IREM de Rennes

Dans le a, on a souvent lu que les g n étant des éléments de BC 0 (R, R), l’existence du ρ étaitimmédiate (un contre-exemple était fourni par les fonctions g n : x ↦→ n sin(x)). On pouvait traitertout le a) à partir de la majoration |‖g n ‖ ∞ −‖g‖ ∞ | ‖g n − g‖ ∞ . Les correcteurs ont sanctionné lesnotations du genre ‖g(x)‖ ∞ , signes de profondes confusions.Dans le b), on avait besoin d’une majoration uniforme (en x) de |f(g n (x))−f(g(x))|, ce qui nécessitaitde parler de continuité uniforme de la restriction de f à [−ρ, ρ]. La conclusion a été parfois oubliée.Dans III-2, très peu de candidats se demandent si N f −1 a un sens. L’énoncé a fait le choix par sarédaction de préparer le candidat à la question III-4, mais bien entendu on aurait pu conclure plusvite dans le III-3.b). La conclusion (f homéomorphisme) n’est pas toujours bien rédigée.Le III-3 n’a été que rarement bien traité. Tout d’abord, on lit parfois de grosses confusions entrela continuité de l’opérateur et celle des fonctions auxquelles il s’applique. Beaucoup ont pensé quel’inclusion BC 1 (R, R) ⊂ BC 0 (R, R) suffisait à avoir la continuité du deuxième terme en s’appuyantsur III-1. Malheureusement, il y a un changement de norme et donc il fallait d’abord évoquer quela convergence de (g n ) n vers g dans BC 1 (R, R) impliquait la convergence de (g n ) n vers g dansBC 0 (R, R) et donc la convergence de (N f (g n )) n vers N f (g) dans BC 0 (R, R) en vertu de III-1.Plus synthétiquement, on peut écrire L f = D + N f ◦ J, où les opérateurs D et J (respectivement ladérivation et l’injection canonique) sont linéaires continus de BC 1 (R, R) vers BC 0 (R, R) (ce qu’ilfallait justifier).III-4 : en général bien traité.IV-1 : la condition attendue était bien entendu l’existence de deux nombres m et M strictementpositifs tels que pour tout réel x, m f ′ (x) M. Curieusement, même plusieurs candidats ayantfait apparaître cette condition sont allés jusqu’à affirmer que cette dernière équivaut au caractèreborné de f ′ ! Cette condition n’équivalait pas non plus à {f ′ > 0 et f ′ majorée}. Certains confondentinégalité des accroissement finis et théorème des accroissement finis. Plusieurs candidats énoncentune condition sans vérifier ni son caractère nécessaire, ni son caractère suffisant.IV-2 : signalons qu’ici la fonction n’est plus nécessairement dérivable. La surjectivité a été tropsouvent omise, ou ne résulte pas de l’injectivité comme semblent le penser plusieurs candidats.IV-3 : les candidats ont souvent proposé M + k au lieu de M − m . Bien entendu, cette réponse a2été comptée juste, mais elle empêchait de traiter IV-8. L’intérêt de la partie linéaire était justementde centrer les choses de manière à faire diminuer la constante de Lipschitz. Parfois, le traitement dela valeur absolue a donné lieu à des inégalités surprenantes.IV-4 et IV-6 : conséquence immédiate du début du I, que les candidats ont souvent redémontré.IV-5 : en général bien traité. On a cependant vu à quelques reprises des φ 1 (s)−φ 2 (s) au dénominateur(malgré une annulation éventuelle), parfois sortant brutalement de l’intégrale, ou bien, au cours decalculs, des majorations des normes infinies par des termes dépendant de x.IV-7 : il était risqué de traiter d’un coup l’équivalence. Si le sens direct est immédiat, le sensréciproque nécessite un argument déjà employé dans II-2.c).IV-8 : signalons que pour le théorème classique du point fixe, on a besoin d’être dans un espacecomplet (c’est le cas ici, mais il fallait le signaler), et d’avoir une application lipschitzienne avecun rapport strictement inférieur à 1 (on parle aussi d’application contractante). Le théorème estmanifestement faux avec une fonction simplement lipschitzienne. Quelques candidats ont prétenduque leur constante de Lipschitz (quoique supérieure à 1) entraînait le caractère contractant de lafonction. Certains pensent que L f est une bijection et en déduisent l’existence et l’unicité du pointfixe, démarche un peu surprenante au vu de la question posée.IV-9 : en général bien fait par les rares copies ayant abordé cette question.V-1 : cette question nécessitait d’encadrer les taux d’accroissement (ou la dérivée f ′ ) entre deuxvaleurs strictement positives. Les réponses surprenantes du IV-1 ont assez souvent empêché lescandidats de répondre correctement à cette question.– 23 –