Optimisation de la Frontière Efficiente Mean Blur ... - Yats.com

Optimisationde laFrontière EfficienteMean BlurGénération pseudo aléatoireProgrammation en CDaniel HERLEMONT 1RappelsPt− PRt=Pt−1t−1Mean = R =R1+ R2+ ... + RNN( R − R) + ( R2− R) + ... + ( RT− R)Var = =T − 1σ 2 1 22 2Le risque peut être défini comme la perte potentielle due aux variations des actifsDans le cas de rendements normalement distribués N(r,σ 2 )le risque se résume dans la volatilité σPtRt≈ log( 1 + Rt) = logPRemarque pourdes rendements faibles(journaliers, hebdomadaires voire mensuels)t−1= log P − log Ptt−1Daniel HERLEMONT 2Page 11

Loi de la racine carré du tempsLe rendement logarithmiques sur une période 0,t peut donc être vu commela somme des rendements sur t sous-périodes.log Pt− log P0 = (log Pt− log Pt−1)+ ... + (log P1− log P0)R0 , t= Rt, t−1+ Rt−1,t−2+ ...R0,1En général, on considère que les rendements Rt sont indépendants et identiquement distribués (IID)(si il en était pas ainsi, il serait possible de profiter des corrélations sérielles)Le rendement sur la période [0,t] s'exprime alors comme la somme de variables aléatoiresindépendantes et de même "loi" (du moins en loi empirique)var( R0,t) = var( Rt, t−1)+ var( Rt−1,t−2)+ ...var( R0,1)var( R0,t) = t var( R0,1)Le rendement sur t périodes peut donc être considéré comme une variable aléatoire demoyenne µ tavec µ le rendement sur une périodevariance σ 2 tet σ 2 la variance sur une périodeCe résultat reste valable pour les rendements arithmétiques (voir exercice)Exemple:Rannuel 12 R moisσ = 12 σ= annuelmoisDaniel HERLEMONT 3signal/bruit = r/σ ~ t 1/2 → 0 lorsque ∆t → 0La tendance n'apparaît clairementqu'à des horizons de temps de l'ordrede plusieurs annéesLes données intradaysont dominées parla volatilité (bruit)- facteur d'échelle ~ racine carré du temps (conséquence de l'indépendance) :volatilité jour = volatilité annuelle / 260 0.5rendement jour = rendement annuel / 260signal/bruit = r/σ ~ t 1/2→ 0 lorsque ∆t → 0rendement volatilité signal/bruit = r/σ ~ t 1/2annuel 5% 20% 0.25jour 0,02% 1.26% 0,016temps caractéristique = σ 2 /µ 2 temps pour lequel signal ~ bruitexemple précédent T=16 ans !!!Daniel HERLEMONT 4Page 22

Estimations Estimation des rendements historiques Estimation de la matrice de covariance => Génération de suites pseudo aléatoiresgaussiennes - mono et multi variésDaniel HERLEMONT 5Génération de variables aléatoires en C - loi uniformePour générer une variable aléatoire uniforme, on utilisera la fonction randde la bibliothèque mathématique. Cette fonction renvoie un entier comprisentre 0 et 32768.On pourra donc générer une suite pseudo aléatoire de la manière suivante:#include #include /* rand() */int main(void) {int i;for(i=0;i

Initialisation du générateur aléatoireDes appels successifs au programme précédent conduiront à la même suite pseudo aléatoire.Si on souhaite obtenir une suite différente lors de chaque appel, il suffit d'utiliser la fonctionsrand(long).Cette fonction initialise le générateur aléatoire en fonction d'un paramètre de type long. Pourobtenir une suite différente à chaque appel, il suffit du d'attribuer une valeur différente auparamètre, ce qui peut se réaliser simplement en utilisant la fonction time, par exemple.#include #include /* contient le prototype de rand() */#include /* contient le prototype de srand() */int main(void) {int i;srand(time(NULL));for(i=0;i

Simulation de variables aléatoires normales : Box-MullerDaniel HERLEMONT 9Estimations du rendement moyen et de la volatilitéSimuler 8 ans de rendements mensuel d'une action dont le rendement espéré estde r=1% et σ = 4.33%, correspondant à une action typique :de rendement annuel = 12%=12 x 1%et volatilité annuelle = 15% = 12 1/2 x 4.33%Source: Luenberger, Investment ScienceDaniel HERLEMONT 10Page 55

Estimations du rendement moyen et de la volatilitéDaniel HERLEMONT 11Estimations du rendement moyen et de la volatilitéDaniel HERLEMONT 12Page 66

ExercicesDaniel HERLEMONT 13Cholesky Si A est une matrice symétrique définie positive, il existe au moins unematrice réelle triangulaire inférieure L telle que :A=LL TOn peut également imposer que les éléments diagonaux de la matrice L soient touspositifs, et la factorisation correspondante est alors unique La matrice L est en quelque sorte une « racine carrée » de A. Cettedécomposition permet notamment de calculer la matrice inverse A -1 , de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des élémentsdiagonaux de L) ou encore de simuler une loi multi-normale.Daniel HERLEMONT 14Page 77

Cholesky (suite)Exemple pour une matrice de covariance a deux actifs:Daniel HERLEMONT 15Cholesky (algorithme)Daniel HERLEMONT 16Page 88

Cholesky - Algorithme (suite)Daniel HERLEMONT 17Cholesky - réalisation en CExemple issu de Numerical Recipeshttp://www.library.cornell.edu/nr/bookcpdf/c2-9.pdfA réaliser en commençant l'indexation des tableaux à 0 !!!Daniel HERLEMONT 18Page 99

Cholesky - Solution d'un système linéaireDaniel HERLEMONT 19Cholesky - inversion de matriceDaniel HERLEMONT 20Page 1010

Cholesky - génération normale multi-variéesSoit u un vecteur constitué de n nombres aléatoiresindépendants distribués selon la loi normale réduite.Soit L la matrice triangulaire inférieure résultant de ladécomposition de Cholesky de la matrice VLe vecteur x = m + Lu suit la loi multinormale N(m, V).Démonstration en exercice …Daniel HERLEMONT 21Page 1111