CHAPITRE : TRIANGLE RECTANGLE

CHAPITRE : TRIANGLE RECTANGLE1. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :a) Vocabulaire :Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :[BC] est l’hypoténuse de ABC[AB] est le côté adjacent à l’angle B[AC] est le côté opposé à l’angle BCHypoténuseCôté opposé à l’angle BBACôté adjacent à l’angle Bb) Formules trigonométriques :Dans le triangle ABC rectangle en A,cosinus B =côté adjacent à Bhypoténuseou encore cos B = ABBCsinus B =côté opposé à Bhypoténuseou encoresin B = ACBCtangente B =côté opposé à Bcôté adjacent à Bou encoretan B = ACABRemarque :Il faut toujours préciser l’angle du triangle rectanglec) Utilisation de la calculatrice :Mettre la calculatrice en mode DEGRE !Exemple n°1:Pour calculer sin 47° , je tape : SIN 4 7 EXELa calculatrice affiche : 0.731353701Exemple n°2:Je sais que sin B = 0,8. Je peux connaître la mesure de l’angle B en tapant : SIN -1 0 . 8 EXELa calculatrice affiche : 53.13010235Je donne une valeur approchée : B≈ 53,1° (arrondi à 0,1)

) Réciproque du théorème de Pythagore :Exemple :MNO est tel que MN = 9 cm, NO = 12 cm et OM = 15 cm.On peut montrer que MNO est un triangle rectangle.Résolution : D’une part :OM² = 15² = 225 (on choisit le plus grand et on calcule son carré) D’autre part :MN² + NO² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 (on additionne les carrés des deux plus petits côtés)Puisque MN² + NO² = OM² alors la réciproque du théorème de Pythagore permet d’affirmerque MNO est rectangle en N.c) Relations entre cosinus, sinus et tangente :Propriété :Dans un triangle rectangle, si x est la mesure d’un angle aigu alors :(cos x)² + (sin x)² = 1tan x = sin xcos xDémonstration :On se place dans un triangle ABC rectangle en B. On note x l’angle de sommet A.Calculons (cos x)² + (sin x)² :E = (cos x)² + (sin x)²2 2CE = ⎛AB⎞+ ⎛BC⎞⎝ ⎝AC⎠E = AB²AC² + BC²AC²E = AB²+BC²AC²AC⎠xBor AB² + BC² = AC² d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC !E = AC²AC²E = 1On conclut donc que (cos x)² + (sin x)² = 1.Exemple :On donne cos B = 0,8.Retrouver sin B et tan B sans calculer B.Comme (cos B)² + (sin B )² = 1Alors 0,8² + (sin B)² = 10,64 + (sin B)² = 1(sin B)² = 1 – 0,64(sin B)² = 0,36sin B = 0,36donc sin B = 0,6De plus, tan B = sin Bcos B = 0,60,8 = 0,75A

Pythagore direct (pour calculer des distances)Cas 1A(en cm)Calculons ACLe triangle ABC est rectangle en B donc d’après le théorème de PythagoreAC² = AB² + BC²3 ? ?Soit AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25B 4 CdoncAC= 25 = 5cmCas 2A(en cm)Calculons ABLe triangle ABC est rectangle en B donc d’après le théorème de PythagoreAC²= AB² + BC²? ? 5B 4 CSoit 5² = AB² + 4²DoncAB² = 5 2 - 4 2AB² = 25 - 16AB² = 9AB = 9 = 3cmRéciproque et contraposée(pour savoir si un triangle est rectangle)réciproque(en cm)A6 10B 8 Ccontraposée(en cm)A6 9B 8 CABC est-il rectangle ?Si le triangle ABC est rectangle, il l’est en B car [AC] est le plus grandcôté.TestAC² = 10² = 100 ¡¢AB²+BC²=6²+8²=36+64=100Donc AC²= AB² + BC², d’où d’après la réciproque du théorème dePythagore, ABC rectangle en B.ABC est-il rectangle ?Si le triangle ABC est rectangle, il l’est en B car [AC] est le plus grandcôté.TestAC² = 9² = 81 ¡¢AB²+BC²=6²+8²=36+64=100Donc AC² ≠ AB² + BC², d’où d’après la contraposée du théorème dePythagore, ABC n’est pas rectangle .