Examen RISQUE DE MARCHE (Gestion d'Actifs) - Yats.com

ESILV 2012D. Herlemont Mesure de risque de marché (gestion d’actifs)Examen RISQUE DE MARCHE(Gestion d’Actifs)durée:Durée: 1 heure. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées.2 pt 1. Vous disposez de 100 000 C. Vous empruntez 50 000 Csupplémentaire au taux sans risque. Vousinvestissez le tout dans un indice qui représente parfaitement le marché. Votre portefeuille possède unA) beta de 1.5B) un ratio de Sharpe identique à celui du marchéC) un alpha égal à zéroD) les trois réponses A,B,C sont correctesCorrigé:Réponse D2 pt 2. On considère un fonds alternatif dont les valeurs (NAV) mensuelles sont les suivantes (en million d’euros):Janvier Févier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Déc.100 105 103 108 103 89 98 113 109 96 102 96Quel est le maximum drawdown ?A) 24B) 13C) 19D) 4Jusitifiez la réponseCorrigé: Réponse C. Le Maximum Drawdown est la perte maximale historique depuis ”pic” vers un”creux” (peak to valley). Soit V (t) la valeur de l’actif au temps t, M(t) le maximum depuis t = 0M(t) = max0≤s≤t V (s)Daniel Herlemont 1

2 pt 3. En reprenant les données précédentes et en supposant que la commission de sur performance est de 15%,quelle est la rémunération annuelle du gérant ?A) 0.6B) 1.95C) 0D) 16.9Jusitifiez la réponseCorrigé: Réponse B2 pt 4. On considère un portefeuille de 1 Million d’euros à la date t = 0. Le portefeuille est géré par une gestionactive à proportion constante (CRP) π(t) = 0.3 investie dans l’actif risqué. Le taux sans risque est supposéêtre nul (si ce n’est pas le cas, on effectue un changement de numéraire). On considère deux périodes: àt = 1, l’actif monte de u = 50%, à t = 2, l’actif risqué baisse de d = 40%. Quelle est la valeur du portefeuilleà l’issu de la date t = 2, en Millions d’euros ?ˆ 1ˆ 1.01ˆ 0.97ˆ 0.962Jusitifiez la réponseCorrigé: Réponse B2 pt 5. Même question que précédemment, pour le portefeuille Buy & Hold, avec une proportion initiale de 30en actif risquésˆ 1ˆ 1.01ˆ 0.97ˆ 0.962Jusitifiez la réponseCorrigé: Réponse CDaniel Herlemont 2

4 pt 6. On considère un ETF avec levier X 3, à savoir un fond X dont la performance est e = 3 fois celle d’unsous jacent S: dX/X = 3dS/S, avec dS/S = (...)dt + σdW t . La volatilité du sous jacent est σ = 30%. àt = 0 la valeur du sous jacent est S 0 = 100 et celle du fond est de X 0 = 100. Le rebalancing est effectué tousles jours. Au bout d’un an, la valeur du sous jacent passe à S 1 = 120. Quelle est la valeur du fond X 1 ?A) 300B) 132C) 160D) 173Jusitifiez la réponseCorrigé:Réponse BX TX 0= S TS 0πe 0.5π(1−π)σ2 T2 pt 7. On suppose que les taux de rendements journaliers d’un trader (en excès du taux sans risque) suiventune loi normale. Son ratio de sharpe annuel est de 1.6. Quel est son taux de succès journalier ?A) 50%B) 52%C) 54%D) 60%Jusitifiez la réponseCorrigé:Réponse CIn case the returns a normally distributed, it is possble to relate the sharpe ratio with the probility of succes.Suppose we have a daily strategy with normal distribution of returns r = N(µ, σ 2 ). What is the winningprobability ? That is P [r > 0] ?p = P [r > 0] = 1 − P [r < 0] = 1 − P [ r − µσ< − µ σ = 1 − N(−s d)with s d = µ/sigma the daily sharpe ratio. s d = s y / √ 252. With s y the yearly sharpe.Note that the relation is quite linear and can be approximated by a taylor expansion of the normalcumulative N(x) near 0 N(x) ≈ N(0) + xN ′ (0) = 0.5 + x/ √ 2π. Hencep ≈ 0.5 +s y√2p i √ 252 ≈ 0.5 + 0.025s yDaniel Herlemont 3

4 pt 8. On se propose de gérer un fond à volatilité constante journalière de σ 0 = 1%. Pour ce faire on mesurela volatilité ˆσ du sous jacent sur une fenêtre de 30 jours. La proportion investie dans le fond est alorsˆπ = σ 0 /ˆσ. Le sous jacent est supposé avoir une volatilité journalière de σ = 2%. Sachant l’estimateur de lavariance √ T (ˆσ 2 − σ 2 ) est asymptotiquement normalement distribué de moyenne nulle et de variance 2σ 4 eten utilisant la méthode du delta, calculer l’intervalle de confiance à 90% de la proportion investie:A) [−0.0816,1.19]B) [0.393,0.606]C) [0.373,0.627]D) [−0.48,1.48]Jusitifiez la réponseCorrigé: Réponse B: let v = σ 2∆π = ∆σ 0 / √v ˆ = 1/2σ 0 v −3/2 ∆vLa variance asymptotique de √ T (ˆπ − π) est donc 1/4σ 2 0v −3 2v 2 = 1/2σ 2 0/σ 2 et l’intervale de confiance a 90%est donc σ 0 /σ ± 1.645 ∗ sqrt0.5σ 0 /σFin de l’énoncé, noté sur 20 pointsDaniel Herlemont 4