Examen Mesures de Risque de Marché - Yats.com

ESILV 2010D. Herlemont Mesures de Risque de Marché IExamen Mesures de Risque de MarchéDurée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées.2 pt 1. Quelle est l’interprétation d’une ”Value-at-Risk” à 95% quotidienne de 10 millions d’euros:a) perdre au moins 10 millions d’euros, 10 jours sur 100b) perdre au moins 10 million d’euros, 1 jour sur 100c) perdre au moins 10 million d’euros, 1 jour par moisd) perdre au plus 10 millions d’euros, 5 jours sur 100Justifier la réponse en rappelant la définition de la VaR.2 pt 2. Concernant le risque de marché, BALE II impose le calcul d’une Value at Risk (VaR) deniveau de confiance α = 99% sur un horizon T de 10 jours.ˆ Comment sont justifiés le choix des paramètres de la VaR (niveau de confiance et horizonde temps).ˆ Quelle est la relation entre cette VaR et le besoin en capital concernant le risque de marché?ˆ expliquer le mécanisme par lequel les autorités de régulation peuvent vérifier que la banquene sous estime pas ses risques, qu’en est il lorsque les risques semblent sous estimés ?2 pt 3. On suppose que le modèle de VaR à 99% est correct. Quelle est la probabilité d’observer uneexception au moins lors d’un backtest sur un an (250 jours),a) 0b) 8.1 %c) 20.5%d) 91.9 %Justifier la réponse (en détaillant les calculs).6 pt 4. Un trader intervient sur les marchés à terme des actions et obligations long terme. Soninvestissement est de W 1 = 2 millions d’euros en actions et W 2 = 5 millions d’euros en obligationsLa volatilité mensuelle du marché actions est de σ 1 = 5%, celle du marché de taux est de σ 2 = 1%,la corrélation entre ces marchés est de ρ = −0.1. On s’interesse ici à la VaR à 95% sur un mois.1. Sous l’hypothèse de normalité, montrer qu’une VaR à 95% sur un mois est très proche d’uneVaR à 99% à 10 jours. Que penser de cette hypothèse de normalité ?2. Quelles sont les VaR des positions en actions et obligations prises isolément.3. Calculer la volatilité du portefeuille σ p ainsi que la VaR du portefeuille.Daniel Herlemont 1

4. Comparer cette VaR du portefeuille à la somme des VaR isolées. Commentaires ?5. Le trader souhaite changer ses positions, sans modifier la VaR de son portefeuille qui luiimposée.6. Quelle doit la relation entre la position en actions et la position en obligations pour respecterla même VaR ? ‘7. Quelle peut être la position maximale en actions, toujours sous la même contrainte de VaR.8 pt 5. Un portefeuille est constitué par la vente d’une option de vente (short put) à la monnaied’échéance T = 10 jours. On suppose que le sous jacent suit une loi lognormale de moyenne nulleet volatilité journalière σ = 2%. La valeur initiale du sous jacent est S 0 = 100 euros. La valeurdu put à la date 0 est p 0 = 2.52. Dans la suite, on s’intéresse à la VaR à 99% à 10 jours (c’est àdire lorsque l’option arrive à maturité).1. Quel est la valeur du portefeuille à la date 0 ? (attention il s’agit d’une vente ...)2. Par une raisonnement simple, déterminer l’espérance de la valeur de ce portefeuille à maturité?3. Tracer l’allure du P&L X du portefeuille à maturité, en fonction de la valeur S du sousjacent. Le P&L est il monotone en fonction de S ? Quelles sont les valeurs maximales de ceP&L ?4. Quelle sont les signes du delta et du gamma ? Quelle est la valeur approximative du delta ?5. Tracer l’allure de la densité de ce P&L. Commenter l’allure de cette distribution en termede symétrie.6. Quel est la VaR du portefeuille dans la méthode dite delta normale (que l’on décrira). LaVaR effective est elle supérieure ou inférieure à l’approximation delta normale (utiliser unargument simple)7. Calculer la volatilité du portefeuille en utilisant le développement limité en delta/gammadont on rappellera l’expression. La valeur absolue du Gamma est 0.0638. Calculer la borne de la VaR en utilisant la volatilité calculée précédemment et l’inégalité deBienaymé-Tchebychev (indication: la distribution n’est pas symétrique)9. Calculer la valeur exacte de la VaR en utilisant des propriétés de monotonie du P&L. Pourquelle valeur du sous -jacent la VaR est elle atteinte ?10. Comparer et commenter les différents calculs de la VaR. Citer et décrire d’autres méthodesde calcul de la VaR en présence d’options.Fin de l’énoncé, noté sur 20 pointsDaniel Herlemont 2