Fronti`ere Efficiente en Excel - Yats.com

Frontière Efficiente en ExcelDaniel Herlemont14 décembre 2010Table des matières1 Objectifs 12 Frontière Efficiente avec Excel 22.1 Deux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Quatre actifs sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Quatre actifs avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Contraintes ”sectorielles” 44 Résultats attendus 54.1 Déterminants mineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 4 actifs sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Avec contraintes - pas de vente à découvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.4 Avec contraintes sectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5 Frontières efficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Annexe 75.1 Dérivation Matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Frontière efficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Frontière efficiente avec contraintes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ObjectifsL’objectif de ce TP est double1

2FRONTIÈRE EFFICIENTE AVEC EXCELˆ de construire la frontière efficiente, sans contrainte, puis avec contraintes.ˆ se familiariser avec Excel pour la gestion des données, le calcul matriciel, l’optimisation(utilisation du solveur) et les graphiques.2 Frontière Efficiente avec Excel2.1 Deux actifsConstruire la frontière efficiente, tout d’abord pour 2 actifs en reproduisant l’exemple donnéen cours :efficient-frontier-project-excel-fr.pdf,Etudier l’impact du coefficient de corrélation ρ sur la frontière efficiente.2.2 Quatre actifs sans contrainteConstruire la frontière efficiente pour 3 actifs dont les caractéristiques sont les suivantes :ˆ rendements attendusactif1 actif2 actif3 actif40.20 0.00 0.15 0.10ˆ volatilitésactif1 actif2 actif3 actif40.20 0.25 0.30 0.35ˆ matrice de corrélationactif1 actif2 actif3 actif4actif1 1.0 0.1 0.4 0.5actif2 0.1 1.0 0.3 0.7actif3 0.4 0.3 1.0 0.8actif4 0.5 0.7 0.8 1.0Démarche :Daniel Herlemont 2

2FRONTIÈRE EFFICIENTE AVEC EXCELˆ Vérifier que la matrice de corrélation est bien Symétrique, Définie, Positive (on pourrautiliser la condition de Sylvester, à savoir que tous les déterminants mineurs det(C k )sont strictement positifs, avec C k la matrice extraite d’ordre k ≤ n C k,ij = C ij pouri, j = 1, k)ˆ Calculer la matrice de covariance Q à partir de la matrice de corrélations : Q =diag(σ)ρdiag(σ), diag(σ) représentant la matrice digonale comportant les volatilitésur la diagonale et des zéro ailleurs.ˆ Calculer l’inverse de la matrice de covarianceˆ Calculer les coefficients A,B,C,D, intervenants dans la solution explicite de la frontièreefficiente (sans contraintes), à savoir :ˆ Vérifier que D est bien positif (justifier).ˆ appliquer la formule vue en cours :A = µ T Q −1 µB = µ T Q −1 1C = 1 T Q −1 1D = AC − B 2σ 2 = Cr2 − 2Br + ADavec σ 2 la variance du portefeuille et r le rendement attendu.ˆ tracer la frontière efficiente avec r en ordonnée et σ en abscisse.ˆ Déterminer la composition des portefeuilles caractéristiques :ˆ Le portefeuille de variance minimaleπ min = 1 C Q−1 1 =11 T Q −1 1 Q−1 1Vérifier numériquement que le portefeuille de variance minimale est atteint pour r =B/C et que la variance minimale est 1/C (voir l’annexe).Daniel Herlemont 3

3 CONTRAINTES ”SECTORIELLES”ˆ le portefeuille tangentπ slope = 1 B Q−1 µ =11 T Q −1 µ Q−1 µVérifier numériquement que le rendement du portefeuille tangeant est atteint pourr = A/B et que la variance du portefeuille tangeant est A/B 2 et donc la pente maximaledepuis l’origine est √ A (voir l’annexe).ˆ Etudier les sensibilités, notamment :– l’impact des corrélations sur la frontière efficiente– la variation des pondérations du portefeuille tangent en fonction des rendementsespérés2.3 Quatre actifs avec contraintesA l’aide du solver Excel (voir cours), tracer la frontière efficiente en ajoutant les contraintesde gestion classiques, à savoir :ˆ pas de vente à découvert : w i ≥ 0ˆ pas d’emprunts w i ≤ 1Calculer les pondérations optimales pour obtenir un rendement espéré de 18%.Commentaires ?Optionnel : on pourra automatiser l’utilisation du solver en VBA. Voir solver-vba.pdf.3 Contraintes ”sectorielles”On souhaite que l’exposition des actifs 1 et 2 soit de 30%. Construire la frontière efficienteavec ces nouvelles contraintesIndications : voir annexeon utilisera la matrice des contraintes A⎡µ 1 µ 2 µ 3⎤µ 4A = ⎣ 1 1 1 1 ⎦1 1 0 0et b = (r, 1, 0.3) TDaniel Herlemont 4

4RÉSULTATS ATTENDUS4 Résultats attendus4.1 Déterminants mineursordre 1 ordre 2 ordre 3 ordre 41.0000 0.9900 0.7640 0.06454.2 4 actifs sans contrainteA B C D1.598165 10.343036 93.435286 42.346587Portefeuille de variance minimale$w[1] 0.5495500 0.7073431 0.5295328 -0.7864260$rp[1] 0.1106973$sigmap[1] 0.1034533Portefeuille tangeant$w[1] 0.7425243 0.4561144 0.5175007 -0.7161394$rp[1] 0.1545160$sigmap[1] 0.1222258Valeurs propres de la matrice de corrélation[1] 2.47312238 0.92804873 0.54750035 0.05132854Daniel Herlemont 5

4RÉSULTATS ATTENDUS4.3 Avec contraintes - pas de vente à découvertPortefeuille de variance minimale[1] 0.5913 0.3611 0.0476 0.0000Portefeuille avec un rendement attendu de 10%[1] 0.4782 0.4927 0.0290 0.00004.4 Avec contraintes sectoriellesPortefeuille avec un rendement attendu de 15%[1] 0.2090 0.0910 0.7641 -0.0641Daniel Herlemont 6

5 ANNEXE4.5 Frontières efficientesFrontieres efficientesrendement du portefeuille0.00 0.05 0.10 0.15 0.20sans contrainteavec contraintespi1+pi2=0.30.10 0.15 0.20 0.25 0.30volatilité du portefeuilleVolatilité minimale dans la frontière avec contraintes ”sectorielles” σ min = 23.7%5 Annexe5.1 Dérivation Matriciellesoit f une fonction de R n dans R.Soit x = (x 1 , ...., x n ) T un vecteur colonne de R n .Daniel Herlemont 7

5 ANNEXEOn note ∂f/∂x le vecteur colonne des dérivées partielles de f par rapport aux x i .∂f∂x = ( ∂f , ∂f , ..., ∂f ) T∂x 1 ∂x 2 ∂x nCas des formes linéaires : f(x) = a T x = x T a, on note que ∂f/∂x i = a i , d’ou∂a T x∂x= ∂aT a∂x= aCas d’une forme quadratique f(x) = x T Ax avec A une matrice n × n.(∂f∂x 1= ∂∂x 1a 11 x 2 1 + ∑ nj=2 a 1jx 1 x j + ∑ )ni=2 a i1x i x 1= 2a 11 x 1 + ∑ nj=2 a 1jx j + ∑ ni=2 a i1x i= ∑ nj=1 a 1jx j + ∑ ni=1 a i1x i= ∑ nj=1 (a 1j + a j1 )x jD’ou∂x T Ax∂xEn particulier, si A est symétrique= (A + A T )x∂x T Ax∂x= 2Ax5.2 Frontière efficienteLe problème consiste a minimiser la variance du portefeuille σ 2 pavec Q matrice de covariance définie positive.Sous contraintes que :12 σ2 p = 1 2 πT Qπˆ le portefeuille soit totalement investi dans les actifsavec 1 le vecteur ne contenant que des 1.1 T π = 1Daniel Herlemont 8

5 ANNEXEˆ et que le rendement du portefeuille r p soit égal à un rendement attendu rr p = µ T π = ravec µ = (µ 1 , ..., µ n ) T les rendements attendus des actifs.Le Lagrangien estL = 1 2 πT Qπ − α(µ T π − r) − β(1 T π − 1)Les conditions du second ordre sont immédiatement vérifiée car Q est définie positive.Les conditions du premier ordre s’écriventet donc∂L∂π= Qπ − αµ − β1 = 0π = αQ −1 µ + βQ −1 1En remplaçant π dans les deux contraintes, on obtient un système de deux équations avecdeux inconnues α et β :αA + βB = rαB + βC = 1avecA = µ T Q −1 µ B = µ T Q −1 1 = 1 T Q −1 µ C = 1 T Q −1 1 D = AC − B 2d’oùα = Cr − BDles pondérations recherchées sont donc :β = A − BrDouπ = Cr − BDQ−1 µ + A − BrD Q−1 1Le portefeuille efficient est combinaison linéaire de deux portefeuillesAvecπ =(Cr − B)Bπ s +D(A − Br)Cπ vDDaniel Herlemont 9

5 ANNEXEd’ouˆ Le portefeuille tangeant, de pente maximale depuis l’origineˆ et le portefeuille de variance minimalela variance du portefeuille optimal est :π s = Q−1 µ1 T Q −1 µ = Q−1 µBπ v = Q−1 11 T Q −1 1 == Q−1 1Cσ 2 = π T (Qπ)= (αµ T + β1 T )Q −1 (αµ + β1)= α 2 A + 2αβB + β 2 C= α(αA + βB) + β(αB + βC)= αr + βσ 2 = Cr2 − 2Br + ADCette variance est minimale pour le portefeuille caractérisé parµ v = B/C π v = Q−1 11 T Q −1 1σ v = 1 √CDans le plan σ p , r, la pente d’un portefeuille efficient avec l’origine peut s’écrire sous laforme suivante :√rD=σ p C − 2B 1 + A r r 2Elle est maximale, lorsque le dénominateur est minimal, c’est à dire pourµ s = A BCe portefeuille est également appelé le portefeuille tangent, car la pente maximale avecl’origine correspond aussi avec la tangente en ce point. Le portefeuille tangent est caractérisépar :µ s = A Bπ s = Q−1 µ1 T Q −1 µσ s =√ABµ sσ s= √ ADaniel Herlemont 10

5 ANNEXELe portefeuille optimal est une combinaison linéaire du portefeuille de variance minimaleet du portefeuille tangent :(Cr − B)B (A − Br)Cπ = π s + π vDDOn pourra constater que la somme des pondérations est égale à 1 :(Cr − B)BD+(A − Br)CD= 15.3 Frontière efficiente avec contraintes linéairesOn peut généraliser le problème précédent en mettant les contraintes sous la forme suivanteAπ = bavec A une matrice k × n et b un vecteur colonne de dimension k.Par exemple dans le cas précédent, la matrice A est[ ]µ1 · · · µA =n1 · · · 1et b = (r, 1) TMais on peut ajouter des contraintes, du type, limiter l’exposition des actifs d’un secteurdonné à 10%.Le lagrangien s’ecritL = 1 2 πT Qπ − α T (Aπ − b)avec α le vecteur des multiplicateur de LagrangeLes conditions du premier ordre sontd’ou∂L∂π = Qπ − AT α = 0π = Q −1 A T αOn remplace π dans la contrainte Aπ = b, pour trouverpuisα = (AQ −1 A T ) −1 bπ = Q −1 A T (AQ −1 A T ) −1 bon peut ensuite calculer le rendement du portefeuille µ p = µ T π et sa variance σ p = πQπDaniel Herlemont 11