Le Rayonnement, sa mesure et son rôle Modélisation du ... - Cesbio

Cours de M1-M2Ecole Doctorale"Sciences de l'Univers"Simulation DARTLe Rayonnement, sa mesure et son rôleModélisation du Transfert radiatifSimulations DART du quartier St Sernin (Toulouse). Bas (gauche) et haut (droite) de l'atmosphère.avril 08J.P. Gastellu-EtchegorryC.E.S.BIO.UNIVERSITE PAUL SABATIER

TABLE DES MATIERESLE RAYONNEMENT, SA MESURE ET SON ROLE 3I Présentation 3II Les phénomènes radiatifs 4II.1 Bilan d'énergie 4II.2 Mesures radiométriques 10III Le Rayonnement Electromagnétique 19III.1 Onde plane monochromatique 19III.2 Sources de rayonnement électromagnétique 20III.3 Le spectre électromagnétique 20III.4 Interactions "Rayonnement - Matière" 22IV Grandeurs Photométriques 31IV.1 Rayonnement 31IV.2 Réflectance, transmittance et émissivité 34IV.3 Propriétés spectrales des surfaces terrestres 38V Mesure et Rayonnement 40Annexe 1 : COHERENCE 43Annexe 2 : PROFONDEUR DE PENETRATION 45Annexe 3 : POLARISATION 47Annexe 4 : REFLEXION D'UNE SURFACE PLANE 49Annexe 5 : DIFFUSION 53Annexe 6 : EMISSION THERMIQUE ET EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE 64LE TRANSFERT RADIATIF 79I Equation du Transfert Radiatif 79I.1 Milieu quelconque 79I.2 Milieu particulaire 81I.3 Milieu particulaire peu dense et plan (τ(Ω) = τ/µ) 84I.4 Résolution de l'équation du transfert radiatif 88I.5 Inversion de mesures 93II Transfert radiatif dans l'atmosphère 95II.1 Proriétés physiques de l’atmosphère 95II.2 Interactions atmosphériques 99II.3 Raies d’absorption gazeuse 115ANNEXE II.1 MODELE ARPEGE 125MODELISATION DES MESURES DE TELEDETECTION 128I Généralités 128II Modèles atmosphériques 128III Réflectance atmosphérique 130IV Réflectance apparente d'une surface terrestre 133Annexe II.1 : POINT CHAUD 144Annexe II.2 : MODELES DE REFLECTANCE 147

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 5GR n (BOA) + LE + H + G + Ph = 0flux de conduction de chaleur associée au réchauffement /refroidissement du sol.LE flux d'évapotranspiration. L = chaleur latente de l'eau (J/kg). E = flux d'eau évaporée (Kg/s).Hflux de convection de chaleur, souvent appelé "flux de chaleur sensible".Ph flux d'énergie utilisé par la photosynthèse. Ce phénomène est souvent négligé, carPh < 0.01 R n en général, mais il conditionne l'évapotranspiration.Les termes "non radiatifs" LE, H et G dépendent beaucoup du bilan radiatif mais aussi dutype (végétation, sol nu, etc.) et de l'état (humidité, etc.) des surfaces terrestres.Le flux de chaleur latente LE correspond en général à une perte d'énergie (LE

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 6ρ0.340.33Hémisphère Nord R (W.m -2 T -R n )250 0R T0.32240-100.31ρ-R n0.30230-200.29J F M A M J J A S O N DDérivé de données NOAAAVHRR de 1974 à 1978.Figure 2: Cycle annuel de l'albédo ρ, émission R T ↑ et rayonnement net R n planétaires (TOA).• Variabilité spatialeR n est en général positif dans la zone tropicale (Figure 3). Les déserts du Sahara et d'Arabiefont exception. Ce sont des "puits" de rayonnement (R n < 0), car ils ont un fort albédo etréfléchissent donc une grande partie du rayonnement incident. De plus, leur bilanthermique (R T ) est très négatif, car leur couverture nuageuse est très faible. Au nord de40°N, R n est négatif, avec un minimum au Groenland (≈ -150 W.m -2 ). Cette distributionspatiale de R n explique que la circulation atmosphérique tend à redistribuer vers les pôlesles surplus d'énergie radiative des tropiques.0-50-5040°N505050050500 50500-50180°W 90°W0°-50040°SFigure 3: Rayonnement net terrestre entre 60°N et 60°S. Le rayonnement net est très faible au Groenland (≈150 W.m -2 ). Pourquoi? R n est plus élevé dans l'hémisphère Sud que dans l'hémisphère Nord. Pourquoi ? Que devient le rayonnement absorbé par l'océan ?• Partitionnement spectral du bilan radiatifLa différence de température entre la Terre et le soleil ainsi que la distance "Terre - soleil"expliquent que le bilan d'énergie du système "Terre - Atmosphère" est souvent étudié en

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 7considérant séparément le domaine des courtes (λ < 4 µm) et des grandes longueurs d'onde.Ainsi, le soleil émet un rayonnement dont le maximum (λ ≈ 0.5 µm) est dans le domainespectral du visible (courtes longueurs d'onde). Par contre, la Terre et l'atmosphère étant descorps beaucoup plus froids que le soleil (≈ 300K vs. 6000K), leur maximum d'émissionsurvient à de plus grandes longueurs d'onde (≈ 10 - 13 µm), environ 20 fois supérieures. Parsuite, le maximum de R s survient dans un domaine spectral bien distinct de la régionspectrale des maxima de R A et R T . La distance "Terre - soleil" explique que les termes ρ.R set R T ↑ sont du même ordre de grandeur au voisinage de 3-4 µm, avec ρ.R s >> R T ↑ aux plusfaibles longueurs d'onde, et ρ.R s

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 81 0 04A b s o r p ti o n : o z o n eR é fl e x i o n t e r r e s tr eT O A t o t a l eR é fl e x io n : n u a g e s ( 2 0 )42 6 + a tm o s p h è r e ( 6 )A b s o r p t i o n : g a z (1 7 )e t n u a g e s ( 3 )2 05 34 58A b s o r p t i o n p a r l a T e r r ePrincipales fenêtres atmosphériquesUV et visible (VIS) : 0.35 - 0.75µm0.77 - 0.91µmProche infrarouge: 1.55 - 1.75µm(PIR)2.05 - 2.40µm3 - 5µmInfrarouge thermique: 8.0 - 9.2µm(IRT)10.2 - 12.4µmOndes millimétriques: 1mm - 5mmMicro-ondes: >20mmFigure 4: Bilan radiatif terrestre dans les courtes longueurs d'onde (λ < 4 µm).Moyennes spatiales et annuelles données en pourcentages de l'éclairement solaire incident.Les océans (Figure 5) ont un albédo beaucoup plus faible (≈ 4%) que les surfaces terrestressolides. Ils absorbent environ 96% du rayonnement incident.Diffusion atmosphériqueRéflexion(albédo : 4%)3.5%0.5%Rayonnement incident = 100%Surface de l'océanFigure 5:Bilan radiatif des océans.Domaine spectral des courteslongueurs d'onde (rayonnementsolaire réfléchi).Réflexion interne0.5%1%Rétrodiffusion96.5%Transmis etabsorbé• Bilan radiatif dans les grandes longueurs d'ondeL'émission thermique atmosphérique est un apport important d'énergie à la Terre (≈ 96% E _≈ 330 W.m -2 ), par rapport au rayonnement solaire absorbé (≈ 45% E _ ≈ 181 W.m -2 ). Troismécanismes majeurs permettent d'évacuer cette énergie ainsi que l'énergie associée aurayonnement solaire absorbé aux courtes longueurs d'onde :- Transfert turbulent de chaleur : transfert d'énergie (≈7% E _ ≈25 W.m -2 ), à partir duchauffage par conduction des basses couches de l'atmosphère.- Evaporation (sols, surfaces d'eau,…) et évapotranspiration de la végétation : transfertd'énergie (≈22% E _ ≈75 W.m -2 ) à l'atmosphère.- Emission thermique terrestre (≈ 113% E _ ≈ 385 W.m -2 ). Elle survient surtout dans le domainespectral dit des grandes longueurs d'onde autour de 10 µm. La transmission atmosphériqueest faible (≈ 5%), car les gaz atmosphériques absorbent beaucoup dans ce domaine. Ainsi,l'absorption atmosphérique (gaz et nuages) est ≈107% E _ (≈ 366 W.m -2 ). Par suite, lerayonnement terrestre qui est transmis à travers l'atmosphère vaut ≈6% E _ (≈ 21 W.m -2 ).C'est le rayonnement utile pour observer la Terre. Il est faible par rapport au rayonnement

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 9_ _thermique atmosphérique _ émis vers l'espace (≈ 64% E ), avec ≈ 26% E (≈ 89 W.m -2 ) émis parles nuages, et ≈ 38% E (≈ 130 W.m -2 ) émis par les gaz.Absorption(UV, VIS, IR)24Chaleursensible722Chaleur latenteAbsorption (U V, VIS, PIR) : 456 26 3896113Emission - AbsorptionFigure 6: Bilan d'énergieatmosphérique exprimé en _% del'énergie solaire incidente E.Il y a égalité des apports et pertesd'énergie :_- Apport : (24 + 7 +22 + 113).E_- Perte : (6 + 26 + 38 + 96).E .Rayonnementsolaireincident TOARayonnementsolaireréfléchi TOARayonnementinfrarougethermique TOAEspace3421022124013089Stratosphère(O3) 1515(O 3)Troposphère32767211470(H2O, CO2, O3)75 25Surface18126385 330ChaleurlatenteChaleursensibleRayonnement:ondes courtesRayonnement:grandes ondesFlux turbulents155 160155Figure 7: Bilan d'énergie du système "Terre - Atmosphère". Valeurs moyennes annuelles Pourquoi l'émission thermique de la Terre et de l'atmosphère est en général négligée auxcourtes longueurs d'onde? La transmittance atmosphérique est plus élevée aux courtes ou aux grandes longueursd'onde ? Donner son ordre de grandeur aux courtes et grandes longueurs d'onde.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 10II.2Mesures radiométriques• Modes d'observation satellitaireL'observation spatiale de la Terre et de son atmosphère a pour but la détermination continueà différentes échelles de temps et d'espace de certaines de leurs propriétés biophysiques (e.g.,albédo) et biochimiques (e.g., % chlorophylle). Ceci est possible car le rayonnement mesuré"transporte" une information biophysique et/ou biochimique. En effet, les surfaces terrestreset l'atmosphère affectent souvent certaines caractéristiques (e.g., intensité, spectre etdistribution angulaire) du rayonnement qu'elles émettent, diffusent ou transmettent. Il existetrois modes majeurs d'observation (Figure 8) :1) Télédétection passive. Le capteur mesure le rayonnement visible (VIS), proche infrarouge(PIR) et moyen infrarouge (MIR) diffusé le jour par la cible (i.e., milieu observé : surfaceterrestre et/ou atmosphère). Le soleil, et de manière indirecte l'atmosphère, sont lessources de rayonnement. La cible est une source secondaire.2) Télédétection passive. Le capteur mesure le rayonnement thermique, essentiellementinfrarouge (IRT) et hyperfréquence, émis le jour ou la nuit par le milieu observé. Dans cecas, la cible est la source du rayonnement mesuré.3) Télédétection active. Le capteur mesure le rayonnement rétrodiffusé par la cible, engénéral dans le domaine spectral des hyperfréquence (radars). La source de rayonnementest artificielle et est à bord du même vecteur que le capteur. Les radars sont des systèmesd'observation tout temps, de jour comme de nuit, car l'atmosphère (nuages compris)affecte très peu les hyperfréquences.Source + CapteurRéflexionCapteurEmissionCapteurRétrodiffusionCibleCibleCiblea)b)c)Figure 8: Modes d'observation. a) Passif VIS/PIR/MIR. b) Passif thermique. c) Actif.La télédétection mesure un rayonnement qui s'est propagé à travers l'atmosphère aprèsavoir été réfléchi et/ou émis par les surfaces terrestres et/ou par l'atmosphère. Cerayonnement varie beaucoup avec le domaine spectral à cause de la variabilité spectrale despropriétés optiques des surfaces terrestres et/ou de l'atmosphère. En premièreapproximation, en ne considérant que les effets d'ordre 1 de l'atmosphère sur lerayonnement, toute mesure de rayonnement comprend un nombre réduit de composantes:- télédétection passive VIS/PIR/MIR. La mesure est la somme de 2 composantes:"rayonnement du à la diffusion du rayonnement solaire par l'atmosphère" + "rayonnementsolaire x transmittance atmosphérique x réflectance terrestre". Toute mesure ne donnedonc qu'une "réflectance apparente" des surfaces terrestres.- télédétection passive IRT. Deux composantes sont mesurées: "émission thermiqueterrestre (atténuée par l'atmosphère), compte tenu de sa température et de son émissivité(i.e., efficacité de l'émission thermique)" et "émission thermique de l'atmosphère". Toutemesure ne donne donc qu'une "température de brillance".

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 11- télédétection active. La mesure est le produit du rayonnement émis par le capteur, ducarré de la transmittance atmosphérique (≈ 1 dans les hyperfréquences) et du coefficientde réflectance (i.e., coefficient de rétrodiffusion) des surfaces terrestres.Les trois modes d'observation indiqués ci-dessus sont complémentaires à 3 niveaux :- Disponibilité de l'observation (heure, jour, nuit, temps couvert, etc.)- Type d'information recueillie (grandeurs biophysiques, biochimiques et géométriques).Ainsi, les mesures acquises dans les domaines spectraux du visible et du proche infrarougepeuvent renseigner sur les propriétés biochimiques des milieux observés, contrairementaux mesures hyperfréquence qui renseignent surtout sur l'humidité et la rugosité de surfacedes milieux observés.- Milieu observé (sol, végétation, etc.). Les milieux effectivement observés (i.e., ceux quiinfluencent le plus la mesure) diffèrent selon le domaine spectral d'analyse. Ainsi, lamesure d'un sol est d'autant plus superficielle que la longueur d'onde d'observation estpetite. De même, les mesures VIS d'une forêt de conifères sont surtout influencées par lesaiguilles (biomasse foliaire, albédo foliaire, etc.) des arbres. Par contre, pour leshyperfréquences, les aiguilles sont beaucoup plus transparentes, si bien que les mesures decette forêt peuvent surtout dépendre du sol et des éléments ligneux (branches, troncs).L'analyse d'images satellitaires (i.e., mesures recueillies sous forme 2-D) a de nombreusesapplications : cartographie et urbanisme (e.g., établissement de cartes), environnement (e.g.,délimitation de zones boisées, urbaines, polluées, inondées, etc.), agriculture (e.g., prévisiondes récoltes), océanographie (e.g., distribution spatiale et temporelle des températuresmarines), etc. Dans une première approche, l'interprétation des images de télédétectionrevient à analyser la variabilité spatiale et spectrale de réflectances apparentes et/ou detempératures de brillance. En fait, le but est en général de déterminer les vraiescaractéristiques des surfaces terrestres et non leurs caractéristiques apparentes, car elles sontplus directement liées à l'information thématique recherchée. Ceci implique la mise enoeuvre de méthodes de correction basées sur la physique du rayonnement.L'extraction d'information quantitative à partir d'images de télédétection (i.e., opérationappelée "inversion") est en général d'autant meilleure que les mécanismes physiques àl'origine des images analysées sont bien compris et quantifiés. Ce problème est illustré cidessousavec des images de capteurs de télédétection à haute résolution spatiale (SPOT etAVIRIS: 20m) et basse résolution spatiale (Végétation et NOAA: > 1km) et des imagessimulées avec des modèles physiques. Il est en particulier illustré la variabilité spectrale desmesures et comment celles-ci peuvent dépendre de la direction d'observation, de la directiond'éclairement et de l'atmosphère.• Variabilité spectrale des mesuresElle est illustrée par une image multispectrale (Figure 9) d'une partie d'un îlot du Pacifique.Cette image provient du satellite héliosynchrone SPOT. Il s'agit de 3 images monospectralesacquises dans les domaines spectraux du vert (XS1 : 0.50-0.59µm), du rouge (XS2 : 0.61-0.68µm) et du proche infrarouge (PIR) (XS3 : 0.79-0.89µm). Situé dans un lagon borné parune barrière de corail, lui-même entouré par l'océan, l'îlot est recouvert de végétation.L'emploi d'une table des couleurs (LUT) classique fait que les teintes de gris sontproportionnelles à l'intensité du rayonnement mesuré par le capteur de SPOT.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 12a.)b.)OcéanIle (végétation)LagonEcumec.)d.)Figure 9: Image SPOT d'un îlot du Pacifique entouré par une barrière de corail.a) XS1, b) XS2, c) XS3. d) Composition colorée. Avec les hypothèses "l'atmosphère n'affecte pas le rayonnement mesuré", "lerayonnement solaire est le même pour les 3 canaux XS 1, XS 2 et XS 3" et "l'eau dulagon, de l'océan et de l'écume a les mêmes propriétés optiques", expliquer pourquoi :- l'océan a des teintes sombres dans les 3 images (surtout dans XS3).- l'écume apparaît avec des teintes claires dans les trois images alors que l'eau apparaîtavec des teintes foncées dans les trois images.- dans XS2, le lagon a des teintes beaucoup plus claires que l'océan.- les teintes de l'île sont foncées dans XS1 et XS2, et claires dans XS3.• Réflectance vs. émission thermiqueLa Figure 10 montre des images VIS (0.58-0.68 µm), PIR (0.725-1.1 µm) et MIR / IRT(3.55-3.93 µm) de l'île de Sumatra, acquises par le capteur AVHRR d'un des satelliteshéliosynchrones NOAA. Cette île a un taux élevé de couvert végétal. Les teintes de gris desimages VIS et PIR sont surtout proportionnelles au rayonnement réfléchi alors que lesteintes de gris de l'image MIR / IRT sont surtout proportionnelles à l'émission thermiqueavec une composante "rayonnement solaire réfléchi" en général faible.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 13OcéanNuagesOcéanMalaisieSingapourIle de SumatraFigure 10: Image NOAA AVHRR (1993)de l'île de Sumatra.Images des canaux VIS, PIR etMIR / IRT du capteur AVHRR(Advanced Very High ResolutionRadiometer) à bord des satellitesNOAA. Pourquoi l'île a des teintes foncées dans AVHRR 1 et claires dans AVHRR 2. Pourquoi les nuages ont des teintes claires dans AVHRR 1 et 2 et foncées dans AVHRR 3 ? La tache claire en bas à gauche de l'île de Sumatra peut être confondue avec un nuagedans les images AVHRR 1 et 2. En fait ce n'est pas un nuage. Qu'est-ce ?• Conditions d'observation et d'éclairementLa position relative des directions d'éclairement Ω s et de visée Ω v affecte beaucoup lesimages. Ainsi, pour observer des ombres et des objets bien éclairés, les photographeschoisissent souvent Ω v éloigné de Ω s (e.g., Ω s ⊥ Ω s ). En effet, la configuration dited'opposition (Ω s ≈ Ω v ) donne de forts signaux avec une faible information spectrale.Effets d'ombre dus à des nuages : éclairement spatialement hétérogène

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 14Effets spéculaires sur l'eau dus aux reflets du soleil : réflectance très anisotropeAvec des vagues de directions zénithalesextrêmes α, l'angle de vue est 4α.Effet d'opposition (hot spot) : taches claires dans les imagesDirection d'observation quasi spéculaire, avec / sans surface "spéculaire"a) Eclairement solaire direct.b) Eclairement diffus.Ombres et contrastes trèsmarqués, avec réduction del'information spectrale.Direction d'observation "avant" vs. "hot spot" : forte variabilité de la réflectanceFigure 11: Impact de la directiond'observation sur la réflectanced'une forêt boréale de conifères(old black spruce).Les arbres ont une densité de2700/ha, une hauteur moyenne de10.2m (σ=4.6m), un taux decouverture de 40% et des couronnesconiques dont la base a un diamètremoyen de 0.84m (σ=0.42m). Labiomasse foliaire est caractériséepar une densité de surface foliairepar unité de surface de sol (LAI)égale à 2.35.Les réflectances de forêt boréale (Figure 11) simulées par le modèle de transfert radiatifDART (Figure 12) illustrent leur forte anisotropie : réflectance ρ c,VIS de 6% (configurationdu hot spot) à 2.6% (direction spéculaire), et réflectance ρ c,PIR de 29% à 16%.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 15zx φ sθ sy(ρ PIR ≈0.168, θ v =35°, φ v =72°)Direction solaire : θ s =35°, φ s =0°Hot spot (ρ PIR ≈0.287, θ v =35°, φ v =0°)(ρ PIR ≈0.156, θ v =35°, φ v =180°)Les aiguilles ont :- distribution angulaire aléatoire,- réflectance VIS/PIR 0.09 / 0.46 (faceadaxiale) et 0.12/0.44 (face abaxiale)- transmittances VIS/PIR 0.05 / 0.32.éclairement du cielSKYL (éclairement total ) = 0.16dans le VIS et 0.1 dans le PIR.Nadir (ρ PIR ≈0.147, θ v =0°)(ρ PIR ≈0.173, θ v =35°, φ v =288°)Figure 12: Anisotropie de la réflectance PIR d'une forêt boréale (Figure 11) simulée avec le modèle DARTL'image centrale est pour une direction de visée verticale (nadir : θ v =0°). Les 4 autres imagessont simulées pour des directions de visée obliques avec θ v = 35°. Angle zénithal solaire θ s =35°.La Figure 13 illustre l'anisotropie de la réflectance des surfaces avec 3 images VIS et PIRde l'Europe acquises par le capteur spatial POLDER le 16 septembre 1997, selon 3directions de visée: directions avant, direction verticale et direction arrière par rapport à ladirection solaire. La direction "arrière" est celle qui est la plus proche de la direction dite derétrodiffusion solaire (direction en général qualifiée de hot spot). Les nuages ont les plusfortes réflectances. Les mesures sont très affectées par la direction d'observation, en raisonde l'atmosphère et de l'anisotropie de la réflectance des surfaces terrestres. Ainsi, laréflectance des surfaces terrestres tend à être maximale selon la direction de visée arrière(≈30% dans le VIS et ≈60% dans le PIR). La réflectance VIS de la région Toulousaine vaut10-15% selon la direction avant et 20-25% selon la direction arrière. Sa réflectance PIRvaut 20-30% selon la direction avant et 40-50% selon la direction arrière.L'anisotropie de la réflectance complique beaucoup l'étude des surfaces terrestres à l'aide dela télédétection. C'est le cas des études multi-dates, des études multi-capteurs et des imagesacquises par un capteur avec un grand champ de vue. Un intérêt majeur de la modélisationest de calculer la distribution directionnelle de la réflectance des surfaces à leurs propriétésoptiques et architecturales et aux conditions expérimentales d'observation.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 16Avant Verticale ArrièreFigure 13: Images de l'Europe acquises le 16/09/96 par le capteur spatial POLDER.Directions de visée arrière, verticale et avant. a) Réflectance Visible (670 nm), graduéede 0 à 50%. b) Réflectance Proche infrarouge (865 nm), graduée de 0 à 80%. Pourquoi les surfaces terrestres ont des réflectances beaucoup plus fortes dans le procheinfrarouge que dans le visible ? Pourquoi la réflectance tend à être maximale selon la direction du hot spot ? La réflectance des surfaces terrestres est anisotrope. Pourquoi est-ce que cetteanisotropie tend à être une contrainte pour les études multi-capteurs et multi-dates ?

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 17Direction d'éclairementLa direction d'éclairement affecte beaucoup l'anisotropie des réflectances terrestres. Ici, dessimulations DART (Figure 14) illustrent l'impact de l'angle zénithal solaire θ s sur l'albédoet la réflectance au nadir d'une parcelle de forêt tropicale, dans le VIS, le PIR et le MIR, enl'absence d'atmosphère. L'albédo augmente beaucoup si θ s croît (i.e., ≈50% en relatif pourθ s de 0° à 80°), alors que la réflectance au nadir est beaucoup plus stable, hormis une fortedécroissance autour du hot spot, i.e. pour θ s proche de 0°.0.060.055RéflectanceVISNadirAlbédo0.650.6RéflectancePIRNadirAlbédo0.28RéflectanceMIRNadirAlbédo0.050.550.240.0450.040.50.20.0350.450.160.030.4θ sθ s0.0250.350° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°θ s0.120° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°Figure 14: Albédo et réflectance (nadir) VIS, PIR et MIR de forêt tropicale selon le zénith solaire θ s .Les réflectances pour θ s =0° sont élevées, car elles correspondent au "hot spot". Peut-on estimer précisément l'albédo avec une seule mesure directionnelle ou spectrale ? Pourquoi l'acquisition de mesures directionnelles peut faciliter l'étude des surfaces terrestres ? Pourquoi la réflectance au nadir tend à diminuer quand θ s augmente (Figure 14) ?Impact de l'atmosphèreL'impact de la distribution angulaire de l'éclairement sur la réflectance des surfacesterrestres est illustré par 2 images (Figure 15) de forêt tropicale simulées par le modèleDART pour 2 conditions atmosphériques extrêmes : SKYL = 0 et SKYL = 1. Les 2 imagesont des distributions de réflectances très différentes. Ainsi, certaines couronnes d'arbres dela strate supérieure peuvent être l'ombre (SKYL = 0) ou être éclairées (SKYL = 1).a) b)Figure 15: Images simulées de forêt tropicale (Indonésie). a.) SKYL = 0. (b). SKYL = 1. θ s = 35°.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 18L'atmosphère affecte aussi les mesures de télédétection par absorption et diffusion durayonnement issu des surfaces terrestres et par addition d'un rayonnement dit atmosphérique.La "correction atmosphérique" a pour but de corriger ces perturbations (Figure 16) : elledonne des images qui auraient été obtenues en l'absence d'atmosphère (i.e., réflectance outempérature de brillance de surface). Idéalement, elle est réalisée avec (1) un modèle detransfert radiatif atmosphérique qui simule les perturbations atmosphériques, et (2) unmodèle qui simule la distribution directionnelle de la réflectance des surfaces terrestres. Ellepermet de "normaliser" les images de télédétection, c'est à dire de transformer toute imageacquise selon une configuration particulière (directions d'éclairement/visée, SKYL) en uneimage qui aurait été acquise dans une configuration dite de référence (e.g., observation à laverticale et SKYL = 0). Cette normalisation est très utile pour traiter des images acquises àdifférentes dates, et donc avec différentes atmosphères et/ou directions solaires et de visée. La mesure TOA s'écrit souvent a.S + b, où S est la mesure que l'on aurait sansatmosphère. Quels mécanismes physiques sont représentés par les coefficients a et b ? Pourquoi la correction atmosphérique améliore le contraste de l'image (Figure 16) ? Pourquoi l'image de l'Australie (Figure 17.a) a des raies ?Figure 16: Images AVIRIS (spectromètre imageur : 224 canaux de 400 nm à 2500 nm. ∆x = 20m).Avant (gauche) et après (droite) correction atmosphérique.a) b)Figure 17: Synthèses d'images Végétation (∆x = 1km). Sans (a) et avec (b) "correction atmosphérique +normalisation des effets directionnels avec modèle de réflectance). Duchemin et Maisongrande, 2002.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 19IIILE RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUEIII.1 Onde plane monochromatiqueLe terme "onde" de vitesse v désigne une variation spatio-temporelle Ψ(t± ξ v) où t est lavariable temps et ξ est la variable espace. Lors de sa propagation, une onde ne transporte quede l'énergie. Elle ne transporte pas de matière (e.g., les vagues ne déplacent pas les bateaux).Un point atteint par une onde reproduit l'état de sa source avec une amplitude inférieure ouégale et un retard du au temps mis par l'onde pour parcourir le trajet depuis la source. Lesondes lumineuses sont transverses, car les champs Ψ transportés (i.e., champs déplacementD - et magnétique B - ) sont perpendiculaires à la vitesse de déplacementDepuis une source ponctuelle, l'onde se propage danstoutes les directions sous forme d'onde sphérique. Lesfronts d'onde associés sont déformés si le milieu n'est pashomogène (i.e., variation d'indice de réfraction). Par suite,la direction de propagation change. Ainsi, une lentille deverre peut transformer une onde sphérique en onde plane.Une onde est dite plane si sa direction de propagation ū est unique et si en tout point r - del'espace ξ = ū.r - . Alors, ξ est constant en tout point de chaque plan normal à la direction depropagation. Un tel plan est une surface de phase constante, à un instant donné.L'onde est dite monochromatique (Figure 18) si D - et B - ont des variations sinusoïdales enphase, infinies dans le temps et l'espace. Elle est caractérisée par sa fréquence temporelle f,sa longueur d'onde λ (i.e., période spatiale) et sa phase φ en un point origine et à un instantinitial. Sa phase se déplace à une vitesse de phase v = λ.f. Son écriture mathématique est :D - = D - o.cos(ω.t-k.x+φ) = D - o.cos(2π.f.t- 2πxλ +φ) = D- o.cos[2π.f.(t- x v )+φ] ⇔ D- = D - o.{exp[j(2π.f.t- 2πxλ +φ)]}D o : amplitude du champ déplacement D - . L'orientation de D - indique la polarisation de l'onde.2πω : fréquence angulaire ou pulsation, avec ω = 2πf. La période de l'onde est T =ω .k = 2π λ : nombre d'onde k- = 2π λ .ū est le vecteur d'onde. λ décroît avec f, car λ = v f = v.T.ωt - kx + φ : phase de l'onde à l'instant t et au lieu x..D - Champ déplacementk -B -Champ induction magnétiqueLongueur d'onde λ (période spatiale)Direction depropagationFréquence f (nbre de cycles/s)Figure 18 : Propagation d'une onde plane de polarisation rectiligne.La longueur d'onde λ et la vitesse v, contrairement à la fréquence, dépendent des propriétésélectriques du milieu de propagation, et donc de son indice de réfraction

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 20vitesse c dans le viden =vitesse v dans le milieu = λ vide(e.g., n(vide) = 1, n(paroi cellulaire hydratée) ≈ 1.4 etλ milieun(eau) ≈ 1.33). La propagation d'une onde est rectiligne dans les milieux homogènes (i.e., nconstant) et non rectiligne dans les milieux hétérogènes (i.e., n variable).Un rayonnement ne peut durer qu'un temps fini et ne peut être totalement monochromatique.Sa représentation mathématique est donc la superposition d'un grand nombre d'ondesmonochromatiques avec des fréquences distribuées sur un intervalle ∆f. On parle alors devibration ou de train d'ondes. L'intervalle ∆f est d'autant plus petit que le rayonnementressemble à une onde monochromatique.III.2 Sources de rayonnement électromagnétiqueUne source peut être naturelle ou artificielle, et ponctuelle ou étendue.• Sources naturelles : elles génèrent un rayonnement par émission thermique (e.g., soleil,Terre) et/ou par diffusion de rayonnement issu d'autres sources (e.g., Terre).• Sources artificielles : un intérêt majeur de ces sources (e.g., radars, lasers, fours microonde) est de pouvoir émettre un rayonnement avec des caractéristiques (fréquence,amplitude, direction, polarisation, phase) bien définies.Près d'une source ponctuelle et isotrope le rayonnement émis est composé d’ondessphériques, c'est à dire d'ondes identiques sur la surface de sphères centrées sur la source derayonnement. La surface de phase constante d'une onde sphérique est donc une sphèrecentrée sur la source de rayonnement. Par contre, loin de toute source, le rayonnement tend àêtre composé d'ondes planes.Les champs D - et B - forment avec ū un trièdre direct : D - = v.ε.B - Λ ū, où v est la vitesse depropagation selon ū et ε une caractéristique électrique (permittivité) du milieu depropagation. D - et B - sont donc normaux à la vitesse v - de propagation. La puissanceélectromagnétique instantanée est v ε .|D- | 2 . Dans le vide, v = c ≈ 3.10 8 m.s -1 .III.3 Le spectre électromagnétiqueLes sources naturelles ne sont en général pas des sources quasi-monochromatiques. Ainsi, lesoleil émet par émission thermique un rayonnement, dit "rayonnement solaire", qui est lasuperposition d'ondes électromagnétiques dont les fréquences couvrent un très largedomaine. L'ensemble de ces ondes constitue le spectre électromagnétique du rayonnementsolaire. La Figure 19 illustre la décomposition du rayonnement solaire selon sescomposantes spectrales (ondes "monochromatiques"). Seules les composantes dans ledomaine du visible sont représentées. Les principaux domaines spectraux utilisés entélédétection sont le visible, le proche infrarouge, le moyen infrarouge, l'infrarougethermique et les hyperfréquences (Table 1).En fait, l'être humain ne perçoit qu'une petite fraction du spectre du rayonnement solaire.Nos yeux constituent un système optique dans lequel le cristallin est une lentille de focalevariable, la pupille un diaphragme automatique et la rétine un plan image. La rétinecomprend deux types de photorécepteurs qui ne sont sensibles qu'au domaine spectral duvisible, i.e. de 380 nm à 780 nm. Ces photorécepteurs sont:

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 21- bâtonnets. Ce sont des photorécepteurs panchromatiques qui donnent une seule réponsepour tout le visible. Leur sensibilité spectrale varie peu avec la longueur d'onde. Leurdimension est ≈2.5-3 µm et leur distance mutuelle est ≈10-20 µm.- cônes. Ils permettent la vision des couleurs. En effet, il existe trois types de cônesrespectivement sensibles à des domaines spectraux centrés sur le bleu, le vert et le jaunevert(Figure 20). Par rapport aux bâtonnets, leur sensibilité radiométrique est moindre, ilspermettent une meilleure résolution spatiale, ils sont plus petits (≈ 1-2 µm), ils sont plusserrés (≈ 2.5-10 µm), ils sont concentrés autour de la fovéa et ils sont moins nombreux (≈ 6-7 millions de cônes pour ≈ 120 millions de bâtonnets).UltravioletVioletBleuVertJauneOrangeRougePrismeDispersionInfrarougeFigure 19 : Décomposition spectrale du rayonnement solaire.Domaine spectral λ f CapteursRadio LF MF HF VHF UHF 3 km - 3 m 100 kHz - 100 MHz non utiliséMicro-ondesP 136 cm - 100 cm 221 MHz - 300 MHzUHFLSCXK100 cm - 30 cm30 cm - 15 cm15 cm - 7.5 cm7.5 cm - 3.75 cm3.75 cm - 2.4 cm2.4 cm - 0.75 cm300MHz - 1 GHz1 GHz - 2 GHz2 GHz - 4 GHz4 GHz - 8 GHz8 GHz - 12.5 GHz12.5 GHz - 40 GHzRadars (SAR,SLAR,diffusiomètres),Radiomètres.InfrarougeVisibleLointainThermiqueMoyenProcheRougeJaune VertViolet0.75 cm - 15 µm15 µm - 3 µm2.5 µm - 1.4 µm1.4 µm - 0.7 µm700 nm550 nm400 nm40 GHz - 2.10 4 GHz2.10 4 GHz - 10 5 GHz1.2 10 5 GHz - 2.1 10 5 GHz2.1 10 5 GHz - 4.3 10 5 GHz4.29 10 5 GHz5.45 10 5 GHz7.5 10 5 GHzRadiomètresoptiques IRRadiomètresoptiques VISUltraviolet 400 nm - 290 nm 7.5 10 5 GHz - 10 6 GHz peu utiliséRayons X 290 nm - 0.3 A 10 6 GHz - 10 10 GHz non utiliséRayons gamma 0.3 A - 0.03 A 10 10 GHz - 10 11 GHz non utiliséTable 1: Domaines du spectre électromagnétique et types de capteurs de télédétection.1 m = 10 6 µm = 10 9 nm = 10 10 A ; 1 GHz = 10 3 MHz = 10 6 kHz = 10 9 Hz. λ = c/f.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 22100806040200Cône bleu:0.43µmCône vert:0.555µmAbsorption relativeSensibilité relativeCône jaune-vert:0.585µm0.38 0.5 0.6 0.7µm0.78µmFigure 20: Caractéristiques spectrales descônes de la rétine humaine.L'intensité lumineuse spectrale effectivementcaptée par l'œil est absorbée par les pigmentsdes 3 types de cônes présents. Les courbes entrait plein représentent l'absorption relativeassociée. La couleur perçue est due à l'énergiespectrale absorbée mais aussi à la sensibilitérelative des types de cônes (courbes enpointillé). La sensibilité totale est souventnotée K.S(λ) avec S(λ) la sensibilité relative.III.4 Interactions "Rayonnement - Matière"Tout rayonnement qui se propage ou qui est incident sur un milieu réagit avec celui-ci. Lesmécanismes d'interaction dépendent à la fois du rayonnement (e.g. fréquence, polarisation)et du milieu (propriétés électromagnétiques et géométriques). Toute interaction correspond àune interception de rayonnement, sachant que le rayonnement intercepté est diffusé et/ouabsorbé. Les interactions diffèrent selon le milieu. Il est généralement considéré :- interaction de volume: propagation de rayonnement dans un fluide (Figure 21), etc.- interaction de surface: rayonnement incident sur un solide semi-opaque (Figure 27), etc.• FluideTout rayonnement de densité de flux E (W.m -2 ) incident sur un fluide est plus ou moinsintercepté (i.e., absorption et diffusion). Si l'on néglige les diffusions multiples,l'interception, l'absorption et la diffusion peuvent être représentées avec des coefficientségaux à la densité volumique de section efficace du fluide vis à vis des phénomènesd'interception, d'absorption et de diffusion. Leur unité est donc (m -1 : m 2 .m -3 ). Ce sont lescoefficients d'extinction α e , d'extinction pour l'absorption α a et d'extinction pour ladiffusion α d . Ces coefficients dépendent en général de la direction incidente Ω, avec enplus la direction de diffusion Ω d pour α d . D'un point de vue microscopique, les mécanismesd'absorption et de diffusion sont dus à l'interaction des champs électriques et magnétiquesdu rayonnement avec les charges électriques du milieu.Diffusion: E.α d .dr Interception: E.α e .dr ≈ E.[1-e -αe .dr ]Absorption: E.α a .drEE.(1-α e .dr) ≈ E.e -αe .drdrFigure 21: Absorption, diffusion et transmission d'un flux E par un gaz sur un trajet dr.- Diffusion : l'intensité diffusée est α d .E.dr, où α d est le coefficient de diffusion. Lavariation spectrale de α d est continue, avec une variation qui dépend du milieu. Ladiffusion est dite élastique si l'onde diffusée a la même longueur d'onde que l'ondeinterceptée. Même si l'absorption est nulle, la diffusion atténue le flux incident, car elleredistribue dans l'espace 4π tout ou partie du flux intercepté. Les gaz ont une diffusionbeaucoup plus isotrope que les aérosols.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 23- Absorption : l'intensité absorbée est α a .E.dr, où α a est le coefficient d'absorption.Contrairement à α d , la variation spectrale de α a est discontinue si le fluide a des raiesd'absorption (i.e., α e (λ) très élevé). L'absorption contribue au chauffage du milieu, et parsuite à son émission thermique. Un milieu absorbant est dit dissipatif.- Emission thermique : l'énergie absorbée α a .E.dr augmente l'énergie interne du fluide. Sicelui-ci est à l'équilibre thermodynamique avec son rayonnement, il émet unrayonnement, dit thermique, égal à α a .E.dr sur un domaine spectral étendu qui diffère engénéral de celui du rayonnement incident. En fait, cette émission ne peut survenir qu'auxaux longueurs d'onde λ' où le gaz est susceptible d'absorber (i.e., α a (λ') ≠ 0).Un corps noir est un milieu qui à toute longueur d'onde absorbe tout rayonnement qu'ilintercepte : α a (λ) = α e (λ). Il émet donc en tant que rayonnement thermique toute l'énergiequ'il intercepte, mais en général pas à la même longueur d'onde. A l'équilibrethermodynamique, le rayonnement thermique ne dépend que de l'énergie interne (i.e.,température) du corps noir. La loi de Planck le représente analytiquement (Figure 22). Lesoleil rayonne presque comme un corps noir de température ≈ 6000 K (Figure 23).Longueur d'onde (µm)Figure 22: Emission du corps noir à 5450°C et 3450°C. La longueur d'onde dumaximum d'émission croît avec la température (loi de Wien).E λ(kW .m -2 .µm -1 )E clairem ent spectral solaire au-dessus de l'atm osph ère2.0E clairem en t spectral solaire au niveau de la m er (soleil au zénith)C ou rbe du corps n oir à 5 900 K1.5O 3H2 OO 2Absorption gazeuseD iffusion (gaz + aérosols)1.0H 2 O0.5H 2 O , C O 2Adapté deValley (1965).O 3H 2 O , C O 2H 2 O , C O 20.00.0 0.2 0.4 0 .6 0 .8 1.0 1.2 1.4 1 .6 1.8 2.0 2.2 2 .4 2.6 2.8 3 µmFigure 23 : Eclairement solaire spectral en haut et en bas de l'atmosphère.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 24En fait, les corps naturels ne sont pas des corps noirs. Ils diffusent une part durayonnement intercepté : α d ≠ 0, car α a (λ) < α e (λ). Ils peuvent cependant se comportercomme des corps noirs (i.e., α a (λ) ≈ α e (λ)) à certaines fréquences. Leur émissionthermique est exprimée comme l'émission thermique du corps noir (i.e., loi de Planck) demême température, multipliée par un coefficient appelé "émissivité ε" égal à α a(λ)α e (λ) .L'interception est la somme de l'absorption et de la diffusion. L'intensité interceptée estdE = -α e .E.dr, où α e = α a + α d est le coefficient d'interception. La loi de Beer Lambertdonne le flux transmis E.e -∆τ sans interception par le fluide après un trajet ∆r, où∆τ = ⌡ ⌠α e (r).dr est l'épaisseur optique du milieu le long de ∆r. En fait, le flux transmis est∆rsupérieur, car le rayonnement intercepté est en partie diffusé selon la direction incidente.• Atmosphère terrestreDans l'atmosphère terrestre, l'absorption et l’émission sont surtout dues aux gaz alors quela diffusion est due aux gaz et aérosols, dans une proportion qui dépend du domainespectral. Les gaz ont beaucoup de raies d'absorption qui dans certains domaines spectraux,sont assez proches pour former des bandes d'absorption plus ou moins larges (e.g.,quelques nanomètres à beaucoup plus). Du fait de cette absorption, l’atmosphère peut doncbeaucoup perturber l'observation spatiale de la Terre. Ceci explique l’emploi de capteursqui opèrent dans des domaines spectraux, appelés "fenêtres atmosphériques" (Figure 24),où l'atmosphère a peu ou pas de bandes d'absorption.Ultra violetVisibleInfrarougeRéflectance : Terre + AtmosphèreEmission Thermique : Terre + Atmosphère100%O 3H 2OH 2OCO 2H 2OH 2 O O 3CO 2CO 2N 2O00.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 10 15 20 30µ mInfrarouge M icro-Ondes Radio100%Emission Thermique : Terre + AtmosphèreH 2 O0500 µ m 0.1cm 0.5 cm 1.0 cm 5.0 cm 10 cm 50 cmKaXLLongueur d'ondeFigure 24: Transmittance spectrale atmosphérique et principaux gaz absorbants.Les principales fenêtres atmosphériques utiles en télédétection sont :- Visible [0.4 - 0.7µm] et très proche infrarouge (PIR) [0,7 - 1,1µm].- Proche infrarouge [1,1 - 3µm], sous réserve d'une faible teneur en vapeur d'eau.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 25- Infrarouge thermique [3-5µm], [8-9,5µm] et [10,5 - 13,5µm].- Micro-ondes, de 1cm à 1m.Elles dépendent des principaux gaz absorbants de l'atmosphère. Ainsi, de 0,3 à 20µm :- Vapeur d'eau (H 2 O) : elle est surtout près du sol et ne doit pas être confondue avec lesmasses condensées des nuages et brumes. Elle représente l'absorbant principal au delàde 0,7µm, ne laissant que quelques fenêtres, c'est à dire des intervalles spectraux sansabsorption atmosphérique (e.g., intervalles autour de 1,06µm, 1,22µm, 1,6µm, 2,2µm).- Gaz carbonique (CO 2 ) : bandes d'absorption dans le PIR. Arrête tout l'infrarouge > 14µm.- Ozone (O 3 ) : dans la haute atmosphère, il absorbe beaucoup l'ultraviolet (

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 26L'analyse des mesures spatiales du rayonnement infrarouge thermique issu des surfacesterrestres est compliquée par le fait que l'émissivité des "objets" observés est en généralinconnue. En fait, toute mesure L(λ,Ω,T) ne fournit que la température de brillance "T B .C'est la température du corps noir qui, mis à la place de "l'objet" observé, fournirait la mêmemesure : L(λ,Ω,T) = L B (λ,T B ). Le terme T B dépend donc de la longueur d'onde λ, de ladirection d'observation ainsi que de la température T et de l'émissivité ε de l'ensemble"atmosphère - terre". L'emploi de quantités T et ε intégrées sur l'ensemble du spectre et surl'ensemble des directions d'observation conduit à : T B = ε 1/4 .TDiffusion atmosphérique. Le coefficient α d (λ) dépend du rapport "taille des particulesdiffusantes / longueur d'onde". Il dépend donc du domaine spectral. Dans le visible, ladiffusion gazeuse est surtout due aux gaz O 2 et N 2 , et α d (λ) décroît comme λ -4 . C'est ladiffusion Rayleigh. L'atmosphère diffuse donc beaucoup plus dans le bleu (400 - 450 nm) quedans le rouge (650 - 700 nm). Ceci explique la couleur bleue du ciel (Figure 26), la couleurrouge du ciel lors de couchers de soleil, et la plus grande netteté des ombres dans le procheinfrarouge. Pour λ > 1µm la diffusion de Rayleigh est souvent négligée. Pour des particules(e.g., aérosols dans le visible) de dimension similaire à λ, la diffusion est dite de Mie, avecα d (λ) ≡ λ -n . Dans le visible, n ≈ 0.5-2 pour les aérosols. La diffusion de Mie est trèsanisotrope. La diffusion est dite non sélective (i.e., spectralement constante) si les particulesont une taille supérieure à la longueur d'onde. Ainsi, dans le visible, la diffusion desgouttelettes d'eau des nuages explique leur couleur blanche. Dans les micro-ondes, lesgouttelettes d'eau sont les principaux éléments diffusants.rougeGaz atmosphériques(A) : surtoutdu rougebleuFigure 26 : Diffusion atmosphérique : le bleu est plus diffusé que le rouge.En l'absence d'atmosphère l'observateur (B) perçoit du "noir" et (A) le "jaune" du soleil.En présence d'atmosphère (B) perçoit la couleur bleue, et (A) la couleur rouge.• Milieu solide opaque et semi-opaque(B) : surtout du bleuL'interaction d'un rayonnement d'intensité E (W.m -2 ) incident sur un milieu solide (Figure27) semi-opaque est en général représentée avec des termes "macroscopiques" appeléscoefficients de réflectance R, de transmittance T et d'absorption A et non avec les termesα a (λ), α d (λ) et α e (λ), plutôt utilisés pour représenter le transfert radiatif dans le milieu. R, Tet A dépendent des caractéristiques électriques (n) et géométriques (rugosité,...) du milieu.Comme α e , α a et α d , ils dépendent en général de la longueur d'onde et des directions depropagation du rayonnement. Ils peuvent se déduire des équations de continuité deschamps électromagnétiques à l'interface du milieu (équations de Fresnel). Le rayonnementabsorbé est A.E, le rayonnement transmis est T.E et le rayonnement diffusé est R.E, et lerayonnement intercepté est E (contrairement au cas d'un milieu gazeux). La conservation del'énergie implique l'égalité : R + T + A = 1. Un corps opaque a une transmittance T nulle, etdonc une absorptance A = 1 - R et une émissivité ε = 1 - R (loi de Kirchoff). Le rayonnementdiffusé a 2 composantes : diffusion de surface et diffusion de volume. Il est souventconsidéré être la somme d'un rayonnement réfléchi de manière spéculaire (i.e. réflexion deFresnel avec égalité des angles de réflexion et d’incidence), surtout du à la diffusion desurface et d'un rayonnement réfléchi de manière diffuse (selon des directions quelconques).

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 27SourceEAbsorptionTransmission(diffuse + spéculaire)Réflexion (diffus + spéculaire)iA.ΕrT.ΕR.ΕR + T + A = 1Figure 27:Absorption, réflexion ettransmission d'un rayonnementE avec un solide.Comme l’atmosphère, les matériaux présentent une absorption spectrale. Du fait de leurbeaucoup plus grande compacité, ils ont en général des bandes d’absorption plutôt larges etnon des raies d’absorption. Dans l'infrarouge thermique, cas bandes sont surtout dues à desmécanismes moléculaires de vibration, surtout aux modes fondamentaux de vibration,modulés par des mécanismes de rotation moléculaire. Ainsi, les principales caractéristiquesspectrales des carbonates (e.g. calcaire) sont dues aux vibrations du groupe CO 2 -3 : étirementasymétrique près de 7µm, et torsions planes près de 11.5µm et de 14.5µm. La largeur de labande à 7µm peut atteindre 1µm. La signature spectrale de tout matériau dépend en généralde son émissivité ε(λ), du fait de son émission thermique, et de sa réflectance spectrale ρ(λ)s'il existe une autre source de rayonnement thermique comme l'atmosphère. Pourquoi est-il souvent erroné d'appeler albédo une mesure de réflectance ? Quelles variables devraient apparaître dans les équations "R + T + A = 1", "ε = 1 - R", etc.• Profondeur de pénétrationUn rayon incident sur un milieu est pour partie réfléchi de manière spéculaire par la surfacedu milieu, et pour partie transmis dans le milieu. Après un trajet ∆r dans un milieu decoefficient d'extinction α e , le rayon transmis est atténué du facteur exp[-Im(α e ).∆r], oùIm[α e ] est la partie complexe de son coefficient d'extinction α e . Le rayon pénètre d'autantplus le milieu que Im[α e ] est faible (i.e., faible indice de réfraction complexe n i , car4π.n i1 λ oIm[α e ] = ). On appelle profondeur de pénétration le trajet ∆r = = pour lequelλ o α e 4π.n il'intensité d'une onde décroît d'un facteur e. Ceci est illustré ici (Figure 28) avec le cas d'unréflecteur parfait (albédo ρ = 100%) sous une couche d'eau. Ce réflecteur n'affecte pas lamesure dans le PIR, car pour l'eau Im[α e (PIR)] est très fort. Par contre, il affecte la mesuredans le visible, car Im[α e (VIS)] est relativement faible. En fait, pour l'eau Im[α e ] est trèsélevé sur tout le spectre, avec un minimum dans le visible (Figure 29). L'albédo dediffusion de l'eau étant toujours très faible, une forte épaisseur d'eau absorbe donc la quasitotalité de tout rayonnement incident qui n'a pas été réfléchi de manière spéculaire.Plaque blancheEauProfondeur 0.5 - 0.6 µm 0.6 - 0.7 µm 0.7 - 0.8 µm 0.8 - 1.1 µm1 m ρ = 92% ρ = 55% ρ = 9% ρ = 0.2%5 m ρ = 67% ρ = 5% ρ = 0% ρ = 0%α e (m -1 ) 0.04 0.30 1.2 3.1Figure 28: Réflectance non spéculaire de "surface d'eau sur réflecteur parfait (ρ=100%)".La 4 ème ligne donne le coefficient d'extinction de l'eau (non pure).

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 28 Comment voit-on que la réflexion spéculaire est négligée dans le tableau de la Figure 29 ?10 510 4Coefficient d'extinction (m -1 )0.0080.007Coefficient d'extinction (m -1 )10 30.00610 2Eau de mer0.005Eau côtière100.00410.003Eau océanique0.10.01Visible0.0020.001Eau distillée0.0010.1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10 11µm00.4 0.5 0.6 0.7µmFigure 29: Coefficient d'extinction/absorption (m -1 ) du rayonnement diffus.a) Eau de mer (0.1 → 10 11 µm). b) Eau distillée/mer/côtes (0.3 → 0.7 µm). Adapté de Szekielda (1988).Exercice : remplir le tableau suivant, sachant que l'angle zénithal solaire vaut 60°.Profondeur 0.5 - 0.6 µm 0.6 - 0.7 µm 0.7 - 0.8 µm 0.8 - 1.1 µmθ s =60°Plaque blancheEau1m ρ= % ρ= % ρ= % ρ= %5m ρ= % ρ= % ρ= % ρ= %Plusieurs phénomènes radiatifs majeurs sont indiqués ci-dessous.• DispersionUn milieu est dit dispersif si son indice de réfraction varie avec la fréquence. L'interactiond'un milieu dispersif avec une onde dépend donc de la fréquence de cette onde. Ainsi, lavitesse de propagation de l’onde dépend de sa fréquence. De plus, un rayonnement quasimonochromatique (i.e., ondes monochromatiques de fréquences très proches) qui sepropage dans un milieu dispersif devient donc de moins en moins monochromatique durantson trajet. Ceci induit des d'aberrations chromatiques dans les systèmes optiques.• PolarisationLa polarisation est indiquée par la direction de D - . Une onde peut être totalement,partiellement ou pas du tout polarisée). On distingue 3 types de polarisation :- Polarisation elliptique : le champ D - décrit une ellipse,- Polarisation circulaire : le champ D - décrit un cercle,- Polarisation rectiligne : la direction du champ D - est constante. C'est le cas des ondesmonochromatiques. La polarisation est dite horizontale si D - est normal au pland’incidence (i.e., plan défini par la direction de propagation et la verticale locale). Elle estdite verticale si D - est dans le plan d'incidence.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 29Un milieu affecte plus ou moins la polarisation d'une onde selon ses proprescaractéristiques (e.g., densité pour un gaz et rugosité pour un milieu solide).L'émission thermique des milieux naturels est souvent peu ou pas polarisée. Par contre, dessources artificielles comme les radars sont conçues pour émettre un rayonnement polarisé.Lors de son interaction avec un milieu, une onde non polarisée peut devenir plus ou moinspolarisée. Ceci survient lors de la diffusion du rayonnement solaire par les surfacesterrestres ou par les aérosols et les gaz atmosphériques. Ainsi, un rayonnement non polariséincident sur un lac avec un angle d’incidence proche de l'angle de Brewster (e.g., θ B = 42° sin = 1.5, et θ B = 46° si n = 1.4), donne un rayonnement réfléchi avec une très fortepolarisation horizontale. En général, la mesure du degré de polarisation d’un rayonnementrenseigne sur les caractéristiques électriques et géométriques des milieux avec lesquels cerayonnement a interagi. Ainsi, des objets verticaux (e.g., troncs d'arbres) interagissent plusavec les ondes hyperfréquence de polarisation verticale qu'avec les ondes hyperfréquence depolarisation horizontale. Ces remarques expliquent l'intérêt des capteurs de télédétectionqui mesurent la polarisation du rayonnement.• InterférenceLe phénomène d'interférence survient s'il a superposition d'ondes cohérentes de mêmefréquence. Les ondes peuvent alors se renforcer ou se détruire mutuellement. Uneconséquence importante de l'interférence est qu'une surface homogène peut engendrer unediffusion dont la distribution spatiale est hétérogène. Par suite, son image peut êtrehétérogène. L'interférence est illustrée ici avec le cas des filtres interférentiels (Figure 30).λ2λ2λ2Figure 30 : Filtre interférentiel demi-longueur d’onde.Un filtre interférentiel est une lame de verre plane d'épaisseur ∆r avec des faces internestrès réfléchissantes. Il transmet les ondes dans un domaine spectral très étroit. En effet,pour un rayon incident normal, les réflexions successives sur les 2 faces internes de la lamede verre ne sont donc en phase que si λ = 2.∆r, vu que leur déphasage est ≈ 2π .2∆r. Parλsuite, l'amplitude de l'onde n'est pas réduite et la transmittance est donc forte.• DiffractionLa diffraction explique qu'un faisceau de rayons parallèles devient moins directionnel s'iltraverse une ouverture de dimension finie. Elle survient dans tout système optique du faitde la présence de lentilles et de diaphragmes. Par suite, la focalisation de rayons parallèlesne donne pas un point image infinitésimal mais une tâche circulaire lumineuse entourée de

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 30cercles noirs concentriques. Pour un système optique (Figure 31) doté d'une pupille desortie de rayon a avec une focale f, le rayon du premier cercle noir est : ≈ 1.22 λ.fa .La tâche de diffraction explique qu'en deçà d'une distance minimale sensiblement égale aurayon de la tâche de diffraction, 2 points du plan image ne sont pas discernables : des objetstrop rapprochés ne sont pas discernables. La diffraction limite donc la résolution descapteurs, et ce d'autant plus que la longueur d'onde est grande. Ainsi, la tache de diffractionest 20 fois supérieure dans l’IRT (λ ≈ 10 µm) que dans le vert (λ ≈ 0.5 µm).SourceponctuelleLentilleOuverture aLentillePlan imageOndes sphériquesOndes planesOndes planesdiffractées ⇒infinité d'ondes sphériquesTache dediffractionDiamètre dela tache dediffraction(2 x 1.22 λ.fa )Figure 31: Diffraction de rayonnement issu d'une source ponctuelle quasi-monochromatique.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 31IVGRANDEURS PHOTOMETRIQUESLa conception des capteurs et l'interprétation des mesures spatiales requièrent en général lamanipulation de grandeurs physiques qui caractérisent le rayonnement et les propriétésspectrales (réflectance, transmittance, etc.) des milieux observés.IV.1 RayonnementL'énergie transportée par une onde monochromatique est proportionnelle au carré de sonamplitude. La mesure de cette énergie s'appuie souvent sur 2 types de grandeurs, ditesphotométriques, plus facilement mesurables que l'amplitude de l'onde :- grandeurs énergétiques, dites aussi radiométriques. Elles sont définies indépendamment ducapteur (matrice CCD, œil humain, film photographique, etc.).- grandeurs visuelles. Elles caractérisent la sensation lumineuse perçue par l'œil.• Energie Rayonnante (Joules) : QC'est l'énergie émise, transportée ou reçue sous forme de rayonnement durant un temps ∆t.• Densité d'énergie radiative u(r) (J.m -3 )L'énergie rayonnante dans un élément de volume dV en un lieu r est dQ = u(r).dV. La densité∂u(r)d'énergie rayonnante par unité d'angle solide est notée u(r,Ω) =∂Ω(J.m-3 .sr -1 ). Par suite,l'énergie rayonnante selon (Ω, dΩ) dans dV est dQ(Ω, dΩ) = u(r,Ω).dV.dΩ.dQ• Flux Energétique (Watts) : Φ =dtΦ est le flux d'énergie rayonnante par seconde. Cette puissance est proportionnelle au carréde l'amplitude de l'onde pour une onde monochromatique. En fait, toute vibration s'étendantsur un domaine spectral ∆λ non infiniment petit, Φ est défini par sa densité spectrale dedΦpuissance Φ λ =dλ , avec Φ = ⌡ ⌠ Φ λ .dλ. Le soleil émet Φ = 3.9 10 26 W.∆λLes grandeurs visuelles associées à Φ et à Φ λ sont les flux lumineux F et F λ . Ils quantifientla puissance radiométrique effective sur l'œil humain, compte tenu de la sensibilité spectralede l'œil K.S(λ), avec K = 685 lm.W -1 et S(555 nm) = 1 (Figure 20) :F λ = K.Φ λ .S(λ) et F = K. ⌡ ⌠ Φ λ .S(λ).dλ (lumen : lm)380Fdépend du domaine spectral. F = 685 lm si Φ = 1W avec λ = 550 nm, car S(0.55 µm) = 1.Φ• Densité de Flux Energétique (W.m -2 ) : dΦdSC'est une densité énergétique par unité de surface dS. Elle est appelée "éclairement E" de dSsi la radiation est incidente sur dS et "exitance M" de dS si elle provient de dS.Eclairement solaire d'une surface : E s .|cosθ s |, où θ s est l'angle "direction solaire - normale à3.9 10 26la surface" et où E s est la constante solaire. E s =4π.(7.10 8 ) 2 = 6.34 10 7 W.m -2 au niveau durayon solaire visible (7.10 8 m) et E s = 1370 W.m -2 au niveau de la Terre (150 10 6 km).780

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 32Exitance planétaire : M = M diffusion + M thermique = A. E s4 + B.σ.T4 , où A ≈ 30% et T sont l'albédoet la température planétaires. Avec l'approximation {B = (1-A)}, l'équilibre radiatif (i.e.,M =E s4 ) implique : σ.T4 =E s4 . Par suite : (1-A).σ.T4 = 240 W.m -2 et T ≈ 255K.La grandeur visuelle associée à dΦ dFestdS dS . Son unité est le lux (lm.m-2 ).• Intensité Energétique (W.sr -1 dΦ) : I(θ,φ) =dΩLa distribution directionnelle du rayonnement réfléchi ouémis est souvent anisotrope. Elle est représentée parl'intensité énergétique (flux énergétique par unité d'anglesolide selon une direction donnée). Ici, toute direction estnotée Ω et est repérée par les angles zénithal θ etazimutal φ du système d'Euler (θ∈[0 π], φ∈[0 2π]). AvecdS la surface de la sphère de rayon r couverte par dΩ,l'angle solide (Ω, dΩ) centré sur Ω (θ,φ) (Figure 32) est2ππ/2dSdΩ = sinθ.dθ.dφ =r 2 , où ⌡ ⌠ dφ. ⌡ ⌠ Figure 32sinθ.dθ = 2π.Angles zénithal θ et azimutal φ.0 0La grandeur visuelle équivalente à I est l'intensité visuelle dF . Son unité est le candéladΩ(cd). C'est l'intensité d'une bougie à 555 nm. On a 1 W.sr -1 ≈ 685 cd.xzdΣθrφ(Ω,dΩ)• Luminance Energétique (W.m -2 .sr -1 d 2 Φ) : L Σ (θ,φ) =dΩ.dΣ appLa luminance L Σ (Ω) est le flux énergétique par unité d'angle solide (dΩ) et de surfaceapparente dΣ app selon la direction (Ω). La surface apparente dΣ app d'une surface dΣ est laprojection de dΣ dans le plan normal à (Ω). On a : dΣ app = dΣ.|Ω - .Ω - n|, où (Ω - n) est le vecteurunité normal à la surface dΣ. Par suite : dΣ app = dΣ.cosθ, où θ est l'angle entre (Ω) et (Ω - n).Selon les cas, dΣ est une surface qui intercepte, émet ou diffuse.Une source est dite homogène si sa luminance est constante en tout point. Elle est diteisotrope si sa luminance ne dépend pas de la direction (Ω) selon laquelle elle diffuse ouémet le rayonnement. Une surface solide isotrope est dite lambertienne. On a alors :M Σ = π.L Σ car M Σ = ⌡⌠ L Σ (Ω).|Ω - .Ω - n|.dΩ = L Σ (Ω).⌡⌠ |Ω - .Ω - n|.dΩ = π.L Σ2πDe même, l'éclairement E Σ d'une surface Σ du à un éclairage L(Ω) isotrope est E Σ = π.LAlors que l'éclairement et l'intensité dus à une source ponctuelle varient en r -2 par rapport àcelle-ci, la luminance se propage sans atténuation dans le vide. Ceci est illustré ici avec lecas d'un capteur qui vise selon la direction (Ω c ) une surface dΣ de luminance L Σ (Figure33). L'optique a une pupille d'entrée de surface dS c et un demi angle d'ouverture α c Lasurface dΣ "voit" dS c selon l'angle solide dω. L'angle solide de l'ouverture du capteur est :2π α c∆Ω c = ⌡ ⌠dφ.⌡ ⌠ sinθ.dθ = 2π.(1-cosα c ) ≈ π.α 2 c si α c

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 33Pupille d'entrée dScdΣθdωdΩcPlan imageθcRayons terrestresαdθdPupille de sortie(focale f, diamètre D)2 α cAltitude du capteurPointimage dSdFigure 33: Conservation de la luminance dans le vide.dΣ envoie sur le capteur : Φ c = E.dS c = L Σ .dω.cosθ.dΣoù θ = angle entre (Ω c ) et normale locale à dΣ.dΣ.cosθ.dω = dΩ c .dS c .cosθ c ⇒ Φ c = L Σ .dΩ c .dS c .cosθ coù θ c = angle entre (Ω c ) et l'axe optique du capteur.En fait, le capteur mesure Φ c = L Σ'.dΩ c .dS c .cosθ coù L Σ' = luminance due à dΣ au niveau de dS c .⇒ La luminance se conserve dans le vide : L Σ = L Σ 'Pour une surface Σ composée de petits paysages deluminance L(r,Ω) et de taille < aire ∆x.∆y des pixels:Φ c ≈ dω. ⌡ ⌠ L(x,y,Ω).cosθ.dx.dy = dS c . ⌡ ⌠ L(x,y,Ω c ).cosθ c .dΩ c∆Ω c∆x,∆yDémonstration : L d = L Σ .dω.dΣ.cosθ est l'étendue géométrique du pinceau sous lequel dΣ voit dS c . De même, si dΩ d estl'angle solide sous lequel un élément dS d du plan image voit la pupille de sortie et θ d l'angle quirepère tout pixel (surface dS d ) du plan image, dΩ d .dS d .cosθ d est l'étendue géométrique dupinceau sous lequel dS d voit la pupille de sortie. Supposons vérifiée l'approximation usuelle dessinus d'Abbe "dΣ.cosθ.sin 2 α Σ = dS d .cosθ d .sin 2 α d , où α Σ et α d sont les demi angles sous lesquelsles pupilles d'entrée et de sortie sont respectivement vues par dΣ et dS d . Vu que dω ≈ 2π.(1-cosα Σ ) ≈ π.sinα 2 Σ et dΩ d ≈ 2π.(1-cosα d ) ≈ π.sinα 2 d, on a "dω.dΣ.cosθ = dΩ d .dS d .cosθ d " : un systèmeoptique conserve l'étendue géométrique. Vu que l'énergie est conservée (i.e., Φ c = Φ d ) laluminance L d incidente sur dS d est donc égale à la luminance L Σ issue de dΣ. Avec une optique de pupille de sortie de focale f et de diamètre D : Φ d π.D 2 .cos 4 θ d=L Σ 4.f 2 .dS d Pourquoi en haut de l'atmosphère (Figure 7), la Terre diffuse (≈14W/m 2 ) moins qu'elleémet ≈21W/m 2 , alors que la luminance spectrale (Figure 80) "visible" (≈ 50W/m 2 /sr/µm)est très supérieure à la luminance "infrarouge thermique" à ≈ 10µm (≈ 5W.m -2 .sr -1 .µm -1 ).La quantité lumineuse associée à la luminance énergétique est la luminance lumineuse(cd.m -2 ). L'œil distingue une large gamme de luminances : 3 10 -6 à 3 10 5 cd.m -2 (limited'éblouissement). La luminance d'un écran vidéo est en général ≈ 10-10 3 cd.m -2 .• 3 ers moments de la luminance : à l'ordre n (n) = 14π . ⌡⌠ L(r,Ω).cos n θ.dθ où n ∈ [1 3]4π- Luminance moyenne (W.m -2 .sr -1 ) : 4π = 14π . ⌡⌠ L(r,Ω).dΩ = (0)4πA l'équilibre radiatif, l'énergie L(r,Ω).dS.dΩ.dt qui traverse selon (Ω) pendant un temps dt unesurface dS normale à (Ω) est égale à l'énergie u(r,Ω).dΩ.dV du volume dV = c.dt.dS, où c est laL(r,Ω)vitesse de l'onde. Par suite : u(r,Ω) =c(J.m -3 .sr -1 ), si bien que :

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 34u(r) = ⌡⌠ u(r,Ω).dΩ = ⎮ ⌠ L(r,Ω).dΩ = 4π ⌡ c c . 4π = 4π c . (0) (J.m-3 )4π4π- Eclairement net (W.m -2 ) : E(r) = ⌡⌠ L(r,Ω).cosθ.dΩ = 4π. (1)4πL'éclairement net, du à un rayonnement isotrope sur 4π, est nul : E = 0.- Densité volumique d'énergie selon Oz incidente sur une surface horizontale (J.m -3 ) :F z = ⌡ ⌠ [u(r,Ω).cosθ].cosθ.dΩ = 1 c . ⌡ ⌠4π4πL(r,Ω).cos 2 θ.dΩ = 4π c . (2).L(r,Ω) isotrope : L(r,Ω) = L(r) ∀Ω ⇒ F z = 4π 4π u(r).L(r) = . (0) =3c 3c 3⇒ (2) =F z est la densité surfacique, par seconde, de quantité de mouvement à travers S. C'est la pressionde radiation p. En effet, la réflexion d'un photon sur la paroi d'une enceinte transmet 2 fois saquantité de mouvement, normale à la paroi, et avec l'hypothèse L(r,Ω) = L(r), on a :p = 2 c . ⌡⌠ L(r,Ω).cos 2 θ.dΩ = 4π3c .L(r) = 2F z = 8π3c . (0) = 2 3 .u(r)2πIV.2 Réflectance, transmittance et émissivitéLes surfaces étudiées par le biais de mesures optiques sont souvent caractérisées par desquantités qui quantifient leur capacité à réfléchir (i.e., réflectance) et émettre (i.e.,émissivité) le rayonnement selon l'espace 4π. En effet, une mesure ne peut directementcaractériser un milieu. Ainsi, le rayonnement émis dépend à la fois de l'émissivité et de latempérature du milieu. D'autre part, le rayonnement réfléchi dépend à la fois de laréflectance du milieu et de son éclairement. Ainsi, une mesure de rayonnement réfléchi estdoublée si l'éclairement est doublé. La réflectance ne dépend pas du rayonnement incident,car elle est définie comme le rapport d'une mesure par l'éclairement.• RéflectanceLa réflectance (r ij , R ij ou r ij ) dépend de la configuration d'éclairement et de visée. Elle estdite hémisphérique si l'angle solide d'éclairement (indice i = h) et/ou de visée (indice j = h)couvre un hémisphère. C'est le cas d'un éclairement du à un ciel couvert. Elle est ditedirectionnelle si l'angle solide d'éclairement (indice i = d) et/ou de visée (indice i = d) esttrès petit. C'est le cas de l'éclairement solaire de la Terre en l'absence de diffusionatmosphérique. Plusieurs définitions classiques sont données ici.- Facteur de réflectance : R ij =Directiond'éclairement1θ sθ v R dd(θ s ,θ v )0.5 0.5 1⌡⌠∆Ω rL(Ω r ).cosθ r .dΩ r(⌡⌠ L ref (Ω r ).cosθ r .dΩ r∆Ω rDirectionspéculaireMesure : cibleMesure : référence )(0)3Figure 34 : R dd (Ω) dans le plan d'incidenceDirection d'éclairement fixe, direction dediffusion variable et 2 types de surfaces:- surface lambertienne : R dd (Ω) = cste. Surfaceblanche (R dd = 1) et grise (R dd < 1).- surface naturelle : R dd (Ω) varie. Souventmaximal pour la direction spéculaire etmaximum local pour la direction d'éclairement.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 35R est l'efficacité de diffusion d'un milieu rapport à une surface de référence (blanchelambertienne) observée dans la même configuration. Il est très employé, car il est facileà mesurer : c'est le rapport de 2 mesures radiométriques, si la réponse du capteur estproportionnelle à l'énergie reçue.Référence blanche : M ref = E éclairement de la cible et de la référence⌡⌠ L(Ω r ).cosθ r .dΩ r∆Ω r cosθ r,∆ΩrRéférence lambertienne : L ref (Ω r ) = cste ⇒ R ij ==L ref . ⌡⌠ cosθ r .dΩ rL ref∆Ω rRéférence blanche et lambertienne : M ref = π.L ref = E ⇒ L ref = E π⇒R ij = π. cosθ r,∆ΩrEsoit R = π.L(Ω r)Esi ∆Ω r 87°≈ 33 (≈ 36 pour le spectre visible)5-6530-8575 - 90 / 45 - 7035 - 40; croît du bleu → rouge5 - 6 / 5 - 15; croît du bleu → rouge5 - 15; pic dans le vert5 - 10; pic dans le vert2/ 2,2 / 6 / 13,4 / 35,8 / ≈60 / >90Table 2: Albédo de matériaux terrestres. Il est très variable.L'albédo de notre planète est A dh (Ω i , ∆λ) = 1 ⌡ ⎮⌠ ⌡⌠ R dd (Ω i ,Ω r ,λ).µ r .E λ (Ω i ).µ i .dΩ r .dλ2ππ . ∆λ.⌡⌠ E λ (Ω i ).µ i .dλ∆λIl est régulièrement mesuré depuis l'espace avec ∆λ ≈ [0,2 4 µm]. Si E λ varie peu surl'intervalle ∆λ, alors A dh est une "simple" réflectance "direct - hémisphérique" :

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 36A dh (Ω i , ∆λ) ≈ 1 π . ⌡∆λ⌡⌠⎮⌠ R dd (Ω i ,Ω r ,λ).µ r . dΩ r .dλ ≈ ⌡⌠ R dh (Ω i ,λ).dλ2π∆λµ r = cosθ rL r (Ω r )- Coefficient de réflectance bidirectionnelle : r dd (Ω i ,Ω r ,λ) = (sr -1 luminance) ()L i (Ω i ).dΩ i éclairement E i ⊥ Ω ir dd est l'efficacité d'un milieu éclairé selon (Ω i ) à diffuser selon (Ω r ). Ici, E i = L i (Ω i ).dΩ i⌡⌠ L(Ω r ).cosθ r .dΩ rM λ 2π- Coefficient de réflectance direct-hémisphérique : r dh (Ω r ,λ) = =+ émittance()E λ,i L(Ω i ).dΩ i éclairement E i ⊥ Ω ir dh est l'efficacité d'un milieu éclairé selon (Ω i ) à diffuser selon toutes les directions montantes(demi hémisphère supérieur 2π + ).- Coefficient de réflectance hémisphérique-direct : r hd (Ω r ,λ) = L λ,r L(Ω r )=E λ 2πḺ(Ω ( luminance⌡⌠ i).cosθ i .dΩéclairement h )ir hd indique l'efficacité de la diffusion d'une surface selon toute direction (Ω r ), dans le cas d'unéclairement selon toutes les directions descendantes (demi hémisphère 2π - ).⌡⌠ L(Ω r ).cosθ r .dΩ r- Coefficient de réflectance bi-hémisphérique : r hh (λ) = M λ 2π=+ émittanceE λ 2πḺ(Ω (⌡⌠ i).cosθ i .dΩéclairement h )ir hh est l'efficacité d'une surface à diffuser dans le demi hémisphère supérieur (2π + ), lors d'unéclairement incident descendant selon le demi hémisphère supérieur (2π - ).SurfacequelconqueSurfacelambertienneCoefficient de réflectance rFacteur de réflectance Rr dd (Ω i ,Ω r ) = L(Ω r)E i(sr -1 ) R dd (Ω i ,Ω r ) = L(Ω r)L ref= π.L(Ω r)E i .cosθ i= π. r dd(Ω i ,Ω r )cosθ i⌡⌠ L r (Ω r ).cosθ r .dΩ r⌡⌠ L(Ω r ).cosθ r .dΩ r2π2πr dh (Ω i ) =ER dh (Ω i ) ==i E i .cosθ i⌡⌠ R dd (Ω i ,Ω r ).cosθ r .dΩ r = r dh(Ω i )cosθ i2πr lambdd (Ω i,Ω r ) = L rE i= cste (sr -1 )r lamb(Ω dhi) = π.L rE= π.r lambi ddR lamb(Ω ddi,Ω r ) = π.L(Ω r)= π. rlamb dd= csteE i .cosθ i cosθ iR lamb(Ω hi) = R lamb(Ω ddi,Ω r ) = π. rlamb dd= cstecosθ iTable 3: Exemple de relations entre coefficients et facteurs de réflectance.Eclairement de la surface : E i .cosθ i , où θ i = angle(normale, direction d'éclairement).• Transmittance : T(λ) =énergie transmiseénergie interceptéeLa transmittance d'un milieu plan est "direct - direct" si le rayonnement incident estdirect (∆Ω i ≈ 0) et si l'on considère une seule direction de transmission (∆Ω r ≈ 0) :L λt (Ω t )T dd (λ,Ω i ,Ω t ) =L λi (Ω i ) . Elle est "direct - hémisphérique" T M λt (Ω t )dh(λ,Ω i ,Ω t ) =ouE λi (Ω i ).cosθ i

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 37M λt"hémisphérique - hémisphérique" T hh (λ) =E λs'il est considéré le flux M λt transmisselon l'ensemble du demi hémisphère "avant". Elle est simplement dite directe si lesL λt (Ω)directions des flux incidents et transmis sont identiques : T d (λ,Ω) =L λi (Ω) .• Absorptance : A(λ) =énergie absorbéeénergie interceptéeA(λ) est le rapport de l'énergie absorbée par l'énergie interceptée. Il est directionnel, carl'énergie incidente peut être directe ou hémisphérique. Avec un éclairement direct :A d (λ) = 1 - T dh (λ) - R dh (λ). Avec un éclairement isotrope : A h (λ) = 1 - T h (λ) - R hh (λ).énergie spectrale émise selon (Ω,∆Ω) par un corps de température T• Emissivité : ε(Ω,∆Ω,λ) =énergie spectrale émise selon (Ω,∆Ω) par corps noir de température Tε est l'efficacité du corps à rayonner versus le corps noir. Elle est directionnelle (ε d (Ω,λ))ou hémisphérique (ε h (λ)) selon que ∆Ω est très petit ou égal à 2π. Avec un corps noir deL(Ω,λ)luminance L B (Ω) et d'exitance M B (Ω) = π.L B (Ω), on a : ε d (Ω,λ) =L B (Ω,λ) et ε M(λ)h(λ) =M B (λ)Pour un milieu à l'équilibre thermodynamique avec son rayonnement, la loi de Kirchoff donne :ε d (Ω,λ) = A d (Ω,λ) et ε h (λ) = A h (λ) ∀(Ω,λ)Pour un milieu opaque (i.e., T h = T d = 0), la conservation de l'énergie radiative implique:∀λ: A h (λ) = 1 - R hh (λ) et A d (Ω,λ) = 1 - R dh (Ω,λ) ∀(Ω,λ)Par suite : ε h (λ) = 1 - R hh (λ) et ε d (λ) = 1 - R dh (λ) où R dh (λ) = R hd (λ)Ces relations sont cohérentes avec le fait qu'un corps noir a une réflectance et unetransmittance nulles, avec une absorptance (A) et une émissivité (ε) égales à 1.Réciprocité de la réflectance : R dd (Ω 1 →Ω 2 ) = R dd (Ω 2 →Ω 1 ) ∀λ. La réciprocité traduit lefait que le nombre de photons réfléchis selon (Ω v ) par une surface éclairée par Nphotons incidents selon (Ω s ) est égal au nombre de photons réfléchis selon Ω s par cettemême surface si elle est éclairée par N photons incidents selon Ω v . Elle est due àl'égalité P(Ω 1 →Ω 2 ) = P(Ω 2 →Ω 1 ), où P(Ω 1 →Ω 2 ) est la probabilité qu'un photon interceptéselon la direction incidente Ω 1 , est diffusé selon Ω 2 . Elle est illustrée par la Figure 35. Pourquoi la réciprocité peut suppléer au faible nombre de mesures satellitaires (i.e.,augmenter l'échantillonnage effectif de la BRDF des milieux terrestres) ? Démontrer R dd (Ω 1 →Ω 2 ,λ) = R dd (Ω 2 →Ω 1 ,λ) et R dh (λ) = R hd (λ)Direction (1) 100 photons2010100Direction (2) Direction (1’) Direction (2’)20(101030100R dh =0.3R hd =0.3Figure 35: Illustration de la réciprocité de la réflectance. R dh = R hd = 0.3.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 38Cas théorique d'un espace des directions de propagation avec 2 directions montantes (1) et(2), et 2 directions descendantes (1’) et (2’). Pour une surface blanche lambertienne :- 100 photons incidents selon (1’) ⇒ 50 photons diffusés selon (1) + 50 selon (2)- 100 photons incidents selon (1) + 100 selon (2) ⇒ 100 photons diffusés selon (1) + 100 selon (2)IV.3 Propriétés spectrales des surfaces terrestresCes propriétés varient beaucoup selon les surfaces et selon la configuration de mesure.• Coefficient de rétrodiffusion hyperfréquence σ o (Ω v ): 2 fréquences, ∀ θ v ∈ [0 90] (Figure 36)0-10σ o (dB)NeigeBande Ku : 1.7 - 2.4cmHerbe verte haute20100σ o (dB)Océan + vent (10m.s -1 )Bande X : 2.4 - 3.75cmZones industriellesZones résidentielles-20-30Bitume lisseDownwindUpwindOcéan +vent (5m.s -1 )Crosswind0 20 40 60 θ (degrés)-10-20-30Bitume lisseSable et rocNeige humideHerbe sursol humide sol sec0 20 40 60 θ (degrés)Figure 36: Coefficients de rétrodiffusion σ o de milieux types selon l'angle d'incidence θ.• Coefficient de réflectance spectrale ρ de 0.5 à 15µm (Figure 37). Du bleu au procheinfrarouge, ρ croît régulièrement pour les minéraux (argile, sable), décroît régulièrementpour l'eau, et a de fortes variations irrégulières pour la végétation verte (herbe, etc.).1 0 09 0N e ig eR é fle c ta n c e : 0 .5 µ m - 3 µ m8 0G y p s e c la ir (s a b le )7 06 05 0C o n ifè re sD é c id u sH e rb e s è c h e4 0H e rb e v e rte3 02 0A rg ile s o m b reC o n ifè re s1 0E a u d u ro b in e tN e ig eN e ig e00 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 µ m

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 393 0R é fle c ta n c e : 3 µ m - 1 4 µ m2 52 0H e rb e s è c h eD é c id u sH e rb e v e rte1 5G y p s e c la ir (s a b le )1 0N e ig e5E a u0G y p s e c la irA rg ile s o m b reN e ig e3 C o n ifè re s 5 7 9 C o n ifè re s 1 1 1 3 µ mFigure 37: Réflectance spectrale ρ(λ) (0.5 µm à 14 µm) de surfaces terrestres types.Neige, argile sombre (montmorillonite), eau, sable clair (gypse): ρ(λ) = réflectance "direct(θ s = 10°) - hémisphérique". Le pic du gypse à ≈ 8.7 µm est celui du SO 4 . La neige dérive demesures (Salisbury et al., 1994) pour λ > 2 µm et pour λ < 2 µm, d'un modèle (Dozier et Warren,1982) qui la simule par des cristaux de glace opaques de 178 µm beaucoup plus petits que la réalité(≈1500 µm), car les cristaux réels ne sont pas opaques, surtout en présence de bulles d’air.Conifères, décidus, herbe verte et sèche: les conifères et décidus sont des feuilles et branchesempilées. Pour λ < 3 µm, ρ(λ) = réflectance "direct (θ s = 0°) - direct (θ v )" où θ v = 30° (conifères,décidus) ou 60° (herbe). Pour λ > 3 µm, ρ(λ) = réflectance "direct (θ s = 10°) - hémisphérique"

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 40V Quels mécanismes physiques expliquent que les réflectances apparentes mesuréesdepuis l'espace diffèrent des réflectances réelles (Figure 38) ? Pourquoi les réflectances apparentes ont des minima spectraux très prononcés (Figure 38) ? Dans les courtes longueurs d'onde ρ app > ρ réel si ρ réel est faible et ρ app < ρ réel si ρ réel est fort.Ceci n'est pas vrai pour les grandes longueurs d'onde. Comment interpréter cela ?MESURE ET RAYONNEMENTLa qualité et par suite l'interprétation des mesures radiométriques est toujours limitée par lescaractéristiques du système instrumental d'acquisition. Ceci est illustré ici avec l'acquisitiondans le domaine optique. Quelle que soit la technologie employée (CCD, scanner, caméravidicon, micro densitomètre, etc.), toute acquisition d'image comprend les trois étapessuccessives suivantes (Figure 39, Figure 40, Figure 41) :- création d'une image optique de la scène observée dans le plan image du système.- saisie de l'image optique avec 2 opérations complémentaires. 1) Balayage de l'image parun spot ou ouverture de dimension finie a. 2) Mesure du rayonnement, sous forme detension électrique, par un élément photo sensible, durant un temps d'intégration T.- conversion "analogique numérique" de l'image saisie avec un numériseur. Les tensionsélectriques sont transformées en comptes numériques codés sur un nombre prédéfini debits. L'image peut alors être stockée sur un support physique (CD, disque dur,...).ScèneFTOImage analogiquef cSystème optique(fréquence de coupure f c )1a(balayage avec ouverture/spot de dimension a)Image convoluéefSystème de saisie.1T(échantillonnage temporelet temps de mesure T)Image "saisie"Figure 39: Chaîne d'acquisition d'image numérique.fConvertisseur (CAN)Analogique- NumériqueImagenumériqueLes mesures sont en général disponibles en tant que comptes numériques (CN), sous formed'images ou non. Leur interprétation "physique" requiert de les convertir en une quantitéphysique (e.g., luminance spectrale L λ ). ceci est possible avec une relation établie à partirdes caractéristiques de chaque élément de la chaîne de mesures. Cette relation est robuste,mais souvent très difficile à établir, du fait des nombreux facteurs instrumentaux (e.g.,sensibilité spectrale et fonction de transfert du capteur) et expérimentaux (e.g., géométrie"instrument - cible"). En pratique, des relations simples (e.g., L λ = A λ .CN + B λ " ou "ρ λ =A λ .CN + B λ "), mais moins robustes et exactes, sont souvent employées. Elles sont obtenuespar régression entre mesures (CN) du capteur et grandeurs physiques (e.g., L λ , ρ λ ). Ainsi, laconnaissance des réflectances ρ 1 et ρ 2 de 2 cibles, et de leurs mesures CN 1 et CN 2 par leρ 1 - ρ 2 ρ 1 .CN 2 - ρ 2 .CN 1capteur donne A =CN 1 - CNet B =2 CN 2 - CN.1Une relation linéaire du type "ρ = A.CN + B" est cohérente avec le fait que dans sa plagenormale de fonctionnement, un capteur a un signal de sortie qui est en général une fonctionquasi linéaire du signal d'entrée L λ (Ω v ). Ainsi, avec une invariance temporelleexpérimentale, le capteur qui opère dans l'intervalle ∆λ = [λ inf λ sup ] recueille la puissance :Q = k. ⌡ ⌠L λ (Ω v ). λ .dλ + O∆λ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 41où O est l'offset (i.e., bruit de fond), k est la réponse spectrale maximale et λ est laréponse spectrale relative. La réponse spectrale du capteur est donc k λ . Les termes O, ket λ dépendent des caractéristiques des éléments du capteur (optique, électronique,...).ObjectifTube vidiconBalayage du spot d'analyseScèneobservéeCible photoconductriceFaisceau d'électrons(balayage ligne par ligne)ImageObjectifZone image du CCDScèneobservéePhotosite actifImageObjectifBarrette de CCDScèneobservéeDéplacementde la barretteImageSourceFaisceaud'éclairageMicroscope d'analyseFaisceau d'analysePMObjet mobile(balayage mécanique)Spot de mesuresFente d'analyseFigure 40 : Exemples de systèmes d'acquisition d'image à balayage de sortie.a) Caméra à tube vidicon. b) Caméra CCD. c) Barrette CCD. c) Microdensitomètre à une fente de sortie.ImageLigne imageDétecteur uniqueLigne imageBarrette dedétecteursRayons parallèlesSignalMiroir oscillantSignalSurfaceSurfaceFigure 41 : Capteurs satellite : Technologie scanner (gauche) et "push broom" (droite)Luminance spectrale incidente Sensibilité spectrale relative λL λ (W.m -2 .sr -1 )⇒⇒Gain : kFigure 42: Chaîne de mesure d'un capteurSortieCompte numérique

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 42La puissance Q correspond donc directement à la quantité moyenne : ∆λ =⌡⌠ L λ . λ .dλ∆λ⌡⌠ λ.dλ∆λλ 2⌡⌠ L λ .dλEn fait, il est plutôt recherché la moyenne de la luminance spectrale L λ , soit : ∆λ =λ 2 - λ 1La détermination de ∆λ à partir de Q=Q(L λ , λ ) implique de connaître la bande passante etla variabilité spectrale de la luminance du rayonnement incident. En premièreapproximation, il est souvent utilisé : < λ . λ > ∆λ ≈ ∆λ . < λ > ∆λLa fonction de transfert du capteur est souvent représentée par une fonction gaussienneparamétrée avec une longueur d'onde centrale λ c et un intervalle spectral ∆λ eff effectifs :λ c = ⌡ ⌠λ. λ .dλ⌡⌠ λ .dλ∆λ eff = [λ c - 3.σ λ c + 3.σ]où σ 2 = ⌡ ⌠λ 2 . λ .dλ⌡⌠ λ .dλ - λ c 2Si la source est spectralement constante sur ∆λ : Q = G. ∆λ + O où G = k. ⌡ ⌠La connaissance du gain (G) et de l'offset (O) permet donc d'évaluer la luminance spectralemoyenne λ à partir de mesures. Ceci explique que les images de télédétection (i.e.,comptes numériques CN) sont généralement fournies avec des coefficients d'étalonnage A etB tels que λ = A λ .CN + B λ , avec B λ ≡ - O G et A λ ≡ 1G .Le bruit B λ de chaque canal est du à 2 bruits indépendants : 1) le bruit photonique inhérent àla mesure amplifié par le système de détection, et 2) le bruit propre à l'instrument. Il peut êtremodélisé comme un bruit blanc additif gaussien de moyenne nulle et d'écart type σ λ . Lesbruits dans les différents canaux sont supposés indépendants. Il est souvent considéré que lebruit photonique est le facteur de conversion photons - signal et que le bruit instrumental estl'écart type du bruit d'obscurité mesuré pendant l'acquisition de l'image.c.∆τRésolution verticale d'altimètre hyperfréquence : δ =2 . On a : δ = c2∆f , avec ∆τ = 1 ∆f , dansle cas de la compression d'impulsion de largeur de bande de modulation ∆f avecs(t) = A.cos[2π(f o +αt).t] si t ∈ [- T T2 2 ] et s(t) = 0 si t ∉ [-T T ∆f2 2], avec α =2T .Résolution horizontale (rayon r) d'altimètre hyperfréquence (diamètre D de l'antenne) :- ouverture angulaire : sinθ = 1.22. λ D ⇒ r = 1.22 H.λ DD(résolution azimuthale de SAR :2.44 )- limitation due à l'impulsion : r =∆λ2H.c.∆τ1+ H , où R est le rayon de la Terre.RRéférences de systèmes spatiaux : www.noaa.gov (NOAA/AVHRR), www.terra.nasa.gov (Terra/Modis),www.nasa.gov (NASA), www.modarch.gsfc.nasa.gov (Modis), www.spotimage.fr (SPOT/Végétation),www.cnes.fr, www.eumetsat.de, www.nasda.go.jp (ADEOS/GLI), www.envisat.esa.int (Envisat/Meris).λ.dλλ 1

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 43Annexe 1 : COHERENCETout rayonnement présente des irrégularités spatio-temporelles. Ce phénomène doit être pris en compte lors del'analyse de mesures radiomètriques telles que les mesures interférométriques en télédétection (Ishimaru, 1978 ;Lavergnat, 1988). Il est du au fait qu'il n'existe pas de source capable d'émettre à partir de chacun de ses pointsune onde parfaitement monochromatique (cohérence temporelle) avec une différence de phase constante(cohérence spatiale) entre ses différents points d'émission. Une source émet des paquets d'onde successifs quis'amortissent dans le temps puis recommencent. Les phases des différents paquets d'onde sont indépendantes,car elles sont aléatoires. Le temps de cohérence est la durée moyenne ∆t o des paquets d'onde. Si ∆ν est la1largeur en fréquence du spectre, alors ∆t o ≈∆ν ≈ c.∆λ λ 2 . Une onde est quasi monochromatique si ∆t o >> 1 (laser,...).• Cohérence spatiale de l'éclairementL'éclairement d'un objet est cohérent si le rayonnement incident a une cohérence temporelle (i.e., onde quasimonochromatique avec très grand ∆t o ) et si la différence de phase du rayonnement reçu par 2 pointsquelconques de cet objet est constante dans le temps (cohérence spatiale). La cohérence spatiale del'éclairement d'un objet requiert en général que la source utilisée ait une assez bonne cohérence à la foistemporelle (i.e., source assez monochromatique) et spatiale.Toute source ponctuelle est spatialement cohérente, mais peut générer un éclairement spatialement incohérent.C’est le cas si les vibrations proviennent de différents paquets d’onde. Ainsi, considérons l'éclairement d'unecible de longueur d à une distance H d'une source ponctuelle caractérisée par un temps de cohérence ∆t o etune longueur d'onde centrale d'émission λ. Il est cohérent si les 2 conditions suivantes sont vérifiées :- les vibrations incidentes durant ∆t o et en tout point de la cible proviennent dumême paquet d’onde. Ainsi, le déphasage ∆Φ du au trajet optique entre le centreet le bord de la cible doit vérifier :2π∆Φ =λ .[H2 + d24 -H] d- très petit déphasage entre 2 points de la cible : ∆Φ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 44= cste. Son spectre Ψ(ν) est non nul à une seule fréquence ν o . En fait, pour toute onde réelle, Ψ(ν) est non nulsur un intervalle ∆ν non infiniment petit. Ainsi, au point M(z) à l'instant t :Ψ oExemple : Ψ(ν) =∆ν où ν ∈ [ν o- ∆ν2 ν o+ ∆ν∝Ψ(z,t) = ⌡⌠0Ψ(ν).cos[2π.ν.(t- z c )].dν2 ] ⇒ Ψ(z,t) = Ψ o.cos[2π.ν o .(t- z sin[2π. ∆νc )]. 2 .(t-z c )]2π. ∆ν2 .(t-z c )La fonction sinc[2π. ∆ν2 .(t-z c )] module l'amplitude monochromatique Ψ o.cos[2π.ν o .(t- z )]. Elle tend vers 0 sic∆ν.(t- z c ) >> 1 (i.e., perte de cohérence). Le temps de cohérence ∆t o et la longueur de cohérence ∆l o sont tels∆νque les ondes "ν o +2 " et "ν o - ∆ν2 " deviennent en opposition de phase, soit : ∆t o ≈ 1∆ν , en un lieu z, et ∆l o ≈ c∆ν(i.e., λ2 o∆λ si ∆ν

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 45● Indice de réfraction et constante diélectriqueAnnexe 2 : PROFONDEUR DE PENETRATIONLes champs d'une onde qui se propage selon Oz dans un milieu d'indice de réfraction n = n r + i.n i = ||n||.e iφ sont:i.2π.( n.z - ν.t)λĒ = Ē o .e oet B - = B - i.2π.( n.z - ν.t)λo.e oL'amplitude de ces champs diminue le long de Oz si le milieu est absorbant (n i ≠ 0) :Ē = Ē o .e i.2π.(z λ - ν.t) = Ē o .e -2π.ni. z λ o .e i2π.(nr.z λ o- ν.t)B - = B - o.e -2π.ni. z λ o.ei2π.( nr.zλ o- ν.t)||B - ||n|| 1o|| = .||Ēc o || =o c .||Ē o||La vitesse de phase v vérifie v.n r = c, ce qui implique λ o = n r .λ. Les vrais champs sont e(Ē) et e(B - ). Ledéphasage entre Ē et B - , et donc entre e(Ē) et e(B - ) est φ =atan( n i), car B - on = u _ x Ē o c o" avec c =r cn .L'équation d'onde implique ε o .µ o .c 2 = ε.µ.v 2 = 1. Dans un milieu non magnétique, (µ = µ o ), la constanteεdiélectrique K = vérifie donc : K = n 2 . Vu que "K = Kε r + i.K i ", l'on a :o1⇒ n 2 r =2 .[ K 12r + K 2 i + K r ] et n 2 i =2 .[ K K 2r + K 2 ii - K r ] (tan∆σ ⇒ 2πσ. µ/ε.n ≈ ω. ε.µ + i.λ o 2- très conducteur: ω.ε

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 469080706050403020100°CConstante Diélectrique20°CK i : 4% (20°C)40°C0°CK r : 0%20°CK r : 0%K i : 2%K i : 0%40°CK i : 2%0°C20°CK i : 0%40°CFigure 43Constante diélectrique K(ν) de l'eau àdifférentes températures et salinités.K i (n) et K r (n) varient avec latempérature (0°C, 20°C, 40°C), lafréquence (100 MHz 300 GHz) et lasalinité.K i (ν) augmente beaucoup avec lasalinité aux basses fréquences ⇒ fortediminution de la profondeur depénétration.100cm 30cm 10cm 3cm 1cm 0,3cm 0,1cm300MHz 3GHz 30GHz 300GHz100°Cn r (glace)n r (eau)Indices de réfractionAdapté de Ray (1972)1-20°Cn i (eau)10 -1 10 4-20°C0°C10 -2n i (glace)10 -330m 3m 3cm 0.3mm 3µm10 10 210 610 8 MHzFigure 44: Indice de réfraction réel n r et complexe n i . Eau (25°C) et glace (-20°C et 0°C). n i (glace)

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 47Annexe 3 : POLARISATIONLa polarisation est donnée par la direction de D - dans le plan (D - , B - ) pour une onde monochromatique, et demanière statistique pour une onde non monochromatique. Dans un milieu de propagation isotrope, D - et Ē ontmême direction. Ici, toute onde est supposée se propager selon la direction Oz dans un milieu linéaire. D - et Ērestent donc dans le plan (x, y), i.e. (D - , B - ). Un capteur spatial peut mesurer la polarisation. Ainsi, POLDER lamesure pour étudier les aérosols atmosphériques, car ceux-ci polarisent par diffusion le rayonnement solaire.• Onde monochromatiqueA tout instant t et en tout point M(x,y,z), le champ instantané Ē(M,t) est la somme de 2 composantes:- -EĒ(M,t) = Ē x (M,t) + Ē y (M,t) avecx(M,t)= E ox.cos(ωt-k.z+Φx) = u _ x.E ox .cos(ωt-k.z+Φ x )- -E y(M,t)= E oy.cos(ωt-k.z+Φy) = u _ y.E oy .cos(ωt-k.z+Φ y )L'onde est dite non polarisée si le déphasage Φ = (Φ x - Φ y ) entre Ē x et Ē y est aléatoire. L'onde est dite polariséesi Φ = cste. L'extrémité de Ē décrit alors une ellipse dans le plan (x, y). Son équation est :E x2- 2.Ex .E y .cosΦ + E y2= Eox .E oy .sin 2 Φ2 2 - 2 - 2Le grand axe e 1 et le petit axe e 2 de l'ellipse décrite par Ē vérifient : e 1 + e2 = Eox + EoyE oyE oyE oyE y EPolarisation droiteyβE(t)E(t)E(t)-E ox αE ox -E ox E oxE x-E x e 2e 1-E oy -E oy-E oyE oxFigure 46 : Polarisation linéaire : Φ=0° Polarisation linéaire Φ=π Polarisation elliptiqueLa polarisation elliptique est ‘gauche’ si l'observateur voit l'onde venir avec le champ Ē qui tourne dans lesens trigonométrique (Φ∈[π 2π[) et ‘droite’ autrement (Φ∈]0 π[). La polarisation elliptique est dite :- polarisation rectiligne si Φ = 0 ou Φ = π. Le rapport E oxdétermine la direction de polarisation.E oyπ- polarisation circulaire si E ox = E oy et si Φ =2 (polarisation droite) ou Φ = -π (polarisation gauche).2La polarisation de toute onde est décrite par le vecteur de Stokes (I,Q,U,V). Son intérêt est que le vecteur deStokes de la somme de 2 ondes quelconques est la somme des vecteurs de Stokes de chaque onde- 2 - 2 - 2 - 2I = [E ox + Eoy]; Q = [Eox - Eoy]; U =2.Eox .E oy .cosΦ ; V = 2E ox .E oy .sinΦLe triplet constant (E ox , E oy , Φ) définit l'ellipse de polarisation d’une onde monochromatique. Tout vecteur deStokes n'a donc que 3 composantes indépendantes. Avec la variable intensité I et 2 variables angulaires α et β :I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 , Q = I.cos2α.cos2β, U = I.sin2α.cos2β, V = I.sin2βLa matrice 4x4, dite matrice de Muller (M) permet de calculer le vecteur de Stokes de l'onde diffusée à partirdu vecteur de Stokes de l'onde incidente : (I out , Q out , U out , V out ) = (M) . (I in , Q in , U in , V in )• Onde quasi-monochromatiqueLa superposition d'ondes planes avec (ν ≈ ν o ), et avec E ox , E oy et Φ réels et lentement variables dans le temps parrapport à 1/ν o , peut être décrite par la matrice dite de covariance (relations statistiques entre E x et E y ) : C xxC xyC = = ⎜ ⎛⎝ = ⎝ ⎜⎛ ⎠ ⎟⎞C yx C yyoù déterminant de C = = = ≥ 0L'onde a une intensité = C xx + C yy et un degré de cohérence entre E x et E y : µ xy =. = C xyC xx .C yy

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 48Le vecteur de Stokes d'une vibration quasi-monochromatique est défini par :- I = + = C xx + C yy .- Q = - = C xx - C yy . Excès de polarisation linéaire selon Ox vs. Oy.- U = 2 = 2 = C xy + C yx . Excès de polarisation linéaire selon θ=45° vs. θ=-45°.- V = 2 = 2 = i.(C yx - C xy ). Excès de polarisation circulaire "droite" vs. "gauche".1⇒ C xx =2 .(I + Q), C yy = 12 .(I - Q), C xy = 12 .(U + i.V), C yx = 1.(U - i.V)2C = peut être mesuré à partir de 4 mesures selon 4 directions convenables θ. En effet, vu que E(t,θ) = E x .cosθ +E y .sinθ, une mesure selon une direction d'angle θ par rapport à l'axe Ox donne l'intensité moyenne :I(θ) = temps = C xx .cos 2 θ + C yy .sin 2 θ + (C xy + C yx ).sinθ.cosθ- Onde non polarisée : E x et E y décorrélés (µ xy = Q = U = V = 0) et I(θ) = I = constante. Par suite C = I=- Onde totalement polarisée : Det(C = ) = 0 et C = ⎛E ox .E oy .e iΦ= ⎜⎝ E ox .E oy .e -iΦ 2E oyPour une onde monochromatique (E ox , E oy , Φ x et Φ y indépendants du temps):2E ox⎞⎟⎠1 02 . ⎝ ⎜⎛ ⎠ ⎟⎞- Onde en partie polarisée: Det(C = ) ≠ 0. C = est la somme d'un terme non polarisé et d'un terme 100% polarisé :C = =A 0B D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ 0 A ⎠+ ⎝ ⎜⎛ D ⎠ ⎟⎞ * Goù A, B, G ≥ 0 et B.G - D.D * = 0. I non pol = 2A et I pol = B + GUn calcul algébrique donne : I pol = C xx + C yy - 2.A = (C xx + C yy ) 2 - 4.(C xx .C yy - C xy .C yx ).I polPar suite, le degré de polarisation est : P = =I pol + I non polQ 2 +U 2 +V 2= 1 - 4.Det(C= )I(C xx + C yy ) 2Toute onde peut être 100% polarisée (P = 1, car I 2 = Q 2 +U 2 +V 2 ), partiellement polarisée (P < 1) outotalement non polarisée (P = Q = U = V = 0).• Polarisation linéaire (V=0)La polarisation linéaire (V = 0) est très fréquente, car les diffusions d'ordre 1 créent cette polarisation.* Direction de polarisation : α = 0.5.tan -1 (U/Q).Q 2 +U 2IE 2 α -E 2α+π/2* Degré de polarisation : P = =E 2 α +E 2α+π/2Si l'axe Ox est parallèle à la direction de polarisation, i.e. direction où |Ē| est maximal, alors U=0, et parsuite P=Q/I. Les termes Q et U dépendent des axes Ox et Oy choisis, contrairement à P et I.* Mesures : une mesure effectuée avec un polarimètre tourné d'un angle θ par rapport à l'axe Ox donne : E 2 (θ)= 0.5.[I + Q.cos2θ + U.sin2θ]. On a bien : θ = 0 ⇒ E 2 = E 2 x et θ = π/2 ⇒ E 2 = E 2 y. Trois mesures (i.e., I, Q, U)sont donc suffisantes pour déterminer une polarisation linéaire.• Lumière naturelleUne source naturelle émet en général un rayonnement non polarisé. En effet, toute source est équivalente à untrès grand nombre d'oscillateurs plus ou moins indépendants et dont la durée de vie ∆t o est finie (en généraltrès inférieure à la durée des mesures). Par suite, son rayonnement est la superposition d'un très grand nombred'états de polarisation associés à l'émission indépendante et aléatoire de ses oscillateurs. Ce rayonnement peutêtre représenté par la superposition de 2 ondes polarisées rectilignement orthogonales avec un déphasage quivarie rapidement et de manière aléatoire ; i.e., ces 2 ondes sont dites incohérentes.0 1

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 49Annexe 4 : REFLEXION D'UNE SURFACE PLANELa réflexion et la réfraction surviennent à l'interface de deux milieux d'indices de réfraction n 1 et n 2 . Ellesdépendent de la valeur de ces indices ainsi que du rapport "dimension de la rugosité de l'interface / longueurd'onde du rayonnement incident". Ainsi, un milieu peut se comporter comme une surface lisse (i.e., réflectancespéculaire) si sa rugosité est très inférieure à la longueur d'onde du rayonnement incident. La cohérence del'onde incidente est alors conservée contrairement au cas de la réflexion diffuse.I. Réflexion sur surface lisse (diélectrique isotrope non magnétique)Le principe de Fermat (i.e., stationnarité du chemin optique de la lumière) donne la relation dn.ūdr = grad(n) - quirelie le chemin optique dr selon ū lors de mécanismes de réflexion et de réfraction en présence de variationlocale de de l'indice de réfraction n. Dans le cas d'une interface plane et lisse entre deux milieux d'indices deréfraction n 1 et n 2 . (Figure 47), cette loi donne une représentation vectorielle des lois de Snell-Descartes :n in .ū in - n out.ū out = a.- nū in et ū out sont les vecteurs unitaires des directions de l'onde avant et après interaction, a est un nombre réel et - nest le vecteur unitaire normal à l'interface (i.e., parallèle au gradient de l'indice n).ūinFigure 47 : Réflexion et réfraction.ū tn -n 2* Réflexion : n out = n 1 et ū out = ū r ⇒ θ r = θ iθ iθ r ū r* Réfraction : n out = n 2 et ū out = ū t ⇒ n 1 .sinθ i = n 2 .sinθ tn 1θ tL'écriture de la continuité des champs électriques et magnétiques au niveau d'une interface "lisse" entre 2milieux plans conduit aux coefficients de réflectance et de transmittance de cette interface. Elle permet deretrouver les lois de Snell-Descartes. Il convient de distinguer les polarisations horizontale et verticale :E iv + E rv = E tv H iv + H rv = H tv D ih + D rh = D th B ih + B rh = B thE 1vH 1HzD 1HB 1VFigure 48Champs électriques et magnétiques àl'interface de 2 milieux 1 et 2.E 2vH 2HD 2H B 2VE i = E o .exp[i(k x .x-k z .z)]zE i = E o .exp[i(k x .x-k z .z)]zE r = r e .E o .exp[i(k x .x-k z .z)]H iθ i θrE iH rE rE iH iH rE rxxθ tE ta) b)H tE t = t e .E o .exp[i(k x .x-k z .z)]H tE tFigure 49 : Réflexion et transmission d'ondes sur une interface plane.(a) Polarisation verticale/parallèle (champ incident Ē i dans le plan d'incidence). (b) Polarisationhorizontale/perpendiculaire (Ē i normal au plan d'incidence). Les coefficients de réflectance et detransmittance de l'amplitude des champs Ē et B - sont respectivement (r e , t e ) et (r m , t m ).

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 50• Ondes de polarisation parallèle/verticaleOnde incidente Onde transmise Onde réfléchieE ix = -a.cosθ i .A iE iy = 0E iz = -a.sinθ i .A iE tx = -t ev .a.cosθ t .A tE ty = 0E tz = -t ev .a.sinθ t .A tE rx = r ev .a.cosθ r .A rE ry = 0E rz = -r ev .a.sinθ r .A rE dans (xOz) ⇒ B // Oy B t // Oy B r // OyB x = B z =0B y = a.A i /cB tx = B tz = 0B ty = n.t ev .a.A t /cB rx = B rz = 0B ry = r ev .a.A r /coù A i = exp[i(x.k ix -z.k iz -ωt)], A t = exp[i(x.k tx -z.k tz -ωt)], A r = exp[i(x.k rx +z.k rz -ωt)] et k - = 2πλ o.n -r ev (θ i ) = r e// (θ i ) = - tg(θ i -θ t )tg(θ i+θ t)1θ i ≈ 0 : θ t ≈n .θ 1-ni, r ev ≈1+n ≈ r 2mv < 0, t ev ≈1+n , t mv ≈ 2n1+n2cosθt ev (θ i ) = t e// (θ i ) =i.sinθ tcos(θ i-θ t).sin(θ i+θ t)πθ i ≈2 : r ev ≈ 1 et t ev ≈ 0.avec n 1 .sinθ i = n 2 .sinθ tr ev change de signe quand θ i passe de 0° à 90°. Il est nul quand l'onde incidente fait vibrer les dipôles dumilieu selon la direction de réflexion, car ils n'induisent alors pas de champ selon cette direction. C'est laconfiguration de l'angle de Brewster: (θ i +θ t )= π 2 , i.e., tgθ i=n.• Onde incidente de polarisation perpendiculaire/horizontaleOnde incidente Onde transmise Onde réfléchieE ix =E iz =0E tx =E tz =0E iy =a.AE ty =t eh .a.A tE i // Oy ⇒ B i dans (xOz) B t dans (xOz)B ix =a.A i .cosθ i /cB iy =0B iz =a.A i .sinθ i /cB tx =n.a.A t .t eh .cosθ t /cB ty =0B tz =n.a.A t .t eh .sinθ t /cE rx =E rz =0E ry =r eh .a.A rB r dans (xOz)B rx =-a.A r .r eh .cosθ r /cB ry =0B rz =a.A r .r eh .sinθ r /cr eh (θ i ) = - sin(θ i -θ t )sin(θ i+θ t) >0 ∀θ 2cosθi t eh (θ i ) = i.sinθ tsin(θ i+θ t)1-nθ i ≈ 0 : r eh ≈1+n ≈ r 2ev t eh ≈ t ev ≈1+n t mh ≈ t mv ≈ 2n1+nAvec la constante diélectrique K = K r + i.K i = n 2 : r 2 (θ (p-cosθeh i) = i) 2 +q 2(p+cosθ i) 2 +q 2 et r 2 (θ (K r .cosθev i) =i-p) 2 +(K i .cosθ i-q) 2(K r .cosθ i+p) 2 +(K i .cosθ i+q) 2où p = 1 2 .[ (K r - sin 2 (θ i)) 2 +K 2 i + K r - sin 2 θ i ] 1/2 et q = 1 2 .[ (K r - sin 2 (θ i)) 2 +K 2 i - K r + sin 2 θ i ] 1/22q.cosθ i2.K i .K r .p - (K 2 r-K 2 i).qet les déphasages Φ h et Φ v : tanΦ h =p 2 + q 2 -cos 2 et tanΦθ v = 2.cosθ i .i (K 2 r+K 2 i).cos 2 θ i - (p 2 + q 2 )• Milieux avec peu de pertes (K i

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 51• Facteurs de réflectanceVu que la puissance d'une onde est W =W out (θ r )R dh (θ i ) =W in (θ i ) = (E r xH * r )( ExH*2 ) :(E i xH i * ) = 12 . ε oµ o.n 1r .E r 2 (z=0)12 . ε oµ o.n 1i .E i 2 (z=0)2E r= 2 = r 2 E τ W out (θ t )e dh(θ i ) =i W in (θ i ) = n.t2(θ e i). cosθ tcosθ i- Onde non polarisée : R dh (θ i ) = 0.5 [r 2 ev (θ i) + r 2 eh (θ i)] τ dh (θ i ) = 0.5 [t 2 ev (θ i) + t 2 eh (θ i)].- Incidence normale : R dh (0) = r 2 e (0) = (n r - 1) 2 + n i2(n r + 1) 2 + n i2π.r 2 e(θ i ) Le facteur de réflectance bi-directionnel moyen pour un angle de diffusion ∆Ω r est R dd (θ i ,∆Ω r ) =cosθ r .∆Ω r1 .00 .90 .80 .70 .60 .50 .40 .30 .22|r eh|Figure 50 :2 Facteurs de réflectance spéculaire R dh (θ i )| 2 2verticale r ev et horizontale reh.|r evn = 8n = 3L'angle d'incidence θ v varie de 0° à 90°.Il est considéré 3 indices de réfraction(n = 1,33; n = 3; n = 8). Ces indices sontceux de l'eau dans les domainesoptique (K r ≈ 1.77), infrarouge lointain(K r ≈ 9) et micro-onde (K r ≈ 70 à1 GHz).0 .1n = 1 .300 1 0 ° 2 0 ° 3 0 ° 4 0 ° 5 0 ° 6 0 ° 7 0 ° 8 0 ° 9 0 °Une particularité de la composanteverticale r ev est de s'annuler.0.8ModuleRh180160Phase (degrés)0.60.4Rv10MHz1208010MHz10GHz0.210GHz4000.030.10.5 1 5 10 50 90°00.030.10.51 5 10 50 90°0.8M odulePhase (degrés)180160 10M Hz100M Hz10GHz0.610MHz100M Hz1GHz10GHz12030MHz1GHz0.430MHz800.24000.030.10.5 1 5 10 50 90°00.030.10.51 5 10 50 90°Figure 51: Module et phase des coefficients de réflexion selon l'angle d'incidence du sol (haut) et mer (bas).Polarisation verticale et polarisation horizontale. La composante complexe n i (absorption) explique quela composante verticale ne s'annule pas pour l'angle de Brewster, mais est seulement minimale. L'axehorizontal est gradué selon le complémentaire de l'angle d'incidence.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 52RRλa) b)Figure 52 : Diffusion pour λ ≈ bande spectrale d'absorption λ a (K r 5.7 cmh

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 53I. DéfinitionsAnnexe 5 : DIFFUSIONIl est tout d'abord considéré la diffusion et l'absorption d'une onde électromagnétique par une particulesphérique (indice de réfraction n=n r +i.n i ; section géométrique σ). La fluorescence et la diffusion Raman sontignorées. Les grandeurs descriptives majeures pour l'absorption et la diffusion sont indiquées. Ω s et Ω v sont lesdirections incidentes et de diffusion. ∆Ω s et ∆Ω v très faibles pour les grandeurs directionnelles.- Section efficace de diffusion : σ d (Ω s ) =- Section efficace d'absorption : σ a (Ω s ) =W dE(Ω s ) = Puissance diffusée par la sphèreEclairement directionnel (L(Ω s ).∆Ω s )W aE(Ω s ) = Puissance absorbée par la sphèreEclairement directionnel (L(Ω s ).∆Ω s )- Section efficace d'extinction : σ ex (Ω s ) = W exE(Ω s ) = Puissance interceptée par la sphèreEclairement directionnel (L(Ω s ).∆Ω s ) = σ d(Ω s ) + σ a (Ω s )σ d (Ω s )- Efficacité de diffusion, absorption et extinction : q d (Ω s ) =σ , q a = σ a (Ω s ) σ ex (Ω s )et qσ ex = = qσ d (Ω s ) + q a (Ω s )- Albédo de diffusion simple : ω(Ω s ) =W dW ex (Ω s ) =q dq ex (Ω s ) =σ dσ ex (Ω s )- Fonction de phase de la sphère P(Ψ sv ) : dW d(ΩdΩ s ,Ω v ) = E(Ω s ).σ d (Ω s ). P(Ψ sv)v 4πavec ⌡⌠ P(Ψ sv ).dΩ v = 4π où Ψ svest l'angle de phase, soit "π - angle entre (Ω s ) et (Ω v )". Pour une diffusion isotrope : P(Ψ sv ) = 1.La luminance diffusée par une sphère selon Ω v (i.e., puissance diffusée par unité de surface efficace d'extinctionσ ex (Ω v ) et par unité d'angle solide), sachant que pour une sphère σ ex (Ω v ) = σ ex ∀ Ω v , est :L(Ω v ) = E(Ω s ) . σ d. P(Ψ sv)σ ex 4π= E(Ω s).ω (Ω s ). P(Ψ sv)4πII. Diffusion de MieLa théorie de Mie donne les équations qui régissent la diffusion d'une onde électromagnétique par une particulesphérique. Elle résout l'équation d'onde dans un système de coordonnées sphériques en tenant compte de lacontinuité de certaines composantes du champ électromagnétique à l'interface de la sphère.L'équation d'onde (incidente ou diffusée) générale dans un système de coordonnées sphériques est:∝ lF(r,θ,φ,t) = Σ Σ [C l .h (1)l ( .rl=0 m=0 v 2) + D l.h (2)l ( .rv 2)] . [A lm.Ψ pairl,m(θ,φ) + B lm .Ψ impairl,m (θ,φ)] . e -i2π.ν.t- F(r,θ,φ,t) peut être le champ électrique ou magnétique de l'onde. Il représente la superposition d'ondes sepropageant vers et à partir du centre de la sphère ; loin de la sphère les champs varient en 1/r.- h (1)l ( 2π .r) et h(2)λ l ( 2π λ .r) sont les fonctions sphériques de Hankel du 1er et 2 ème type.- Ψ pairl,m(θ,φ) et Ψ impairl,m (θ,φ) sont les harmoniques sphériques paires et impaires.4πq ex0 5 10 15 20 25 30 3543n=1.33n=1.40n=1.4521Particule de quartz (mesure)n=1.45 + i 0.250κFigure 54 : Efficacité d'extinction q ex (κ,n) pour 4 valeurs de l'indice de réfraction n (n réel ⇒ q ex =q d ).

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 54Les expressions analytiques des efficacités d'extinction, d'absorption et de diffusion de la sphère ainsi que de lafonction de phase de la sphère peuvent être déterminées à partir de F(r,θ,φ,t). Ce sont des séries infinieslentement convergentes. Elles n'ont peu de termes que si le rayon a de la sphère est très petit devant la longueurd'onde λ. Elles sont appelées "solutions de Mie". Elles ne dépendent que de l'indice de réfraction (n = n r + i.n i ),du rapport κ = 2π.a/λ, et de la polarisation de l'onde incidente,- n réel : q ex varie comme κ 4 pour κ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 55Degré de polarisation0.8Rayleigh: κ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 56La section efficace différentielle de diffusion σ d (Ψ,Φ) de la charge q est définie par :dW d (Ω)dΩ= W i. dσ d(Ω)dΩε o .c.E 2 ioù Ω(θ,ϕ), dΩ = sinθ.dθ.dϕ, ϕ = Φ + cste, W =2met E i =q.ω 2 .[(ω 2 -ω 2 r + 2i.ω f .ω].γ⇒dσ d (Ψ,Φ)dΩ2 [sin= r 2 Φ+cos 2 Φ.cos 2 θ].ω 4e. [ω 2 r -ω 2 + 2i.ω.ω f ] 2 r e ≈4π.ε o .m.c2 rayon classique de l'électron.q 2Pour un milieu d'indice de réfraction moyen K (K = n 2 ), avec une densité N de diffuseurs polarisables :- Milieu peu dense :- Milieu dense :N.q 2m.ε o .[(ω 2 r-ω 2 ) + 2.i.ω.ω f ] = n2 (ω) - 1N.q 2m.ε o .[(ω 2 r-ω 2 ) + 2.i.ω.ω f ] = n2 (ω) - 1n 2 (ω) + 2⇒ dσ d(Ψ,Φ)dΩ= σ r (λ).[sin 2 Φ+cos 2 Φ.cos 2 θ]où σ r (λ) est la section efficace différentielle de diffusion arrière (rétrodiffusion) : σ r (λ) = dσ d(θ=π)dΩσ r (λ) = π2 .(n 2 -1) 2N 2 .λ 4 (milieu peu dense) et σ r (λ) = 9.π2 .(n 2 -1) 2N 2 .λ 4 .(n 2 +2)2 (milieu dense)Les rayons incidents et diffusés ont même longueur d'onde λ. La pulsation propre électronique ω o est dansl'UV. Dans la basse atmosphère (z < 100 km) : σ r (λ) ≈ 5.45.[ 550λ(nm) ]4 .10 -28 cm 2 .sr -1 . Par suite, au niveau de lamer (N≈2.55 10 19 mol.cm -3 ), le coefficient de rétrodiffusion atmosphérique volumique à λ = 0.5 µm estN.σ r (λ) ≈ 1.39 10 -8 cm -1 .sr -1 . Le terme σ r (λ) dépend des molécules : à 0.7 µm avec z < 100 km, σ r (λ) ≈ 2.10 -28 cm 2 .sr -1 , avec σ r (N 2 ) ≈ 2.14.10 -28 cm 2 .sr -1 , σ r (H 2 ) ≈ 0.44.10 -28 cm 2 .sr -1 et σ r (He) ≈ 0.03.10 -28 cm 2 .sr -1∀ΦDiffusion hémisphérique : σ d (λ) =⌠⌡4πdσ d (Ω)dΩ = 8π 3 .σ 8π .(nr(λ). Milieu peu dense : σ d (λ) =2 -1) 23 .π2 N 2 .λ 4 .[ 6+3.δ6-7.δ ]Le terme δ= W d ⊥W d//, où W d// = composante parallèle (verticale) au plan d'incidence (γ - , k - i), pour un milieu peudense, intervient, car la diffusion polarise. Dans l’atmosphère, δ est faible.Section efficace de diffusion selon θ (onde incidente non polarisée) : dσ d(θ)dΩ = 12π . ⌡ ⌠dσ d(θ,Φ)dΩ .dΦ = 12 .σ r(λ).(1+cos 2 θ)• Calcul de σ D à partir du rayonnement d'un dipôle excitéε o .c.E 2Soit un champ incident E (i.e. W i = ) sur une sphère de rayon a et de constante diélectrique K2sph = n 2 sph . Du3fait de sa polarisation, la sphère a un champ local E.K sph +2 et non E. Si |n sph|.a

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 572π.ab.) Résonance : κ =λ ≈ 1Par rapport au cas κ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 58géométriquement interceptée par la particule est absorbée ou diffusée par réfraction et réflexion, alors que lerayonnement qui passe à une distance inférieure à 2.a de la sphère est la cause majeure de la diffraction.La diffusion par diffraction est représentée par:dW diff(ΩdΩ s ,Ω v ) = E(Ω s ).σ.q diff (Ω s ). P diff(Ψ sv )v 4πavec q diff = 1 et P diff (Ψ sv ) = κ 2 .[2. J 1 (κ.sin(π-Ψ sv))]κ.sin(π-Ψ sv )2où J 1 est une fonction de Bessel du 1 er type d'ordre 1. La fonction J 1 (κ.sin(π-Ψ sv ))/κ.sin(π-Ψ sv ) oscille avecune intensité décroissante selon κ.sin(π-Ψ sv ). Elle est donc maximale (i.e., pic de diffraction) pour Ψ sv = ππdans un cône de demi angle ∆α =2κ = λ 4a .Le phénomène de diffraction ne dépend que de la dimension de la particule. Il ne dépend pas de sa nature. Ladiffraction d'une onde incidente non polarisée est donc non polarisée. La théorie de la diffraction ne peut êtreappliquée qu'aux particules isolées, car pour un milieu composé de particules qui se touchent (e.g. sol) ladiffraction est due aux espaces entre particules et non directement aux particules elles-mêmes.Rayonnement incidentRayonnement incidentChamp incidentLuminance diffractéeL diff (trou)Champ électriquediffractéLuminanceincidente + diffractéeChamp électriqueincident + diffracté0 0Principe de Babinet :Trou + disque ⇒ champ Ē=0⇒ Ē diff (disque) = -Ē diff (trou)⇒ L diff (disque) = L diff (trou)Rayonnement incidentChamp électriqueincidentSomme des champsincident et diffracté.Luminance diffractéeL diff (disque)Champ électriquediffracté Ē diff (disque)0 0Figure 58 : Principe de Babinet "les luminances diffractées par un trou et par un disque sont égales".• Réflexion de surfaceSoit un rayon incident sur une sphère avec un angle d'incidence (θ,dθ). La sphère a un effet défocalisant : uneonde directionnelle dont l'angle d'incidence varie de dθ par rapport à la sphère, est réfléchie dans un angle2.dθ. Ainsi, la surface circulaire dA = 2πa.sinθ.a.dθ de la sphère (Figure 59) diffuse de manière spéculaireentre les angles 2θ et 2(θ+dθ), dans l'angle solide dΩ = 2π.sin(2θ).d(2θ) = 8π.sinθ.cosθ.dθ.dW pol (Ω) = E(Ω s ).dA.cosθ.R pol (θ) = 2π.a 2 .E(Ω s ).R pol (θ).cosθ.sinθ.dθoù pol indique la polarisation verticale ou horizontale. R pol est la réflectance de Fresnel. L'on a :dW pol (Ω)dΩ = E(Ω s).σ. R pol(Ψ sv /2)où Ψ4πsv =2θ, dΩ = 2π.sinΨ sv .dΨ sv . et σ = π.a 2 .- Onde incidente de polarisation linéaire (angle de polarisation η) :

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 59- Onde incidente non polarisée :dW(Ω)dΩ= σ4π .E(Ω s).[cos 2 η.R //(Ψ sv /2) + sin 2 η.R ⊥(Ψ sv /2)]Vu que R h ≥ R v , si l'onde incidente est non polarisée, l'onde diffusée tend à être de polarisation horizontale.dW spe(ΩdΩ s ,Ω v ) = E(Ω s ).σ.q spe . P spe(Ψ sv )v 4π1où q spe .P spe (Ψ sv ) =2 .[R h( Ψ sv2 ) + R v( Ψ sv2 )] θ = Ψ sv2La fraction de l'onde incidente sur la particule qui est réfléchie de manière spéculaire est :π/21 dW speq spe =[R h(θ) + R v(θ)].cosθ.sinθ.dθ où dΩ = 8π.sinθ.cosθ.dθ.π.a 2 .E(Ω s ) . ⌡ ⌠ (ΩdΩ s ,Ω v ).dΩ v =v⌡ ⌠02π• RéfractionUn rayon incident sur la particule est réfracté à l'interface "atmosphère - particule", puis subit diversesréflexions internes pour finalement sortir de la particule avec une ultime réfraction.θ i2.dθFigure 59 :Réfraction par une sphèredθθ iθ iθ'θ'θ'2θ'-θ iθ idAθ'Ψ2θ i -2θ'θ iπ-4θ'+θ iConsidérons le cas d'un rayon de luminance L pol qui ne subit aucune réflexion interne, et dont l'angled'incidence sur la sphère est θ i . Une fraction R pol (θ i ).L pol (Ω i ) est réfléchie de manière spéculaire par lapremière surface. En supposant que les pertes par absorption sont faibles l'on a :R h (θ i ) = r 2 eh(θ i ) = [ cosθ i - n r .cosθ'cosθ i + n r .cosθ' ]2 et R v (θ i ) = r 2 ev(θ i ) = [ n r.cosθ i - cosθ'n r .cosθ i + cosθ' ]2La luminance réfractée [1-R pol (θ i )].L pol (Ω i ). cosθ iest transmise dans la sphère par réfraction selon la directioncosθ'θ'. Son facteur d'atténuation par absorption durant le trajet ∆l = 2a.cosθ' dans la sphère est exp(-α.∆l), où lecoefficient d'absorption est α = 4π.n i /λ. Elle va être pour partie réfléchie dans la sphère, avec un angled'incidence "interne" égal à θ'. En fait, les coefficients de réflexion interne pour une incidence θ' sont égauxaux coefficients de réflexion externe pour une incidence θ i . La fraction réfléchie est donc R pol (θ i ) et la fractiontransmise est [1-R pol (θ i )] 2 .e -α.∆l . cosθ' , avec |Lcosθ pol (Ω')| = |L pol (Ω i )|.[1-R pol (θ i )] 2 .e -α.∆l . Il faut noter que pour touteidirection, les rayons restent dans le plan d'incidence.L'angle de phase entre l'onde incidente sur la sphère et l'onde réfractée, sans réflexion interne, est : Ψ = π-2.(θ i -θ'), avec n.sinθ' = sinθ i . Ψ est minimal pour θ i = π/2 ; Ψ min = 2.θ c , où θ c = sin -1 (1/n) est l'angle critique deréflexion interne. Le demi angle du cône compatible avec la réfraction avant est donc π-Ψ min , soit π-2.θ c .L'énergie réfractée après un seul trajet dans la sphère est :dW 1,pol (θ i ) = E pol (Ω s ).dA.cosθ i .[1 - R pol (θ i )] 2 .e -α.∆ldans dΩ v = 2π.sinΨ.dΨdW 1,pol (θ i)dΩ v= E pol (Ω s ).2π.a 2 .[1 - R pol (θ i )] 2 .e -4.n i.κ.cosθ' . sinθ i .cosθ i .dθ i2π.sinΨ.dΨ

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 60L'énergie réfléchie vers l'intérieur de la particule peut être atténuée et réfléchie plusieurs fois avant d'êtrefinalement réfractée hors de la particule. A chaque "réflexion interne + atténuation", l'onde est : (1) atténuéed'un facteur R pol (θ i ), (2) atténuée d'un facteur exp(-4π.κ.n i .cosθ'), et (3) déviée d'un angle additionnel (π -2.θ'). L'intensité réfractée dans l'angle solide dΩ v après N trajets dans la particule est :dW N,pol (θ i)dΩ v= E pol (Ω s ). σ 4π .[1 - R pol(θ i )] 2 .[R pol (θ i )] N-1 .e -4N.n i.κ.cosθ' .F N (Ψ,θ i ,θ')On appelle facteur de focalisation le terme F N (Ψ,θ i ,θ') = | 4.sinθ i .cosθ isinΨ.(dΨ/dθ i) |où Ψ = |N.π + 2θ i - 2N.θ'|dΨ= 2.(1-N. dθ'1-sin) = 2.[1 - N.2 θ idθ idθ in 2 -sin 2 ]θ iLe terme dΨ/dθ i peut s'annuler. L'existence de directions pour lesquelles l'énergie réfractée est infinie est dueà une limite de validité de l'optique géométrique. L'intensité réelle, bien évidemment finie, doit être calculéeavec la théorie de Mie. L'optique géométrique permet cependant de calculer les angles d'incidence, et donc dephase, pour lesquels surviennent les pics de diffusion par réfraction :Pic de réfraction ⇔ sinθ i =N 2 - n 2N 2 - 1Pour les gouttes d'eau, le pic de diffusion pour N = 2 correspond au phénomène de l'arc en ciel principal. Dansle visible, on a n = 1.33, si bien que θ i = 59.4°, θ' = 40.2° et Ψ = 42°.πLe phénomène "glory", autre type de singularité de F N (Ψ,θ i ,θ'), survient si Ψ = 0 avec θ i ≠ 0 et θ i ≠2 .La diffusion par réfraction est la somme des "réfraction + réflexion interne" successives d'ordre N :dW ref,pol (θ i)= E(ΩdΩ s ). σv 4π .[1 - R pol(θ i )] 2 ∝Σ (R pol (θ i )) .Ν=1N-1 .e -4Nn ii.κ.cosθ'.F N (Ψ,θ i ,θ')En fait, il est souvent considéré seulement les ordres 1 et 2 :Réfraction d'ordre 1 : pour un rayon axial, θ i =0, Ψ=π, F 1 (π,0,0)=(1-1/n) -2 . Si pour le même point d'entrée surla sphère θ i augmente, l'angle de phase Ψ décroît de π à 2θ c . La particule concentre donc l'énergie incidentedans un cône de largeur 2θ c .Réfraction d'ordre 2 : pour un rayon axial θ i =0, F 2 (0,0,0)=(1-2/n) -2 . Si pour le même point d'entrée sur lasphère θ i augmente, Ψ croit de 0 jusqu'à l'angle associé à l'arc-en-ciel. Si θ augmente encore, les rayons, depar la loi de Snell et la courbure de la sphère, ne peuvent sortir de la particule avec un angle de phasesupérieur. Ψ décroît ensuite jusqu'à la valeur minimale (3π-4.sin -1 (1/n)) associée à θ i = π/2 et sinθ' = 1/n. Si nest suffisamment petit on peut avoir Ψ>2π (Ψ = 2π : phénomène du glory).La diffusion totale induite par une sphère de grande dimension est donc :⇒ q d,pol .P d,pol (Ψ sv ) =dW d,pol (θ i)dΩ v= dW diff(θ i)dΩ v+ dW pol,spe(θ i)dΩ v+ dW ref,pol(θ i)dΩ v4πE pol(Ω s ).σ .dW d,pol(θ i)dΩ vL'efficacité de diffusion totale est donc : q d,pol = 1= κ 2 .[2. J 1 (κ.sin(π-Ψ sv))]κ.sin(π-Ψ sv )2 + R pol (Ψ/2)∝+ [1 - R pol (θ i )] 2 . Σ [R pol (θ i )] N-1 .e -4N.ni.κ.cosθ' .F N (Ψ sv ,θ i ,θ')4π . ⌡⌠4πOnde incidente non polarisée: q d .P d (Ψ sv ) = κ 2 .[2. J 1 (κ.sin(π-Ψ sv))κ.sin(π-Ψ sv )Ν=1q d,pol .P d,pol (Ψ sv ).dΩ] 2 1+2 .[R h( Ψ 2 )+R v( Ψ 2 )] + 12 . ∝Σ {[1 - R h (θ i )] 2 .[R h (θ i )] N-1Ν=1+ [1 - R v (θ i )] 2 .[R v (θ i )] N-1 }.e -4N.ni.κ.cosθ' .F N (Ψ sv ,θ i ,θ')

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 6110010κ>>1n=1.5Fonction de phaseTotalFigure 60 : Fonction de phasethéorique d'une grande sphère(n=1.5, κ=100).Déduit de l'optique géométrique(diffraction exclue).10.10.010°RéfléchiRéfractéRéfractéAngle de phase30° 60° 90° 120° 150° 180°Cette fonction est proche de lafonction de phase "exacte" deMie. La diffraction explique lepic étroit à Ψ=180° (nonreprésenté ici). Le pic large"avant" est du à la réfraction,après un seul trajet interne. On aun pic à 21° (arc en ciel) et 0°("glory").1Degré de polarisation0.50-0.5κ>>1n=1.5Angle de phase-10° 30° 60° 90° 120° 150° 180°Degré de polarisation théoriqued'une grande sphère (κ=100 ;n=1.5).Déduit de l'optique géométrique.La réflexion de surface induit unepolarisation positive, l'onderéfractée après un trajet interne estpolarisée négativement. L'onderéfractée après réflexion interneest polarisée positivement. L'ondeassociée à l'arc-en-ciel estpolarisée positivement. Lapolarisation du glory peut êtrepositive ou négative.Ainsi, en résumé : dW d(Ψ,Φ)dΩ= W i .σ.q d . P(Ψ,Φ)4π- κ 1 l'efficacité de diffusion q d est sensiblement égale à q spe . La sphère est alorsdite opaque ; sa réflectance de surface reste cependant faible : q d ≈ q spe

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 62∝- Polynômes de Legendre : p(Ψ) = Σ b j .P j (Ψ). Cette représentation est surtout utile si la diffusion est peuj=0anisotrope, car un nombre limité de polynômes de Legendre est alors nécessaire.- Polynômes de Henyey-Greenstein : p(Ψ) =(1-g 2 )[1+g 2 -2g.cosΨ] 1.5où l'hypothèse d'une diffusion de symétrie azimutale (e.g., particule sphérique) permet de définir le facteurd'asymétrie g = = 1+1cosΨ.P(Ψ).dΩ = 1 +12 . ⌡⌠ cosΨ.P(cosΨ).d(cosΨ)4π . ⌡⌠-1Cette fonction est normalisée. Elle est isotrope (p(Ψ)=1) pour g=0. La diffusion est surtout avant si g>0 etest surtout arrière si g

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 63Diffusion deRamanRésonance(diffusion)FluorescenceAbsorptionDiffusion inélastique par desmolécules : E=hν-hν'.Résonance si le niveau virtuelest proche du plus faibleniveau d'énergie E i devibration du plus faible niveaud'énergie électronique.Correspondance entrefréquence incidente ettransition atomique ⇒ grandesection efficace de diffusionélastique.hν proche de ∆E, où l'étatexcité est un état de vibrationassocié à un état d'excitationélectronique.Résonance si hν ≈ ∆E.Les collisions moléculairespeuvent occasionner destransitions rotationnellesavant l'émission hν'. Il endécoule une bande large prèsde hν'.Fréquence = banded'absorption d'une moléculeE iniveau virtuelhν'hν ___ niveau de vibration __________ niveau de base ________hνStokes ∆E Anti Stokes_____________hν_____________-------------------------------------____________hνhν'niveau exciténiveau de baseniveau d'excitationélectronique--------- niveaux vibrationnels---------- du niveau de base_____________ niveau de basehν_____________ niveau excité_____________ niveau de baseTableau 1 : Interactions pour des ondes monochromatiques cohérentes.ElastiqueNonélastiqueMécanisme σ(Ω s ,Ω v ) (cm 2 .sr -1 ) Durée de vie (s)Diffusion de RayleighDiffusion résonanteDiffusion de MieDiffusion ordinaire de RamanDiffusion résonante de RamanFluorescenceFluorescence résonanteFluorescence à bande largeAbsorption résonante10 -27≤10 -1410 -27 à 10 -2010 -27 à 10 -910 -30 à 10 -2910 -30 à 10 -23≈10 -2310 -23 à 10 -16≈10 -16≈10 -15 cm 2 (totale)10 -14 à 10 -6≤10 -14 (selon taille d'aérosol)≤10 -14≤10 -14 à ≤10 -8≤10 -10 à ≤10 -8≤10 -8 à ≤10 -1≈10 -8Tableau 2 : Sections efficaces et durées de vie de mécanismes.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 64Annexe 6 : EMISSION THERMIQUE ET EQUILIBRE THERMODYNAMIQUEI. THEORIE CLASSIQUE DE LA DISPERSIONUne onde qui se propage dans un milieu le polarise et y crée une conduction. Ceci est souvent représenté pardes paramètres macroscopiques (e.g., constante diélectrique K et indice de réfraction n = K). L'expressionanalytique de la relation de dispersion K(ω) est démontrée ici à partir de descriptions microscopiquesschématiques de la polarisation (modèle de Lorentz) et de la conduction (modèle de Drude) de la matière.I.1 POLARISATION DE LA MATIEREI.1.1 DéfinitionsConsidérons ici l'action d'une onde électromagnétique (Ē, B - ) de polarisation rectiligne selon Ox (i.e. Ē//Ox) surun milieu isolant (non conducteur) constitué de particules de charge q, de masse m et de densité N. Toutecharge q est soumise à la force de Laplace : F - = q.(Ē + ūxB - ) où ||Ē|| = c.||B - ||q.ūxB - est négligé devant q.Ē, car on suppose u

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 65I.1.2 Polarisation électronique et ionique (modèle de Lorentz)Le modèle de Lorentz donne l'équation du mouvement oscillatoire d'oscillateurs (e.g., électrons ou ions demasse m et de charge q) dans un plasma unidimensionnel.mx" + 2ω f .m.x' + m.ω 2 o .x = q.E (position centrale d'équilibre : x = 0)q.E est la force de Laplace, m.ω 2 .x est la force de rappel élastique et 2ω o f.m.x' est la force de freinage.• Sans forçage (E=0)On a alors : x = x o .exp[(i ω 2 o -ω2 f - ω f).t] = x o .exp[iω res .t] où ω res = ω 2 o -ω2 f + i.ω f.La position de la charge q est x = x o .e -ω f .t .cos( ω 2 o -ω2.t). Le terme f e-ω f .t est la diminution de l'amplitude x o avec le1 1temps, du fait de la force de freinage -2ω f .m.x'. L'énergie instantanée est: W =2 .m.x'2 +2 .m.ω2 o .x2 . L'énergiemécanique moyenne sur une période T =2πω 2 o -ω2 f1, à l'instant t est T =2 .m.ω2 o .x2 o .e-2ω f.t = T .e -2ωf.t .L'énergie W décroît par rayonnement (désexcitation radiative) et collision (désexcitation collisionnelle). Lefacteur de freinage 2ω f (i.e., facteur de relaxation ou de friction) est le taux de perte sur une période T : < dW dt> T = -2ω f . T . Le temps de désexcitation (i.e., durée de vie : W(τ) = W(0).e -1 1) de W est τ = .2ω fVu qu'à l'instant t, un dipôle de charge q rayonne < dW dt > T = q 2 .x 2 o .ω 4 o12π.ε o .c 3 .e -2ωf.t 1et que T =2 .m.ω2 o .x2 o .e-2ω f.t , on a :q 2 .ω 2 o12ω f ≈6π.m.ε o .c 3 . La raie {ω o } a une largeur naturelle ∆ω =τ = 2ω f, soit ∆λ = 2π.c.∆ωω 2 =oq 23.ε o .m.c 2 .Exemple: la raie à 600nm de l'atome Na (ω o ≈ 3.10 15 s -1 1) s'amortit en τ = = 10 -8 1s, soit . ω o2ω f 2ω f 2π≈ 10 7 oscillations. L'élargissement naturel associé, i.e. ∆λ ≈ 1.2 10 -4 A (

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 66Avec un seul type de particules, la constante diélectrique K = K r + i.K i = ε ε oa pour composantes :ω 2 pK r = 1 +.(ω2 r -ω2 )-2ω 2(ω 2 r-ω 2 ) 2 + 4.ω 2 et K i =.ω p f.ωf .ω2 (ω 2 r-ω 2 ) 2 + 4.ω 2 avec la fréquence plasma ω p =f .ω2N.q 2m.ε oq 2ω 0 et anormale si ∂K r∂ω < 0.Remarque : les relations de dispersion K r (ω) et K i (ω) devraient faire intervenir les états quantiques de lamatière. Pour cela, il faut remplacer les termes N j par N.f j où f j est la probabilité relative de transition jentre 2 états d'énergie E i et E k et de probabilités d'apparition relative D i et D k (Σ i D i = 1).I.1.3 Polarisation des dipôlesLa polarisation d'un milieu composé de dipôles permanents dépend de la polarisabilité dipolaire statique p23kT etdu temps de relaxation τ, i.e. temps pour que la polarisabilité d'un milieu initialement soumis à un champstatique diminue du facteur e. Ce temps décroît si la température augmente. Soumis à un champ E = E o .e i(ωt-kz) ,un milieu composé d'électrons, d'ions et de dipôles permanents (e.g. H 2 O) de température T a la polarisation :p 2P e = N.[a e + a i + a d ].E où a d =3kT . 11+i.ω.τ ⇒ N.a pol = N.[a e + a i + p 23kT . 11+i.ω.τ ] = ε o.(K-1)Si ω 2π >> 1τ la polarisation d'un milieu n'est qu'électronique ou ionique : P e = N.(a e +a i ).E.Rappel : Pour un milieu dense : N.a pol = 3ε o . K - 1K + 2

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 67La polarisation d'orientation dipolaire explique les variations spectrales de K r (ω) et K i (ω) des molécules d'eau(Figure 43). Pour ω ≈ 2π τ (i.e., ν ≈ 104 MHz, λ ≈ 3cm), K r (ω) décroît de 80 à 5.5, et K i (ω) est maximal. AuxNbasses fréquences, seule sa composante statique intervient : K(ω) → K s = 1 + .[aε e + a i + ]. Cette dernièreo 3kTdisparaît pour ω > 10 12 Hz (λ < 0.03 cm). Elle croît si la température diminue. La conductivité ionique σ due à lasalinité affecte beaucoup K i (ω) aux basses fréquences.Par suite, dans le domaine spectral où la polarisabilité dipolaire joue un rôle, i.e. entre les basses fréquences etles fréquences de résonance ionique et électronique, K(ω) peut s'écrire :K(ω) = K h + K s - K h1 + iω.τ eK h = K(0), K s = K(∝) et τ e est le temps de relaxation effectif: τ e = τ. K h + 2K s + 2 (Born, 1965). τ e remplace τ, car lechamp local n'est pas le champ externe mais le champ de Mosotti. τ e est proportionnel à la viscosité η du milieu,au volume effectif du dipôle et à l'inverse de la température. Pour une molécule sphérique de rayon a : τ e ≈η. 4.π.a3k.T . Ainsi, pour l'eau à 20°C: η≈0.01 Poise. Si a = 1 A, on a τ e = 0.3 10-10 s. En fait, il faut prendre a = 0.3 A,car le temps de relaxation observé est 10 -12 s.p 21 0 28 03 01 51 011 01 0 -11 0 -3K rEC o n d u c t iv it é ( S / m ) σECC , FAG ( - 1 à - 1 0 ° C )ADBB1 0 -51 0 -2 1 1 0 2 1 0 4M H zDFG ( - 1 ° C )G ( -1 0 ° C )Figure 63: Constante diélectrique réelleet conductivité :A) Eau de mer (20°C, salinité normale),B) Sol humide,C) Eau douce à 20°C,D) Sol plutôt sec,E) Sol très sec,F) Eau pure à 20°C,G) Glace d'eau douce.Les sols se comportent comme desdiélectriques (forte permittivité, basseconductivité) aux basses fréquences etcomme des conducteurs aux hautesfréquences.I.2 Conduction (modèle de Drude)Les propriétés électriques des conducteurs concernent le comportement des électrons libres présents (e.g.,électrons de valence des métaux). N'étant pas soumis à une force de rappel (ω r = 0 dans le modèle de Lorentz),ces électrons ont l'équation du mouvement: m.x" = -qE - 2ω f .m.x'. Le coefficient de friction 2ω f ne représenteplus les pertes par rayonnement mais par collision. Il est proportionnel à la fréquence des collisions desélectrons avec le réseau ionique/moléculaire: 2ω f = 1/τ.N e .q 2 .EN e .q 2• Régime stationnaire (E = cste) : j = N e .q.x' = = σ2.m.ω o .E où σ o = et Nf 2.m.ω e = densité volumique d'électronsf• Régime harmonique (E = E(ω)) : j = σ.E où σ =1+iω.τ et τ = 12ω fσ oLe remplacement de ε(ω) par ε(ω) + i. σ(ω)ωdans des relations comme celle de Maxwell ik- xB - = µ o .j - - iε.µ o .ω.Ēpermet d'étendre aux milieux conducteurs les relations développées pour les milieux non conducteurs. Ainsi,pour un milieu sans polarisation dipolaire (ω > ω pol dipolaire ) :N e .q 2 1ε(ω) = K(ω).ε o = ε o + .2m.ω f ω.(1 + i.ω.τ) + Σ N j .q 2jm j .[(ω 2 rj -ω2 ) + 2.i.ω.ω fj ]N e : densité d'électrons libres et N j : densité d'électrons liés au réseau j.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 68II RAYONNEMENT ET EQUILIBRE THERMODYNAMIQUECe chapitre introduit les phénomènes d'absorption et de diffusion électromagnétique, la notion de milieu enéquilibre thermodynamique avec son rayonnement, et le mécanisme d'émission thermique.II.1 Mécanismes d'interaction1.) Absorption vs. DiffusionL'interaction "onde - matière" est décrite ici en considérant la matière comme un ensemble d'édifices atomiques quioscillent à des fréquences spécifiques dans des intervalles très étroits centrés sur les fréquences dites de résonanceω r (≡ différence entre des niveaux d'énergie discrets E i de la matière). L'onde incidente polarise l'édificeatomique. Cette polarisation devrait être calculée par la mécanique quantique. Ici, elle est calculée avec unmodèle plus simple (i.e., plus facile à comprendre), mais cependant assez précis : le modèle de l'électronélastiquement lié.Le rayonnement intercepté par un édifice atomique est soit absorbé soit diffusé. Si la fréquence de l'ondeincidente est proche d'une fréquence de résonance de l'édifice atomique, il y a absorption. Ce phénomène estalors intense, mais discret (i.e., intervalles spectraux spécifiques). L'énergie absorbée tend à faire croîtrel'énergie interne de l'édifice. Elle est ensuite rayonnée par l'édifice à des fréquences autres que la fréquence del'onde incidente. Contrairement à l'absorption, la diffusion peut survenir à toute longueur d'onde. C'est unphénomène à spectre large. L'onde diffusée a la même fréquence que l'onde incidente. La diffusion atténuel'onde sans l'absorber, car elle distribue tout ou partie de l'onde interceptée dans tout l'espace 4π.Une onde ν interagit d'autant plus avec un édifice atomique qu'il y a résonance, soit si ν = ν r , où hν r ≈ hν ij = E pj - E pi ,avec E pi et E pj des niveaux discrets de l'oscillateur et h = 6.625 10 -34 W.s 2 = 4.1 10 -15 eV.s. Le pic de résonance1(ω r ) a une largeur fréquentielle ∆ω égale au facteur de friction 2.ω f du milieu et une durée de vie τ r = .2.ω fE jν jlν ji νν lk liν ijν jk Emission (∆E ij

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 69__ ∂Ā- Ē = -gradV -∂t ⇒ E 2.cosθr (r,t) = .[ p(t-r/c)4π.ε o r 3 + p'(t-r/c)c.r 2 ]sinθE θ (r,t) = .[ p(t-r/c)4π.ε o r 3 + p'(t-r/c)c.r 2 + p"(t-r/c)c 2 ].rE φ (r,t) = 0- B - __ µ o .sinθ= rot Ā ⇒ Bφ (r,t) =4π.[p'(t-r/c) r 2 + p"(t-r/c)]r.cB r (r,t) = B θ = 0Figure 65 : Diffusion de dipôle (v i > ∆η i ∀i)Onde incidenteE inE φ+q θ-q∆η iB inE rE θUn dipôle au repos crée un champ électrique statique alors qu'un dipôle oscillant crée des champs oscillants.Loin d'un dipôle oscillant, seuls les champs en r -1 sont non négligeables. Etant proportionnels à l'accélérationp", ces champs (i.e., E θ = ω 2 . p o.sinθ4π.c 2 . 1 .ε o r et B φ = E θc ) sont en phase, et constituent donc une onde plane. (E θ, B φ , - r)forme un trièdre. Pour les directions 'θ = 0°' et 'θ = 180°', E θ = 0 (i.e., polarisation verticale nulle), car le dipôlen'est pas "vu" osciller. A grande distance, un dipôle rayonne (i.e., vecteur de Poynting |Π - diff(t,r,θ)| = ε o .c.E 2 θ ) :- Eclairement directionnel instantané (W.m -2 ) : |Π - diff(t,r,θ)| = ε o .c.E 2 θ = p" 216π 2 .ε o .c 3 . sin2 θr 2 = c.π2 .sin 2 θε o .r 2 .λ 4 .cos 2 ωt- Eclairement directionnel moyen (W.m -2 ) : |Π - diff(r,θ)| = temps =32π 2 .ε o .r 2 .c 3 =2ε o .r 2 .λ 4 .p 2 o- Intensité rayonnée (W.sr -1 ) : |Π - diff(θ)| = |Π - diff(θ)|. r2 .dΩdΩ =- Puissance moyenne rayonnée (W) : P r (ω) = ⌡ ⌠ |Π - diff(θ)|.dS = ⌡ ⌠sphèreω 4 .sin 2 θ32π 2 .ε o .c 3 .p 2 o =sphèredS = r 2 .dΩ = r 2 .sinθ.dθ.dφ où θ∈[0 π] et φ∈[0 2π]. sin 3 3θ =4 .sinθ- 1c.π 2 .sin 2 θ2ε o .λ 4 .p 2 o temps .dS =2 o.ω 4 412π.ε o .c 3 =3 . c.π3ε o .λ 4 .p 2 oπ4 .sin3θ ⇒ ⌡ ⌠0sin 3 4θ.dθ =3 et ⌡ ⌠sphèresin 3 θ.dΩ =Le dipôle peut être créé par une onde Ē in (t,ω) = E o .cosωt incidente sur une molécule de polarisabilité a pol . On aalors "p - (t,ω) = a pol (ω).Ē in (t,ω) = p o .cosωt où p o = a pol (ω).E o ". Ici, l'énergie interceptée est diffusée. Vu quel'éclairement incident intercepté est temps = o, le dipôle est caractérisé par :2- une section efficace de diffusion différentielle élastique: σ d (ω,θ) =P r (ω)- une section efficace de diffusion élastique : σ d (ω) =|Π - in| = ω 4. a pol26π.ε 2 oc 4 = 8|Π - diff(θ)||Π - ω 4 .sin 2 θ=in| 16π 2 .c 4 . a 23 .π3ε 2 o. a 2polλ 4 (m 2 )σ d varie en fonction de ω, comme a 2pol . Loin de la polarisation dipolaire (ω > ω pol dipolaire) :8π- ω>>ω r : |a pol | = a e →m.ω 2 ⇒ σ d → σ T =6π.m 2 .ε 2 o.c 4 =3 .r2 e≈ 6.6 10 -29 m 2 section efficace Thomson, en appelantrayon classique de l'électron r e =4π.ε o .m.c 2 .σ T- ω ≈ ω r : σ d ≈4 . ω 4(ω-ω r ) 2 + ω 2 . ω2 f σ Tf ω 2 →r 4 .ω2 rπ.q 21car |a e | ≈ (a e ) = .Φ(ω) où Φ(ω) =2m.ω r π .- ω

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 703.) Absorption et émission de rayonnement par la matièreConsidérons un milieu constitué par une densité N de dipôles éclairés par un rayonnement E(ω) peu variableselon ω. Si ω > ω pol dipolaire , les densités volumiques de puissance (W.m -3 ) absorbée et diffusée sont :- Puissance instantanée spectrale absorbée (W.m -3 .m -1 ): P a (t,ω) = (N.q.E.x') = N.ω. (a pol ).E 2 (t,ω)On a aussi P a (t,ω) = α a (ω).c.ε o .E 2 (t,ω), où α a (ω) = N.σ a (ω) et σ a (ω) est la section efficace d'absorption totaled'un dipôle. Vu que α a (ω) = N. ω c . (a pol )π.q 21, on a : σε a (ω) = σ a .Φ(ω), où σ a ≈ et Φ(ω) =o2.m.c.ε o π . ω f(ω r -ω) 2 + ω 2 f- Puissance moyenne spectrale absorbée (W.m -3 .m -1 1) : P a (ω) = < (N.q.E.x')> T =2 .ω.N. (a pol).E 2 (ω)- Puissance moyenne totale absorbée (W.m -3 1): P a = ⌡⌠P a(ω).dω ≈q 22 .ω r.N. .2ω2.m.ω r .ω f .E 2 (ω r ) = N. q2f 2.m .E2 (ω r )- Puissance moyenne spectrale rayonnée (W.m -3 .m -1 N) : P r (ω) =12π . ω4ε o .c 3 .|a pol | 2 .E 2 (ω)NPour ω ≈ ω r : Max(a pol ) ≈ (a pol (ω)) ⇒ P r (ω) ≈12π . ω4ε o .c 3 .Max(a pol ). (a pol ).E 2 N q 2 .ω 3 r(ω) ≈ .2ω f 12π.m.ε o .c 3 .(a pol (ω)).E 2 (ω)Près du pic d'émission/absorption (ω ≈ ω r ), P a (ω) et P r (ω) varient tous deux comme (a pol (ω). Ceci est cohérentau fait que le nécessaire équilibre radiatif d'oscillateurs mécaniquement isolés (i.e., P a (ω) = P r (ω) ∀ ω) impliquel'égalité des profils spectraux d'émission et d'absorption : Φ a (ω) = Φ r (ω). Pour cela, ω f doit être égale au ω f1associé à la désexcitation radiative d'un dipôle : ω f =3 . q 2 .ω 2 2r4π.ε o .m.c 3 = 13 .r ec .ω2 r.4.) Emission et détection par une antenneL'émission (resp. absorption) dipolaire est à la base de l'émission (resp. réception) des antennes micro-ondeset radio. Ainsi, un courant oscillant j(z) dans une antenne de longueur L selon l'axe Oz crée des dipôlesoscillants qui engendrent le champ électromagnétique cohérent et polarisé :E θ (r,θ,t) =⌠⌡L-p".sinθ4π.ε o .r.c 2 .exp[-iω(t- r(z)c )]p" = j'(z).dz. La distribution spatiale de E θ (r,θ,t) est sous forme de lobes du fait de la diffraction. Lalargeur du 1 er lobe de l'émission radar est égale à ∆θ= λ L . Pour une antenne demi-onde : L = λ2 . Quelle est la bande passante ∆ν minimale pour bien détecter l'impulsion E(t) = E o .cos(2π.ν o .t) où t ∈ [- ∆t ∆t2 2 ] ?Le spectre (i.e., transformée de Fourier) de E(t), i.e. E(ν) = E o . ∆t2 .[sin[π.(ν o-ν).∆t] sin[π.(ν o +ν).∆t]+] (Figure 67), a 2π.(ν o -ν).∆t π.(ν o +ν).∆tcomposantes centrées sur ν = ν o et ν = -ν o , de largeur ∆ν = 2/∆t (distance des 1 ers zéros de E(ν) à ν o ou -ν o ). Lamajeure partie de l'information spectrale est dans [ν o -∆ν/2 ν o +∆ν/2]. La durée et l'instant d'arrivée del'impulsion ne sont donc mesurés avec précision que si la bande passante du récepteur est ≥ ∆ν. Le signal n'est1cplus cohérent après un temps t tel que 2π.(ν - ν o ).t > π, soit après t > (i.e., propagation∆ν ∆ν ).E (t)E(ν)tνν o∆ t : durée de l'im pulsion∆ ν= 2 ∆ tFigure 67 : Spectre E(ν) d'une impulsion sinusoïdale de durée ∆t.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 715.) Milieu en équilibre thermodynamique avec son rayonnement• Température à l'équilibre thermodynamiqueSoit un gaz monoatomique (densité volumique N, masse m, vitesse v) dans un récipient. Il exerce la pression2P =3 .N.. Or P = 2.U, car l'énergie interne U d'un gaz monoatomique est son énergie cinétique3atomique. La température T est souvent définie à un facteur multiplicatif près comme la mesure de l'énergiecinétique des centres de masse des molécules, soit ici des atomes. Ainsi, à l'équilibre thermodynamique, toutatome a une énergie 1 2 .k.T par degré de liberté. Par suite, U = 3.N.k.T, où k est la constante de Boltzmann2(1.38 10 -23 W.s.K -1 = 8.6 10 -5 eV.K -1 ). Ceci est cohérent avec la loi expérimentale des gaz parfaits, i.e.P = N.k.T. De même, pour un gaz composé de 2 types d'atomes, à l'équilibre thermodynamique, tout atome ala même énergie cinétique 1 .k.T par degré de liberté. D'autre part, l'énergie cinétique d'une molécule de r2atomes est 3 2 .r.k.T ; i.e., somme de l'énergie cinétique de son centre de masse (3 .k.T) et de l'énergie cinétique2interne 3 .(r-1).k.T de ses mouvements de vibration et de rotation. Ainsi, l'énergie cinétique totale d'une2molécule diatomique est 3.k.T, avec 3 2 .k.T pour le centre de masse, 1 .k.T pour le mouvement oscillatoire et2k.T pour les 2 mouvements de rotation. L'énergie interne de la molécule est 7 .k.T, car c'est la somme de2l'énergie cinétique totale et de l'énergie potentielle de l'oscillateur, sachant que cette dernière est égale àl'énergie cinétique moyenne d'oscillation.• Loi de BoltzmannCette loi relie la température T, la densité volumique N et l'énergie potentielle E p des particules d'un milieu.Soit F la force dirigée selon l'axe Ox appliquée à toute particule d'une couche dx d'un tel milieu. On a :F(x).N(x).dx = dP(x) = k.T(x).dN ⇒ F(x) = k.T(x). dln(N)dx. Si F est conservative, avec F - = -∇E - p , la distributionN(E p ) suit la loi dite de Boltzmann : N = N o .e -Ep/k.T . Les niveaux d'énergie étant discrets, l'on a :-Ep,i/k.TN i = N o .e etN i = N j .e -(Ep,i -E p,j )/k.T- ∆E p

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 72Collisions élastiques : elles sont beaucoup moins intenses que les collisions inélastiques, mais elles affectentla phase et la durée de vie des oscillations, du moins si τ ce

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 73- Méthode classique : le modèle électronique de Lorentz, la loi de Boltzmann et la loi d'émission / absorptiond'un dipôle sont appliqués à un gaz d'oscillateurs à l'équilibre thermodynamique avec son rayonnement. Ceciest le cas d'un gaz peu dense (i.e., peu de collisions) d'oscillateurs dans une enceinte 100% réfléchissante. Ici,ce gaz a une température T, une densité N, une polarisabilité a e et un facteur de friction 2ω f . Les oscillateurssont de simples dipôles (i.e., électron oscillant dans un atome). L'approche est cependant extrapolable à desoscillateurs quelconques (e.g., transitions ro-vibrationnelles de molécule).a) Méthode des coefficients d'Einstein- Equilibre thermodynamiqueTrois mécanismes résonants peuvent survenir entre 2 niveaux d'énergie E i et E j d'un oscillateur :• AbsorptionLe taux d'absorption est proportionnel à la densité de molécules N i dans le niveau E i , à la densité d'énergiede l'onde incidente u ν , par unité de fréquence à la fréquence ν = ν ij , et à une constante B ij qui dépend dumilieu. La probabilité de passage est P ij = N i .B ij .u ν .• Emission spontanéeUne molécule de niveau E j peut passer spontanément (i.e., sans influence externe) à un niveau d'énergie i.Sa probabilité de transition spontanée dépend de l'agitation thermique. Elle est proportionnelle à N j .A ji , oùN j est la densité de molécules (loi de Boltzmann) de niveau j et A ji le taux de variation spontané de N j , de E jvers E i , tel que dN j = -A ji .N j . Par suite, la durée de vie d'un état excité j (i.e., temps pour que le nombre N j demolécules de niveau j diminue d'un facteur e par la transition spontanée "niveau j → niveau i") est τ j = 1/Σ iA ji . Pour les états électroniques, la durée de vie typique est comprise entre 10 -9 s et 10 -6 s.• Emission stimulée ou induiteL'émission à la fréquence ν ij de molécules excitées au niveau E j peut être stimulée par une onde incidente defréquence ν = ν ij . La probabilité d'émission stimulée à partir de E j est proportionnelle à la densité N j demolécules à ce niveau, à la densité d'énergie incidente u ν de fréquence ν ij , et à un coefficient B jicaractéristique du milieu : N j .u ν .B ji . Dans le domaine spectral du visible : A ji > B ji .u ν .Les coefficients d'Einstein A ji , B ji et B ij sont les probabilités de changement d'état moléculaire par unité detemps par émission spontanée, émission stimulée et absorption. Ils sont calculés avec l'expressionR ij= ⌡ ⌠Ψ i * .P.Ψ j .dv où Ψ i et Ψ j * sont les fonctions d'onde (1) et P la densité volumique de moment polaire.L'équilibre thermodynamique de la matière avec son rayonnement implique l'équilibre radiatif :P a (ω) = P B (ω) ∀ω ⇔ N i .B ij .u ν = N j .[B ji .u ν +A ji ]L'émission spontanée A ji .N j étant diffuse et incohérente avec l'onde incidente, la perte d'énergie d'une ondeincidente de fréquence ν = ν ij est (N i -N j ).B ij .u ν . Le coefficient d'absorption à la fréquence ν est donc (N i -N j ).B ij . On a absorption si N i >N j , et amplification (lasers) si on peut avoir N j >N i .- Loi de BoltzmanCompte tenu de la loi de Boltzmann (i.e., N i = N j .e -(Ep,i -E )/k.T p,j), à ν=ν ij on a : u νij = hν ij(J.m -3 .Hz -1 ).B ji .e kT - B ijCette densité d'énergie u ν correspond à un rayonnement non polarisé et incohérent dans l'espace et le temps.Vu que T infini impose u ν infini, le maintien de l'équilibre radiatif à T infini implique B ij =B ji .- Loi de Rayleigh JeansVu qu'à basse fréquence, u ν est donné par la loi de Rayleigh Jeans (hν

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 74Pour un corps noir, cette expression de u νij est vraie ∀ ν. C'est la loi de Planck : u ν =8π.h.ν 3hν (J.m -3 .Hz -1 )c 3 .(ekT-1)La luminance associée est isotrope : L ν (Ω) =∂L(Ω)∂ν= c.u ν (T)4π = 2.h.ν 3hνc 2 .(ekT -1)(W.m -2 .sr -1 .Hz -1 )L λ (Ω) =∂L(Ω)∂λ= ∂L(Ω)∂ν.∂ν∂λ = 2.h.c 2hcλ 5 .(eλkT-1)(W.m -2 .sr -1 .m -1 )1 0 7L u m in a n c e ( W .m - 2 .s r - 1 .H z - 1 )1 0 31 0 - 11 0 - 522 .k .νP e n te :c 21 0 - 9( h ν < < k T )1 0 - 1 31 0 0 K1 0 - 1 71 0 K1 0 - 2 1 1 K1 0 8 K1 0 7 K1 0 6 K1 0 5 KFigure 68 :Luminance de corps noirspour différentes températures.Représentation log-log de laluminance L ν (T) fréquentielle(W.m -2 .sr -1 .Hz -1 ), exprimée enfonction de la fréquence de 10 3à 10 14 MHz.1 0 - 2 5 1 0 8 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 4 1 0 1 6 1 0 1 8 1 0 2 0 H z1 0 2 1 1 0 - 2 1 0 - 4 1 0 - 6 1 0 - 8 1 0 - 1 0 c mCalcul direct de A ji : Soit N j dipôles avec p(t) = q.x ij .cosω ij t = q.x ij .cos(2π.ν ji .t). = ( q.x ij2 )2 .Vu que

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 75Σi=0W i .N o .x i h.ν rVu que l'énergie moyenne de l'oscillateur est = ∝No .x i =e h.ν r /k.T - 1 où x = exp[-h.ν rk.T ]h.ν 3la loi de Planck de rayonnement du corps noir est donc : L(ω r ) =4π 3 .c 2 r. =π.c 2 .(e h.νr/k.T - 1)∝Σi=0La généralisation de cette loi à toutes les fréquences proches de ω r , car l'absorption et l'émission ont le mêmeprofil Φ(ω), et à toutes les fréquences ω r des oscillateurs présents donne la loi de Planck :ω r2L(ν) = L(ω). ∂ω∂ν = 2π.L(ω) = 2.h.ν 3hνc 2 .(ekT -1)∀νNote : La lente variation spectrale de L(ω) peut surprendre, car l'émission d'un oscillateur a un maximumtrès prononcé pour ω = ω r . Cependant, un tel oscillateur absorbe aussi beaucoup plus à ω = ω r qu'àω ≠ ω r . Par suite, la luminance ambiante L(ω) ne suit pas du tout la forme de Φ(ω).3.) Simplifications de la loi de Planck• Loi de Rayleigh Jeans :L ν (T) = 2k. T.ν2c 2 = 2k. T λ 2 et L λ (T) = 2.c.k. T λ 4La loi de Rayleigh-Jeans est la loi de Planck simplifiée pour les basses fréquences telles que hν 1 cm ; ν < 300 GHz) si T < 300 K. Dans cecas, l'énergie émise dépend linéairement de la température du corps.• Loi de Wien : L ν (T) =2h.ν 3c 2 .exp[-h.ν k.T ] et L 2h.c 2λ(T) =λ 5 .exp[- h.νk.T ]La loi de Wien est la loi de Planck simplifiée pour hν >> K.T (i.e., hautes fréquences et/ou basses températures).4.) Emittance thermique totaleLe corps noir étant lambertien, son émittance spectrale est M(λ) = ⌡ ⌠ 2πL B (λ,T).cosθ.dΩ = π.L B (λ,T).aM(λ) est maximal pour λ m =T (a=2898 µmK), avec M(λ m) = bT 5 où b = 1.3 10 -5 W.m -3 .K -5Emittance totale (loi de Stephan-Boltzmann) :∝M B (T) = ⌡ ⌠M λ.dλ = π. ⌡⌠L B (λ).dλ =c 2 .h 3 .T 4 . ⌠ ⌡02π.k 4∝x3On a donc : M = σ.T 4 où σ = 5.67 10 -8 W.m -2 .K -40e x -1 .dx ≈ 2π.k 4c 2 .h 3 .T 4 ∝. Σi=1∝⌡⌠ x 3 .e -i.x 2π.k.dx =4c 2 .h 3 .T 4 . Σi=10∝ 3!i 4 = 2π 5 .k 415c 2 .h 3 .T 4 (W.m -2 )Remarque : L'émittance thermique totale M(λ) peut se déduire des 2 ers principes de la thermodynamique. Soitun gaz (corps noir) dans une enceinte fermée de volume V avec une température T, une densité volumique4πd'énergie u =c . 4π (J.m -3 4πu) et une pression de radiation p =c . 4π =3 (J.m-3 ). Vu qu'ilpeut être sujet à un échange de travail dQ, les 2 ers principes indiquent :1 er principe: dQ = dU + p.dV, avec l'énergie interne U = u.V.2 ème dQprincipe: dS =T = uT .dV + VT .∂u ∂T .dT + p.dV T = 43 .u T .dV + VT .∂u .dT, où S est l'entropie du système.∂TL'entropie étant une différentielle exacte, ses dérivées partielles croisées sont égales :∂ ∂S∂T ∂V = ∂ ∂S∂V ∂T ⇒ ∂∂T (4 3 .u T ) = ∂∂V (V T .∂u ∂T ) ⇒ 4 3 .1 T .∂u ∂T - 43 . u T 2 = 1T .∂u ∂T ⇒ ∂uu = 4.∂T T⇒ u(T) = A.T4 , où A = csteVu que S =43 .A.T3 .V (Q =4.u.V3 ), pour une dilatation adiabatique on a T.V1/3 = cste et p.V 4/3 = cste.

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 765.) Loi de KirchoffLa loi de Kirchoff indique l'égalité de la capacité d'un milieu à absorber (i.e., absorptance) le rayonnement etla capacité de ce milieu à émettre (i.e., émissivité), ce qui lie la réflectance et l'émissivité d'un milieu. Ceci estdémontré ici en considérant un corps quelconque de luminance L(r,Ω,λ), dans une enceinte assimilée à uncorps noir de luminance L B (λ,T). Tous deux sont à la température T. L'équilibre radiatif impose que l'énergieémise par toute surface interceptrice σ i compense exactement l'énergie qu'elle absorbe:σ i . ⌡⌠L(r,Ω,λ).cosθ.dΩ = σ i . ⌡⌠q a (r,Ω,λ).L B (λ).cosθ.dΩoù q a (r,Ω,λ) est le rapport "surface efficace d'absorption selon (Ω) / surface efficace d'interception selon (Ω)".La réalisation de cette égalité pour toute forme des corps implique : L(r,Ω,λ) = q a (r,Ω,λ).L B (λ)Le coefficient d'absorption q a joue donc le rôle de coefficient d'émissivité directionnelle ε d (r,Ω,λ), du moinssi le corps a une température unique. C'est la loi de Kirchoff : l'émissivité et l'absorptance directionnelles detout milieu isolé (i.e., température unique) sont égales : ε d (r,Ω,λ) = q a (r,Ω,λ) .Vu que "q a (r,Ω,λ) = 1 - ρ dh (r,Ω,λ) = 1 - ρ hd (r,Ω,λ), car ρ dh (r,Ω,λ) = ρ hd (r,Ω,λ)", on a :M(T,λ)L'émissivité spectrale du milieu est : ε h (r,λ) =ε d (r,Ω,λ) = 1 - ρ dh (r,Ω,λ) = 1 - ρ hd (r,Ω,λ)⌡⌠M B (T,λ) = 2πL(T,Ω,λ).cosθ.dΩπ.L B (T,λ)=1π . ⌡ ⌠ ε d (r,Ω,λ).cosθ.dΩ2π1On a donc : ε h (r,λ) =π . ⌡ ⌠ [1 - ρ dh (r,λ)].cosθ.dΩ = q a (r,λ) ⇒ ε h (r,λ) = 1 - ρ hh (r,λ)2πLa température de brillance T B d'un matériau de température T est la température que doit avoir un corps noirpour rayonner comme le matériau considéré. Elle est définie par M B (λ,T B ) = M(λ,T).Tout matériau a une émissivité ε(T,Ω,λ) comprise entre 0 et 1. C’est un corps noir si ε(T,Ω,λ) = 1 ∀(T,Ω,λ) etun corps gris si ε(T,Ω,λ) est spectralement invariante, i.e. ε(T,Ω,λ) = ε(T,Ω) < 1. Pour un corps naturel,l'émissivité varie selon la direction d'émission, la longueur d'onde, la géométrie et la nature du matériau et de sacouche superficielle (couche de neige, végétation, etc.). Elle varie en général peu avec la température.L'émissivité moyenne sur tout le spectre est le rapport de l'émittance M(T) du corps à une température T diviséepar l'émittance M B (T) d'un corps noir à la même température.M(T) = ε(T).M B (T) = ε(T).σ.T 4 ⇔ ε(T) =∝⌡⌠0ε(λ,T).L B (λ,T).dλ∝1=σ.T 4. ⌡⌠ ε(λ,T).L B (λ,T).dλ0∝⌡⌠ L B (λ,T).dλ0- Métaux : ε ∈ [0.01 0.6]. ∂ε > 0. ε croît beaucoup en présence de couches superficielles d'oxyde.∂T- Non métaux : en général ε > 0.8 et décroît avec T.- Neige : ρ(visible) élevé ⇒ ε(visible) faible. Avec une température T=0°C, la neige a une émission centréesur ≈10.5 µm, surtout entre 3 et 70 µm, domaine spectral où son émissivité est élevée.Matériau Emissivité Matériau EmissivitéMétaux 0.01 - 0.6 Verre 0.94Neige (comprimée) 0.7 - 0.85 Sol humide 0.94-0.95Glace (glacier) 0.85 Sable 0.95-0.96Dunite 0.856 Basalte, rugueux 0.958Obsidienne 0.862 Asphalte 0.959Feldspath 0.870 Feuille sèche 0.96Sol sec sableux 0.88-0.94 Route bitumée ≈0.97

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 77Granit rugueux 0.898 Neige 0.97-1Bois ≈0.9 Eau + film de pétrole 0.972Grès siliceux poli 0.909 Glace 0.98Plâtre 0.91 Peau (humaine) 0.98Sable/quartz, gros grain 0.914 Tourbe 0.98Béton 0.92 - 0.97 Herbe verte 0.98-0.99Sol sec argileux 0.92 Feuille humide 0.99Brique 0.93 Eau pure 0.993Emissivité moyenne, entre 8 et 12 µm, de quelques matériauxλ (µm) θ = 90° θ = 40° Emissivité de l'eau10,5 0,9916 0,9833 θ = Angle (Ω v ,Ω n ) où Ω n est la3,8 0,9752 0,9608 direction de la normale à la surface.6.) ExemplesLa Figure 69 illustre le spectre sur 6 - 26 µm de la luminance émise en haut de l'atmosphère par le système"Atmosphère - Terre". Entre ≈ 8 et ≈13 µm, ce spectre est celui d'un corps noir à ≈ 290 K. Le fait que cettetempérature est plus ou moins la température de la surface terrestre indique que l'atmosphère est plus oumoins transparente entre 8 et 13 µm. Par contre, entre 13 µm et 18 µm, la température radiative est beaucoupplus faible que la température terrestre, ce qui indique que dans ce domaine spectral, l'atmosphère n'est pastransparente. Ceci est du à la bande d'absorption de vibration - rotation du CO 2 . Cette bande du CO 2 a l'aspectd'un continuum, car elle résulte de la juxtaposition et superposition de raies individuelles, du fait demécanismes d'élargissement collisionnel dans la troposphère. De même, les gaz H 2 O et O 3 expliquent aussi ladiminution de la température radiative terrestre dans plusieurs régions spectrales.Température (K)T B élevée ⇒ émission terrestreLuminance (W .m -2 .sr -1 .µm -1 )10H 2 OH 2 OO 32608CO 22506260K300K280K2404230240K2220K200K06 10 14 18 22 26µm220210T B minimale ⇒émission de la tropopausecm -1500 550 600 650 700 750 800 850Figure 69 : a) Luminance montante en haut de l'atmosphère (Lintz et Simonett, 1976). b) T B dans la banded'absorption du CO 2 . Les canaux spectraux du capteur IRIS du satellite Nimbus 4 sont indiqués (Smith, 1972).En fait, 2 raisons complémentaires expliquent la plus faible luminance dans les domaines spectraux associésaux bandes d'absorption de O 3 , H 2 O et CO 2 . (1) L'atmosphère absorbe le rayonnement terrestre, et (2) lerayonnement perçu à ces longueurs d'onde provient de couches atmosphériques qui sont d'autant plus"froides" que l'atmosphère est opaque. Ainsi, dans la bande du CO 2 à 13 - 18 µm, la température radiative est≈ 220 K (i.e., température de la couche atmosphérique à environ 10 km d'altitude). Démontrer que l'altitude théorique de la couche atmosphérique qui contribue le plus au rayonnement sesitue à une altitude telle que l'épaisseur optique cumulée depuis le haut de l'atmosphère est égale à 1. En fait,il est possible d'observer l'atmosphère à différentes altitudes à partir de mesures au-dessus de l'atmosphère, à

LE RAYONNEMENT, SON ROLE ET SA MESURE 78condition d'effectuer des mesures à des fréquences plus ou moins proches des bandes d'absorption gazeuses.Ainsi, l'altitude pour laquelle τ(z) ≈ 1 varie avec λ.Le comportement radiatif du soleil correspond à celui d'un corps noir à ≈ 5760K. Ainsi, le maximum est àenviron 0.5 µm. Au niveau de la surface terrestre la constante solaire est égale à la luminance d'un corps noir(T B ≈ 5760K) multipliée par l'angle solide d'observation du soleil, i.e. π.R 2 s /D 2ST ≈ 0.684 10 -4 sr oùD ST ≈ 150 10 6 km est la distance "Soleil - Terre" et R s ≈ 7 10 5 km est le rayon solaire. L'albédo terrestre étant del'ordre de 10% la luminance solaire réfléchie par les surfaces terrestres est négligeable devant le rayonnementthermique terrestre dans la bande [10 µm 15 µm], i.e. infrarouge thermique, alors que l'émission thermiqueterrestre est tout à fait négligeable devant l'énergie solaire réfléchie dans le visible, proche infrarouge etmoyen infrarouge, i.e. λ < 2500 nm.La Figure 70 illustre l'égalité des raies d'émission et d'absorption d'un milieu avec le cas des gazatmosphériques. L'émission atmosphérique est forte dans les bandes spectrales où l'atmosphère absorbebeaucoup. Par contre, elle est nulle dans les domaines spectraux où l'atmosphère est transparente.Transmittance (%)atmosphérique80AbsorptionatmosphériqueCO 2 O 3CO 260H 2O40H 2O(a)20Emittance (W.m -2 .µm -1 )atmosphérique20004 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26100EmissionatmosphériqueEmission ducorps noir(b) 04 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 (µm)Figure 70 : (a) Bandes de transmission atmosphériques (%). (b) Emission atmosphérique (W.m -2 .µm -1 ).P in (ω')P B (ω)P a (ω)P B (ω)P a (ω)P B (ω)P a (ω)P B (ω)P a (ω)ω r1ω r1ω r2ω r2ωωFigure 71 : Représentation schématique de ladensité volumique de puissance émise P b (ω) etabsorbée P a (ω) d'un volume infini (ou fini avecdes parois 'blanches') d'oscillateurs (ω r1 et ω r2 )a.) Equilibre radiatif: P B (ω) = P a (ω) et α B (ω) = α a (ω)∀ω. La distribution spectrale de P B (ω) dépend dela distribution de l'énergie interne (électronique,vibration, rotation) des oscillateurs, qui dépend dela capacité spectrale des oscillateurs à absorber(α a (ω)) et émettre (α B (ω)).b.) Apport d'un fort rayonnement externe P in (ω')avec ∆ω'≈0, ω' ≈ ω r2 et très éloigné de ω r1 . Parrapport à (a), P a (ω') croît beaucoup et P B (ω') croîttrès peu. On a toujours α B (ω) = α a (ω) ∀ω, mais iln'y a plus d'équilibre radiatif: P B (ω) ≠ P a (ω) ∀ω.En présence de chocs entre oscillateurs, l'énergieabsorbée P in (ω') est redistribuée entre lesoscillateurs aux états quantiques ω r1 et ω r2 . Cecidonne : P B (ω) > P a (ω) pour ∀ω ≈ ω r1 et ∀ω ≈ ω r2 .

LE TRANSFERT RADIATIFLa théorie du transfert radiatif décrit la propagation des ondes électromagnétiques dans unmilieu (e.g. atmosphère, poudre minérale, sol, couvert végétal). Il est utilisé des hypothèseset simplifications qui dépendent des caractéristiques du milieu telles que :- dimensions relatives entre d'une part la longueur d'onde et d'autre part la taille desconstituants et les distances entre constituants.- homogénéité ou hétérogénéité de la distribution volumique des constituants.- caractéristiques optiques des constituants.Le transport d'une onde électromagnétique peut être modélisé (e.g., modèle de Maxwell-Garnett) en représentant le milieu de propagation par une constante diélectrique unique qui est une moyenne pondérée des constantes diélectriques des particules du milieu.Une limitation majeure de cette approche est de ne pas décrire les diffusions multiples etd'être erronée si la taille des diffuseurs devient supérieure à la longueur d'onde. La théoriedu transfert radiatif introduite ci-dessous résout pour partie ce problème. Elle représente lapropagation de la luminance L(r,Ω) selon la direction (Ω) d'une onde électromagnétique aupoint r(x,y,z) dans milieu diffusant et absorbant dont les éléments interagissent avec l'ondede manière indépendante et incohérente (e.g. atmosphère et sols). Elle néglige donc lephénomène d’interférence.IEQUATION DU TRANSFERT RADIATIFL'équation générale du transfert radiatif est introduite ici pour des milieux de plus en plussimples : milieu quelconque, puis milieu particulaire, milieu particulaire peu dense, milieuparticulaire peu dense et plan. Finalement, quelques approches classiques employées pourrésoudre cette équation sont introduites. D'une manière générale, le transfert radiatifdépend beaucoup du domaine spectral et donc de la longueur d'onde λ des ondes qui sepropagent. Cependant, ce terme λ est souvent omis pour simplifier les notations.I.1 Milieu quelconqueLa variation dL(r,Ω) de la luminance L(r,Ω) sur le trajet dr(Ω) est due aux élémentsabsorbants, diffusants et émetteurs le long de dr(Ω). Ici, cette variation est déterminée encalculant la variation de puissance (W), par unité d'angle solide centré sur (Ω) et par unitéde déplacement dr(Ω), lorsque l'onde traverse un élément de volume cylindriqueV(S,dr,Ω). Ce dernier est défini par une section S normale à (Ω), et une longueur dr(Ω)selon Ω - (Figure 72). Une hypothèse majeure est que les diffusions multiples quisurviennent dans l'élément de volume V(S,dr,Ω) sont négligées.La variation de puissance "incidente" par angle solide unité lors du trajet dr(Ω) est :∇ _ L(r,Ω).dr _ (Ω).S = Ω _ .∇ _ L(r,Ω).dr(Ω).S = Ω _ .∇ _ L(r,Ω).V(S,dr,Ω)

LE TRANSFERT RADIATIF 80L(r,Ω’)L(r,Ω)L(r,Ω)L(r,Ω ’)S(Ω)dr(Ω)dr(Ω )dzL(r,Ω ) + ∇ − L(r,Ω).dr -ΣL(r,Ω ) + ∇ − L(r,Ω).dr -Figure 72 : Propagation de la luminance L(r,Ω) selon dr(Ω) dans un élément de volume V.a) Milieu quelconque: V(S,dr,Ω) = S.dr(Ω) est un cylindre de section S. b) Milieu constituéde couches horizontales (xy) homogènes superposées. La seule variable spatiale est alors z.Ici : V(Σ,dr,Ω) = Σ.dz = V(S,dr,Ω) : section horizontale Σ et hauteur dz = dr.cosθ..Pour un trajet selon dr(Ω), on a :- Puissance interceptée: dP e (V,Ω,dΩ) = α(r,Ω).L(r,Ω).V(S,dr,Ω).dΩ- Puissance ajoutée par diffusion: dP d (V,Ω,dΩ) = ⌡ ⌠L(r,Ω').dΩ'.α d(r,Ω'→Ω).V(S',dr',Ω').dΩ'= ⌡ ⌠L(r,Ω').α d (r,Ω'→Ω).dΩ'.V(S,dr,Ω).dΩ, car V(S,dr,Ω) = V(S',dr',Ω')- Puissance ajoutée par émission : dP B (V,Ω,dΩ) = I B (r,Ω).V(S,dr,Ω).dΩL(r,Ω) luminance moyenne à (λ,Ω) sur (∆λ,∆Ω) au point M(r).Ω _ .∇ _ L(r,Ω) variation de L(r,Ω) par unité de déplacement selon Ω _ : ∂L∂r = Ω x. ∂L∂x +Ω y. ∂L∂y +Ω z. ∂L∂z .α(r,Ω).L(r,Ω) luminance interceptée (absorption + diffusion) pour un déplacement unité selon Ω _ .I B (r,Ω)densité volumique d'intensité (W.sr -1 .m -3 ) émise par les éléments de V(r,Ω).α d (r,Ω'→Ω)section efficace (m 2 ) de diffusion différentielle d'une onde incidente (Ω') par anglesolide unité selon (Ω) et par m 3 de V(S,dr,Ω). (m 2 /m 3 /sr -1 ≡ m -1 .sr -1 ).α d (r,Ω') = ⌡⌠ α d (r,Ω'→Ω).dΩ (m -1 ) ⇔ α d (r,Ω'→Ω) = α d (r,Ω'). P(Ω',Ω) où4π⎮ ⌠ P(Ω',Ω)4π⌡ 4π .dΩ = 14πα(r,Ω)coefficient d'extinction (m -1 ) selon Ω : section efficace (m 2 ) d'interception(absorption α a (r,Ω) + diffusion α d (r,Ω)) selon Ω, par m 3 de V(S,dr,Ω).La division par V(dr,Ω) de la somme des puissances interceptées, diffusées et émisesdonne l'équation du transfert radiatif (ETR) :Ω _ .∇ _ L(r,Ω) + α(r,Ω).L(r,Ω) = ⌡ ⌠ 4πL(r,Ω').α d (r,Ω'→Ω).dΩ' + I B (r,Ω)

LE TRANSFERT RADIATIF 81⇒dL(r,Ω)dr= -α(r,Ω).L(r,Ω) + Ψ(r,Ω) avec Ψ(r,Ω) = ⌡⌠ L(r,Ω').α d (r,Ω'→Ω).dΩ' + I B (r,Ω)Le terme source Ψ(r,Ω) est la densité d'énergie "émergeante" par unité de volume (m -3 ), dedirection (sr -1 ) et de temps (s -1 ). Son intégration sur le volume V, toutes les directions Ω etl'intervalle ∆t⌠⌠⎮⎮⌡⌠Ψ(r,Ω).dΩ.dV.dt⎮⌡4π⌡V∆tdonne l'énergie totale émise et diffusée. Si le terme source Ψ(r,Ω) est isotrope, la puissancetotale issue d'une unité de volume est : 4π.Ψ(r,Ω) = 4π.Ψ(r).Si la variabilité temporelle de L(r,Ω) ne peut être négligée, alors :dL = dL(t+dt,r+dr) - dL(t,r) = ∂L∂t .dt + n_ .∇I.2 Milieu particulaire4π_L.dr = [ 1 c .∂L ∂t.+∂L∂r ].dravec dr = c.dtLes relations entre les caractéristiques physiques (distribution des tailles des élémentsdiffusants, indice de réfraction) et optiques (α,ω o ,P(Ω,Ω')) d'un volume d'élémentsdiffusants sphériques peuvent être calculées avec la théorie de Mie, en tenant compte de ladensité N des particules. Soit q ex , q d et q a les efficacités d'extinction, de diffusion etd'absorption de ces particules et soit n = n r + i.n i leur indice de réfraction. λ est la longueurd'onde dans le milieu entre les particules. La théorie de Mie montre que pour une particuleisolée de section σ=π.a 2 , les sections efficaces de diffusion σ d = σ.q d , absorption σ a = σ.q a etextinction σ e = σ.q e sont des fonctions de κ = 2π.a/λ, avec :- κ1 : q d → 2, i.e. σ d → 2σ avec diffusion anisotrope (maximum vers l'avant etmaximum local vers l'arrière). Si n i .a

LE TRANSFERT RADIATIF 82Les coefficients d'extinction α, de diffusion α d et d'absorption α a sont calculés ici enconsidérant un élément de volume dV = S.dr(Ω), avec dr(Ω) assez petit pour que 2particules ne puissent se masquer selon (Ω). De plus, les particules sont assez éloignéesles unes des autres de sorte que leurs efficacités d'extinction, d'absorption et de diffusionsoient celles de particules isolées. Le milieu considéré ici est composé de plusieurs typesde particules j de densité volumique N j , de section σ j , d'émissivité ε B,j , d'efficacitéd'extinction q e,j (Ω), d'efficacité d'absorption q a,j (Ω), d'efficacité de diffusion q d,j (Ω) et defonction de phase P j4π (Ω',Ω), où q e,j(Ω) = q a,j (Ω) + q d,j (Ω) et q a,j (Ω) = ε Bj (Ω) ∀Ω.dr(Ω)L(r,Ω)Figure 73Elément de volume d'unmilieu particulaire.dSCoefficient d'extinction : α e (r,Ω) = Σ j N j .σ j .q e,j (Ω) (m -1 )Coefficient d'absorption : α a (r,Ω) = Σ j N j .σ j .q a,j (Ω) (m -1 )Coefficient de diffusion : α d (r,Ω'→Ω) = Σ j N j .σ j .q d,j (Ω'). P j4π (Ω',Ω) (m -1 .sr -1 )α d (r,Ω') = ⌡ ⌠α d (r,Ω'→Ω).dΩ = Σ j N j .σ j .q d,j (Ω') (m -1 )4πCoefficient d'émission : α B (r,Ω) = Σ j N j .σ j .ε B,j (r,Ω) = Σ j N j .σ j .q a,j (r,Ω) = α a (r,Ω) (m -1 )Si L B (r,dr,Ω) est la luminance de particules de V(S,dr,Ω), alors :α B (r,Ω).dr(Ω).L B (r,dr,Ω).S(Ω) = I B (r,dr,Ω).V(S,dr(Ω)) ⇒ I B (r,dr,Ω) = α B (r,Ω).L B (r,dr,Ω).α d (r,Ω')Albédo de diffusion simple moyen : ω(r,Ω') =α e (r,Ω')Fonction de phase moyenne : P4π (r,Ω',Ω) α d (r,Ω'→Ω)=α d (r,Ω')avec ⎮ ⌠ P(Ω',Ω)⌡ 4π .dΩ = 1 (sr-1 )4πα B (r,Ω) αEmissivité moyenne : ε B (r,Ω) =α e (r,Ω) = a (r,Ω)α e (r,Ω) = 1 - ω(r,Ω) = γ2 (r,Ω)⇒dL(r,Ω)dr= -α(r,Ω).L(r,Ω) + ⎮ ⌠ ω(r,Ω'). P(Ω',Ω)⌡ 4π.L(r,Ω').dΩ' + α B(r,Ω).L B (r,dr,Ω)4πLes coefficients ci-dessus sont des coefficients moyens. Ils ne sont pas définis pour desmilieux très denses comme les poudres minérales et les sols.du milieu, mais pour :- des volumes de taille supérieure au rayon des particules et aux distances entre particules.- des milieux de densité faible et spatialement incohérente (i.e., milieu turbide) commel'atmosphère terrestre.

LE TRANSFERT RADIATIF 83En présence d'un seul type de particules de densité N(a), avec a ∈ [0 ∝[, on a :∝∝α e (r,λ) = ⌡ ⌠[σ a (r,a,λ)+σ d (r,a,λ)].N(a).da = N tot .σ e (r,λ) (m -1 )0où N tot = ⌡ ⌠N(a).da est la densité totale des particules (cm -3 ) et σ e (r,λ) = σ a (r,λ) + σ d (r,λ).01 1Le termeα e (r,λ) = est le libre parcours moyen d'un photon dans le milieu.α a (r,λ)+α d (r,λ)C'est le trajet après lequel la probabilité d'interception est e -1 . Les termes α a (r,λ) et α d (r,λ)varient en général beaucoup avec λ. Ainsi, dans l'atmosphère, α a (r,λ) devient très élevépour λ près de bandes d'absorption. D'autre part, pour un couvert végétal "vert", α a (r,λ)est en général très fort dans le visible, compte tenu de l'absorption chlorophyllienne.- Milieu de particules sphériques de densité N (m -3 )Les particules étant sphériques : q e,j (Ω)=q e,j , q a,j (Ω)=q a,j , ω(r,Ω)=ω(r) ∀Ω. La division del'équation du transfert radiatif par le coefficient d'extinction α e donne l'équation dutransfert radiatif exprimée selon l'épaisseur optique τ :dL(τ,Ω)dτ(Ω) = -L(τ,Ω) + ω 4π . ⌡⌠P(Ω',Ω).L(τ,Ω').dΩ' + ε B (r,Ω).L B (r,Ω)avec dτ(Ω)>0dτ(Ω) : épaisseur optique pour le trajet dr(Ω). C'est la section efficace (m 2 ) totale selonΩ des intercepteurs dans V(S,dr,Ω) par m 2 de surface S(Ω) normale à Ω.dτ(Ω) = α e (r,Ω). V(S,dr,Ω)S(Ω)τ(∆r,Ω): épaisseur optique ⌡ ⌠ dτ(Ω) pour le trajet ∆r(Ω).∆r(Ω)= α e (r,Ω).dr(Ω)= σ e (r,Ω).N(r).dr(Ω).L(τ,Ω').ω. P(Ω',Ω) .dΩ'. dτ(Ω) : luminance diffusée selon Ω, par unité d'épaisseur optique4πselon Ω. Elle est égale à la diffusion du flux incident L(τ,Ω').dΩ' par tous les"diffuseurs" de V(S,dr,Ω), sachant que leur surface efficace de diffusion estω.α e (r, Ω'). V(S,dr,Ω). On a α d (r,Ω'→Ω).dr(Ω) = ω. P(Ω',Ω)4π.dτ(Ω).L'atmosphère présente des raies d'absorption dues aux gaz (O 2 , H 2 O, etc.). Près de ces raies,l'épaisseur optique atmosphérique ∆τ est en général très élevée, si bien qu'une atmosphèrede température T a éclairée par la luminance solaire L B (T s ) transmet selon sa normale :L(λ) ≈ L B (λ,T s ).e -∆τ(λ) + ε B (λ,T a ).L B (λ,T a ).[1 - e -∆τ(λ) ] ≈ ε B (λ,T a ).L B (λ,T a )Au voisinage des bandes d'absorption, la luminance issue de l'atmosphère tend donc à êtreminimale : les gaz absorbants ont une émissivité ε B (T) élevée, mais leur émissionthermique (i.e., ε B (T a ).L B (T a )) ne compense pas le rayonnement qu'ils absorbent. Parcontre, l'expression de L(λ) illustre le fait qu'un milieu émet d'autant plus qu'il absorbe ;ses raies d'absorption et d'émission coïncident (Figure 25).

LE TRANSFERT RADIATIF 84- Milieu d'oscillateurs non diffusants (ω = 0 ⇔ ε B = 1)Soit un milieu d'oscillateurs non diffusants de densité volumique N qui, pour toute raied'absorption ω o , ont la section efficace d'absorption σ a (ω) = σ a .Φ(ω), où Φ(ω) est le profilde raie de largeur 2ω t (largeur naturelle 2ω r , collision 2ω L et Doppler 2ω D ). Sur un trajetdr(Ω), la variation de luminance L(r,ω,Ω) due à l'émission et à l'absorption est :- Absorption : [ ∂L∂r (r,ω,Ω)] abs = -N.σ a (ω).Φ(ω).L(r,ω,Ω). Sur toute une raie d'absorption ω o :[ ∂L∂r (r,ω o,Ω)] abs = -N.σ a .L(r,ω o ,Ω), si L(r,ω,Ω) ≈ cste sur toute la raie (e.g. 10A).- Emission : [ ∂L∂r (r,ω o,Ω)] émi = N.σ a .L B (T,ω o ), car σ a (ω) = σ emi (ω).T est la température du milieu.⇒∂L∂r (r,ω o,Ω) = -N.σ a .[L(r,ω,Ω) - L B (T,ω o )] ⇔ dL(τ,Ω)dτ(Ω) = -L(τ,Ω) + L B(T)Pour un milieu à l'équilibre thermodynamique avec son rayonnement à la fréquence ω o :∂L∂r (r,ω o,Ω) = 0 ⇔ L(r,ω,Ω) = L B (T,ω o )Avec une luminance incidente L(0,Ω) : L(τ,Ω) = L(0,Ω).e -τ(λ,Ω) + L B (T).[1 - e -τ(λ,Ω) ]Une couche de faible épaisseur optique ∆τ émet :L(∆τ(Ω),Ω) ≈ ∆τ(Ω).L B (T)Sachant que ∆τ est maximal si λ est dans une bande d'absorption, le milieu émet doncd'autant plus qu'il absorbe : ses raies d'émission et d'absorption correspondent.• Milieu particulaire dense (densité volumique N)Un milieu particulaire (κ

LE TRANSFERT RADIATIF 85Les termes de l'ETR représentent les différents mécanismes d'interaction. Ils sontbrièvement rappelés ici avec le cas d'un milieu composé de gaz (coefficients α maet αmd) etd'aérosols (coefficients α paet αpd). Il est tout d'abord utilisé la variable z puis la variable τ.Etant la même en tout point (x, y) d'altitude z, la luminance L(r,Ω) peut être simplementnotée L(z,Ω). Ci-dessous, il est utilisé le fait que la luminance associée à une surface Snormale à (Ω) est égale à la luminance associée à une surface Σ de même altitude,horizontale et correspondant à S (Figure 72) : L s (Ω) = L Σ (Ω).a a a a- Absorption de l'onde incidente par les gaz (α m) et aérosols (αp). αa = α m+ α p (m -1 ). Laluminance L(z,Ω) est réduite avec un taux de variation :µ. dL(z,Ω)dz= -α a .L(z,Ω) avec µ.dz>0d d d d- Diffusion de l'onde incidente par les gaz (α m) et aérosols (αp); αd =α m+αp luminance L(z,Ω) est réduite avec un taux de variation :µ. dL(z,Ω) = -αdz d .L(z,Ω) avec µ.dz>0(m -1 ). La- Emission thermique des gaz et aérosols présents. L'énergie émise s'ajoute à la luminanceincidente transmise. Le taux d'augmentation de L(z,Ω) est :µ. dL(z,Ω)dz= α a .L B (ν,T) avec µ.dz>0- Diffusion selon 4π de tout le rayonnement incident selon 4π, par les gaz et aérosolsprésents. Ceci correspond à un terme source qui induit un taux d'augmentation de L(Ω) :µ. dL(z,Ω)dz= α d . (Ω) avec (Ω) = 14π4π . ⌡ ⌠ L(Ω').P(Ω'→Ω).dΩ'0P(Ω'→Ω) : fonction de phase de diffusion ; i.e., distribution angulaire de l'onde diffusée.4πNote : Les distributions angulaires des sections efficaces de diffusion et d'absorption desgaz et aérosols n'interviennent pas, car elles sont supposées isotropes. Cette simplificationn'est pas toujours applicable (e.g., couvert foliaire avec des ondes "optique").L'ETR est donc : µ. dL(z,Ω) = -αdz a .L(z,Ω) - α d .L(z,Ω) + α a .L B + α d . où µ.dz > 0soit, sous forme simplifiée avec les termes perte et source : µ. dL(z,Ω) = -α.L(z,Ω) + Ψ(z,Ω)dzz=∝∆zz=0L(τ,Ω)θL(τ,Ω’)L(τ+∆τ) = T(∆τ,Ω).L(τ,Ω)τ=0τ, ∆ττ=τ o* µπ/2 flux descendant* µ>0 si θ

LE TRANSFERT RADIATIF 86L'équation du transfert radiatif exprimée selon la variable ″épaisseur optique τ″ est :µ. dL(τ,Ω)dτα d= L(τ,Ω) - ω. (τ,Ω) - (1-ω).L B (τ,Ω) où ω =α , (1 – ω) = α aαet µ.dτ < 0- τ : épaisseur optique selon Oz ; dτ = N.σ.dz = N.(σ d + σ a ).dz. L'épaisseur optique selon Ω estzdτ2dτ(Ω) =µ (Ω i|θ i = 0°). Pour la couche (z 1 , z 2 ): τ(λ) = ⌡ ⌠α e (τ,λ).dz (sans dimension).z 1- L(τ,Ω). dτ : perte / interception (absorption + diffusion) de luminance selon Ω.µ- ω. (τ,Ω). dτ : gain de luminance selon Ω par diffusion d'ondes incidentes selon Ω' ∈ 4π.µ- (1-ω).L B . dτ : gain de luminance selon Ω par émission thermique.µAvec une luminance L(τ o ,Ω) dans le plan τ o , la luminance dans le plan τ est :τL(τ,Ω) = L(τ o ,Ω).exp[ τ-τ oµ ] + 1 o τµ . ⌡ ⎮⌠ ω (τ',Ω).exp[ τ-τ'µ ].dτ' + 1 oµ . ⌡ ⎮⌠ (1-ω).L B .exp[ τ-τ'µ ].dτ'ττL(τ,Ω) a 3 composantes : (1) luminance L(τ o ,Ω) atténuée entre τ et τ o , (2) luminancediffusée entre τ et τ o , et (3) luminance émise par émission thermique entre τ et τ o .La transmittance d'une couche plane d'épaisseur ∆z = z 2 - z 1 (i.e., épaisseur optique ∆τ) estla fraction de luminance transmise sans interception (i.e., transmittance "direct - direct") :zL(Ω,z=z 2 )T dd (Ω,∆z) =L(Ω,z=z 1 ) = e-| ⌡ ⌠2α e (Ω,t).dt/µ|z 1 = e-|∆τ/µ|• Diffusions d'ordre 1 et multiplesIl est souvent considéré que le terme ω. (Ω,τ), c'est-à-dire la luminance selon Ω due à ladiffusion d'ondes incidentes selon 4π, par unité d'épaisseur optique selon Ω, est somme de2 termes : "diffusions d’ordre 1" J 1 (Ω,τ) et "diffusions d’ordre ≥ 2" J M (Ω,τ). On a :ω. (Ω,τ) = J 1 (Ω,τ) + J M (Ω,τ)J 1 (Ω,τ,dτ). dτµ : luminance (W.m-2 .sr -1 ) selon (Ω) due à la diffusion par la couche dτ desluminances L(Ω') où Ω' ∈ (Ω s ,∆Ω s ) non interceptées. Le terme E s = ⌡ ⌠ L(Ω').dΩ'∆Ω sest en général la constante solaire. Le facteur de transmittance étant e τ/µs , on a :τJ 1 (Ω,τ,dτ). dτµ = ω.E s.eµ s. P(Ω s →Ω)4π. dτµoù ⎮ ⌠ ⌡ ⌡ ⎮⌠ P(Ω s →Ω).dΩ = 14πJ M (Ω,τ,dτ). dτ : luminance selon (Ω) due à la diffusion par la couche dτ des luminancesµL(Ω'), où Ω' ∈ 4π, déjà diffusées.

LE TRANSFERT RADIATIF 87J M (Ω,τ). dτµ = ω 4π .[ ⌡⌠ P(Ω'→Ω).L(Ω',τ).dΩ']. dτµ4πJ M ≈ 0 si les diffusions multiples sont négligeables. Ceci survient si ω ≈ 0 et/ou si τ ≈ 0.Considérons une surface horizontale (e.g. couche atmosphérique) soumise à unéclairement diffus E d (τ) = ⌡ ⌠L d (τ,Ω).µ.dΩ (e.g., ciel) et un éclairement directE s (τ,µ s ,φ s ) = E s (0,µ s ,φ s ).e τ/µs = π.F.e τ/µs (e.g., rayons solaires non interceptés). L'équation quidonne la variation de luminance L d déjà diffusée au moins une fois est :⇒ µ. dL d(τ,Ω)dτ= L d (τ,Ω) - ω 4π .P(Ω s→Ω).E s .exp[τ/µ s ] - ω 4π . ⌡ ⎮⌠02π+1dφ'.⌡⌠ P(Ω'→Ω).L d (τ,Ω').dµ'Pour des diffuseurs isotropes (P(Ω,Ω')=1) avec L Bj (τ,Ω)=0 ∀(τ, Ω), il existe desconstantes A, B et C en général dépendantes de Ω telles que :L(τ,Ω) =• Cas d'une ouche plane sans diffusionA.e -C.τ1+C.cosθ + B.eτ/µs1- cosθµ sµ s

LE TRANSFERT RADIATIF 88µ sµ sτ = 0 et µ s /= µ : L(0,Ω) = 0 ⇒ a = C. ⇒ L(τ,Ω) = C. .[eµ-µ µ µ-e s] ⇒ L(τs µ-µ s ,Ω) = C. µ τ ss.[eµ -es µ-µ sτττ sµ s]µ = µ s

LE TRANSFERT RADIATIF 89la résolution "exacte" de l'équation du transfert radiatif devient très complexe. Unerésolution "approchée" peut être obtenue à partir de l'approximation d'Eddington : lerayonnement émis est supposé quasi isotrope. Pour un milieu plan, cette approximationest d'autant plus valable que l'épaisseur optique du milieu est supérieure au libre parcoursmoyen du photon, avant son absorption. En effet, contrairement à l'extinction, la diffusionet l'émission thermique sont des phénomènes plus ou moins isotropes.L'isotropie de L(Ω) implique une relation entre ses moments d'ordre 2 et 0 : (2) =où (0) = 14π . ⌡⌠L(r,Ω).dΩ(1) = 14π . ⌡ ⌠L(r,Ω).cosθ.dΩ(2) = 14π . ⌡ ⌠L(r,Ω).cos2 θ.dΩLuminance moyenneEclairement moyenPression de radiation x 4π cDe manière logique, l'hypothèse d'Eddington (i.e., (0) = 3 (2)) est aussi valable pour unrayonnement quasi-isotrope. De plus, elle est exacte avec un rayonnement "linéaire" selonµ et de symétrie azimutale : L(τ,µ) = A(τ) + B(τ).µ. Cette expression correspond à undéveloppement limité de L(τ,µ) selon la variable µ.Avec l'hypothèse " P(µ,φ,µ s,φ s )4πoù Ψ = α a.L B + α d . (0)α a + α d= 1 ", pour un milieu plan l'ETR est : µ.∂L4π ∂τ = L - Ψest la fonction source, quasi isotrope.La moyenne sur 4π de l'ETR est : 1 2 . ⌡ ⎮⌠ µ. dLdτ .dµ = 1 2 . ⌡ ⌠ (L-Ψ).dµ ⇒-1-1+1+1+1d (1)dτ= (0) - ΨLa moyenne sur 4π de l'ETR pondérée par µ est : 1 2 . ⌡ ⎮⌠ µ 2 . dLdτ .dµ = 1 2 . ⌡ ⌠ (L-Ψ).µ.dµ-1-1+1(0)3⇒d (2)dτ+1= (1) car ⌡ ⌠ Ψ.µ.dµ ≈ 0-1Vu que (2) = 1 3 . (0), l'on a donc 13 .d2 (0)dτ 2 = (0) - Ψ = α a.( (0)-L B )α a + α dCe système peut être résolu (i.e., calcul de (0) à toute altitude) si L B (τ) est connue, parexemple dans le cas où le profil des températures T(τ) est connu.• Méthode des approximations successivesLe regroupement du terme de gauche et du 1 er terme de droite de l'équation du transfertradiatif, sachant que "µ.e τ/µ . ∂ ∂τ [e-τ/µ .L(τ,Ω)] = ∂L(τ,Ω) .µ - L(τ,Ω)", conduit à :∂τ

LE TRANSFERT RADIATIF 90∂∂τ [e-τ/µ .L(τ,Ω)] = - e-τ/µµ .[ω(τ) 4π . ⌡⌠ P(Ω,Ω').L(τ,Ω').dΩ' + ε B .L B (τ,Ω)]L'intégration sur l'épaisseur optique, entre 0 et τ, donne :τ4πL(τ,Ω) = eτ/µµ . ⌡ ⎮⌠ [ ω(τ')4π . ⌡⌠ P(Ω,Ω').L(τ',Ω').dΩ' + ε B .L B (τ',Ω)].e -τ'/µ .dτ' + L(0,Ω)4π0La méthode des approximations successives évalue L(τ,Ω) de manière itérative, en toutpoint τ et pour toute direction Ω. Elle démarre avec une valeur approchée de L(τ,Ω) entout point τ et pour toute direction (Ω). Cette solution approximative est alors utiliséedans la double intégrale pour calculer, soit analytiquement soit numériquement, unenouvelle solution L(τ,Ω) en tout point τ et pour toute direction (Ω). Une nouvelle solutionest donc calculée. Ce processus converge plus ou moins rapidement. Il est poursuivijusqu'au niveau de précision requis.• Méthode de suivi de rayons et de Monte CarloLa méthode de suivi de rayons simule en général la propagation de photons lancésindividuellement sur le milieu étudié. Chaque photon est "suivi" durant son trajet dans lemilieu, jusqu'à ce qu'il traverse le milieu sans interception, qu'il soit absorbé, ou qu'il soitdiffusé. La méthode de suivi de rayons a 2 avantages majeurs. (1) Elle peut être adaptée àdes milieux quelconques (i.e., turbides ou non). (2) Tous les mécanismes de diffusion quisurviennent sont traités comme des diffusions d'ordre 1. Ainsi, les diffusions d'ordremultiple sont traitées comme des diffusions d'ordre 1 successives. Cette méthode est doncpotentiellement la plus exacte, car les autres modèles simulent en général les diffusionsd'ordre supérieur à 1 avec des hypothèses simplificatrices, ce qui les rend moins exacts,surtout pour les milieux de géométrie complexe et de fonctions de phase anisotropes. Pourquoi beaucoup de modèles simulent de manière approchée les diffusions multiples ?La méthode de Monte Carlo gère tout phénomène (i.e., émission, absorption, diffusion etdirection de diffusion ou d'émission) selon sa probabilité d'apparition P. Pour cela, ellechoisit un nombre aléatoire A compris entre 0 et 1. Si A < P, alors le phénomène survient,autrement il ne survient pas. Ainsi, considérons un photon qui se propage sur un trajet dr.La probabilité d'interception est α e .dr. La probabilité qu'un photon intercepté soit diffuséest ω = q d /q e . La probabilité que cette diffusion survienne selon Ω est P(Ω',Ω)4π .Son inconvénient majeur est de nécessiter des temps de calcul très importants. En effet,l'obtention de résultats (e.g., coefficients de réflectance et de transmittance) précisimplique de bien échantillonner l'ensemble des évènements possibles (e.g., interactionavec de petits objets), ce qui implique le lancer de beaucoup de photons. Ceci est uneforte contrainte, car l'écart type du résultat final décroît seulement comme 1/ n, où n estle nombre d'échantillonnages (i.e., nombre de photons).Si la diffusion ou l'émission est étudiée pour une seule direction de visée, toute simulationest accélérée s'il est effectué un calcul préalable de "rendu" selon cette direction. Cetteapproche détermine l'ordre d'importance des éléments du milieu selon cette direction, ce

LE TRANSFERT RADIATIF 91qui permet d'optimiser l'échantillonnage de la scène en échantillonnant de manièrepréférentielle les éléments qui ont le plus d'impact sur le résultat final.• Méthode du doublementCette méthode numérique, élaborée par Van Hulst, est très utilisée pour modéliser letransfert radiatif dans les atmosphères planétaires. En effet, ses temps calculs sontrelativement faibles et elle est adaptée aux milieux dont la fonction de phase estanisotrope. Son principe est simple : les propriétés optiques d'une couche de particulespeuvent être représentées par une matrice réflectance (R) et une matrice transmittance (T)directionnelles de dimension égale au nombre de directions retenu. Deux couchessuperposées ont donc la réflectance (R') = (R) + (T).(R).[1 - (R).(R)] -1 .(T) et latransmittance (T') = (T).[1 - (R).(R)] -1 .(T). La méthode démarre avec une couche de trèsfaible épaisseur optique (e.g. τ o = 2 -25 ) qui est itérativement doublée jusqu'à avoirl'épaisseur optique désirée τ milieu . Avec τ o = 2 -25 , il faut 50 itérations pour obtenirτ milieu = 2 25 . Cette méthode peut être adaptée pour superposer des couches de propriétésoptiques différentes. Quels sont les avantages et inconvénients d'utiliser un grand nombre de directions ?• Méthode à N fluxCette méthode échantillonne (méthode des ordonnées discrètes) l'espace 4π des directionsde propagation avec N directions (Ω j , ∆Ω j ). Elle traite une équation du transfert radiatifpar direction. L'on a donc un système de N équations dépendantes. Pour un milieu plan,l'emploi de valeurs moyennes pour chaque direction donne :1.∆Ω⎮ ⌠ ∂L(τ,Ω).cosθ.dΩ =j ⌡ ∂τ∆Ω jω4π . 1.∆Ω j⌠⎮⌡⌡⌠4π∆Ω j1∆Ω j. ∂ ∂τ . ⌡ ⌠∆Ω jL(τ,Ω).cosθ.dΩ =τµP(Ω',Ω).L(τ,Ω').dΩ'.dΩ - E s (Ω s ).e s. ω 4π . 11∆Ω j. ⌡ ⌠∆Ω jL(τ,Ω).dΩ -∆Ω j. ⌡⌠∆Ω jP(Ω s ,Ω).dΩ -1∆Ω j. ⌡⌠∆Ω jε B .L B (τ,Ω).dΩ1On note : L j (τ) = .∆Ω j⌡ ⌠1L(τ,Ω).dΩ L Bj (τ) = .∆Ω j⌡ ⌠1L B (τ,Ω).dΩ µ j = .∆Ω j⌡ ⌠ cosθ.dΩ∆Ω j ∆Ω j ∆Ω j1 1p k,j = . . ⌠ P(Ω',Ω).dΩ.dΩ' où 1∆Ω k ∆Ω j ⎮4π . ΣNpk,j .∆Ω j = 1j=1⌡∆Ω j∆Ω k⌡⌠Les N équations intégro-différentielles sont donc remplacées par N équations linéaires du 1 erordre couplées, en vue d'une résolution numérique, ou analytique si N est petit :µ j . dL j(τ)dτ= L j (τ) - ω τ4π . ΣNµ pk,j .L k (τ).∆Ω k - E s (Ω s ).e s. ωk=14π .p s,j - ε B .L Bj (τ,Ω)Il a été utilisé l'approximation :1.∆Ω⎮ ⌠ µ. dL(τ,Ω) .dΩ ≈ µj ⌡ dτj . dL j(τ,Ω).dτ∆Ω j

LE TRANSFERT RADIATIF 92Le choix des bornes d'intégration (Ω j ) est souvent réalisé avec la quadrature de Gauss,c'est à dire avec un nombre donné N de directions (pivots) (Ω j ) pour que le calcul discretde l'intégrale soit le plus précis possible.La méthode à 2 flux est un cas particulier de la méthode à N flux. Dans ce cas, N = 2. Leseul flux incident est isotrope (L(τ=0) = L o ). Ci-dessous, il est considéré un milieu plan etl'émission est négligée. Le transfert radiatif est alors représenté avec 2 fluxhémisphériques verticaux ascendants et descendants. Ces flux sont définis en tant queluminances moyennes :1L 1 (τ) =2π . ⌡ ⌠ 1L(τ,Ω).dΩ et L 2 (τ) =2π . 2πḺ(τ,Ω).dΩ ⌡ ⌠2π +Si β est le facteur d'asymétrie hémisphérique l'on a : p 11 = p 22 = 1+β et p 12 = p 21 = 1-β. Vuque ∆Ω 1 = ∆Ω 2 = 2π et que µ 1 =1/2 et µ 2 =-1/2, le transfert radiatif est donc représenté par :12 .dL 1(τ)= Ldτ 1 (τ) - ω 2 .[(1+β).L 1(τ) + (1-β).L 2 (τ)]- 1 2 .dL 2(τ)dτ= L 2 (τ) - ω 2 .[(1-β).L 1(τ) + (1+β).L 2 (τ)]Dans le cas de diffuseurs isotropes (β=0), ce système différentiel est transformé avec leL 1 (τ) + L 2 (τ) L 1 (τ) - L 2 (τ)changement de variable { (τ) =2, ∆ (τ) =2}. On a alors :1 (τ)2.d∆ = (1 - ω). (τ) etdτ1 (τ)2.ddτ = ∆ (τ) ⇒ d 2 (τ)dτ 2 = 4.(1 - ω). (τ)La solution est : A.e -2γ.τ + B.e 2γ.τ , avec A et B fixés par les conditions aux limites. γ 2 =1-ω.- Milieu infini (τ→∝) de diffuseurs isotropes :(τ) = A.e -2.γ.τ , car (τ→∝) reste fini si τ→∝. La condition limite "L 2 (τ=0) = L o " donne:⇒ L 1 (τ) = L o . 1-γ1+γ .e-2.γ.τ et L 2 (τ) = L o .e -2.γ.τ avec γ 2 =1-ωPour un élément de surface au sommet d'un milieu infini de diffuseurs isotropes :* éclairement isotrope : π.L o* émittance isotrope : π.L o . 1-γ1+γ⇒ r hh = 1-γ (facteur de réflectance1+γ"hémisphérique - hémisphérique")- Milieu infini (τ→∝) de diffuseurs anisotropes (β≠0) :La solution est obtenue en remplaçant dans le système différentiel précédent les1-βquantités τ et ω par τ* = (1-β.ω).τ et ω* = .ω (relations de similarité). On a alors :1-β.ω12 .dL 1(t*)dt* = L 1(τ*) - ω *2 .[L 1(τ*) + L 2 (τ*)]- 1 2 .dL 2(τ*)dτ* = L 2(τ*) - ω *2 .[L 1(τ*) + L 2 (τ*)]⇒ r hh = 1-γ *1+γ*

LE TRANSFERT RADIATIF 93• Méthode de la radiositéLa radiosité d'un élément surfacique est la somme de (1) la luminance qu'il émet et/ouréfléchit du fait d'une source externe, et (2) de la luminance issue des autres éléments desurface et qui est diffusée et transmise par cet élément. La présence de N élémentsconduit donc à un système à N équations où chaque équation représente l'équilibreradiatif d'un élément. Cette méthode implique une connaissance précise de la position, del'orientation, de la forme et des propriétés optiques de tout élément surfacique. Cetteconnaissance est en général impossible dans le contexte de mesures satellitaires ou mêmede laboratoire. Seule la distribution statistique des diffuseurs est souvent disponible. Ecrire l'équation qui représente l'équilibre radiatif de l'élément i (Figure 76).Radiosité réfléchie1 à Nρ i . Σ Bj .F dSj →dS .dSjj≠iiRadiosité transmise1 à Nτ i . Σ Bj .F dSj →dS j≠ii.dS jFlux incident descendant (n - i.n - j0)1 à NΣ Bj≠i ⌡⌠ j .F dSj →dS .dSj iS jFigure 76 : Radiosité. Elément i entouré de N-1 éléments.I.5 Inversion de mesuresL'inversion d'un modèle de transfert radiatif permet de calculer un ou plusieurs de sesparamètres d'entrée à partir de mesures directionnelles ou spectrales.Mesures MParamètresd'entrée P iModèle detransfert radiatifSimulation SParamètresd'entrée P iCalcul de ∆P i à partir de [M – S]Algorithme général d'inversionDans le cas de mesures directionnelles, la méthode d'inversion peut s'appuyer sur laminimisation d'une fonction du type :KF(Ψ A ,Ψ B ) = Σ ηk .[L(Ω k ) - L'(Ω k )] 2 + f(Ψ A ,Ψ B )k=1

LE TRANSFERT RADIATIF 94où η k est un facteur de poids, L(Ω k ) est la mesure, et L'(Ω k ) est la mesure simulée selon ladirection (Ω k ). Il est donné la même importance à toutes les directions (Ω k ) s'il est choisiη k =1 ∀k∈[1 K]. f(Ψ A ,Ψ B ) est la fonction de pénalité, avec par exemple Ψ A et Ψ B desparamètres d'entrée du modèle qui caractérisent le comportement optique du milieu. Elleprend en général des valeurs très élevées si certaines contraintes ne sont pas vérifiées(e.g., si l'inversion donne un albédo de diffusion moléculaire ω ∉ [0 1]).

LE TRANSFERT RADIATIF 95IIII.1TRANSFERT RADIATIF DANS L'ATMOSPHEREPropriétés physiques de l’atmosphère1) Atmosphère gazeuseLa proportion relative des gaz est plus ou moins constante dans l'homosphère (h> d ≈ 1A) :ρ(z) = M N . P(z)k.T(z)⇔ N(z) = ρ(z). N M = P(z)k.T(z) = N(0). P(z)101325 .273.15 T(z)M : masse moyenne d'une mole d'air (M ≈ 28.97 g.mole -1 jusqu'à z ≈ 100km).N A : nombre d'Avogadro (≈6 10 23 molécules/mole). Masse de molécule d'air : m= M N A=4.8 10 -26 kgk: cste de Boltzmann (1.38 10 -23 J/K/molécule). Cste des gaz parfaits : R = k.N A = 8.314 J/K/moleN AN : densité (molécules/m 3 ). N(0) ≈22.4 10 -3 ≈ 2.69 1025 m -3 ⇒ ρ(0) = N(0). M N ≈ 1.225 kg/m 3 à 15°CAPour une colonne atmosphérique : N tot = ⌡ ⌠ o∝P(0)N(z).dz =mg ≈ 2.1 1029 molécules.m -2soit une densité surfacique de masse M tot = ⌡⌠ ρ(z).dz = P(0)g ≈ 10.2 103 kg.m -2P(z)Gaz parfait : {dP(z) = -g.ρ(z).dz, N(z) =kT(z) } ⇒ dP(z)P(z) = - dzH(z) ⇒ P(z) = P(0).exp[- ⌡ ⎮⌠ drH(r) ]0où H(z) = N.k.T(z)g.Mest l'échelle de hauteur.Atmosphère isotherme (T(z) = T)L'atmosphère est souvent supposée isotherme : T(z) = cste. Par suite : H(z) = cste, alors que lapression P(z), masse volumique ρ(z) et densité N(z) diminuent exponentiellement avec z :∝0z

LE TRANSFERT RADIATIF 96P(z) = P(0).exp[ -z H ] ρ(z) = ρ(0).exp[-z H ] Ν(z) = N(0).exp[-z H ]L'atmosphère est souvent assimilée à une couche isotherme "hauteur H, température T(0),N A .k.T(0)masse volumique ρ(0)", de densité surfacique de masse M tot = H.ρ(0), où H =g.M .La condition {M=28.97, g=9.81m/s 2 , T=288K, P(0)=1atm=10 5 N/m 2 } donne : H = 8.4km.C'est la valeur du profil standard de l'organisation internationale de l'aviation civile (ICAO).En fait, les expressions précédentes de P(z), ρ(z) et N(z) sont des approximations. Ainsi,H n'est pas une constante, car l'atmosphère n'est pas isotherme (T(z) ≠ cste). Ceciexplique que la densité ρ(z) décroît beaucoup plus dans l'homosphère (h < 100 km) quedans l'hétérosphère : ρ(0km) ≈ 10 -3 g.cm -3 , ρ(100) ≈ 10 -9 g.cm -3 , ρ(150) ≈ 10 -12 g.cm -3 ,ρ(400) ≈ 10 -14 g.cm -3 , ρ(700) ≈ 10 -16 g.cm -3 , ρ(1500km) ≈ 10 -18 g.cm -3 .Vénus Terre Mars TitanPression de surface (atm) 90 1 0.02 1 - 3Température de surface (K) 880 290 ≈250 ≈94H (km) 15 8.4 ≈10 ≈20Principaux constituants(% volume)97%CO 2 ,N 2%: 78.08 N 2 , 20.95 O 2 , 0.93 Ar, 0.03% CO 2 , 18.2 10 -4Ne, 5.2 10 -4 He, 1.5 10 -4 CH 4 , 0.5 10 -4 H 2 , 0.089 10 -4 Xe,CO * , NO * , SO 2 * , NO 2 * , NH 3 , 0 à 4 H 2 O, 0 à 12 10 -4 O 3Tableau 3 : Atmosphères gazeuses (Vénus, Mars, Titan, Terre). Symbole * pour les très faibles altitudes.CO 2 ,N 2 ,ArCH 4Atmosphère adiabatique non isothermeEn fait, la température T(z) décroît de la surface terrestre jusqu'à ≈ 11km (tropopause), etest assez constante de 11km à 25km. L'hypothèse d'une atmosphère adiabatique (i.e.transparente au rayonnement) permet de modéliser son profil. La variation d'énergieinterne (1 ère loi de la thermodynamique) d'une masse d'air m a qui se déplace entre lesniveaux P(z) et P(z+dz) d'une atmosphère en équilibre hydrostatique est alors nulle :m a .C v .dT + P.dV = 0Cette équation est valide pour tous les gaz présents, car la convection homogénéise lesconcentrations relatives des gaz à toute altitude dans la basse atmosphère. C v est lachaleur spécifique à volume constant et dV est la variation de volume.Pour une masse unité d'air (masse molaire M ; ρ.V = 1), la différentiation de l'équationd'état PV = N.k.T donne :P.dV + V.dP = R M .dTSachant que pour un gaz parfait "C p - C v = R/M", où C p est la chaleur spécifique à pressionRconstante, le système {C v .dT = -P.dV et P.dV + V.dP =M .dT} implique : V.dP = C p.dTPour une masse unité "dP(z) = -g.ρ(z).dz = - g dTV.dz", on a:dz = - g C= -Γ a ⇒ T(z) = T(0) - Γ a .zpoù Γ a est le taux de variation thermique "adiabatique": Γ a = 9.81K/km. En fait, latempérature décroît de ≈6.5K/km jusqu'à z ≈ 11km (sommet de la troposphère), puis

LE TRANSFERT RADIATIF 97est constante jusqu'à 20km (tropopause). L'altitude de la tropopause est ≈15km auxbasses latitudes et ≈8km aux hautes latitudes. Entre 20km et 55km, la températureaugmente si bien que l'atmosphère est alors une couche d'inversion qui inhibe lesmouvements atmosphériques verticaux.L'atmosphère est concentrée dans une couche très fine au-dessus de la surface terrestre.Ainsi, la moitié de la masse atmosphérique est au-dessous de 5.5km et 99% de la masseatmosphérique est à une altitude inférieure à 32km. Ceci permet souvent de négliger lacourbure de la Terre et donc de considérer l'atmosphère comme une couche parallèle plane.Les trois gaz qui interagissent le plus avec le rayonnement solaire sont :- CO 2 : comme O 2 , le CO 2 est uniformément mélangé avec les autres gaz de l’atmosphèrejusqu'à une altitude 100km. Les plus fortes interactions ont lieu dans l'infrarouge, près de4.3µm et 15µm. Il joue un rôle majeur pour l'équilibre énergétique de la mésosphère (50 à90km). Ainsi, l'émission thermique du CO 2 près de 15µm refroidit la mésosphère.- H 2 O : du fait de ses fortes bandes d'absorption dans le PIR, MIR, lointain infrarouge ethyperfréquences, la vapeur d'eau est un facteur majeur de l'équilibre énergétique de latroposphère (H

LE TRANSFERT RADIATIF 98P (H 2O ) (atm .cm /k m )200015001000500H 2OSub Arctic Wint.Mid. Lat. Wint.Mid. Lat. Sum.Std. USTropicalP(atm.) - Std. USPression atmosphérique1000800600400200P(a tm ) (m b)P(O3) (atm.cm/km)0.020.0150.010.005Sub. Arctic Wint.Mid. Lat. Wint.Mid. Lat. Sum.Std. USTropicala)Altitude (km)000 2 4 6 8 10b)Altitude (km)00 10 20 30 40 50c)Température (K)290270250230210Sub Arctic Sum.Sub Arctic Wint.Std. USTropicalAltitude (km)1900 20 40 60 80 100d)km110100908070605040302010-12 -10 -8 -6 -4 Densité Log(g.m -3 )ThermosphèreH 2OMésosphèreStratosphèreTroposphèreChauffage(UV absorbé par oxygène)O 3Chauffage: UV absorbé par O 3 et O 2(IRT émis par CO 2 )180 200 220 240 260 Température (K)Chauffage(VIS/PIR absorbé par la Terre,puis conduction et convectionFigure 77 : Profils atmosphériques d'atmosphères types. a) Pression et vapeur d'eau.b) Ozone. c) Température. d) Atmosphère moyenne : T, O 3 et H 2 O.2) Aérosols atmosphériquesLes aérosols font l'objet d'un regain d'intérêt, car ils ont un effet de refroidissement surnotre planète, opposé au réchauffement dû à l'augmentation de la concentration des gaz àeffet de serre. En effet, ils renvoient vers l'espace une partie du rayonnement solaireincident. De plus, ils modifient les propriétés radiatives des nuages. Leurs caractéristiques(nature, propriétés optiques, distributions dans l'espace et le temps) sont beaucoup plus malconnues que celles des gaz, ce qui explique la difficulté d'inclure les aérosols dans lesmodèles de circulation générale.Les aérosols sont des "poussières" constituées de matière solide et liquide (e.g., brume,brouillard) en suspension dans l'atmosphère. Leur dimension r est habituellement compriseentre 0.1 et 1µm. On les appelle "gouttelettes" si leur taille est supérieure à 1µm. Leurdurée de vie dans l'atmosphère dépend de leur taille. Ils ont plusieurs origines possibles :- origine terrestre : ce sont en particulier les aérosols minéraux dus à l'érosion éolienne.- origine océanique : aérosols marins que l'évaporation peut transformer en particules de sel.- origine gazeuse : décomposition de plantes, feux de forêts, volcans, processus industriels,...

LE TRANSFERT RADIATIF 99Distribution verticale des aérosols : ils sont surtout dans les premiers kilomètres avec unediminution exponentielle de la densité des "grandes" particules : Ν(z) = N(0).exp[ -zH p]. Leterme H p dépend de la taille des particules. Pour les grandes particules H p ≈1km.Densité volumique des aérosols de rayon compris entre r et r+dr : elle est souvent donnéepar des lois analytiques. Ainsi, pour des aérosols de rayon > 0.1µm, la loi de Junge (1952)donne : ∂N(r p) A= où α ∈ [3 5], alors que la loi "gamma modifiée" : ∂N(r p)= A.r α∂r p ∂r pp.exp[-B.rp].γr α pLa concentration des aérosols est très variable selon la saison et le lieu, avec des valeurs del'ordre de 10 3 cm -3 au-dessus des océans, 10 4 cm -3 au-dessus des zones rurales et 10 5 cm -3au-dessus des zones urbaines. Les modèles atmosphériques simulent les effets des aérosolssur la propagation du rayonnement. Ainsi, le modèle 6S emploie 3 profils types deconcentration d'aérosols (continental, maritime et urbain), à partir des paramètres précalculésde quatre sortes d'aérosols (poussière, marin, composé hydrique, suie).Aérosol "poussière"r≈0.5µmAérosol "soluble"r≈0.005µmAérosol "marin"r≈0.3µmAérosol "suie"r≈0.018µmContinental 0.70 0.29 0.00 0.01Maritime 0.00 0.05 0.95 0.00Urbain 0.17 0.61 0.00 0.22Tableau 5 : Pourcentages volumiques d'aérosols pour 3 modèles d'aérosols.II.2Interactions atmosphériques1) Propriétés optiques atmosphériquesL’absorption, la diffusion et l'émission thermique des gaz et des aérosols sont les mécanismesradiatifs atmosphériques majeurs. De manière schématique, l'absorption diminue l'intensitédu rayonnement incident, la diffusion est une redistribution plus ou moins isotrope d’unepart du rayonnement intercepté, et l'émission thermique est une redistribution plus oumoins isotrope d’une part de tout le rayonnement spectral absorbé. Le rayonnementdescendant en haut de l'atmosphère est du à l'émission thermique solaire. Il est proche durayonnement émis par un corps noir à 5900K. Il est surtout dans les domaines ultraviolet(UV), visible (VIS), proche infrarouge (PIR) et moyen infrarouge (MIR).Du haut au bas de l'atmosphère, l’éclairement solaire décroît du fait de l'absorption gazeuseet de la diffusion des gaz et des aérosols. La Figure 23 montre que l'absorption gazeuse(surface noire) survient dans les bandes spectrales d’absorption des gaz. Elle a une trèsforte variabilité spectrale. Par contre, la diffusion des gaz et des aérosols (surface grise)survient sur tout le spectre ; elle diminue avec l'augmentation de la longueur d'onde. Ladiffusion et l’absorption gazeuses sont assez bien estimées, car les propriétés (température,pression, etc.) des gaz sont assez stables et connues (Figure 77). La vapeur d’eau est uneexception notable du fait de sa forte variabilité spatio-temporelle. L’observation dessurfaces terrestres depuis l'espace est en général réalisée dans les domaines spectrauxappelés "fenêtres atmosphériques" (Tableau 6) hors des domaines d’absorption gazeuse.

LE TRANSFERT RADIATIF 100Environ un quart du rayonnement solaire est diffusé par l'atmosphère terrestre. Les deuxtiers de ce rayonnement diffusé parviennent sur la surface terrestre. Le rayonnementascendant en haut de l'atmosphère est qualifié de TOA (Top of the Atmosphere). Sonorigine varie avec le domaine spectral considéré. Ainsi, dans les courtes longueurs d'ondeinférieures à ≈ 2.5µm, il provient surtout de la diffusion du rayonnement solaire parl'atmosphère et la Terre. Le rayonnement diffusé par les surfaces terrestres est en généralsupérieur à la diffusion atmosphérique si λ > 0.4µm. Cette prédominance tend à êtred'autant plus forte que la longueur d'onde est élevée. Aux longueurs d'onde supérieures à2.5µm, le rayonnement TOA est surtout du à l'émission thermique de l'atmosphère et de laTerre, avec une prédominance partielle ou totale du rayonnement thermique atmosphériquedans les principales bandes d'absorption atmosphérique (e.g., [5µm 8µm]).Ultraviolet et visibleProche infrarougeInfrarouge moyenInfrarouge thermiqueHyperfréquences(fortes bandes étroites O 3 et H 2 O auxhautes fréquences micro-ondes)0.35µm - 0.75µm0.77µm - 0.91µm1.0µm - 1.12µm1.19µm - 1.34µm1.55µm - 1.75µm2.05µm - 2.04µm3.35µm - 4.16µm4.5µm - 5µm8µm - 9.2µm10.2µm - 12.4µm17µm - 22µm2.06mm - 2.22mm3mm - 3.75mm7.5mm - 11.5mm20mm - ∝Tableau 6 : Principales fenêtres atmosphériques.Soumis à un rayonnement de luminance L(r,Ω s ) dans le secteur angulaire (Ω s ,∆Ω s ), uneparticule intercepte la puissance σ e .L(r,Ω s ).∆Ω s et diffuse la puissance σ d .L(r,Ω s ).∆Ω s . Lapuissance diffusée par angle solide unité selon Ω v est P(Ω s→Ω v ).σ4π d .L(r,Ω s ).∆Ω s . Laparticule est donc caractérisée par sa section efficace d'extinction σ e , de diffusion σ d etd'absorption σ a (σ a = σ e - σ d ), et par sa fonction de phase P(Ω s,Ω v ).4πLes propriétés optiques locales de l'atmosphère dérivent des propriétés optiques (σ e , σ d , σ a ,P(Ω s ,Ω v )) et de la densité N(z) des gaz et des aérosols. Ici, l'indice m est pour les molécules4πgazeuses (i.e., molécules) et l'indice p pour les aérosols (i.e., particules solides ou liquides).Les coefficients σ e , σ a , et σ d ainsi que P(Ω s→Ω v )sont calculés avec la théorie dite de Mie :4πapplication des équations de Maxwell combinées aux conditions aux limites de sphères derayon r p et d'indice de réfraction n, sans prise en compte les diffusions multiples.

LE TRANSFERT RADIATIF 101La diffusion, et donc σ d et P(Ω s→Ω v )2π.rd’une particule de rayon r, dépendent de κ =4πλetde l’indice de réfraction de la particule diffusante (Figure 78). Le type de diffusion est ditde Rayleigh si r

LE TRANSFERT RADIATIF 102- exp[-∆τ ma] : probabilité de non absorption de tous les gaz,- exp[-∆τ md] : probabilité de non diffusion Rayleigh de tous les gaz,- exp[-∆τ pd] : probabilité de non diffusion des aérosols, et- exp[-∆τ pa] : probabilité de non absorption des aérosols.Réfraction atmosphériqueLa vitesse de propagation d'une onde dans un milieu diffère de sa vitesse dans le vide, carelle interagit avec le milieu. Le rapport des vitesses est l'indice de réfraction n. Pour uneatmosphère de pression P (bars), de pression partielle de vapeur d'eau P H2O (bars) et detempérature T, l'indice de réfraction vérifie différentes relations selon le domaine spectral :- Fréquences < 200 GHz : (n-1).10 6 = 0.0776 P T + 373 P H2OT 2 ⇒ ∆n(∆P H 2 O = +1Pa) = -4.10-10- Domaine optique : (n-1).10 6 = [a o +a 11-(ν/b 1 ) 2 +a 21-(ν/b 2 ) 2 ]. P - P H 2 O. T oT + [c o - ( ν )c 2 . P H 2 O]1 P oa o = 83.43, a 1 = 185.08, a 2 = 4.11, b 1 = 1.14 10 5 cm -1 , b 2 = 6.24 10 4 cm -1 , c o = 43.49, c 1 = 1.710 4 cm -1 , avec P en mb et ν en cm -1 .A {T=298K, P=1bar, λ=visible} : n ≈ 1.000292 ≠ n p (molécules)∀λ∈[0.2 2] en µm à {T=298K, P=1bar, P H2 O =1500Pa} : (n-1).107 ≈ 2720 + 14.689.λ -2 + 0.238.λ -4(n-1) décroît plus ou moins exponentiellement avec l'altitude de même que la pression.L'atmosphère est donc un milieu sphérique diélectrique non homogène. Toute ondeincidente sur le sommet de l'atmosphère est "réfractée", et suit donc une trajectoireincurvée dans l'atmosphère. Cet effet peut être utilisé pour étudier l'atmosphère. Il est engénéral négligé en télédétection, car les rayons mesurés ne sont jamais très obliques.a) Gaz : τ m = τ md+ τma• Diffusion des gazLa très faible dimension des molécules devant les longueurs d'onde au-delà del'ultraviolet (i.e., λ > 0.4µm) implique que la diffusion est de type Rayleigh. Elle estsurtout due aux gaz les plus présents, i.e. azote et oxygène. Pour une atmosphère dedensité moléculaire N(z), avec σd m(λ) indépendant de l'altitude :∝∝τd m(λ) = ⌡ ⌠ d dσ m(λ).Nm (z).dz ≈ σ m(λ).Ntot avec N tot = ⌡ ⌠ P(0)N m (z).dz=mg ≈ 2.1 1029 m -200doù σ m(λ) : section efficace de diffusion (m 2 ) ; i.e. émission dipolaire.Pour une molécule d'air (r ≈ 1.1510 -10 3d 8π 3 .(n 2 -1) 2m ; N m =4.π.r 3 ; n ≈ 1 : σ m(λ) ≈3.Nm.λ 2 4d 4.10 -32⇒ σ m(λ) ≈λ 4 m 2 d(λ en µm) ⇒ σ m(0.1µm) ≈ 4.10 -28 m 2 0.4mm et négligée devant celle-ci pour λ>1µm.P o

LE TRANSFERT RADIATIF 103Diverses expressions semi-empiriques de τ md(λ) sont utilisées selon l'altitude, le typed'atmosphère (tropical,...), etc. Ainsi, avec λ en µm, pour une pression de 1atm :- τ md≈ 0.0088 λ -4.15+0.2λ (pour le modèle Arpège : τ md≈ 0.00879 λ -4.09 ) (λ en µm)- τ md≈ 0.008569.λ -4 .(1+0.0113.λ -2 + 0.00013.λ -4 )0.90.80.70.6GazAérosols (V=23km)Total0.50.40.30.20.10350 550 750 950 1150 1350 1550 1750Figure 79 : Epaisseur optique atmosphérique (visibilité=23km), des gaz et des aérosols.τ m d (z) est proportionnel à la pression P(z) : τ m d (z) = τ m d (z o ).P(z) où P(z o ) = 1atm.Si P(z) = P(z o ).e -(z-zo)/Hp , où H p est le facteur d'échelle (e.g., 9km), alors τ m d (z) = τ m d (z o ).e -(z-zo)/HpAinsi, il est souvent utilisé la relation : τ m d (z) = τ m d (z o ).exp[-0.1188.h - 0.00116.h 2 ] où h = z-z oLa transmittance totale T(θ) d'une atmosphère gazeuse (i.e., sans aérosols) selon unedirection Ω(θ,φ) est la somme de la transmittance directe exp[-τ m d /µ], où µ=cosθ, et d'unterme complexe du aux diffusions multiples. Pour une atmosphère purement gazeusenon absorbante (i.e. albédo de diffusion simple égal à 1), la méthode des 2 flux donne :T(θ) = 2+3|µ| + (2-3|µ|).e-τ m/|µ|4+3.τ m(τ m → ∝ ⇒ T(µ) → 0 et τ m → 0 ⇒ T(µ) → 1)• Fonction de phase des gazLa fonction de phase P R(Ω s ,Ω v )des gaz, i.e. fonction de phase de Rayleigh, est4πrotationnellement invariante (symétrie azimutale vs. la direction incidente) : elle nedépend que de l'angle de diffusion |Ψ sv | entre les directions de diffusion Ω v etd'incidence Ω s . Elle est donc souvent notée P R(Ψ sv )4π . Le terme P R(Ψ sv )4π.dΩ v est laprobabilité de diffusion selon (Ψ sv ,dΩ v ) d'un photon diffusé, au départ incident selon(Ω s ). La condition ⎮ ⌠ P R (Ψ sv )⌡ 4π.dΩ v=1 donne ⌡⌠ P R (Ψ sv ).sinΨ sv .dΨ sv = 2.04ππP R (Ψ) ≈ 3 4 .2(1-δ) 2+δ .(1+cos2 Ψ) + 3δ2+δ ≈ 0.7552 + 0.7345.cos2 Ψ ⇒ P R (Ψ) ≈ 3 4 .(1+cos2 Ψ)où δ est le facteur de dépolarisation. Il dépend de l'anisotropie des molécules et esttoujours petit. Pour une atmosphère terrestre moyenne δ≈0.0279 (Young, 1980).

LE TRANSFERT RADIATIF 104αCapteurθ vΨ svθ sDiffusion d'un photon"Soleil → Détecteur".cosΨ sv = [cosθ v .cosθ s + sinθ v .sinθ s .cos(Φ v -Φ s )]Φ vL'angle de phase est α.Φ sLa diffusion d'une onde non polarisée par une molécule gazeuse donne une onde plusou moins polarisée. Etant surtout d'ordre 1, cette polarisation est surtout rectiligne. Letaux de polarisation, i.e. "luminance 100% polarisée" / "luminance totale" est :q m (Ψ) =1-cos 2 Ψ1+cos 2 Ψ+ 2δ1-δCette expression est cohérente avec le fait qu'une onde diffusée est 100% polarisée siΨ=90°. En effet, contrairement à la polarisation horizontale, la polarisation verticales'annule pour Ψ=90°, car un oscillateur ne rayonne pas selon sa direction d'oscillation(i.e., direction du champ électrique de l'onde incidente).• Transmittance des principaux gazLa transmittance gazeuse exp[-∆τ ma] de l'atmosphère est le produit des transmittancesdes gaz (H 2 O, CO 2 , CO, N 2 O, O 2 , O 3 , N 2 , CH 4 ) présents. Elle varie beaucoup avec lalongueur d'onde (Figure 24) et aussi avec la variabilité de la teneur en vapeur d'eau.- H 2 O : bandes à 0.72µm, 0.81µm, et surtout à 0.94µm, 1.13µm, 1.38µm, 1.87µm, [2.63.3] avec plusieurs centres, [5.5 7.5] centré sur 6.3µm, et spectre pur de rotationcentré sur 50µm de 11µm à plus de 1cm (λ>15µm ⇒ T≈0%). Les bandeshyperfréquences majeures sont 22.235GHz (13.49cm) et 183.31GHz (1.637cm).Faibles raies aux fréquences > 300GHz. L'eau est souvent le principal absorbantalors qu'il ne représente qu'une très faible fraction de l'atmosphère.- O 3 : forte bande UV continue [0.2µm 0.3µm] (bande de Hartley) et plus faibles dans[0.3µm 0.36µm] (bande de Huggins). Faible bande [0.55µm 0.65µm] (bandeChappuis). Raies de vibration-rotation de 3µm à 15µm, avec une forte bande de9.3 à 9.8µm (T≈0%), centrée sur 9.6µm (1042cm -1 ). Nombreuses raiesd'absorption rotationnelle dans les domaines millimétrique et sub-millimétrique.- O 2 : très forte absorption UV (

LE TRANSFERT RADIATIF 105- CO : bande autour de 4.8µm (∆λ≈0.2µm ; T≈50%) et à 230.77GHz et 115.27GHz.- Glace (H 2 O) : la combinaison de fondamentaux "vibrationnels" à 3.2µm et 6.1µmdonne de fortes bandes ≈1.52µm et 2.02µm ; plus faibles à 1.25µm et 1.02µm.La très forte variabilité spectrale de l'absorption gazeuse complique beaucoup le calcul dela transmittance gazeuse. La transmittance moyenne ∆λ sur un intervalle spectral∆λ large (≈50A ° ) par rapport aux raies d'absorption s'écrit :∝ ∆λ = 1∆λ . ⌡ ⎮⎮⌠ exp[ 1 µ ⌡ ⌠α a m(z,λ).dz].dλ avec µ

LE TRANSFERT RADIATIF 106DiffusionLuminance TOA (W.m -2 .sr -1 .µm -1 )Emission250Atmosphère: US Standard(V=23km - θ v =0° - θ s =30°)Terre : végétation (T=280K)Emission terrestre62005150Diffusionatmosphérique43100DiffusionterrestreEmissionatmosphérique2501a)000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15µm250Luminance (W.m -2 .sr -1 .µm -1 )200150100DiffusionterrestreAtmosphère: US Standard(V=23km - θ v =0° - θ s =30°)50Diffusionatmosphériqueb)00.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 µmLuminance (W.m -2 .sr -1 .µm -1 )250Diffusion terrestre200150100Diffusion atmosphériquec)50Atmosphère: US Standard(V=23km - θ v =0° - θ s =30°)00.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Figure 80 : Luminance montante au sommet d'une atmosphère US standard au-dessus d'un couvert végétal.a) L'échelle diffère pour l'émission (droite) et la réflectance (gauche). (b) et (c) sont des zooms de (a).1 µm

LE TRANSFERT RADIATIF 10710.8Transmittance atmosphériqueAtmosphère US standardV=23km - θv=0°0.60.40.20a)10.80.6Atmosphère tropicaleV=23km - θ v =0°λ (µm)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Transmittance (H 2 O)Atm. US standardV = 23km - θ v = 0°0.40.2Atmosphère TropicaleV = 23km - θ v = 0°λ (µm)0b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Figure 81 : Transmittance totale (a) et de la vapeur d'eau (b) pour une atmosphère US standard et tropicale.10.8Transmittance (CO 2)0.60.40.20Atmosphère US StandardV=23km - θv = 0°λ (µm)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Figure 82 : Transmittance de CO 2 pour une atmosphère US standard.

LE TRANSFERT RADIATIF 108∝⌠α e (λ) = ⎮σ e (λ,n,r p ). ∂N(r p)⌠.dr⌡ ∂r p α d (λ) = ⎮σ d (λ,n,r p ). ∂N(r p)⌠.drp ⌡ ∂r p α a (λ) = ⎮σ a (λ,n,r p ). ∂N(r p).drp ⌡ ∂r pp0∝0400nm 550nm 633nm 694nm 860nm 1536nm 2250nm 3750nmPoussière 1.53+0.008i 1.53+0.008i 1.53+0.008i 1.53+0.008i 1.52+0.008i 1.4+0.008i 1.22+0.009i 1.27+0.013iSoluble 1.53+5i10 -3 1.53+0.006i 1.53+0.006i 1.53+0.007i 1.52+0.012i 1.51+0.023i 1.42+0.1i 1.45+0.4iMarin 1.39+i10 -8 1.38+4i10 -9 1.38+16i10 -9 1.38+50i10 -9 1.37+i10 -6 1.36+24i10 -5 1.33+85i10 -5 1.4+29i10 -4Suie 1.75+0.46i 1.75+0.44i 1.75+0.43i 1.75+0.43i 1.75+0.43i 1.77+0.46i 1.81+0.5i 1.9+0.57iTableau 7 : Indices de réfraction d'aérosols "poussière", "soluble", "marin" et "poussière".L'épaisseur optique τ p d varie spectralement comme σ p d . Elle est souvent approchée par larelation empirique d'Angström: τ p d (λ) = τ p d (1µm).λ -β . Pour une atmosphère terrestremoyenne β≈1.3. L'estimation expérimentale des paramètres τ p d (1µm) et β requiert aumoins 2 mesures spectrales. τ p d (1µm) dépend du type et de la quantité des aérosols.Pour une atmosphère "claire", τ p d (1µm)≈0 et jusqu'à 2-3 lors de brumes de sable.Aérosols continentauxα e (λ) α d (λ)ωα e (550) α e (550)gα e (λ)α e (550)∝0Aérosols urbainsα d (λ)ωα e (550)400nm 1.40 1.27 0.901 0.646 1.48 0.976 0.660 0.600488nm 1.14 1.03 0.898 0.64 1.17 0.762 0.654 0.593515nm 1.08 0.967 0.897 0.638 1.09 0.711 0.651 0.592550nm 1 0.891 0.891 0.637 1 0.647 0.647 0.591633nm 0.849 0.754 0.888 0.633 0.829 0.532 0.641 0.587694nm 0.76 0.669 0.879 0.631 0.733 0.462 0.631 0.585860nm 0.577 0.486 0.841 0.633 0.542 0.319 0.588 0.5831536nm 0.283 0.212 0.75 0.645 0.243 0.111 0.455 0.5652250nm 0.151 0.115 0.761 0.741 0.124 0.043 0.342 0.5853750nm 0.103 0.081 0.785 0.779 0.066 0.018 0.274 0.587Tableau 8 : Coefficients d'extinction et de diffusion (normalisés par α e (550), albédo dediffusion simple et facteur d'asymétrie d'aérosols continentaux et urbains. 400nm à 3750nm.Modèle Composante Composante en aérosolmoléculaire Type d'aérosol AbondanceRayleigh Caractérisé par l' - τ p =0V-23km épaisseur optique τ mParticules sphériques deconcentration N(z)τ p =0,13 à λ o =1µmV-5km au niveau de la mer Indice de réfraction (e.g. n=1,5) τ p =0,44 à λ o =1µmTableau 9 : Exemples de modèles atmosphériques (Rayleigh, V=23km, V=5km).• Fonction de phaseLa fonction de phase P p (Ψ) des aérosols est souvent supposée de symétrie azimutale etspectralement peu variable. Elle est en général plus mal connue que pour les gaz. Elle esttrès anisotrope vers l'avant avec un faible maximum local de rétrodiffusion. P p (Ψ) estsouvent approchée par une fonction de Henyey-Greenstein :g

LE TRANSFERT RADIATIF 109P p (Ψ) =(1-g 2 ).a[1+g 2 -2g.cosΨ] 1.51où g = 4π =4π . ⌡ ⌠ 1cosΨ.P p (Ψ).dΩ =2 . ⌡ ⌠ cosΨ.P p (µ).d(µ) où µ = cosΨ.4π-1Le facteur d'asymétrie g (i.e., différence des diffusions avant et arrière) dépend du typed'aérosol et peu de λ et. g = 0 si P p (Ψ) est symétrique. g≈1 si la diffusion avant est forte.La fonction de phase d'un volume de différents aérosols est : ⎮ ⌠ P p (Ψ). ∂N(r p).dr ⌡ ∂r ppLa fonction de Henyey-Greenstein approche d'autant mieux la fonction de phasethéorique de Mie que la densité de grands aérosols est très petite. En effet, les grosaérosols rendent la fonction de phase très dissymétrique (Figure 83).Le taux de polarisation varie peu avec λ et beaucoup avec le type d'aérosol. De même,l'albédo de diffusion simple dépend du type d'aérosol, du fait de n(λ).+11000Fonction de phase1010O/ =0.0436µmO/ =0.002µm10.10.01O/ =12.48µmAngle de diffusion0° 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180°Figure 83 : Fonction de phase à 0.7µm des 3 types d'aérosols utilisés par Shettle(1984) pour modéliser les aérosols de désert. Adapté de Moulin et al. (1997).Fraction d'aérosol de diamètre (O/ ) de 0.002µm, 0.0436µm et 12.48µm : 54.21%, 45.79%et 3.9 10-5 % en nombre et 2.6 10-4 %, 78.1% et 21.9% en masse. Masse volumique :2.5g.cm -3 . Albédo de diffusion simple : 0.94. Coefficient spécifique d'extinction :0.82m 2 .g -1 . Exposant d'Angstrom : 0.3. Indice de réfraction : 1.55-0.005 i.• Absorption des aérosolsLes aérosols ont un albédo de diffusion ω p = d a = τ pet un coefficient d'absorptionα p + αp τ p(1-ω p ). En général, à 550nm, ω p ∈ [0.6 1]. Ainsi, ω p ≈ 0.6 pour les aérosols industriels /urbains, ω p ≈ 0.9 pour les aérosols continentaux et ω p ≈ 1 pour les aérosols maritimes.Le coefficient d'extinction moyen des particules j "α e,j (λ)" est supposé proportionnel àV j , volume moyen par particule de type j. Le volume moyen des particules j est égal à :∝∝4πV j =3 . ⌡ ⎮⌠ r 3 p. ∂N j(r p ) ⌠∂N j (r p ).dr∂r p / ⎮ .drp ⌡ ∂r p , où ∂N j(r p )est la fraction de particules j de rayon rp ∂r p .p00L'atmosphère, en tant que mélange d'éléments j de densité N j , associés à des coefficientsd'extinction α j,a et α j,d , peut être caractérisée par des quantités moyennes :α pdd

LE TRANSFERT RADIATIF 110• Coefficients d'extinction de l'atmosphère : α a (λ) = Σ j α j,a (λ) et α d (λ) = Σ j α j,d (λ)1• Coefficient d'asymétrie moyen : g(λ) =α d (λ) . Σ j g j (λ).α j,d (λ)• Albédo moyen : ω(λ) = α d(λ)α e (λ)• Fonction de phase moyenne : P λ (Ψ) =1α d (λ) . Σ j P j λ (Ψ).α j,d (λ)Longueur d'onde 453nm 579nm 656nm 697nm 779nmEpaisseur τm de Rayleigh 0.21 0.075 0.046 0.036 0.023Epaisseur τp (23km) 0.281 0.223 0.198 0.187 0.168Epaisseur τp (10km) 0.668 0.531 0.471 0.445 0.400Epaisseur τp (5km) 0.932 0.741 0.658 0.621 0.558Tableau 10 : Exemples d'épaisseurs optiques atmosphériques, calculées avec :τ m = 84.35 10 -4 .λ -4 - 1.225 10 -5 .λ -5 + 1.4 10 -4 .λ -6 et τp = 0.632.(λ -1 - 0.0194.λ -2 ).e -V/15 (λ en µm et V en km)AVHRRTM1 2 1 2 3 4 5 6Bandes spectrales- réponse min (50%) 569.8 714.3 452.4 528.0 626.4 776.4 1567.4 2097.2- réponse max (50%) 699.3 982.2 517.8 609.3 693.2 904.5 1784.1 2349.0- pic 680.0 760.0 503.0 594.0 677.0 800.0 1710.0 2200.0- λ équivalent (λ eq ) 639.0 844.6 486.2 586.9 662.7 837.3 1662.7 2188.6Epaisseur optique- diffusion moléculaire 0.0540 0.0180 0.159 0.0841 0.0449 0.0176 0.0012 0.0004- absorption gazeuse :* ozone* vapeur d'eau* dioxyde de carbone0.02400.006050.000710.000640.09330.01460.006630.00000.00000.03170.00020.00000.01740.00680.00000.00000.04100.00210.00000.09570.00770.00000.07410.0091Albédo de diffusion simple 0.941 0.911 0.948 0.943 0.940 0.913 0.829 0.865Tableau 11 : Epaisseurs optiques atmosphériques gazeuses types pour les capteurs AVHRR et TM.λ eq est la longueur d'onde moyenne pondérée par l'éclairement solaire et la fonction d'instrument.τ dAinsi, avec un simple mélange "gaz - aérosols", on a : P(Ψ) = m (λ).P R (Ψ) + τ d p (λ).P p (Ψ)τ d m (λ) + τ d ,p (λ)c'est à dire une combinaison linéaire des fonctions de phase des gaz P R (Ψ) et desaérosols P p (Ψ), pondérées par leurs épaisseurs optiques respectives.L'hypothèse d'un découplage des mécanismes d'absorption et de diffusion permet d'écrireT(Ω) = T g (Ω).T d (Ω), où T g (Ω) est la transmittance associée à l'absorption gazeuse et T d (Ω)la transmittance totale (i.e., directe et diffuse) en l’absence d’absorption gazeuse. Ainsi, surun petit intervalle ∆λ, où α m d , α pdet α pavarient peu, la transmittance totale moyenne est : ∆λ = ∆λ .[e τ/µ + t d (θ)] = ∆λ .[e (τ m d /µ +τp/µ) + t d (θ)]

LE TRANSFERT RADIATIF 1112) Mesure de l'épaisseur optique totaleEn dehors de l'absorption gazeuse, l'épaisseur optique totale de l'atmosphère est τ = τ p +τ m d . Plusieurs méthodes de détermination de cette quantité sont indiquées ci-dessous.• Méthode de LangleyUn radiomètre qui vise le soleil à plusieurs angles zénithaux mesure E = E s .exp[-K λ .m], où m est la masse d'air (kg) traversée (m=m o /µ s ) et K λ est le coefficientd'atténuation atmosphérique (kg -1 ). Avec l’hypothèse "m o = cste", une série demesures du lever solaire au midi solaire permet de tracer lnE en fonction de 1/µ s(droite de Bouguer) : lnE = lnE s - K λ .m o /µ s . La pente de cette courbe est τ = K λ .m o .• Méthode de la visibilité VL'épaisseur optique τ p d (λ) est souvent déduite de la visibilité horizontale V, c'est à direune quantité inversement proportionnelle au coefficient d'extinction atmosphériquepour des trajets horizontaux. Cette approche suppose que l’atmosphère a un profilconstant. τ p d (V,λ) est imprécis (±50%), car V est imprécis. On a par exemple :τ d p (λ) = 0.632 . [ 1 λ - 0.0194λ 2 ].e -V/15 (λ en µm et V en km)La visibilité peut être mesurée en comparant les luminances dues à "l'horizon" et àune surface verticale S de réflectance nulle. En notant Ox l'axe "opérateur - surfaceS", avec l'opérateur à l'origine x=0 et la surface à x=X, l'opérateur voit la surface Ssous l'angle solide dΩ. Un volume atmosphérique dv=dΩ.x 2 .dx sur l'axe Ox, avecK.α.dv.e -α.xx∈[0 X], crée au niveau de l'observateur la luminance : dL =dΩ.x 2 = K.α.e -α.x .dxα est le coefficient d'extinction de l'atmosphère et K est un coefficient proportionnelà l'éclairement solaire, à l'albédo de diffusion des particules atmosphériques et à leurfonction de phase. Le terme K.α est proportionnel au coefficient de diffusion del'atmosphère. La luminance totale reçue par l'observateur est :XL V = ⌡ ⌠ K.α.e -α.x .dx = K.[1-e -α.X ]0Pour une surface S (observation de l'horizon) à l'infini : L H = K ⇒ L X = L H .[1-e -α.X ].En considérant une surface de luminance L o non nulle, on a : L X = L o .e -α.X + L H .[1-e α.X ]La visibilité météorologique V est définie comme la distance X à laquelle le contrastedifférentiel (aussi appelé contraste universel) C D =(L max -L min )/L max est 0.02. Ici, l'on aL H -L H .[1-e α.V ]donc : C D =L= e -α.V . Par suite : V = - 1H α .lnC D = 3.91α .Pour une atmosphère de Rayleigh (α p =α O3 =0, α m =/ 0) à λ=550nm : α=1.162x10 -2 km -1et V = 336km. La visibilité horizontale et l'épaisseur optique de l’atmosphère sontliées. Ainsi, à λ=550nm et V = 23km / 13km / 5km / 2km l'épaisseur optique(transmittance) des aérosols est 0.235 (0.79) / 0.534 (0.59) /0.78 (0.46) /1.83 (0.16).• Modèle atmosphérique 6-SdCe modèle calcule l'épaisseur optique τ m à partir de l'expression empiriqueN(z) = a(z).V -1 + b(z), où le terme V est la visibilité (e.g. V = 23 km et 5 km) et où lestermes a(z) et b(z) sont pré-calculés avec un modèle d'aérosols.

LE TRANSFERT RADIATIF 112• Méthode de KaufmanCette méthode utilise des cibles terrestres (e.g. forêts) de réflectances très faiblesdans le rouge et le bleu pour déterminer l'épaisseur optique des aérosols.• Surfaces d'eauLa mesure de réflectances apparentes de surfaces d'eau, à plusieurs longueurs d'ondedans le proche infrarouge, permet de calculer l'épaisseur optique et le coefficientd'Angström des aérosols. En effet, d'une manière générale la composante moléculaireest supposée connue et ρ PIR (eau)≈0. En l’absence de surfaces d’eau, la déterminationde l'épaisseur optique des aérosols requiert une autre approche, car la réflectance dessurfaces continentales est à priori inconnue.• PolarisationLe système POLDER utilise les mesures de polarisation à 443, 670 et 865nm, car (1)la polarisation due aux gaz atmosphériques est supposée connue, et (2) la polarisationdue aux surfaces terrestres est supposée être faible et spectralement constante.Réflectance polarisée ρ po l (µ v ).µ v2.521.510.5Gaz (diffusion d'ordre1 de R ayleigh)Aérosols80 100 120 140 160Ψ svRéflectance polarisée ρ pol (µ v ) à 650nm de"surfaces terrestres + atmosphère".L’épaisseur de la courbe grise est surtout due àla variabilité de la réflkectance des surfacesterrestres. Son écart par rapport à la courbe desgaz est supposé dû aux aérosols. Avec Ψ svl'angle de diffusion (Ω s →Ω v ), µ v le cosinus del'angle zénithal d'observation, et p r (Ψ sv ) etp p (Ψ sv ) les taux de polarisation des diffusionsdes gaz et des aérosols on a :d dτ m.PR (Ψ sv ).p R (Ψ sv ) + τ p.PP (Ψ sv ).p P (Ψ sv )ρ pol (µ v ) =4.µ v .µ s3) NuagesLes nuages d'eau liquide et solide sont constitués de gouttelettes issues de la condensationde vapeur d'eau atmosphérique. Leur concentration est ≈ 100 cm -3 . Leur dimension peutatteindre 100 µm (e.g., ≈ 2 - 10 µm dans les nuages continentaux et ≈ 3 - 22 µm dans lesnuages marins). Le diamètre des gouttes de pluie dépasse 0.1mm et même parfois 2.5mm.Le taux de couvert nuageux est très variable. Sa moyenne est 40%, avec des valeurs trèssupérieures dans les régions tropicales, et très inférieures dans les régions désertiques delatitude moyenne. Plusieurs processus contrôlent la distribution des nuages :- évaporation océanique et évapotranspiration des surfaces terrestres.- transport de la vapeur d'eau par les courants atmosphériques,- formation de nuages et précipitation (phénomènes de refroidissement et de condensation).Les nuages interceptent tout rayonnement jusqu'à la région millimétrique. Au-delà, ilssont de plus en plus transparents. Une part du rayonnement est cependant transmise par lebiais des diffusions multiples. Ceci se vérifie par temps nuageux : le ciel n'est pas noir. Lacouleur grise des nuages est due à la grande taille des gouttes d'eau. Cette taille est en

LE TRANSFERT RADIATIF 113effet assez grande pour dans le visible et l'infrarouge (i.e., r >> λ), la section efficace dediffusion des aérosols est indépendante de λ.La quantité d'eau condensée dans les nuages est faible (e.g., 1 g/m 3 d'air) alors que laconcentration en vapeur d'eau varie de 10 -2 g/m 3 (climat froid et sec) à 30 g/m 3 (climattropical). Elle ne représente qu'une faible partie de l'eau atmosphérique (vapeur d'eau).Sachant que cette dernière n'induit pas de diffusion observable, pourquoi les nuages sontvisibles ? L'explication est que l'intensité d'une onde diffusée par le regroupement de Nmolécules d'eau est N 2 fois supérieure à l'intensité diffusée par une molécule isolée, et Nfois supérieure à l'intensité diffusée par N molécules non regroupées. En effet, leregroupement implique que la diffusion est cohérente, du moins tant que la dimension duregroupement reste inférieure à la longueur d'onde. Considérons l'exemple simple d'unemolécule d'eau telle que σ d = 10 -26 cm 2 à 0.5µm. Une goutte d'eau avec N=10 4 diffusedonc 10 4 fois plus que la somme des diffusions individuelles de ses molécules. Ainsi, legroupement en tant que gouttes d’eau des molécules H 2 O d’une couche d’atmosphèred’épaisseur optique ∆τ (e.g., 10 -3 ) donne un nuage d’épaisseur optique ≈10 4 ∆τ. Ceciexplique que dans le visible, les nuages interceptent beaucoup le rayonnement et donnentune diffusion très perceptible. En fait, l'augmentation de la taille des gouttes d'eau au-delàde 0.1µm donne une diffusion de moins en moins cohérente (interférences de moins enmoins constructrices). La section efficace de diffusion tend alors à augmenter comme lasection géométrique de la particule. Nous quittons le domaine de la diffusion Rayleigh.Les nuages interagissent différemment selon leur composition. Les stratus et stratocumulussont constitués de gouttes d'eau. Par contre, les cirrus et cirro-stratus sontconstitués de cristaux de glace. Leur réflectance dans la région [2µm 2.1µm] est engénéral faible, car la glace a une bande d'absorption. D’autre part, la réflectance desnuages tend à diminuer avec l'augmentation de la taille de leurs composants. Ainsi, vers1.7µm, les cristaux de glace diffusent d'autant plus que les cristaux de glace sont petits.Par suite, un radiomètre satellitaire avec 2 bandes spectrales centrées sur 1.7µm et 2.1µmpeut permettre de discriminer les types de nuage et fournir une information sur la taille deleurs composants. Cette approche est aussi utilisée avec les capteurs hyperfréquences, carles interactions hyperfréquences des gouttes d'eau dépendent de leur taille, ce qui permetde distinguer les zones/nuages de pluie (grosses gouttes) des autres nuages.Le couvert nuageux affecte beaucoup le bilan d'énergie planétaire. Ainsi, l'effet d'unevariation de 1% peut dépasser l'effet d'un doublement du CO 2 (Ramanathan et al., 1989).Les propriétés des nuages qui affectent le plus le bilan d'énergie planétaire sont l'épaisseuroptique τ nuage , l'altitude H nuage de leur sommet et le rayon r de leurs gouttes d'eau. On a∝ ∝τ nuage = n(r).qe .π.r⌡⌠ ⌡⌠2 .dr.dz pour des gouttes d'efficacité d'extinction q e ≈ 2 et de densitéz 0n(r). L'albédo A nuage est une quantité intégratrice très utilisée. Il dépend de τ nuage , et doncdu volume d'eau des nuages et du rayon r des gouttes d'eau (Figure 84). Il est aussiinfluencé par la densité de gouttes. En effet, pour tout nuage de volume d'eau constant,l'augmentation du nombre de gouttes (e.g., suite à une augmentation de la concentrationdes aérosols) fait croître A nuage . L'incertitude sur A nuage induit une erreur > 10 W.m -2 sur lebilan radiatif global. H nuage est un autre paramètre important. Sa précision actuelle (≥500 m) doit être améliorée pour mieux suivre le bilan radiatif planétaire, car une élévationde 1 km de H nuage peut élever la température terrestre de 1.2 K (Ohring et Adler, 1978).

LE TRANSFERT RADIATIF 114A lbéd o (T O A )80A lbéd o de surface : 40%τ n u age = 70, ∆ H n u age = 2km .θ s = 35°. λ = 753nm .Figure 84 :Albédo spectral d'un nuage selonson épaisseur optique.60E paisseur optique400 100 200 300L'étude des nuages depuis l'espace est compliquée par 3 facteurs majeurs :- variabilité spectrale et bidirectionnelle de la réflectance des nuages.- variabilité spatio-temporelle des conditions environnementales. Ainsi, les mesuresspatiales dépendent plus ou moins de la vapeur d'eau atmosphérique entre le nuage et lecapteur. Pour des nuages fins (e.g., τ nuage = 20), les mesures dépendent aussi de l'albédoA sol des surfaces terrestres qu'ils recouvrent.- capacité du capteur spatial à échantillonner à la fois le spectre et les directions.90°120°60°220160°260 30°300180° 180°90° 60° 30° 0° 30° 60° 90°Figure 85 :Luminance directionnelle L λ d'unnuage (W.m -2 .sr -1 .µm -1 ).Epaisseur optique τ nuage = 70,épaisseur ∆H= 2 km. θ s = 35°.λ = 753 nm. Simulation du modèle detransfert radiatif MOMO (Fisher etGraβl, 1991).Estimation de H nuage depuis l'espace.Elle peut résulter de l'estimation de la pression atmosphérique P nuage de leur sommet, parexemple avec des capteurs infrarouge. Une autre approche consiste à déterminer P nuage àpartir d'une estimation de la pression partielle P nuage (O 2 ) d'oxygène à z = H nuage , sachant quela distribution de O 2 est uniforme dans l'atmosphère. P nuage (O 2 ) est estimé avec la mesurede luminances L λ à des longueurs d'onde très proches, mais dans et hors de la banded'absorption de O 2 à 761 nm. Ainsi, la luminance à 761 nm peut varier d'un facteur 2 selonque l'altitude d'un nuage passe de 1 km à 10 km. En première approximation, P nuage (O 2 ) ≈ -1.ln( L 761,TOAm.α a L), où m= 1754,TOA |µ s | + 1 et αµ a est le coefficient d'absorption (m 2 .kg -1 ) de l'oxygène àv761 nm. En fait, des facteurs comme l'épaisseur du nuage, la géométrie d'observation etl'albédo des surfaces terrestres compliquent le calcul de P nuage (O 2 ). Actuellement,l'inversion des mesures du capteur Méris donne P nuage avec une précision de 20 hPa dansune dynamique de [100 Pa 1050 Pa]. En pratique, cette inversion est réalisée avec unréseau de neurones dont les variables sont 3 luminances spectrales à l'intérieur (760 nm) età l'extérieur (754 nm et 775 nm) de la bande de O 2 à 761 nm. ce réseau utilise les anglesdescriptifs de la géométrie d'observation et l'albédo des surfaces terrestres A sol .

LE TRANSFERT RADIATIF 115Estimation de A nuage et τ nuage depuis l'espace.L'inversion des données Méris fournit A nuage (précision: 0.01 ; dynamique : [0.02 1.05]) etτ nuage (précision: 1-5 ; dynamique : [0 400]). Ce calcul est effectué par régression sur lesluminances L λ du canal à 753 nm (∆λ = 7.5 nm) :2A nuage = Σi=0a i .L liet τnuage = Σi=0où les coefficients a i et b i sont pré-calculés par un modèle de transfert radiatif, pourdifférents paramètres (direction solaire, direction d'observation, albédo de surface). Parrapport à un canal à bande large, l'intérêt du canal à 753 nm est de ne pas être affecté parl'absorption de la vapeur d'eau atmosphérique.4) Emission thermique gazeuseLa luminance L B (z,Ω) selon la direction (Ω) due à l'émission thermique d'une coucheatmosphérique d'épaisseur dz et de température T est :dL(z,dz,Ω) = α a (ν).L B (ν,T). dzcosθ2b i .L lioù L B (ν,T) = 2hν3c 2 . 1exp[hν/kT] - 1(loi de Planck)Sachant que L B (ν,T).dν = L B (λ,T).dλ, l'on a donc : L B (ν,T) = λ2c .L B(λ,T)T et la densité des éléments dépendant de l'altitude z, on a : dL(z,dz) = α a (ν,z).L B (ν,T(z)).dz.II.3Raies d’absorption gazeuseL'énergie de la matière est quantifiée : elle ne prend que des valeurs discrètes E ij associéesà des mécanismes résonants à des fréquences discrètes ν ij dites de résonance : ∆E ij = hν ij .Dans ce cas, une onde de fréquence ν ij incidente sur une molécule gazeuse d'énergie interneE i tend à augmenter l'énergie interne de celle-ci jusqu'à un niveau discret j plus élevé. Cettemolécule peut ensuite revenir à un niveau d'énergie inférieur, en transformant l'énergiesupplémentaire en chaleur au cours de chocs avec d'autres molécules ou bien en émettantun rayonnement. Ces mécanismes résonants apparaissent en tant que raies d'absorption etd'émission. D'une manière générale, par rapport au cas d'une molécule isolé, ces raies sontélargies par des facteurs environnementaux (i.e. température et pression). Il est ainsi obtenudes bandes plus ou moins étroites et non des raies infiniment fines.1) Mécanismes à l’origine des raies d’absorptionTrois types de mécanismes d'interaction résonante jouent un rôle important pour latélédétection spatiale. Ils correspondent à des domaines spectraux différents :- transitions électroniques entre niveaux d'énergie électronique, dans le VIS et l'UV.- transitions de vibration entre niveaux d'énergie de l'édifice "noyaux atomiques - nuagesélectroniques", dans l'IR.- transitions de rotation entre niveaux d'énergie de rotation des molécules. Elles surviennentaux plus bas niveaux d'énergie d'absorption, dans l'IR lointain et les micro-ondes.Une molécule ne peut absorber par vibration que si elle a un dipôle permanent. Elle n'estdonc pas diatomique homopolaire (e.g., N 2 , O 2 ), car son dipôle électronique serait alors nul.Les gaz atmosphériques qui absorbent le plus dans l'IR ne sont donc pas les gaz les plusprésents. Ces gaz non dipolaires (H 2 O, CO 2 , O 3 ,...) occupent moins de 1% de l'atmosphère.Les caractéristiques majeures des mécanismes de vibration et de rotation sont rappelées ici.

LE TRANSFERT RADIATIF 116• Modes de rotation (lointain infrarouge et micro-ondes)Contrairement aux solides, les gaz ont des niveaux d'énergie de rotation (1) liés àplusieurs axes de rotation et (2) indépendants d'interactions liées à la structure cristallinedes solides (e.g., effet de champ, bandes des semi-conducteurs, etc.). Il existe 4 types derotation du fait de l'égalité ou non des 3 moments d'inertie principaux des molécules :- type asymétrique : les 3 moments d'inertie sont différents ; e.g. H 2 O.- type symétrique : 2 moments sont égaux.- type sphérique : les 3 moments sont égaux.- type linéaire : 2 moments sont égaux et le troisième est négligeable ; e.g CO 2 .Modèle schématique des niveaux d'énergie d'une molécule diatomiqueLa molécule diatomique schématique est une haltère avec une masse à chaque extrémité.hSes niveaux discrets d'énergie rotationnelle sont E j =8π 2 .I .j.(j+1), où h = 6.6 10-34 W.s 2 =4.1 10 -15 eV.s, et où I est son moment d'inertie normal par rapport à l'axe central, et j leniveau quantique de rotation (j = 0, 1, 2,...). Ils sont équidistante, car les transitions ne seproduisent qu'entre niveaux consécutifs (∆j = ±1). Ainsi, la variation "j ↔ (j-1)" donne :h∆E j =4π 2 .I .[j.(j+1) - (j-1).j] = h4π 2 .I .j ⇔ ν jj =4π 2 .ILes fréquences des raies d'absorption de la molécule CO, sont des multiples de 110 GHz(≈ 2.689 mm). Elles sont plus faibles pour des molécules plus lourdes et plus grandes.HOO104° H1.2 AOMolécule O 2Molécule H 2 OFigure 86 :Modes derotation desmolécules d'eauet d'oxygène.Opacitéverticale (dB)1.4 18 21 37 50 60 90 160 183GHz100.10.0H 2 O1.000.100.01H 2 OO 2Atmosphère sècheavec stratus (eauliquide: 0.2kg/m 2 )Atmosphère sèche +vapeur d'eau (20kg/m 2 )0 40 80 120 160 200Figure 87 : Opacité atmosphérique hyperfréquence (atmosphère sèche, atmosphèreavec vapeur d'eau et atmosphère avec nuage) et fréquences standard autourdes bandes O 2 et H 2 O pour sonder l'atmosphère. (Murphy et al., 1987).O 2GHz240

LE TRANSFERT RADIATIF 117Les gaz O 2 et H 2 O (Figure 86) dominent les mécanismes d'absorption rotationnelleatmosphérique de 20 GHz (1.5 cm) à 180 GHz (1.67 mm). Ainsi, H 2 O a un spectre derotation centré sur 50 µm, de 11 µm à plus de 1 cm. La Figure 87 montre les raies de H 2 Oet de O 2 de 1 GHz (0.3 m) à 10 3 GHz (0.3 mm). Les 2 ères bandes de H 2 O sont à 22.2 GHz(1.35 cm) et à 183.3 GHz (1.7 mm). A concentration ρH 2 O constante, la diminution de lapression de 1000 mb à 100 mb augmente l'absorption au centre des bandes, carl’absorption survient alors dans une bande spectrale plus étroite. La molécule O 2 n'a pasde moment polaire permanent mais a un moment magnétique permanent, car elle a 2orbites électroniques avec un nombre impair d'électrons. Ses 2 plus basses bandesd'absorption sont à 60 GHz (0.5 cm) et 118.75 GHz (2.53 mm).• Mécanismes de Vibration (infrarouge)L'interaction de vibration est la modulation du dipôle moléculaire permanent par lavibration. Le moment d'inertie moléculaire étant modifié par cette vibration, les modes derotation constituent la structure fine du mode de vibration. Tout mécanisme de vibrationest donc un mécanisme de vibration - rotation centré sur la raie spectrale de vibration,conformément aux règles de sélection qui spécifient les transitions permises. Ainsi, lesmécanismes de vibration - rotation associés à la courbure de la molécule linéaire CO 2 sontcentrés sur 15 µm (667 cm -1 ). Cette bande est très utilisée pour calculer le profil detempérature atmosphérique à partir de mesures centrées sur 15 µm.Molécule diatomique. La liaison entre ses 2 atomes de masses m 1 et m 2 se comporte unpeu comme un ressort de constante de rappel k (≈ 500 N.m -1 ) avec une fréquence de1vibration (i.e. raie d'absorption): ν =2π . k.(m 1 +m 2 )m. Pour CO (m1 .m 1 = 2 10 -26 kg, m 2 =2.7210 -26 kg): ν = 3.3 10 13 Hz (λ = 9 µm). En fait ν CO = 6.5 10 13 Hz (λ ≈ 4.6 µm).Le changement de phase (i.e. liquide, gaz ou solide) d’un élément tend à modifier sesraies d'absorption. Le Tableau 12 illustre cette variabilité pour les fortes bandesd'absorption PIR et VIS de 4 éléments triatomiques : H 2 O, H 2 S, CO 2 et SO 2 .H 2 O H 2 S CO 2 SO 2Modes Gaz Liquide Glace Gaz Liquide Glace Gaz Glace Gaz Liquide Glaceν 1 2.74 3.05 3.17 3.83 3.88 3.96 8.69 8.74 8.75ν 3 2.66 2.87 2.96 3.73 3.92 4.25 4.37 7.35 7.49 7.55ν 3 + ν L 2.53ν 2 + ν 3 1.875 1.93 2.02 2.64 2.7 5.342ν 2 + ν 3 2.77 2.9ν 2 + ν 3 + ν L 1.822ν 1 4.34ν 1 + ν 3 1.94 2.69 4.00 4.072ν 3 1.38 1.45 1.52ν 1 + ν 2 + ν 3 1.14 1.21 1.253ν 3 0.91 0.98 1.022ν 1 + ν 3 0.942ν 1 + ν 2 + ν 3 0.82 0.84

LE TRANSFERT RADIATIF 1183ν 1 + ν 3 0.72 0.75 0.81ν 1 + 3ν 3 1.01Tableau 12 : Centres de bandes (en µm) d'absorption majeures de H 2 O, H 2 S, CO 2 et SO 2 .Vibrations longitudinale symétrique (ν 1 : 2.738 µm), transversale (ν 2 : 6.27 µm) etlongitudinale asymétrique (ν 3 : 2.662 µm). ν L : basse fréquence de vibration des chaînespolymérisées des molécules d'eau liquide. Salisbury (1993)2) Forme des raies spectralesLes raies spectrales d'émission/absorption ne sont pas infiniment fines, même pour unoscillateur isolé. Trois facteurs distincts expliquent leur largeur : durée de vie de l'étatexcité associé à la raie, ainsi que collisions et mouvements des émetteurs/absorbants.• Largeur spectrale naturelle : l'énergie W(t) d'un oscillateur isolé décroît par désexcitationradiative. La force de freinage associée étant 2 m.ω f .x', où m et x' sont la masse et lavitesse instantanée de l'oscillateur, on a W(t) ≈ W o .e -t/τ 1N , où τN = est la durée de vie (temps2ω fde relaxation) de l'état excité de l'oscillateur. Ainsi, un oscillateur de pulsation ω o émet :- champ électrique E(t) = A.e iω o .t .e -t/2τ N de spectre E(ω) = 12π . ⌡ ⌠ E(t).e -iω.t .dt =-∝+∝A2π . 1(1/2τ N ) - i(ω-ω o )- flux d'énergie S (J.m -2 ) de densité spectrale P(ω) : S = ⌡ ⌠P(ω).dω = c.ε o .⌡⌠ |E(t)| 2 .dt = c.ε o .A 2 .τ Noù c est la vitesse de la lumière et ε o la permittivité du vide. L'amortissement e -t/2τNexplique que l'émission est non monochromatique (i.e. P(ω) ≠ 0 sur un intervalle ∆ωcentré sur ω o ). Les termes ∆ω et S = c.ε o .A 2 .τ N sont la largeur et l'intensité de la raie.+∝+∝Le théorème de Parseval ⌡ ⌠ |E(t)| 2 .dt = ⌡ ⌠|E(ω)| 2 .dω implique : S = c.ε o . ⌡ ⌠ |E(ω)| 2 .dω.0-∝-∝⇒ P(ω) = c.ε o .|E(ω)| 2 S 1S= .2π.τ N (1/4τN) 2 + (ω-ω o ) 2 et P(ν) = 2π.P(ω) =π . γ N(ν-ν o ) 2 + γ 2 N1C’est une loi de Lorentz avec une demi largeur naturelle de la raie γ N = ≈ 3.10 -11 cm -1 ,4π.τ Nce qui est très petit aux fréquences usuelles en télédétection (ν >> 1 Hz).La densité volumique d'émission totale d'oscillateurs (densité volumique N) qui émettent∆ωavec des phases relatives aléatoires étant N.S, on a : N.S = ⌡ ⌠α B (ν).L B (T,ν).dν, où ∆ν =2π .Les coefficients d'absorption α a (ν) et d'émission α B (ν) étant égaux, on a donc :1α a (ν) = N.S.Φ N (ν) où Φ N (ν) =π . γ N(ν-ν o ) 2 + γ 2 ( ⎮ ⌠ γN ⌡ π.(x 2 + γ 2 .dx = 1))0Vu que la section efficace de l'oscillateur vérifie α a (ν) = N.σ a (ν), on a σ a (ν) = σ o .Φ N (ν), oùσ o = S est la section efficace totale d'absorption associée à la raie.+∝-∝∆ν∝+∝+∝0

LE TRANSFERT RADIATIF 119La largeur naturelle de raie γ N peut aussi être calculée avec la théorie quantique, en tenantcompte de la décroissance temporelle exponentielle du nombre d'oscillateurs qui restentdans leur niveau d'énergie E j initial. La constante de temps associée correspond à la duréede vie du niveau d'énergie j (i.e., temps disponible pour mesurer E j ). Le principed'Heisenberg donne alors l'incertitude ∆E sur l'estimation de E j : ∆E i .∆t ≈ h/2π ≈ 10 -34 Js,où h est la constante de Planck. Vu que E = h.ν, la connaissance de ∆E donne la largeur ∆ν.• Elargissement collisionnel : le cas d’un gaz d'oscillateurs illustre ici l'effet des collisionssur la largeur des raies. Toute collision d’atomes / molécules induit des interactionscomplexes entre les électrons de leurs couches. Elle modifie la phase de l'oscillationassociée à l'état excité, et par suite la phase de l'onde émise. On distingue les faibles et lesfortes interactions. Lors d'une faible interaction, la phase change peu à peu durantl'interaction. Du point de vue quantique, l'énergie d'interaction est insuffisante pourprovoquer un changement de niveau d'énergie E j . Par contre, elle perturbe les niveaux E j .Une forte interaction est généralement considérée comme un choc élastique. Sa durée estnégligeable devant la durée de vie des oscillateurs mis en jeu. Elle peut impliquer unchangement de niveau E j , avec une probabilité d’autant plus forte que les niveaux E j sontproches. Le domaine infrarouge / hyperfréquence est donc plutôt affecté par lesinteractions fortes, et le domaine UV / VIS est plutôt affecté par les interactions faibles.Lors d'un changement de niveau d'énergie E j , la phase de l'onde émise est aléatoire et letemps de relaxation de l'énergie de l'oscillateur est ici supposé égal au temps moyen τ ceentre 2 chocs. La somme d’ondes émises avec un temps de relaxation τ ce et des phases1aléatoires donne une raie de Lorentz de demi largeur collisionnelle γ L = :4π.τ ceσ a (ν) = σ o .Φ L (ν) où Φ L (ν) = 1 π . γ L(ν-ν o ) 2 + γ 2 LCe résultat peut se déduire de la méthode de calcul de γ N où l'on remplace τ N par τ ce .Les gaz ont des raies plus fines que les liquides, car leurs collisions moléculaires sontmoins fréquentes. L'absorption dite non résonante correspond à la lente décroissance desailes des raies loin de leurs centres. En pratique, cette décroissance est plus lente que Φ L (ν)pour H 2 O et plus rapide pour CO 2 .τ ce est proportionnel à la vitesse moléculaire moyenne v T et à l'inverse de la pression P.PVu que v T ≡ T, l'on a : γ L (P o ,T o ) ≡T . En fait, il est souvent utilisé γ PL(P,T) ≡ où n ∈ [0 1].nTL'élargissement collisionnel est donc maximal aux basses altitudes. Il est alors le facteurmajeur d'élargissement, avec γ L ≈ 3.10 -2 cm -1 (≈0.9 GHz) pour H 2 O et 7.10 -2 cm -1(≈2.1 GHz) pour CO 2 , soit plusieurs ordres de grandeur que γ N . Cet élargissement ∆ν peutêtre du même ordre de grandeur que ν o aux basses fréquences utilisées en télédétection.• Elargissement Doppler : tout oscillateur a une vitesse thermique v. Pour un observateurau repos, la fréquence à laquelle un oscillateur (ν o ) absorbe ou émet n'est donc pas ν omais ν = ν o + v c .ν o. C'est l'effet Doppler. Le caractère aléatoire de l'agitation thermiqueélargit donc la raie autour de la fréquence centrale ν o . On a : σ a (ν) ≡ P(ν), où P(ν) est la

LE TRANSFERT RADIATIF 120probabilité pour que la fréquence perçue soit ν. Cette probabilité se déduit de laprobabilité P T (v) qu'un oscillateur ait la vitesse v, à la température T :P T (v) =m2π.k.T .exp[-m.v2 ] : distribution Maxwellienne des vitesses.2k.TP(ν).dν = P T (v).dv = P T (v). c ν o.dν ⇒ P(ν) = P T ((ν-ν o ). c ν o). c ν o.∝1⇒ σ a (ν) = σ o .Φ D (ν) où Φ D (ν) =β D . π .exp[-(ν-ν o) 2 ν o] oùβ D⌡⌠ Φ D (ν).dν = 1 et β D =c .La demi-largeur Doppler est : γ D = β D . ln(2) =c .ν ν oo =c .02k.Tm .ln(2) = ν o. .où M = masse molaire = x masse moléculaire ( = 6.023 10 23 ) en grammes (e.g. M = 18g).H2O1=c . 2.R.ln2 = 3.58 10-7 K -0.5 .g 0.5 où R = k. = 8314 J.K -1 .kg -1 constante universelle des gaz.L'élargissement γ D est proportionnel à la fréquence ν o et à la racine carrée du rapport"température / masse molaire". Il est plus faible pour les plus lourdes molécules, du faitde leur plus grande inertie vs. l'agitation thermique. De plus, γ D décroît avec l’altitude(Figure 88). Ainsi, dans les premiers 50 km de l'atmosphère terrestre, il varie de 14%, carla température varie de 30%, de 300 K à 210 K, alors que la largeur "Lorentz" γ L varie de 3ordres de grandeur, car la pression diminue de 1 bar à 1 mbar. Ceci explique que γ D n’estsignificatif par rapport à γ L qu’au-delà de 30 km d'altitude, car γ L devient alorsnégligeable. Au niveau de la mer, γ L ≈ 100 γ D , alors que γ D ≈ γ L à 30-40km d’altitude.L’effet Doppler affecte donc surtout O 3 , car c'est le gaz absorbant prépondérant à cesaltitudes. La forte variabilité de γ L selon la pression permet de "sonder" l'atmosphère. Loinde ν o , l’effet Doppler décroît beaucoup plus vite que l'effet collisionnel.TM .2k.Tmγ D,LγD : InfrarougeγD : Sub-millimétriqueγD : Micro-ondeFigure 88 :Elargissements Doppler etLorentz selon l'altitude.γLAltitudeEtant proportionnel à ν o , l'élargissement γ D est surtout fort aux hautes fréquences (Figure88). A T = 300K, pour des molécules simples (e.g. CO 2 , HCl) γ D ≈10 -6 ν o , soit 10 9 Hz dansle visible (VIS : ν ≈ 6.10 15 Hz et λ ≈ 500 nm ⇒ ∆λ D ≈ 10 -14 m), 10 7 Hz dans le thermique et10 5 Hz pour les ondes millimétriques (λ = 3 cm ⇔ ν = 6.10 10 Hz ⇒ ∆λ D ≈ 3.10 -7 m).• Elargissement total : la convolution des 3 élargissements donne la raie dite raie de Voigt(Figure 89) : σ a (ν) = σ o .Φ V (ν). Il est parfois considéré que le terme Φ V (ν) est constant surγ Lun intervalle ∆ν o , et qu'il diminue commeπ.(ν-ν o ) 2 pour |ν-ν o | > ∆ν o , par exemple avec∆ν o = γ L 2 +γ D 2 ou ∆ν o = somme pondérée de γ D et γ L .

LE TRANSFERT RADIATIF 121Remarque : la forme d'une raie observée par un spectromètre est modulée par la largeurde la fente d'entrée de ce capteur. Cette modulation tend à la rendre gaussienne.Φ (ν )(M H z -1 )33.3Lorentz p urFigure 89 : Profil type de raie Φ(ν) degaz atmosphérique à basse pression.3.330.3330.03330.0033V oigt : Lorentz + D opplerD oppler p urν - ν o (kH z)3 6 9 12 15 18 21 24La raie a une largeur à mi - hauteur ∆ν≈ largeur "Doppler" γ D . L'effetcollisionnel élargit la raie loin de soncentre ν o . La faible valeur de ∆ν(≈ 3 kHz) indique que ν o estcertainement faible (e.g.,hyperfréquences).L'absorption survient surtout dans la basse atmosphère (i.e., densité maximale d'absorbants).L'absorption continue entre les raies spectrales est due à la lente décroissance des "ailes"des raies spectrales (e.g., vapeur d'eau, et dans une moindre mesure O 2 , dans leshyperfréquences) plus lente que les ailes de Lorentz loin des raies. Le rapport desélargissements Doppler et Lorentz varie comme M -0.5 .T x , avec x ∈ [0.5 1]. Il est égal à 1pour une altitude qui diffère selon les gaz. Ainsi, il survient 40 km plus haut pour CO 2(670 cm -1 ) que pour O 2 (118 GHz). Pour M = 50 et T = 300K :γ D≈ 10 -12 ν oγ L P(P = pression atmosphérique en millibars)Lintz et Simonett (1976)Figure 90 : Transmittance atmosphérique dans l'infrarouge thermique de 5 à 25 µm.En télédétection IRT, les 2 fenêtres atmosphériques les plus utilisées sont [3.5 4.1 µm] et[10.5 12.5 µm]. La 2 ème est très utile, car elle est proche du domaine spectral où l'émissionthermique terrestre est maximale (Figure 90). Les principales sources d'absorption près de11 µm sont les "ailes" des raies du CO 2 à 15 µm, 10.4 µm et 9.4 µm, ainsi que les "ailes" desbandes voisines de H 2 O. L'effet du CO 2 est facile à modéliser car il est uniformémentmélangé (i.e., proportion relative constante à toute altitude). La contribution de la vapeurd'eau est difficile à modéliser du fait de sa variabilité dans l'espace et le temps.3) Intensité des raiesL'intensité S d'une raie ν o dépend de (1) la probabilité de passage d'un état E 1 à l'état E 2 =E 1 + hν o , et de (2) la population dans l'état d'énergie "origine" 1.

LE TRANSFERT RADIATIF 122Probabilité de transition : son calcul requiert une connaissance précise des fonctions d'ondequantiques associées aux 2 niveaux d'énergie considérés. De manière qualitative, la règledite de sélection indique la possibilité ou impossibilité de transitions entre niveaux.Populations des états : la loi de Boltzmann donne la population moyenne selon le niveaud'énergie et la température. Pour 2 niveaux d'énergie E 1 et E 2 , l'on a :N 2 = N 1 . exp[-∆E/kT] où ∆E = E 2 - E 1L'intensité des raies dépend donc de la température T.Le rayonnement est en général mesuré sur un intervalle spectral ∆ν très supérieur à lalargeur des raies gazeuses. Ici, il est considéré le cas schématique où ∆ν englobe uneseule raie. Si un rayonnement de luminance L in (ν) constante sur la raie est incident sur ungaz de densité volumique ρ (kg.m -3 ), la luminance moyenne absorbée le long de ∆r est :L ∆ν∆νabs = L in.W où W= ⌡ ⌠ 0[1-e -τa(ν) ].dν = ⌡raie[1-e ⌠ -τa(ν) ].dν où τ a (ν) = ⌡ ⌠ a (ν).dr = ⌡∆rα ⌠ S(u,ν).du∆uoù W est la largeur spectrale équivalente de la raie, ∆u = ρ.∆r est la densité surfacique degaz, et S est la section efficace d’absorption par unité de masse (m 2 .kg -1 ).Faible absorption (e -τa(ν) ≈ 1-τ a (λ)) : W = ⌡ ⌠τ a (ν).dν = S.∆u. Ici, W ne dépend que de laquantité totale de matière et de l'intensité S de la raie, et non de sa forme.∆νForte absorption : W dépend de la forme de la raie. Pour une raie lorentzienne intense :W L = 2.[ ∆u.S.γ L ] 0.5 . Pour une raie Doppler intense : W D = 2.β D .[ln( ∆u.Sβ D . π )]0.5 . Pour une raieW D .W Lde Voigt, il est parfois utilisé : W = W D + W L + W D -∆u.S .4) Modèles de raiesPlusieurs facteurs compliquent les caractéristiques spectrales des gaz atmosphériques :- le très grand nombre de raies,- la variabilité de la largeur spectrale des raies avec la pression, la température et le gaz.- la superposition et juxtaposition des raies, plus ou moins élargies.En général, les mesures concernent des bandes et non des raies spectrales. Elles peuvent êtresimulées avec des modèles qui calculent "raie par raie" la transmittance atmosphérique, àpartir des concentrations gazeuses ainsi que des températures et pressions locales. Cesmodèles sont très coûteux en terme de temps de calcul. De ce fait, ils sont souvent utiliséscomme référence pour tester la précision de modèles plus simples.Les modèles de bandes aléatoires reposent sur l’apparente distribution aléatoire des raies(e.g., H 2 O). Ils utilisent les plusieurs hypothèses :- toutes les raies ont le même profil Φ(ν) et donc la même demi largeur à mi hauteur γ- ∆ν contient un nombre N de raies assez élevé pour autoriser une représentation statistique- les positions des centres des N raies sont aléatoires et statistiquement indépendantes.- les intensités S des raies sont statistiquement indépendantes avec une loi de distribution P(S)

LE TRANSFERT RADIATIF 123- L’absorption dans ∆ν est exclusivement due aux N raies centrées à l’intérieur de ∆νmais toute l’étendue spectrale de chacune de ces N raies est supposée incluse dans ∆ν.⇒ - Epaisseur optique moyenne équivalente : W - = ⌡⌠ W(S).P(S).dS∝- Intensité moyenne : S - = ⌡⌠ S.P(S).dS (i.e., section efficace par unité de masse : m 2 .kg -1 )0Deux modèles usuels sont présentés ici. Tous deux supposent que P(S) = 1 − S-.exp[- S − S-] et que lapression et la température sont constantes le long des trajets optiques.Modèle de GoodyOn a P(S) = − 1 -.exp[- S −-] ⇒ W - = u.S - u.S -. [1 +S S π.γ ]-0.5 où u =⌠⎮ρ(z). dz⌡ µ (kg.m-2 ) est la densitéintégrée du gaz traversé, et γ (cm -1 ) est la demi - largeur moyenne de la raie (i.e.,moyenne quadratique des demi largeurs spectrales pondérées par les intensités).Pour de faibles raies (i.e., u.S -

LE TRANSFERT RADIATIF 124• Intégration optiqueLes profils de raies ainsi que les modèles de raies introduits ci-dessus sont utilisés pourtenir compte de la variation de la largeur et de l'intensité des raies avec la pression P et latempérature T, par exemple lors compliquent le calcul de la transmittance atmosphérique :T g,∆ν = 1u∆ν . ⌡ ⎮⌠ [exp(-⌡ ⌠0∆νσ a (ν,P(u'),T(u')).du')].dνDe manière classique T g,∆ν est calculé comme une intégrale sur un trajet caractérisé par unedensité totale de matière u e et des température T e et pression P e équivalentes constantes :u1T g,∆ν =∆ν . ⌡ ⌠ [exp(-u e .σ a (ν,P e ,T e ))].dν où u e .σ a (ν,P e ,T e ) ≈ ⌡ ⌠ σ a (ν,P(u'),T(u')).du'.∆ν0Il est souvent utilisé :- approximation à un paramètre : u e est calculé à partir de valeurs fixes de la températureT e et de la pression P e , en distinguant les cas de raies faibles et fortes.- approximation à 2 paramètres : le fait de fixer T e permet de déterminer u e et P e .

LE TRANSFERT RADIATIF 125ANNEXE II.1 MODELE ARPEGE(Résolution de l'équation du transfert radiatif atmosphérique)Arpège résout l’ETR "µ. dL(Ω)dτ= L(Ω) - α aα . (Ω)- α d. (Ω)" avec la quadruple intégration :α- angulaire : sur toutes les directions de l'onde diffuse incidente,- verticale : sur l'ensemble des couches atmosphériques,- spectrale : sur toutes les raies d'absorption (modèles de Goody et Malkmus).- optique : sur les trajets atmosphériques, avec prise en compte de leur inhomogénéité(emploi de la méthode Curtis Godson).Cette approche nécessite la connaissance de nombreux paramètres atmosphériques T(z),N(z),..., en tout lieu. Les hypothèses simplificatrices les plus utilisées sont :- homogénéité horizontale de l'atmosphère,- axisymétrie verticale des interactions atmosphériques,- réflexion lambertienne du sol ; l'albédo définit la proportion de luminance réfléchie.Le modèle de prévision météorologique Arpège résout l'équation du transfert radiatif avecl'approximation "2 flux + flux direct". Cette méthode résolution est résumée ci-dessous.1.) Intégration Angulaire• Facteur de diffusivité / absorptionUn flux diffus isotrope (L(Ω) = L = cste) incident sur une couche τ de diffusants donne :1- Densité directionnelle moyenne d'éclairement incident ↓ : F↓ =2π . ⌡ ⎮⎮⌠ 01- Densité directionnelle moyenne d'éclairement transmis ↓ : F↓ =2π . ⌡ ⎮⎮⌠ 02π-1⌡⌠02π-1⌡⌠0Lµ.L.dµ.dφ =2 (W.m-2 .sr -1 )µ.L.e τ/µ .dµ.dφ = f(τ) = e τ/µ' . L 2La transmittance atmosphérique directe des flux F est la transmittance directe selon une-1direction Ω'(θ',Φ') : e τ/µ' = ⌡⌠ µ.e τ/µ .dµ, où µ=cosθ. β = | 1 | est le facteur de diffusivité de laµ'0couche d'épaisseur optique τ. L'épaisseur optique moyenne est donc β.τ.τ faible ⇒ épaisseur optique moyenne = 2τ (τ=0 ⇒ µ'=0.5 ⇒ β=2) : pour un éclairementincident F↓, l'éclairement intercepté est donc 2τ.F↓ et l'émittance diffusée est 2τ.ω.F↓.Du fait de la diffusion atmosphérique (ω≠0), µ' est supérieur à 0.5 et β est inférieur à 2.Ces valeurs dépendent du domaine spectral, de la fonction de phase, etc. En pratique,β≈1,66 ; e.g. le modèle de prévision météorologique Arpège utilise β= e=1,6487.

LE TRANSFERT RADIATIF 126• Correction de RotonditéUne couche plane implique une épaisseur optique infinie pour une incidence rasante, cequi est impossible du fait de la rotondité de la Terre. Par suite, "µ'=[ η 2 .µ 2 +2η+1-η.µ] -1remplace le "µ" incident, avec η le rapport "Rayon terrestre/épaisseur atmosphérique".• Approximation des 2 flux et flux directLe transfert radiatif atmosphérique est alors décrit avec les éclairements F ν ↓ et F ν ↑, etl'éclairement solaire direct S ν = E sν .µ s .e τν/µs . Dans le domaine spectral VIS et PIR :où α 1 = 2.[1-ω ν .(1-Γ ν )] etδS νδτ ν= - S ν|µ s |δF ν ↓δτ νδF ν ↑δτ ν= α 2 .F ν ↑ - α 1 .F ν ↓ + α 4 . S ν|µ s |= -α 1 .F ν ↑ + α 2 .F ν ↓ + α 3 . S ν|µ s |α 2 = 2.ω ν .Γ να 3 = ω ν .ϑ ν (µ s ) et α 4 = ω ν .[1-ϑ ν (µ s )]ϑ ν (µ s ) : fraction diffusée vers le haut du rayonnement solaire direct diffusé.Γ ν : fraction rétrodiffusée du rayonnement diffus (↓ ou ↑) qui est diffusé.δτ ν : épaisseur optique d'une couche pour la direction verticale (i.e., 2.δτ ν pour F ν ).ω.2.dτ.⌡ ⌠ L(µ s ).µ s .ϑ ν (µ s ).dµ s .dφ sEmittance (rétrodiffusion de diffus ↓ ou ↑)Γ ν =Emittance (diffus incident ↓ ou ↑, diffusé) = 2πω.2.dτ.⌡ ⌠ = 2.⌡L(µ s ).µ s .dµ s .dφ ⌠µ s.ϑ ν (µ s ).dµ ss2πL'intégrale sur 2π est sur 2π + (↑) ou 2π - (↓).Remarques : ϑ ν (µ s ) =Emittance ↑ (diffusion ↑ de S ν )Emittance (diffusion sur 4π de S ν )α 3|µ s | = 1dτ ν (Ω s ) . Emittance (S ν diffusé) Emittance ↑ (S ν diffusé ↑) µ s.= . ω ν.dτ ν /µ s .S ν.ϑEclairement incident S ν Emittance (S ν diffusé) dτ ν S ν (µ s ) = ω ν .ϑ ν (µ s )να 2 = 1 . Emittance (F ν↓ diffusé). Emittance↑ (F ν↓ diffusé ↑)dτ ν Eclairement F ν ↓ Emittance (F ν ↓ diffusé)= ω ν.2dτ ν .F ν ↓dτ ν .F ν ↓.Γ ν = 2.ω ν .Γ νF ν ↓ sur dτ ν ⇒ α 1 .F ν ↓.dτ ν = [F ν ↓(τ ν ) - F ν ↓(τ ν +dτ ν )] = flux intercepté par dτ ν et non diffusé vers le bas.= [F ν ↓(τ ν ) - F ν ↓(τ ν ) - dF ν↓(τ ν )dτ ν.dτ ν ] = F ν ↓.2dτ ν .[1-ω ν .(1-Γ ν )]L’émission thermique π.B ν (T) est introduite dans le domaine spectral où elle est nonnégligeable. Les termes fonction de S ν peuvent même être négligés si le rayonnementsolaire est négligeable devant le rayonnement thermique atmosphérique.2) Intégration VerticaleSoit une couche atmosphérique homogène avec des coefficients α 1 , α 2 , α 3 , et α 4 constants.

LE TRANSFERT RADIATIF 127S h ↓ F h ⇓ F h ⇑ hautS b ↓ F b ⇓ F b ⇑ bas⎝ ⎜⎛ F b ↓⎠ ⎟⎞S bF h ↑= ⎜ ⎛ a 1 0 0a 2 a 4 a 5⎝ ⎠ ⎟⎞S h. ⎜ ⎛ F h ↓a 3 a 5 a 4 ⎝ ⎠ ⎟⎞Figure 91 : Equations de continuité aux bornes d’une couche atmosphérique.a 2 : diffusion avant du rayonnement direct ; α 4|µ s | .∆τ ν.a 3 : rétrodiffusion du rayonnement direct ; α 3|µ s | .∆τ ν.a 4 : transmission du rayonnement diffus incident ; 1 - α 1 .∆τ ν .a 5 : rétrodiffusion du rayonnement diffus ; α 2 .∆τ.L'atmosphère est ensuite étudiée en tant que milieu à n couches. La connaissance destermes (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) de chaque couche conduit à n systèmes à 3 équations pour calculer3.(n+1) flux. Les conditions limites donnent les 3 équations de fermeture :En haut : S(0) = µ s .E s et F ν ↓(0)=0En bas : F ν ↑(n+1) = Albédo(µ s ).S(n+1) + .F ν ↓(n+1)On obtient un système à 3(n+1) équations et 3(n+1) inconnues. Sa résolution (e.g. méthodedes pivots de Gauss) est d'autant plus lourde que la matrice est creuse. Si les n couchesatmosphériques sont identiques (i.e., mêmes coefficients a 1 , a 2 , .., a 5 ) le système s'écrit :F b ↑1 0 0 0 0 0 S 1 µ s .E s0 1 0 0 0 0 F 1 ↓ 0-a 3 -a 5 1 0 0 -a 4 F 1 ↑ 0-a 1 0 0 1 0 0 S 2 0-a 2 -a 4 0 0 1 -a 5 . F 2 ↓ = 00 0 0 -a 3 -a 5 1 F 2 ↑ 0: :S n+1 :0 1 -a 5 F n+1 ↓ 0-A s - 1 F n+1 ↑ 0Figure 92 : Système utilisé pour résoudre l'intégration verticale de l'ETR atmosphérique.La prise en compte de l'émission thermique est souvent réalisée en supposant que chaquecouche est isotherme. Il y a donc discontinuité en température entre les couches.L'approche précédente est seulement valable par ciel clair. La prise en compte de nuagespeut être réalisée avec des coefficients a i supplémentaires, en supposant :- dans une couche, tout nuage s'étend verticalement, et la proportion de nuage est constante.- il n'y a pas d'effet latéral "nuage - ciel clair".- distribution des nuages : aléatoire ou étalement maximum des nuages.Références Arpège : http://www.cnrm.meteo.fr/gmapdoc/meshtml/guide_ARP/lien1.htmlhttp://www.cnrm.meteo.fr/present/RetD99/etude.pdf

LE TRANSFERT RADIATIF 128MODELISATION DES MESURES DE TELEDETECTIONIGENERALITESL’atmosphère affecte beaucoup les mesures de télédétection. Les quantités mesurées sontdes luminances en général qualifiées de TOA (Top of the Atmosphere) pour les distinguerdes luminances qui pourraient être mesurées au bas de l’atmosphère (BOA : Bottom of theAtmosphere), au-dessus des surfaces terrestres. L'impact de l'atmosphère sur lesluminances mesurées affecte donc les images recueillies, ce qui peut fausser l’informationextraite de ces images. Ceci est en particulier evrai pour ce qui les analyses qui s’appuientsur des quantités physiques (e.g., réflectance) caractéristiques des surfaces terrestres et nonsur des valeurs relatives de pixels au sein d’une image ou entre plusieurs images. Ceserreurs surviennent par exemple lors du calcul de paramètres de surface tels que le LAI(indice foliaire), le taux de couverture arboré ou le fAPAR (fraction de rayonnementphotosynthétiquement actif). Ces remarques soulignent l’intérêt de la correctionatmosphérique, c’est à dire l’opération qui transforme la mesure TOA en une mesure BOA.Ce chapitre présente une méthode de calcul de la luminance ascendante au sommet del'atmosphère. L’impact de l’atmosphère sur les mesures satellitaires dépend de la quantitéde matière atmosphérique présente et de ses propriétés optiques. Il dépend donc de ladensité et des sections efficaces d'absorption et de diffusion des gaz et aérosolsatmosphériques. Le calcul des propriétés optiques atmosphériques est très complexe enraison de la très grande variabilité spectrale de l'absorption gazeuse. Il est en généralsimplifié en supposant que les mécanismes d'absorption gazeuse sont découplés des autresmécanismes d'interaction (i.e., diffusion des gaz et des aérosols, et absorption desaérosols). Ces derniers peuvent être représentés par des fonctions continues de la longueurd'onde. Ainsi, la section efficace de diffusion des gaz (diffusion de Rayleigh) varie en ≈λ -4 ,et en ≈λ -β pour les aérosols, avec β compris entre 0 et 4 selon la dimension des aérosols.Les gaz à l'origine de la majeure partie de la diffusion atmosphérique sont les gaz les plusnombreux, c'est à dire l'azote et l'oxygène. Par contre, dans le domaine optique, les deuxgaz à l'origine des principales absorptions gazeuses sont le CO 2 et H 2 O. Ils interviennentsurtout au-delà de 0.94µm, c'est à dire dans un domaine spectral où la diffusion gazeuse estnégligeable, du moins par rapport à la diffusion des aérosols.Le découplage "Absorption gazeuse - autres mécanismes" est justifié par la faibleproportion du rayonnement qui est absorbé après avoir été diffusé, surtout dans les fenêtresatmosphériques (i.e., bandes spectrales utilisées pour l'observation spatiale des surfacesterrestres). Il en résulte que l'absorption gazeuse sur le trajet "Soleil - Terre - Capteur" estreprésentée par un terme A g (Ω s ,Ω v ) indépendant des autres mécanismes et qui par suite estune combinaison de l'absorption A g (Ω s ) et A g (Ω v ) qui survient le long des trajets (Ω s :"Soleil - Terre") et (Ω v : "Terre - Capteur"). Les transmittances associées sont T g (Ω s ) = 1-A g (Ω s ) et T g (Ω v )=1-A g (Ω v ). Par suite, la probabilité de non interception d’un photon quitraverse l’atmosphère selon une direction Ω (angle zénithal θ ; angle azimutal Φ) estT g (Ω).e -τ/cosθ , où τ est l'épaisseur optique (diffusion gazeuse + interception des aérosols).IIMODELES ATMOSPHERIQUESDeux modèles atmosphériques sont présentés : MODTRAN (MODerate resolutionTRANsmission) et 6S (Second Simulation of the Satellite Signal in the Solar Spectrum).

LE TRANSFERT RADIATIF 129Modèle ModtranCe modèle a été développé durant ces 30 dernières années par le Centre "US Air ForcePhillips Laboratory". Il succède à la famille de codes intitulée "LOWTRAN". Il calcule,pour tout point de l'atmosphère, la transmittance de tout trajet dans l'atmosphère, ainsi queles luminances dues à l'émission atmosphérique, en tenant compte des diffusions d'ordre 1et multiple. Il calcule l'absorption moléculaire "continue", la diffusion moléculaire,l'absorption et la diffusion des aérosols, ainsi que l'absorption moléculaire à partir d'unedécomposition (densité et largeur moyenne des raies) du spectre (0 à 50000cm -1 , soitλ>0.2µm) en intervalles de 1cm -1 pour chaque gaz. Pour tout intervalle, les contributionsdes raies dont il contient les centres sont modélisées séparément des raies centrées àl'extérieur de cet intervalle. L'absorption due aux raies centrées dans l'intervalle est calculéepar intégration de la raie de Voigt. Du fait de la faible variation des températures terrestres,l'approximation de Curtis-Godson permet de simuler tout trajet dans l'atmosphère, à priorisupposée "multi-couche", par un trajet moyen dans un milieu homogène "mono-couche".Les luminances sont calculées en considérant les sources suivantes : émissionatmosphérique intrinsèque, diffusion d'ordre 1 et plus du rayonnement solaire, ettransmission solaire. La réfraction atmosphérique ainsi que la courbure de la Terre sontprises en compte. D'autre part, l'utilisateur peut définir un grand nombre de configurationsgéométriques : trajet horizontal, trajet oblique et trajet jusqu'au sommet de l'atmosphère.L'atmosphère est la superposition de 32 couches horizontales de 0 à 100km, avec 11 gazdéfinis en pression, température et concentration (g/cm 2 /km) : 25 couches de 1kmd'épaisseur de 0 à 25km, 5 couches de 5km d'épaisseur de 25km à 50km et 2 couches de 70à 100km. Ces gaz sont l'eau (H 2 O), l'ozone (O 3 ), le dioxyde de carbone (CO 2 ), lemonoxyde de carbone (CO), le méthane (CH 4 ), les oxydes d'azote (N 2 O, NO, NO 2 ),l'ammoniac (NH 3 ), l'oxygène (O 2 ) et le dioxyde de soufre (SO 2 ). Il peut être utilisé 6atmosphères standard ou un profil d'atmosphère défini par l'opérateur. Les 6 atmosphèresstandard correspondent à des conditions moyennes à différentes latitudes et saisons :"Atmosphère US standard", "Modèle tropical : 15° Nord", "Eté - Latitude moyenne : 45°Nord, Juillet", "Hiver - Latitude moyenne : 45° Nord, Janvier", "Eté - Sub arctique : 60°Nord, Juillet", "Hiver - Sub arctique : 60° Nord, Janvier".Les aérosols sont supposés être distribués dans 4 couches :- couche limite (z < 2km). Les aérosols peuvent être très hétérogènes et composésd'aérosols de type rural, urbain et maritime.- haute troposphère (z ∈ [2km 10km]). Les caractéristiques des aérosols sont beaucoupplus uniformes que dans la couche limite.- basse stratosphère (z ∈ [10km 30km]). Les aérosols (sulfates, poussière volcanique, etc.)dépendent plus des saisons que du lieu géographique.- stratosphère (z ∈ [30km 100km]). Les aérosols sont surtout de la poussière météorique.Les aérosols ont une distribution spatiale donnée par des profils fournis par l'utilisateur.Leurs coefficients d'extinction et d'absorption sont calculés à partir de la théorie de Mie.Modèle 6SComme le modèle Modtran, le modèle 6S calcule la luminance en tout point del'atmosphère, dans le cas de surfaces terrestres quelconques. Il peut prendre en compte dessurfaces terrestres non lambertiennes. Le domaine spectral couvert est [0.25µm 4µm]. Il est

LE TRANSFERT RADIATIF 130possible de spécifier différents types d'atmosphère gazeuse et d'aérosols. Le spectre solaireest divisé en intervalles de 10cm -1 à partir de la base de données HITRAN. Deux modèlesaléatoires exponentiels de raies sont utilisées : le modèle de Goody (1964) pour H 2 O et lemodèle de Malkmus pour les autres gaz. L'atmosphère est divisée en 13 couches. L'échellede hauteur est 8km pour les gaz et 2km pour les aérosols. La propagation du rayonnementest simulée avec la méthode des ordonnés discrètes : le flux descendant total est la sommed'un nombre fini (13) de flux directionnels descendants.La transmittance atmosphérique est calculée à partir d'approximations issues de la méthodedes 2 flux. La réflectance atmosphérique est calculée avec la méthode des ordres successifsde diffusion, ce qui fournit une précision meilleure que 10 -4 en unité de réflectance.Les deux paragraphes suivants présentent un calcul de la réflectance de l'atmosphère et dela réflectance apparente d'une surface terrestre depuis le haut de l'atmosphère.IIIREFLECTANCE ATMOSPHERIQUELa réflectance atmosphérique est ρ a (Ω s Ω v ) = π.L a,λ(Ω v ), où LE s .µ a,λ (Ω v ) est la luminancesatmosphérique due au rayonnement issu de diffusions (gaz et aérosols), sans interactionavec la surface terrestre. En 1 ère approximation, L a,λ (Ω v ) est la somme des diffusions desaérosols et des gaz. Pour plus de clarté, la référence à la longueur d'onde λ est omise cidessous.L'interaction d'une couche atmosphérique horizontale d'épaisseur optique dτ avecdes rayons déjà diffusés (i-1) fois, modifie tout rayon selon (Ω), déjà diffusé i fois :µ. dL i(τ,Ω)dτ= L i (τ,µ,φ) -{ ω 4π .P(Ω s→Ω).e -τ/µ sω.E s }.δ io -4π . 2π+1 ⌡ ⌠ P(Ω'→Ω).Li-1 (Ω',τ).dµ'.dφ' (δ⌡⌠io =0 si i≠0)0 -1E sPθ vθ sΨ svSMA tm osphèreµ s =cosθ s

LE TRANSFERT RADIATIF 131πoù cosΨ = Ω - s.Ω - 3et P 1 =2 . ⌡⌠ P(Ω s →Ω).cosΨ.dcosΨ (P 1 = 3g, où g = facteur d'asymétrie)0L 2 (P,Ω) : luminance en P selon la direction Ω due à des photons "solaires" ayant subi 2diffusions. La deuxième diffusion s'est nécessairement produite le long du trajet SP.PL 2 (P,Ω) =⌡⎮ ⌠ST(M,P).[ ⌡⎮ ⌠ α m d.P m (z,Ψ') + α p d.P p (z,Ψ')4π. L 1 (M,Ω').dΩ'].dMCe mode de calcul est utile si la série L i (P,Ω) converge vite. C'est le cas pour λ > 850nm, carle rayonnement diffus est alors surtout du aux diffusions d'ordre 1 et 2 (i.e. faible épaisseuroptique), Du fait de leur diffusion avant très marquée, les aérosols ont des trajets centrésautour des trajets directs. En négligeant l'absorption gazeuse, la luminance TOA d'ordre 1 est :∝a⌠L (θv 1,φ v ) = ⎮e τ(z).[-1/µv+1/µs] .[ αm d.P m (Ψ sv ,z) + α p d.P p (Ψ sv ,z)]. E⌡4πs . dz où τ(z)=τ(M,∝) ; τ(0)=τ=τµ p + τ m .vsolLa luminance atmosphérique descendante au niveau du sol peut être calculée de même.• Réflectance d'ordre 1 d'une atmosphère gazeuse avec P m (Ψ sv ,z) indépendant de z :L 1 (τ,Ω) = µ s.E s4π . 1.[e [τ m- τ mµ s µ ] -1].Pµ-µ m (Ω s →Ω v ). τ dm(µs τ s

LE TRANSFERT RADIATIF 132• Constante solaire et position solaire :Le soleil peut être assimilé à une sphère de rayon R=695,000km à une distance moyennede la Terre d o =149.5 10 6 km. La Terre décrit autour du Soleil, dans le plan dit del'écliptique, une ellipse quasi circulaire (excentricité : e ≈ 1/60) dont le soleil est un foyer.L'axe de la rotation terrestre journalière fait un angle de 23°45' avec ce plan.L'intersection du plan de l'équateur avec le plan de l'écliptique définit la ligne deséquinoxes. L'intersection de cette ligne avec l'orbite terrestre, lors de l'équinoxe deprintemps, définit le point vernal γ qui est pris comme origine pour le calcul des anglesdéfinissant la position relative du soleil par rapport à la Terre. Un jour est défini commele temps qui sépare deux passages consécutifs du soleil au méridien d'un lieu ; i.e. tempsd'une rotation terrestre journalière (23h 56' 4") plus 3'56" (2π/365.25). La Terre est deplus animée de mouvements complexes qui se superposent à ses 2 mouvements derotation journalière et annuelle.La constante solaire E s (λ) en haut de l'atmosphère varie avec le jour J (J=1 au 01/01 et J=2 au01/02) comme le carré de la distance d "Terre - soleil" autour de la moyenneE so (λ)=1368W.m -2 . d=0.983d o au périhélie (3/1 ≠ solstice d'hiver : 21-22/12) etd=1.017d o à l'aphélie (4/7 ≠ solstice d'été : 21-22/6).E sd (λ) = E so (λ).[ d od ]2 = E so (λ).[1 + e.cos( 2π(J-3)365 )]-2 ≈ E so (λ).[1 - 2.e.cos( 2π(J-3)365 )]Equinoxe (nuit=12h) : 22-23/095/10Equinoxe d'automneAutomne (89 jours)Solstice d'hiver21-22/12Hiver (90 jours)Point vernal γEté (94 jours)Equinoxe de printemps (nuit=12h) : 21-22/03Printemps (92 jours)Solstice d'été21-22/06Solsticed'hiverPérihélieEquinoxede printempsFigure 95 : Orbite elliptique de la Terre autour du soleil.Excentricité e≈0.0167. Grand axe 2d o . Petit axe 2b.γ4/4θdAphélieSolsticed'étéd= do.(1-e2 ); b=do. 1-e2(1+e.cosθ)Les expressions suivantes donnent la position approchée du soleil. α et β sont la latitude(positif au Nord de l'équateur) et la longitude (positif à l'Est du méridien de Greenwich)terrestre exprimées en degrés. Le temps solaire vrai (ω), ou angle horaire, est l'angledièdre entre le plan du méridien de la direction du Soleil et le plan méridien local. Il est nullors du passage du soleil au méridien (midi solaire). Le temps solaire moyen est l'anglehoraire que l'on observerait si la Terre avait un mouvement régulier. On a "Tempssolaire moyen - temps solaire vrai (ω)" = ∆ω = 2.47.sin[1.97.(J-80)] - 1.92.sin[0.986.(J-3)].T est le temps civil (i.e. temps solaire moyen augmenté de 12h) du méridien deGreenwich (Greenwich Mean Time : GMT, aussi appelé Temps Universel : TU).

LE TRANSFERT RADIATIF 133Figure 96 : Repère "Terre - Soleil"GreenwichβααMéridienlocalᾱ : Verticale localeθ s = π 2 -hβ -δ360°−ω- Déclinaison solaire : δ = sin -1 {0.39785.sin[0.986.(J-80)]}Arc "plan équatorial terrestre - soleil" orienté vers le Nord.δ max =23°45 au solstice d'été (J≈171). δ min =-23°45' ausolstice d'hiver (J≈354). δ=0° aux équinoxes (J≈80 et 263).- Angle horaire (degrés) : ω = 360 .(T-12) + β + ∆ω24- Zénith solaire : θ s = cos -1 [sinδ.sinα + cosδ.cosα.cosω]- Azimut solaire : A s = cos -1 [ sinδ - sinα.cosθ s] et Acosα.sinθ s .ω>0sAzimut vs. le Nord : A s . Azimut vs. le Sud : φ s =π-A s .- Temps du lever et coucher solaire :h=0 ⇔ cosω' = -tanδ.tanα ⇒ T'= 24 .[ω' +180-β-∆ω]360Il est souvent nécessaire de connaître l'éclairement solaire moyen durant une journée; e.g.pour estimer l'activité photosynthétique journalière d'un couvert végétal. La figure suivanteillustre le calcul nécessaire pour obtenir cette estimation.L atitud e ᾱθ nFigure 97 : Eclairement d'une surface de pente (θ n ,A n )Soleil (θ s , A s ). La verticale locale est l'origine des anglesθ n et θ s . Le méridien local est l'origine de A s et A n .Eclairement E(t) = E s .[cosθ s .cosθ n +sinθ s .sinθ n .cos(A s -A n )]M éridien β -Αh = π 2 -θ sΑ − φ nSurface horizontale (θ n =0) ⇒ E s .cosθ s =E s .µ sT"Journée 24h = 86400. ⌡⎮ ⌠T'E s .µ s . dω2πβ -ᾱ= 86400. E s.[ω'.sinδ.sinα + cosδ.cosα.cosω']πIVREFLECTANCE APPARENTE D'UNE SURFACE TERRESTRELa luminance mesurée par un capteur est due à plusieurs types d'interaction atmosphérique(Figure 98). Ici, l'atmosphère est supposée être un plan horizontal homogène d'épaisseuroptique τ, dépourvu d'effet de polarisation, soumis à un éclairement E s .|µ s | spectralunidirectionnel de direction incidente Ω s (θ s ,φ s ), où le zénith solaire θ s est tel que µ s =cosθ s .(a) : diffusion atmosphérique, sans aucune interaction avec les surfaces terrestres.(b+c) : réflectance de la cible (signal utile), sans prise en compte de l'environnement :- éclairement direct (b): E direct sol = µ s .exp[τ/µ s ].E s , où e τ/µ s est le facteur de transmission direct.- éclairement diffus (c): E diffus sol = µ s .t d (θ s ).E s , où t d (θ s ) = transmittance diffuse du flux solaire E savec E diffus sol = ⌡⌠ a(θ',φ').cosθ'.dΩ' où a = rayonnement atmosphérique diffus descendant2π -La transmittance diffuse t d (θ s ) est le rapport de l'éclairement diffus BOA parl'éclairement solaire TOA selon (θ s ). Son calcul utilise le fait que "la transmittanced'un milieu ne dépend pas du sens selon lequel il est parcouru". Par suite, la

LE TRANSFERT RADIATIF 134transmittance diffuse associée à l'obtention d'un rayonnement TOA ascendant selon(θ v ) à partir d'un rayonnement diffus BOA ascendant est supposée égale à t d (θ v ). Cecirevient à considérer que la distribution angulaire du rayonnement diffus BOAdescendant, du au flux (E s ,θ v ), est égale à la distribution angulaire du rayonnementdiffus BOA montant qui engendre un flux selon (θ v ) au sommet de l'atmosphère.(θ v ,φ v ) (θ v ,φ v ) (θ v ,φ v )τ(a) M (b ) M (c )M(θ v ,φ v ) (θ v ,φ v ) (θ v ,φ v )(d ) M ' M (e) M ' M (f) M ' MFigure 98 : Différents mécanismes d'interaction.L'éclairement total est donc : E sol = E direct sol + E diffus sol = µ s .{exp[τ/µ s ]+t d (µ s )}.E s . Le facteur detransmission total (en l'absence de réflexion de la part de l'environnement de la cible) est :T(θ s ) = t d (θ s ) + e τ/µ s (µ s

LE TRANSFERT RADIATIF 135L'éclairement total du sol est donc : E sol = µ s .E s .T(θ s ).[1 + ρ e .s + ρ e 2 .s 2 + ...] ≈ µ s .E s . T(θ s)1-ρ e .s si ρ e.s

LE TRANSFERT RADIATIF 136ainsi que de la concentration et de la nature des aérosols. Pour des cibles nonhomogènes le modèle 6-S utilise :F(r) = t dm(θ).F m (r) + t dp (θ).F p (r)t dm (θ) + t dp (θ)Pour un capteur satellite, les fonctions d'environnement moléculaire F m (r) et d'aérosolsF p (r) d'une atmosphère moyenne peuvent être approchées par (Mc Clatchey et al., 1971) :F m (r) ≈ 1 - 0.93 e -0.08 r - 0.07 e -1.1 rF p (r) ≈ 1 - 0.448 e -0.27 r - 0.552 e -2.83 rEn fait, F m (r) et F p (r) varient avec θ v , en particulier pour θ v >30°. Le modèle 6-S calculeF m (θ,r) et F p (θ,r) en pondérant ces fonctions avec un polynôme en cosθ.Les expressions précédentes de F m (r) et F p (r) ne sont pas valables pour des capteursaéroportés. Une différence majeure est qu'elles convergent d'autant plus vite que l'altitudedu capteur est faible. Les fonctions F m (r) et F p (r) sont alors calculées par interpolationlinéaire sur des valeurs pré calculées à l'aide de simulations de Monte Carlo.F(r)0.8V=5 km0.6V=23 km0.40.2Rayleigh00 2 4 6 8λ = 450nmλ = 550nmλ = 850nmr en kmFigure 100 : Fonction d'environnement F(r).Trois modèles atmosphériques (Rayleigh, V=23km, V=5km), à 450, 550 et 850nm.La zone d'influence est de l'ordre de 1km pour les aérosols et de 10km pour les gaz.L'expression précédente de E sol est seulement valable si la réflectance (ρ) de la cible estégale à la réflectance de son voisinage (ρ e ), ou si la cible a une surface infiniment petite.On a donc : E sol = E direct sol + E diffus sol + rétrodiffusion atmosphérique des ondes réfléchies par le sol.⇒ E sol ≈ |µ s |.E s . T(θ s)(égalité parfaite si ρ = ρ1-ρ e .se )Selon la précision requise, la luminance L*(θ s ,θ v ,φ v ) observée au dessus de l'atmosphèrepeut être supposée due à un seul des 3 mécanismes mentionnés ci-dessous :• (b) : toute onde interceptée par l'atmosphère est absorbée (i.e., pas de diffusion) et levoisinage de la cible est négligé (ρ e =0). Seule la luminance "directe" est "vue".

LE TRANSFERT RADIATIF 137L ρ (Ω v ) = ρ.exp[-τ/µ v].E solπ= µ s .E s .T(θ s ). ρ π .e -τ/µv avec T(θ s ) = e τ/µ s• (a+b+c) : tout rayon intercepté par l'atmosphère est absorbé et diffusé, et l'environnementde la cible est négligé (ρ e =0). La luminance "vue" par le détecteur est :oùL(Ω v ) = L ρ (Ω v ) + L a (Ω v ) = µ s .E s .T(θ s ). ρ π .e-τ/µ v + L a (Ω v )L a (Ω v ) = ρ a (θ s ,Ω v ). µ s.E sπLuminance atmosphérique intrinsèqueEn première approximation : ρ a (Ω s ,Ω v ) = π.L a(Ω v )µ s .E s≈ τd .P(Ψ sv )4.µ s .µ v.• (a+..+f) : toute onde interceptée est absorbée et diffusée, et la surface terrestre estlambertienne (ρ e ). La luminance "vue" par le détecteur estoù L e (Ω v ) = ρ eπ .t d(µ v ).µ s .E s . T(θ s)(1-ρ e .s)L ρ (Ω v ) = µ s .E s . T(θ s)1-ρ e .s .ρ π .e -τ/µvL * (Ω v ) = L ρ (Ω v ) + L a (Ω v ) + L e (Ω v )(luminance due à l'environnement de la cible)L'observation de l'environnement de la cible induit la luminance :e(Ω v ) = L a (Ω v ) + ρ e.{exp[-τ/µ v ]+t d (µ v )}.E solπ.(1-ρ e .s)= L a (Ω v ) + ρ e.T(θ v ).µ s .E s .T(θ s )π.(1-ρ e .s)L*(Ω v ) étant la luminance mesurée, en général au dessus de l'atmosphère, le facteur deréflectance directionnelle apparente est donc :ρ*(Ω s ;Ω v ) = π.L* (Ω v )= [ρµ s .E a (Ω s ,Ω v ) + ρ. T(θ s).e -τ/µ vs 1-ρ e .s+ ρ e . T(θ s).t(θ v )].T1-ρ e .s g (θ s ,θ v )Remarque : L e =/ e ; L e est la partie de e qui intervient dans L * . C'est la partie diffuse de e .Le modèle 6S calcule ρ*(Ω s ,Ω v ) à partir de la réflectance bidirectionnelle ρ(Ω s ,Ω v ), avec :- ρ.e -τ/µ v.e -τ/µ s → ρ(Ω s ,Ω v ).e -τ/µ v.e -τ/µ s,⌡⌠ µ s .L(Ω s ,Ω v ).ρ(Ω s ,Ω v ).dΩ s- ρ.t(θ s ).e -τ/µ v → t(θ s ).Ω s.e -τ/µ 2πv = t(θ s ).- .e -τ/µ v,⌡⌠ µ s .L(Ω s ,Ω v ).dΩ s2π -⌡⌠ µ v .L(Ω s ,Ω v ).ρ e (Ω s ,Ω v ).dΩ v- ρ e .e -τ/µ s.t(θ v ) → Ωv .e -τ/µ 2πs.t(θ v ) où Ωv =+ ⌡⌠ µ v .L(Ω s ,Ω v ).dΩ v2π +- ρ e .t(θ s ).t(θ v ) → Ω v ,Ω s.t(θ s ).t(θ v ) où Ωv ,Ω s= 1 π 2 . ⌡ ⌠2π + µ s .µ v .ρ e (Ω s ,Ω v ).dΩ s .dΩ v- ρ e .s → Ωv ,Ω s.s

LE TRANSFERT RADIATIF 138VI. CORRECTIONS ATMOSPHERIQUESLes corrections atmosphériques ont pour but de faciliter l'emploi de données satellitairesacquises dans des conditions expérimentales différentes :- configurations géométriques : position solaire, direction d'observation, etc.- caractéristiques de l'atmosphère : épaisseur optique d'aérosols plus ou moins importante.- capteurs différents : capteurs aéroportés et spatiaux (AVHRR, HRVIR, TM,...).Les méthodes de correction atmosphérique les plus exactes sont complexes et nécessitentd'importants temps de calcul pour converger, alors que les méthodes les plus simples sontmoins précises, mais peuvent être plus efficaces. Il est souvent difficile de comparer lesdifférentes méthodes approchées en raison de la diversité de leurs paramètres d'entrée.Les méthodes de correction atmosphérique sont dites directes si elles corrigent des signauxmesurés par le capteur (luminance, réflectance apparente) ou indirectes si elles corrigentdes indices ou fonctions des signaux mesurés comme les indices NDVI et ARVI(Atmospheric Resistant Vegetation Index) de Kaufman et Tanré (1992):NDVI = PIR - RPIR + RARVI =PIR - (2R-B)PIR + (2R-B) .L'intérêt du terme (2R-B) de l'ARVI est qu'il dépend beaucoup moins de l'atmosphèreque le terme R, car l'effet atmosphérique sur R est sensiblement la moitié de celui sur B.Les méthodes de correction atmosphérique assument en général que la cible estlambertienne dans un environnement lambertien. Les deux types d'approche majeurs sont :• Etalonnage de la mesure à l'aide de la réflectance de cibles de référence (désert, neige,etc.). L’impact des surfaces voisines de la cible est plus ou moins négligé.• Emploi d'une relation analytique entre la mesure satellitaire, la réflectance de la cible etdes paramètres atmosphériques calculés par un modèle atmosphérique tel que 6S.Les méthodes qui transforment ρ λ,TOA en ρ λ,BOA diffèrent selon les caractéristiques spectraleset géométriques des données disponibles et selon les hypothèses simplificatrices utilisées.VI.1 Etalonnage de la mesureLe principe de l'étalonnage est simple. Une hypothèse de base classique est quel'atmosphère affecte les mesures satellite de 2 manières différentes :- addition d'une luminance atmosphérique L a due à la diffusion des aérosols et gaz.- atténuation du rayonnement qui est incident puis réfléchi par la surface terrestre observée.• Approche purement statistiqueLa mesure des propriétés spectrales de sites tests durant l'acquisition de données spatialesest utilisée pour déterminer les propriétés spectrales des autres parties de l'image acquise.Cette approche est difficile à mettre en œuvre et coûteuse du fait de :(1) problèmes logistiques associés à la présence de personnes sur les sites tests,(2) difficultés pour repérer exactement les objets observés in situ et depuis l'espace,

LE TRANSFERT RADIATIF 139(3) anisotropie de la réflectance des surfaces terrestres,(4) effets de bord / voisinage,(5) effets atmosphériques non linéaires,(6) problèmes d'étalonnage.• Réflectances de référenceLa réflectance de certaines surfaces, non nécessairement mesurée in situ, peut servir deréférence. C’est le cas pour des surfaces étendues de réflectance "moyenne" spatialementuniforme : rivières, forêts denses,... :(1) la mesure spatiale de la luminance issue de ces objets permet d'évaluer la luminanceatmosphérique L a (λ). Un modèle atmosphérique simple permet alors le calcul deparamètres atmosphériques responsables de L a (λ), et ainsi d'extrapoler L a (λ) aux autreslongueurs d'onde.(2) la luminance atmosphérique obtenue à l'étape (1) est soustraite sur l'ensemble del'image ; il est donc supposé que l'influence atmosphérique est constante sur toutel'image. Si l'influence atmosphérique varie "doucement" sur l'ensemble de l'image ilest possible d'interpoler les différentes évaluations des effets atmosphériques obtenuesaux différents points de mesure.Parmi les approches les plus utilisées il convient de mentionner :- l'analyse de la luminance la plus faible de l'image (méthode du point "le plus noir"),- la mesure de la luminance de surfaces d'eau dans le proche infrarouge. En premièreapproximation, elle devrait être nulle en l'absence d'atmosphère. Un modèleatmosphérique, combiné à une hypothèse sur les propriétés spectrales des aérosols,calcule alors la luminance atmosphérique aux autres longueurs d'onde.- l'analyse de surfaces "semblables" à la fois à l'ombre et sous un éclairement solaire direct.VI.2 Simulation de la mesureElle est en général basée sur les 3 étapes suivantes :(1) mesure ou estimation des "vraies" propriétés optiques des constituants atmosphériques(épaisseur optique des aérosols, fonction de phase des aérosols, absorption gazeuse,...),(2) calcul des paramètres de correction atmosphérique à partir des propriétés optiques del'atmosphère et d'un modèle de transfert radiatif,(3) correction de l'image en calculant les pseudo réflectances lambertiennes de chaquepixel, en employant les paramètres de correction mentionnés ci-dessus.Les étapes (2) et (3) peuvent être séparées si les pixels ont une taille assez petite pour nepas affecter pas leur éclairement et celui de leur environnement. Avec cette approche, unebonne connaissance des propriétés optiques de l'atmosphère permet une correctionatmosphérique sans mesure in-situ de réflectances. D’autre part, un modèle atmosphériqueet une bonne connaissance des propriétés optiques atmosphériques permettent de tester lavalidité de cette approche à partir de mesures in-situ de réflectance.Parmi les approches les plus utilisées il convient de mentionner :

LE TRANSFERT RADIATIF 140- la méthode de Duntley basée sur la mesure de la luminance de certaines portions du cielafin de déterminer la luminance atmosphérique "vue" par le détecteur,- détermination de réflectances de surfaces terrestres, à partir de propriétés optiques del'atmosphère obtenues avec un modèle tel que LOWTRAN-7,- calcul des paramètres de correction atmosphérique à partir de mesures d'éclairementdiffus et direct, simultanément avec le passage du satellite.• Correction atmosphérique avec ρ e inconnuLes propriétés optiques des composants de l'atmosphère, l'éclairement solaire incident etles luminances apparentes e et L * sont supposées connues. Les principales étapes sont :(1) Calcul des réflectances ρ a (Ω s ,Ω v ) et ρ * (Ω s ,Ω v ), transmittances T(θ s ) et T(θ v ) etépaisseur optique τ o , calculées par un modèle atmosphérique).(2) Calcul de L a (Ω s ,Ω v ), t d (θ s ), t d (θ v ) et s.(3) Calcul de la réflectance (ρ e ) de l'environnement à partir de la luminance apparente e(i.e. réflectance apparente ρ e ' ) du voisinage (pixels voisins du pixel analysé) :e(Ω v ) = L a (Ω v ) +⇒ ρ e =ρ e .{exp[-τ o /µ v ]+t d (µ v )}πρ e' (Ωs ,Ω v ) - ρ a (Ω s ,Ω v )T(θ v ).T(θ s ) + s.[ρ e' (Ωs ,Ω v ) - ρ a (Ω s ,Ω v )](4) Calcul de l'éclairement terrestre E i =.µ s .E s . [eτ o /µ s + t d (θ s )]= L1-ρ e .s a (Ω v ) +ρ e .µ s .E s T(θ s ).T(θ v ).π 1-ρ e .savec ρe ' (Ω s ,Ω v ) = π. e(Ω v )µ s .E s.exp(τ o /µ s )+t d (µ s ).µ1-ρ e .s s .E s avec ρ e obtenu en (3).ρ e .E i(5) Calcul de la luminance de l'environnement L e =π avec les valeurs de ρ e et E i de (3) et (4).(6) Calcul de la réflectance du pixel considéré ⇒ ρ = e τ o /µ v.{[ρ * -ρ a (θ s ,θ v ,φ v )]. 1-ρ e.sT(θ s ) - ρ e.t d (θ v )}ρ = [ρ* -ρ a (Ω s ,Ω v )] + [ρ * -ρ e' (Ωs ,Ω v )] . e τ o /µ v . t d (θ v )T(θ v ).T(θ s ) + s.[ρ e' (Ωs ,Ω v )-ρ a (Ω s ,Ω v )]L'influence atmosphérique sur la réflectance correspond tout simplement à la différence(ρ * -ρ) entre la réflectance apparente (ρ * )= π.L *µ s .E set la réflectance "corrigée" (ρ).• Correction atmosphérique avec ρ e connuPlusieurs possibilités de correction existent :- ρ a connu : utilisation de (ρ e ) dans ρ = e τ o /µ v.{[ρ*-ρ a (Ω s ,Ω v )]. 1-ρ e.sT(θ s ) - ρ e.t d (θ v )}[ρ- ρ a inconnu : utilisation de la formule ρ =* -ρ a (Ω s ,Ω v )] + [ρ * -ρ e' (Ω s ,Ω v )] . e τ o /µ v . t d (θ v )T(θ v ).T(θ s ) + s.[ρ e' (Ωs ,Ω v )-ρ a (Ω s ,Ω v )]Mesure de l'environnement : ρ e ⇒ ρ a .

LE TRANSFERT RADIATIF 141- ρ a inconnu : élimination de ρ a (Ω s ,Ω v ) entre les 2 équations précédentes⇒ρ = ρ e + [ρ*-ρe ' (Ω s ,Ω v )].[1-ρ e .s]. e-τ o /µ vT(θ s ) = ρ e + π.(L *- e )e τ o /µ v . E iExemple : niveau de l’effet d'environnement (labours et champs de blé, observés à 850nm).* réflectance in situ : - champ labouré : ρ=0.005,- champ de blé en herbe : ρ=0.35.* réflectance TOA : - grand champ labouré : ρ=0.0065,(nadir, V=23km) - grand champ de blé en herbe : ρ=0.345,- petit champ labouré entouré de blé en herbe : ρ=0.105,- petit champ de blé en herbe entouré de labours : ρ=0.305.VI.3 Exemple de chaîne de correction atmosphérique MERISLe principe de la chaîne de corrections des mesures MERIS ρ λ,TOA est brièvement présentéici. Il est supposé que les surfaces terrestres sont planes et lambertiennes, et que les effetsadjacents sont négligeables. Trois étapes majeures sont mises en œuvre :1.) Correction de l'absorption gazeuseL'absorption gazeuse est corrigée plus ou moins indépendamment de la diffusionatmosphérique. La réflectance corrigée de l'absorption gazeuse est ρ λ,TOA,sa = ρ λ,TOA, où latransmittance gazeuse T g est pré calculée pour différentes épaisseurs optiques gazeuses.Ces dernières dépendent des quantités de vapeur d'eau, d'ozone et des autres gaz (i.e.,pression atmosphérique P a ). La pression P a est estimée à partir de rapports ρ 760,TOAρ 754,TOAprécalculés pour différentes configurations (ρ 754,TOA , Ω s , Ω v ). L'erreur est maximale pour lessurfaces terrestres sombres, où elle peut atteindre 40hPa. Le couplage "absorption -diffusion" complique l'approche, car en son absence ( 1|µ s | + 1 µ v).P 2 a est quasiment unefonction du rapport ρ 760,TOAρ 754,TOAdes transmittances de O 2 à 753.75nm et 760nm.Le pré calcul de T g prend en compte les interactions "absorption - diffusion". Laprincipale cause d'erreur provient de l'incertitude sur les concentrations en ozone et envapeur d'eau. La concentration en ozone est fournie par un modèle climatique. Laconcentration en vapeur d'eau est évaluée par régression à partir de ρ 890,TOAρ 900,TOA. Ce terme estle rapport des transmittances de la vapeur d'eau à 890 et 900nm. Ces transmittances sontaffectées par l'épaisseur optique τ p des aérosols et ρ λ,BOA . Contrairement à l'ozone, lavapeur d'eau a un continuum d'absorption significatif en dehors des raies d'absorption.Les pré-calculs sont effectués avec une échelle de hauteur H=8km pour le profil verticaldes gaz autres que H 2 O et O 3 . Pour les aérosols et la vapeur d'eau, il est utilisé H=2km.2.) Correction de la diffusion gazeuseT g

LE TRANSFERT RADIATIF 142La correction de la diffusion gazeuse repose sur l'hypothèse d'une atmosphère constituéepar une couche de gaz au-dessus d'une couche "aérosols + sol" lambertienne. Par suite, ilρ λ,aéro+solest utilisé ρ λ,TOA,sa (Ω s ,Ω v ) = ρ λ,R + T λ,R (Ω s )..T1-ρ λ,aéro+sol .S λ,R (Ω v ), avec ρ λ,aéro+sol laRréflectance en haut de la couche d'aérosols, ρ λ,R la réflectance de la couche de "Rayleigh"(i.e., gaz), S R l'albédo hémisphérique de la couche de Rayleigh, et T λ,R (Ω s ) et T λ,R (Ω v ) lestransmittances de la couche "Rayleigh" selon les directions solaire Ω s et de visée Ω v . Lestermes ρ λ,R , S R , T λ,R (Ω s ) et T λ,R (Ω v ) sont pré calculés pour différentes valeurs del'épaisseur optique gazeuse des gaz (i.e., différents P a ).3.) Correction de la diffusion des aérosolsLa réflectance ρ λ,BOA est calculée en supposant la surface lambertienne. Par suite, il estρ λ,BOAutilisé : ρ λ,aérosols (Ω s ,Ω v ) = ρ λ,p + T λ,p (Ω s ). .T1-ρ λ,BOA .S λ,p (Ω v ), avec ρ λ,p et S p la réflectancepet l'albédo hémisphérique de la couche d'aérosols, et T λ,R (Ω s ) et T λ,R (Ω v ) lestransmittances de la couche d'aérosols selon les directions solaire Ω s et de visée Ω v . Lestermes ρ λ,p , S p , T λ,p (Ω s ) et T λ,p (Ω v ) sont pré calculés pour diverses valeurs de l'épaisseuroptique τ p des aérosols, à partir de modèles d'aérosols où ceux-ci sont caractérisés par unindice de réfraction réel n R et une densité N(r) fonction de leur rayon r (e.g., N(r) ≡ r α-3 , oùα est le coefficient d'Angstrom (τ p (λ) ≡ λ -α )). Il est en fait considéré 12 modèles avec 4valeurs de α (0, 0.5, 1.0, 1.5) et 3 valeurs de n R (1.33, 1.44, 1.55). La valeur de n R estchoisie à l'aide d'une climatologie d'aérosols. La valeur de α est celle qui assure lameilleure correspondance entre les réflectances ρ λ,TOA et ρ λ,BOA des pixels les plus sombresdans les canaux 1, 2 et 7. Ces "points noirs" sont détectés avec l'indice ARVI. Leursréflectances sont a priori supposées être égales à 0.016 à 443nm et 0.03 à 665nm. Si cespoints n'existent pas, il est utilisé des surfaces d'eau, ou à défaut une climatologied'aérosols. Le nombre limité de "points noirs" ne permet pas des corrections spécifiquespixel par pixel.VI.3 Détermination de la vapeur d'eau atmosphériqueLes seuls capteurs spatiaux actuels capables de fournir une information opérationnelle surla densité de vapeur d'eau W H2O sont des capteurs hyperfréquence passifs comme SMMI(Special Sensor Microwave Imager) et des capteurs IRT comme HIRS (High ResolutionInfrared Sounders). SMMI fournit W H2O avec une précision relative moyenne de 7%(Schlüssel et Emery, 1990). Cette estimation n'est pas limitée par les nuages, mais estlimitée aux cas de surfaces terrestres de forte émissivité (i.e., eau). L'estimation de W H2Oavec des mesures IRT est limitée au cas d'atmosphères claires. Sa précision moyenne est20% (Susskind et al., 1984), soit environ 1g.cm -2 . En fait, la résolution spatiale descapteurs comme SMMI (49km x 63km) et HIRS (km x km) est trop grossière pour lesmodèles climatiques méso échelles. Ceci explique le développement de méthodes baséessur la comparaison de mesures PIR dans 2 canaux spectraux étroits, dans et hors d'unebande d'absorption de la vapeur d'eau dans l’intervalle [880nm 905nm], et qui sont assezproches pour minimiser l'impact de la variabilité spectrale des réflectances terrestres. Ainsi,les canaux POLDER à 865nm (∆λ=40nm) et 910nm (∆λ=20nm) donnent W H2O avec uneprécision de l'ordre de 10%, mais une résolution de 7km. De même, le capteur MERIS a étéconçu pour fournir un suivi continu W H2O à une résolution de kilométrique (1040m x1160m ou 260m x 290m), dans une dynamique de 1-70kg.m -2 , avec des précisions

LE TRANSFERT RADIATIF 143moyennes de 10% pour les surfaces terrestres et 20% pour les surfaces marines. L'approcheadoptée repose sur l'emploi de 2 canaux spectraux à 890nm (∆λ=10nm) et 900nm(∆λ=10nm) : W H2O = k o + k 1 .log( L 900) + kL 2 .log 2 ( L 900). Les coefficients de régression k890 L o , k 1890et k 2 sont calculés à partir d'un modèle de transfert radiatif atmosphérique. Ils dépendent dela géométrie d'observation ainsi que de l'épaisseur optique des aérosols dans le cas dessurfaces marines, et de la pression atmosphérique dans le cas des surfaces terrestres. Eneffet, la pression de surface, associée à l'altitude locale, affecte la largeur des raiesd'absorption de la vapeur d'eau. La faible réflectance des surfaces marines explique que laprécision sur W H2O est meilleure pour les surfaces terrestres que pour les surfaces marines.Canal123456789101112131415Centre(nm)412,50442,50490,00510,00560,00620,00665,00681,25705,00753,75760,625775,00865,00895,00900,00∆λ τ O3 τ R Gaz absorbant T O3101010101010107.5107.53.75152010100.0000.0030.0190.0390.1000.1060.0490.0340.0200.0090.0070.0000.0000.0000.0000.3200.2390.1570.1330.0910.0600.0450.0410.0360.0270.0260.0240.0160.0140.013----O 3O 3O 3 + H 2 OO 3 + H 2 O *O 3 + H 2 O *O 3 + H 2 OO 3 + H 2 OO 3 + H 2 OO 3 + H 2 O *O 3 + H 2 O * + O 2H 2 O * + O 2H 2 O *H 2 OH 2 O10.9980.9850.9700.9260.9220.9630.9740.9850.9930.9941111T H2Oraie1110.993110.9950.9980.90611110.9450.647T H2Oraie +cont.1110.9870.9920.9880.9810.9820.8880.9780.9780.9770.0700.9110.601T O211111111110.3800.994111Tableau 13 : Propriétés atmosphériques pour les 15 canaux de Méris. Canal spectral(centre et largeur ∆λ), épaisseur optique de Rayleigh pour P a =1013hPa. Epaisseuroptique de l'ozone pour une concentration totale de 1cm-atm. Principaux gazabsorbants. Transmittances gazeuses pour le cas "latitude moyenne en été". θ s =45°et θ v =0°. La précision radiométrique (NE∆ρ) est ≈2 10 -4 .

LE TRANSFERT RADIATIF 144Annexe II.1 : POINT CHAUDDans le cas de milieux particulaires il faut tenir compte de l’interdépendance des phénomènes d'atténuationsurvenant selon les directions incidente (Ω s ) et de diffusion (Ω v ) ne sont pas indépendants. L'hypothèsed'indépendance est en particulier fausse si l'angle de phase Ψ sv est nul :Ψ sv = 0 ⇒ Atténuation = exp[ 1 µ s.τ] et non exp[-( 1 µ v- 1 µ s).τ]=exp[ 2 µ s.τ]Cette non interdépendance induit un effet appelé point chaud (i.e. hot spot). Cet effet tend à induire unmaximum selon la direction associée à un angle de phase nul, c'est à dire une direction selon laquelle aucuneombre n'est observée. Il est modélisé ici en considérant un milieu composé de particules de densité n e et desection efficace d'interception σ e =π.a e 2 , avec un rayon particulaire a e tel que a e >> λ. Par suite, l'épaisseuroptique τ le long d'un trajet dr est égale au nombre moyen de particules dans un cylindre vertical de rayon a eet de longueur dr. Il est considéré ici 2 cylindres (Ω s ) et (Ω v ) de section σ e et d'origine le point de diffusion.z>0z=0CC sΩ sCΨ svΩ vC vC sCC vΦ svz>1) : - |µ s|µ v : κ s ≈ +[- ∆zµ s- a e .cotg Ψ sv2 ] et κ v ≈ -[ ∆zµ v- a e .cotg Ψ sv2 ]Si Ψ sv est petit les termes ∆z , ∆z et aµ v µ e .cotg Ψ svprennent de grandes valeurs, mais leur différence reste faible, sis 2bien que κ s et κ v ont de faibles valeurs positives. Leur différence est donc faible :|κ s - κ v | ≈ ∆z - ∆z - 2.aµ v µ e .cotg Ψ svs 2 ≈ 0 ⇒ ∆z ≈ .a e.cotg Ψ sv2avec = 2.µ s.µ vµ s -µ vCette expression est une bonne approximation de ∆z pour les petits angles de phase, ce qui est doncacceptable car pour les grands angles de phase l'effet du point chaud est négligeable.

LE TRANSFERT RADIATIF 145En assimilant la surface APBC à un triangle de base horizontale d'altitude z, la portion de c au-dessus d'unplan d'altitude z', avec z'∈[z z+∆z] est : ca(z') = c.[1- z'-z∆z ]2⇒ dans une couche [z' z'+dz'] : d ca (z',dz') = d ca(z')dz'z+∆zOn a donc : τ c =⌡ ⌠ cn e (z).d ca (z',dz') = - ⌡⌠n e (z').2.u. a e .[1-z'-z ∆z ].dz'zc.dz' = -2.∆z .[1-z'-z ∆z ].dz' = -2.u. a e .[1-z'-z ∆z ].dz'L'épaisseur u est choisie telle que τ c = τ µ vsi |µ s |=µ v = et si ∆z→∝. Sachant que dτ=-n e (z).σ e .dz on a :∝⌠n ⌡e (z').2.u. a ∝e -1.dz' = µ . v⌡ ⌠zzz+∆zOn a donc : τ c = -1 . ⌡ ⌠ zn e (z').σ e .dz' ⇒ u = σ e= π. a e2.a e 2n e (z').σ e .[1- z'-z -1].dz' =∆zτ(z+∆z) . ⌡ ⌠[1- z'-z∆z ].dτ(z')τ(z)Une intégration par parties donne : τ c = τ(z) - τ'(z,∆z) avec τ'(z,∆z) = -1 z+∆zτ'(z').dz'∆z . ⌡ ⌠ z(on a bien : σ e =2.a e .u=π.a e 2 )L'atténuation optique totale responsable de l'atténuation dépend donc de :[ τ(z) - τ(z) τ(z) + τ'(z,∆z)- τµ v µ c ] =s (avec z au-dessus de C)Dans un milieu infini la luminance due aux diffusions d'ordre 1 est : L d1 (Ω v ) = E s . ω 4π .P(Ω s,Ω v ). ⌡⌠Le terme τ'(z,∆z) peut être facilement évalué si n e (z)=0 pour z≥0 et n e (z)=cste pour z

LE TRANSFERT RADIATIF 146L'existence de l'effet "point chaud" est liée au fait que selon la direction d'observation il est perçu uneproportion plus ou moins importante d'ombres, c'est à dire de particules recevant un rayonnement plus oumoins atténué. Le calcul de la proportion d'ombres, i.e. l'atténuation du rayonnement direct, repose sur le faitqu'une particule éclairée par une source mono-directionnelle induit un "cylindre" d'ombre (cylindred'extinction). Ceci n'est plus vrai si l'on a une source étendue vue sous un angle d'ouverture ∆θ s non nul. Dansce cas une particule de rayon a induit un volume conique d'ombre égal à 2π.a 3 /(3.∆θ s ). Avec une densité N departicules la densité volumique d'ombre est donc : 2π.N.a 3 4/(3.∆θ s ) = Ψ/(2.∆θ s ) où Ψ =3 .π.N.a3 . Cetteproportion doit être supérieure à 0.1 pour que l'effet "point chaud" soit perceptible. Cette condition impliqueque Ψ > 0.2 ∆θ s . A la surface terrestre, l'ouverture angulaire solaire est ∆θ s ≈ 0.01. On doit donc avoirΨ > 0.002. Ceci explique pourquoi l'effet "point chaud" ne peut en général être perçu avec des nuages, alorsqu'il est observé sur les sols.Avec des milieux constitués de particules identiques plus grandes que la longueur d'onde on a a e = a, σ e = π.a 2 ,4et Ψ =3 .N.π.a3 , si bien que h ≈ - -3 .ln(1-Ψ). On peut avoir Ψ = 0.5 pour des poudres, soit h ≈ 0.26. La demi8largeur angulaire associée, i.e. ≈27°, est en fait très supérieure aux valeurs observées, car les milieux/poudresobservés sont constitués de particules de différentes tailles (densité N(a)) ce qui diminue la valeur de h (e.g.7°). L'amplitude de l'effet "point chaud" est d'autre part liée à la dimension des particules. Ainsi, la diffusioninduite par une particule peut résulter de réflexions spéculaires et de diffusion volumique. Il en découle queles rayons peuvent entrer et sortir de la particule en des points différents, ce qui contribue à diminuer c, etpar suite l'intensité du "point chaud". Un coefficient b o est souvent introduit afin de prendre en compte ceteffet : b(Ψ sv ) ≈ b o .[1+ 1 h .tan(Ψ sv2 )]-1 . D'autre part, du fait de la possibilité d'apparition, au niveau de la diffusionparticulaire, de phénomènes résonnants, glory et effets de coin, dus à la structure des agglomérats departicules, le terme b o peut être supérieur à 1.

LE TRANSFERT RADIATIF 147Annexe II.2 : MODELES DE REFLECTANCEI. Méthode combinée des 2 flux et approximations successivesSoit un capteur d'angle d'ouverture ∆Ω d et d'aire ∆a normale à ladirection de visée (Ω). Il voit un élément de surface dΣ à unedistance R, sur la face supérieure (τ=0) d'un milieu planhomogène de coefficient de diffusion différentiel α d (z,Ω'→Ω)égal à α e (z,Ω').ω. P4π (Ω'→Ω) . Le coefficient d'extinction α e (z,Ω')est supposé constant avec z, i.e. α e (z,Ω') = α e (Ω'). Ce milieu reçoitun éclairement solaire E s de direction Ω s (µ s

LE TRANSFERT RADIATIF 148π/2L 1 (τ) = 12π . ⌡⌠ L(τ,Ω).dΩ = ⌡⌠ L(τ,Ω).sinθ.dθ et L 2 (τ) = ⌡⌠2π + 0La moyenne sur 2π + et 2π - de l'ETR de L i , avec ⌡⌠12 .dL 1(τ)dτ- 1 2 .dL 2(τ)dτ2πτcosθ. dL i(τ,Ω)dτ.dΩ ≈ 1 2 . ⌡ ⌠2πππ/2L(τ,Ω).sinθ.dθdL i (τ,Ω).dΩ, donne :dτ= L 1 (τ) - E s .eµ s. ω 4π - (1-ω).L B(τ) - ω 2 .[L 1(τ) + L 2 (τ)]τ= L 2 (τ) - E s .eµ s. ω 4π - (1-ω).L B(τ) - ω 2 .[L 1(τ) + L 2 (τ)]On note (τ) = [L 1 (τ) +L 2 (τ)]/2 et ∆ (τ) = [L 1 (τ) - L 2 (τ)]/2. Le système différentiel devient alors :1 (τ).d∆2 dττ= (1 - ω). (τ) - E s .eµ s. ω 4π - (1-ω).L B(τ) et1 (τ).d2 dτ= ∆ (τ)La combinaison de ces 2 équations différentielles donne : 1 τ(τ)4 .d2 dτ 2 = (1 - ω). (τ) - E s .eµ s. ω 4π - (1-ω).L B(τ)Pour un milieu infini (τ∈[0 ∝[ tel que (τ→∝) reste fini et sans source diffuse au-dessus du milieu, i.e.L 2 (τ=0)=[ (0)-∆ (0)]=[ (0)- 1 (0).d ]=0, les solutions sont alors de la forme :2 dτ τ-τ(τ) = A 1 .e -2.γ.τ + A 2 .eµ s+ A 3 + A 4 .eX Bavec γ 2 =1-ω et X B =α e .H B .avec : A 1 = -11+γ .[E s2π .ω.µ s.(2µ s -1)4γ 2 .µ 2 s -1 + L X B .γ 2Bo + 2L B1 .(1+2X B ).4X 2 B.γ 2 -1 ]A 2 = E s2π .ω. 2µ s24γ 2 .µ s 2 -1X 2A 3 = L Bo A 4 = 4L B1 .B .γ 24X 2 B .γ 2 -1L'expression de la luminance reçue par le détecteur est obtenue en exprimant L B (τ) en fonction de (τ) etd 2(τ)dτ 2 et en remplaçant ⌡ ⌠4πL(τ,Ω').P(Ω',Ω).dΩ' par 4π. (τ) = ⌡⌠ 4πL i (τ,Ω').dΩ'. On a donc :L(τ=0,Ω s ,Ω) =1∝4π.µ ⌡ ⎮⌠0τ[E s .eµ s.ω.[P(Ω s ,Ω)-1] + 4π. (τ) - π. d2 (τ)dτ 2 ].e -τµ .dτLe remplacement de (τ) par son expression, suivi de l'intégration sur τ donne :L(τ=0,Ω s ,Ω) =14π.µ .{[E s.ω.[P(Ω s ,Ω)-1] .[ 1 µ - 1 ] -1 + 4π.Aµ 1 .ω.[2γ+ 1s µ ]-1+ 4π.A 2 . 4µ 2 s-12 .[ 1 4µ s µ - 1 ] -1 + 4π.Aµ 3 .µ + 4π.A 4 . 4X2 B-12 .[ 1s 4X B µ + 1 ]X -1 }B⇒ L(0,Ω s ,Ω) = E s . ω 4π . µ sµ s -µ .[P(Ω s,Ω)+H(ω,-µ s ).H(ω,µ)-1] + L Bo .γ.H(ω,µ) + L B1 .X B +µ .γ2 .H(ω,X B ).H(ω,µ)avec H(ω,x) = 1+2.x1+2.γ.x(corps noir : γ=1 ⇒ H(ω,x)=1 ∀x)L(0,Ω s ,Ω) est approché, car la simulation de la propagation de L i est approchée. Le paragraphe II donne uneexpression plus exacte pour le cas d'un milieu semi-infini composé de diffuseurs isotropes.Il convient de remarquer que la luminance réfléchie par le milieu comprend 2 termes :- Diffusions d'ordre 1 : L d1 (Ω) = E s . ω 4π . µ sµ s -µ .P(Ω s,Ω).- Diffusions d'ordre >1 : L dM (Ω) = E s . ω 4π . µ sµ s -µ .[H(ω,-µ s).H(ω,µ)-1]. Le calcul de L dM avec des diffuseurs isotropes sejustifie, car avec des modèles plus exacts L dM dépend peu de P(Ω s ,Ω), surtout si ω ≈ 1 (i.e., multiples diffusions).X B

LE TRANSFERT RADIATIF 149La prise en compte du point chaud conduit à :L(0,Ω s ,Ω) = E s . ω 4π . µ sµ s -µ .[P(Ω s,Ω).(1+b(Ψ sv ))+H(ω,-µ s ).H(ω,µ)-1] + L Bo .γ.H(ω,µ) + L B1 .X B +µ .γ2 .H(ω,X B ).H(ω,µ)où b(Ψ sv ) ≈ b o .[1+ 1 h .tan(Ψ sv2 )]-1 .Exemple pour du sol : P(Ω s ,Ω v ) = 1 + b.cosΨ sv + c. 3.cos2 Ψ sv - 1+ c'. 3.cos2 Ψ sv' - 1(Jacquemoud et al., 1993)22P(Ω s ,Ω v ) représente la rétrodiffusion (Ψ sv ) et l'effet spéculaire (Ψ sv' ). b, c, b' et c' dépendent du sol, humidité,etc. On a: Ψ sv = cosθ s .cosθ v + sinθ s .sinθ v .cos(φ s - φ v ) et Ψ sv' = cosθ s .cosθ v - sinθ s .sinθ v .cos(φ s - φ v )X BL’émittance hémisphérique de Σ, i.e. ⌡ ⌠2π + L(Ω).µ.dΩ, est approchée par E 1 = ⌡⌠ 2π + L 1 (Ω).µ.dΩ = π.L 1 (τ=0) = 2π. (τ=0)1-γ⇒ E 1 (τ=0) = E s .|µ s |. + π.L1-2.γ.µ Bo . 2.γs 1+γ + π.L B1. 2.γ1+γ . 2.γ.X B1+2.γ.X BLa réflectance et émissivité de Σ sont déduites ci-dessous de la luminance et de l'émittance de Σ.• Réflectance bi-directionnelle (BRDF) : r dd = L(Ω)E s (Ω s ) = ω 4π . |µ s|µ-µ s.[P(Ω s ,Ω).(1+b(Ω s ,Ω)) + H(ω,-µ s ).H(ω,µ) - 1]• Facteur de réflectance bi-directionnel (FRB)FRB(Ω s ,Ω) = ρ dd = L(Ω)L ref (Ω) = ω 4 . 1µ-µ s.[P(Ω s ,Ω.(1+b(Ω s ,Ω)) + H(ω,-µ s ).H(ω,µ) - 1] = π|µ s | .r dd• Réflectance directionnelle-hémisphérique : r dh = E 1(τ=0)E s .|µ s |• Réflectance hémisphérique-directionnelle=1-γ1-2.γ.µ sSoit un milieu composé de diffuseurs isotropes (P(Ω i ,Ω)=1) éclairé par une luminance isotrope L(0,Ω i ).L'effet "point chaud" est négligé (b o =0), car l'éclairement est non directionnel.π/2L(0,Ω) = ⌡ ⌠2π - L(0,Ω i ,Ω).dΩ i = ⌡⌠0-1= ω 2 .L(0,Ω i).H(ω,µ v ). ⌡⌠= L(0,Ω i ). ω 2 .H(ω,µ v).[ ⌡ ⌠0= L(0,Ω i ).[1-γ.H(ω,µ v )]0L(0,Ω i ). ω 4π . µ iµ i -µ .[H(ω,-µ i).H(ω,µ v )].2π.sinθ i .dθ iµ[1 - ].H(ω,-µµ-µ i ).dµ ii11H(ω,t).dt - µ v . ⌡⌠0H(ω,t).dt] = L(0,Ωµ-ti ).{(1-γ).H(ω,µ v ) - [H(ω,µ v ) - 1]}L(0,Ω)La réflectance hémisphérique-directionnelle est donc : r hd (Ω) =L(0,Ω i ) = 1 - γ.H(ω,µ 1-γv) =1+2.γ.µ vE↑(0)• Réflectance bi-hémisphérique : r hh =E↓(0) = 1-γ1+γ(dérivé de la méthode des 2 flux)Il est souvent intéressant, surtout lors de mesures expérimentales, d'utiliser les relations analytiques entre les2.r hhréflectances présentées. Ainsi, r dh = r hd si θ v = π - θ s et r hd (Ω v ) =.1+2µ v + (1-2µ v ).r hhOn a alors r hd = r hh si θ v = 60° (i.e., µ v = 0.5), r hd > r hh si θ v > 60° (i.e., µ v > 0.5), et r hd < r hh si θ v < 60° (i.e., µ v2.r hh 1-2µ v< 0.5). En première approximation, si r hh ≈ 0, on a : r hd (Ω v ) = .[1 - .r1+2µ v 1+2µ hh ]v

LE TRANSFERT RADIATIF 150• Emissivité directionnelle- Milieu de température constante (L B1 =0) : ε d (T=cste,Ω) = γ.H(ω,µ) = γ. 1+2.µ v1+2.γ.µ v.- Milieu avec un grand facteur d'échelle de température H B et X B = α e .H B >> 1.X BOn a alorsX B +µ .γ.H(ω,X B)≈1. Sachant que L B (0) = L Bo + L B1 , on a L(0,Ω)=ε d (T=cste,Ω).L B (0)• Emissivité hémisphérique d'un milieu à température constante (L B1 =0) : ε h (T=cste) = 2.γ1+γII. Méthode d'AmbartsumianLa méthode "2 flux + approximations successives" est approchée, même si les diffuseurs sont isotropes alorsque la méthode d'Ambartsumian est exacte avec des diffuseurs isotropes. L'hypothèse de base de cetteméthode est que la réflectance d'un milieu semi-infini ne change pas si une couche "fine" est rajoutée audessus. Les diffuseurs sont supposés de symétrie azimutale. Du fait de la distribution homogène des diffuseursla réflectance du milieu, r dd (µ s ,µ v ) ne dépend que des angles d'éclairement µ s et d'observation µ v . L'ajout d'unecouche d'épaisseur optique ∆τ=-α.∆z, assez faible pour négliger les interactions faisant intervenir ∆τ à unordre supérieur à 1, induit 5 modifications :∆L 1∆L 2∆L 3∆L 4 ∆L 5(Ω v )(Ω s )∆τ(1) (2) (3) (4) (5)1.) Atténuation - réflexion - atténuationL(µ) = E s .e -∆τ.(1 µ - 1 µ s ) .r(µ s ,µ) ≈ E s .[1-∆τ.( 1 µ - 1 µ s)].r(µ s ,µ) où r(µ s ,µ) = r dd (µ s ,µ) ⇒ ∆L 1 (µ) = -E s .∆τ.( 1 µ - 1 µ s)].r(µ s ,µ)(Ωs)(Ωv)2.) Diffusion (Ω s →Ω) ∆L 2 (µ) = E s .N.σ.q d . ∆zµ . 14π = E s. ω 4π .∆τ µ∆τ(2)3.) Diffusion (Ω s →2π - ) - réflexion - (atténuation)La luminance diffusée selon (Ω') par la couche ∆τ est L(Ω') = E s . ω 4π .∆τ |µ'|2ππ/2⌠∆L 3 (µ) = ⌡⌠ r(µ ' ,µ).L(Ω').dΩ' = ⎮ ⌠⎮ ⌡2π - ⌡θ'=πφ'=0r(µ ' ,µ).E s . ω 4π .∆τ|µ'| .sinθ'.dθ'.dφ' = E s. ω 2 .∆τ. ⌡ ⌠01r(µ ' ,µ). dµ'µ'θ’(3)(Ω v )∆τ4.) (Atténuation) - Réflexion (Ω s →2π + ) - diffusion (Ω'→Ω)La luminance réfléchie par le milieu est : L(Ω') = E s .r(µ s ,µ ' )∆L 4 (µ) =⌠ ω⌡2π +4π .∆τ2ππ/2µ .L(Ω').dΩ' = ⌡ ⎮⎮⌠⌠⌡θ'=0φ'=0r(µ s ,µ ' ).E s . ω 4π .∆τ µ .sinθ'.dθ'.dφ' = E s. ω 2 .∆τ1µ . ⌡ ⌠0r(µ s ,µ ' ).dµ'(Ω s )θ’(4)(Ω v )∆τ

LE TRANSFERT RADIATIF 1515.) (Atténuation) - Réflexion (Ω s →2π + ) - diffusion (2π + →2π - ) - réflexion (2π - →Ω) - (atténuation)La luminance réfléchie une première fois par le milieu est L(Ω') = E s .r(µ s ,µ ' ).La couche réfléchit vers le bas la luminance : L(Ω") = E s . ω 4π .∆τ µ" . ⌡⌠2π + r(µ s ,Ω').dΩ'⇒ ∆L 5 (µ) = ⌡ ⌠L(Ω").r(µ",µ).dΩ" = E s .ω.π.∆τ. ⌠2π⌡ +101µ" . ⌡⌠0r(µ",µ). dµ"r(µ s ,µ ' ).dµ'(Ω s )θ’(5)θ”(Ω v )∆τL'on doit avoir : ∆L 1 (µ) + ∆L 2 (µ) + ∆L 3 (µ) + ∆L 4 (µ) + ∆L 5 (µ) = 0. Cette égalité implique :η(-µ s ,µ) = [1 + ω 2 .µ. ⌡ ⌠01η(µ',µ)-1µ'+µ .dµ'].[1 + ω 2 .|µ s|. ⌡⌠0η(-µ',|µ s |).dµ']-µ'+|µ s |avec η(x,y) = ω 4π .x+y x .r(x,y)Le 1er terme entre crochets ne dépendant que de µ, et le 2ème terme entre crochets que de µ s , on a :η(-µ s ,µ) = H(ω,-µ s ).H(ω,µ) avec H(ω,x) = 1 + ω 2 .x.H(ω,x). ⌡ ⌠01H(ω,t).dtx+t⇒ r(µ s ,µ) = ω 4π . µ sµ s -µ .H(ω,-µ s).H(ω,µ) (r(µ s ,µ)=r dd =r dd (Hapke) si P(Ω s ,Ω)=1 et b(Ω s ,Ω)=0)Des expressions simplifiées de H(ω,µ) et de ses moments d’ordre 0 (H 0 ) et d’ordre 1 (H 1 ) permettent dedéterminer des expressions analytiques simples des réflectance du milieu. Ainsi :1- H 0 = ⌡⌠ 02H(ω,t).dt =1+γ .- H(ω,x) ≈ {1 - [1-γ].x.[r 0 + (1- 1 2 .r 0-x.r 0 ).ln( 1+x1-γx )]}-1 à mieux que 1%, avec r 0 = 1-H 0 =1+γ .1+2.x- H(ω,x) ≈ à environ 4% près, à partir de l'approximation précédente et de x.ln(1+x1+2.γ.x x ) ≈ 2.x1+x .- H(ω,x) ≈ H 0 .[1+(1-H 0 ).(x- 1 2 )] ⇒ H 1 = ⌡ ⌠0Par suite : r hd (µ v ) =et r hh =2π1⌠⎮ ⌡⌠⌡µ s=0ϕ s=02π1⌠⎮ ⌡⌠⌡µ s=0ϕ s=011t.H(ω,t).dt ≈1+γ .[1+1 6 .(1-H 7+5.γ0)] =6.(1+γ) 21 - γr dd (µ s ,µ v ).dµ s .dϕ s = 1 – γ.H(ω,µ v ) ≈1+2.γ.µ v1 - γet r dh (µ s ) = 1 – γ.H(ω,-µ s ) ≈1+2.γ.µ s1 - γr dh (µ s ).dµ s .dϕ s = 1-2.γ.H 1 ≈(1+γ) 2 . 3+2.γ3 , soit en première approximation r hh ≈ 1 - γ1 + γL'application de la méthode d'Ambartsumian au rayonnement thermique donne :ε d (µ v ) = γ.H(ω,µ v ) ≈ γ. 1+2.µ v1+2.γ.µ v1+2.xavec H(ω,x) ≈1+2.γ.x2π1et ε h = ⌡ ⎮⌠ ⌡⌠µ s=0ϕ s=0Ces expressions vérifient bien la loi de Kirchhoff : ε d (µ v ) = 1 - r hd (µ v ) et ε h = 1 - r hh .2.γr dh (µ s ).dµ s .dϕ s = 2.γ.H 1 ≈1 + γIII. Réflectance de milieux quelconques• Milieu comprenant une surface supérieure spéculaireLa diffusion d'un milieu correspond alors à la superposition d'une réflexion spéculaire de surface et d'unediffusion de volume. La réflectance bi-directionnelle est :

LE TRANSFERT RADIATIF 152r dd (θ s ,θ v ,φ sv ) = R(θ s ).δ(θ s -θ v ).δ(φ sv -π) + [1-R(θ s )].[1-R(θ v )].r(θ' s ,θ' v ,φ sv )où R(θ s ) est la réflectance de Fresnel, r(θ' s ,θ' s ,φ sv ) est la réflectance diffuse du milieu, et θ' s et θ' v sontdonnés par la loi de Snell : sinθ s =n.sinθ' s et sinθ v =sinθ' v , où n est l'indice de réfraction du milieu.Cette équation donne en fait une représentation simplifiée de la réalité :- La composante spéculaire est supposée se propager selon la seule direction spéculaire. En fait, toute surfaceest plus ou moins rugueuse. Il faut donc prendre en compte la réflectance spéculaire sur chacune desfacettes constituant la surface supérieure du milieu. Il en résulte un cône de réflexion spéculaire de largeurangulaire à peu près égale à 2 fois la pente moyenne de la surface supérieure.- Aux petits angles de phase la réflectance est bien maximale pour la direction spéculaire. Par contre, pour lesgrands angles de phase, ce maximum survient pour un angle supérieur à celui de la direction spéculaire.Ceci est expliqué par le fait que les coefficients de Fresnel augmentent de manière non linéaire aux grandsangles de phase, si bien que les surfaces qui contribuent le plus sont les surfaces associées l'angled'incidence maximal possible. La direction spéculaire "maximale dépend donc de la distribution des facetteset de l'intensité des coefficients de Fresnel associés.- La relation ne prend pas en compte les réflexions multiples entre la surface supérieure spéculaire et le milieuinférieur diffusant. Au premier ordre, cette composante est égale à [1-R] 2 .R.r 2 . Vu que R est faible, cettecomposante peut être négligée.• Diffuseurs présentant une orientation privilégiéeCertains diffuseurs ont une orientation privilégiée ; e.g. poudre sous pression, végétation et sol sédimentaireoù les processus de déposition ont privilégié une ou plusieurs directions. Soit un milieu comportant desdiffuseurs plans de surface σ. La diffusion d'ordre 1 est calculée en considérant les sections efficacesmoyennes σ i et σ e selon les directions Ω s et Ω v . La contribution due aux diffusions multiples est beaucoupmoins sensible à la direction des diffuseurs ; elle peut donc être évaluée en considérant une distributionaléatoire des diffuseurs. En notant µ i =σ s /σ et µ e =σ v /σ, on a donc :r dd (θ s ,θ v ,φ sv ) = L(0,Ω s,Ω v )E s= E s . ω 4π . µ s /µ iµ s /µ i -µ v /µ e.[P(Ω s ,Ω v )+H(ω,-µ s /µ i ).H(ω,µ v /µ e )-1]Le fait de remplacer µ s par µ s /µ i , et µ v par µ v /µ e , est lié au fait que selon Ω s et Ω v l'épaisseur optique estdτ s =µ i . dτ = µ i.dτ et dτµ s µ v = µ e.dτs µ vCas d'un milieu foliaire : il faut introduire l'effet "point chaud". On a : b o ≈1, σ=π. 2 et N e =N.⇒ h= 1 2 .N e..= N 2 .σ e, 3/2π 1/2 . Dans le cône angulaire du point chaud : µ i ≈µ et σ e ≈σ. µ i + µ v.2• Réflectance diffuse de "couche + milieu lambertien de réflectance r"Soit une couche de diffuseurs isotropes de densité effective N e , de section géométrique σ, d'efficacitéd'extinction q e , et d'albédo de diffusion simple ω. On représente le rayonnement incident descendant par unflux isotrope de luminances L s . L'éclairement de la couche est donc π.L s . Son épaisseur optique est τ o =-∝⌡⌠0−∝α e .dz = ⌡⌠01-γN e .σ e .dz. Si τ o était infini, alors la réflectance diffuse serait : r ∝ =1+γ où γ2 = 1 - ω.La simulation du transport des luminances moyennes ascendantes L 1 (τ) et descendantes L 2 (τ) avec la méthodedes 2 flux donne :L 1 (τ) = 1 2 .[A.(1 - γ).e-2.γ.τ + B.(1 + γ).e 2.γ.τ ]L 2 (τ) = 1 2 .[A.(1 + γ).e-2.γ.τ + B.(1 - γ).e 2.γ.τ ]Les conditions aux limites permettent le calcul des constantes A et B.La réflectance et transmittance d'un milieu de diffuseurs anisotropes peuvent être obtenues à partir de laréflectance et transmittance d'un milieu de diffuseurs isotropes en utilisant les équations de similarité (ω ↔ω* et γ ↔ γ*).

LE TRANSFERT RADIATIF 153Examinons le cas d'une couche (τ o ) au-dessus d'un milieu de réflectance diffuse r ; e.g. atmosphère audessusd'un sol ou bien couvert de neige au-dessus d'un sol.- sommet de la couche (τ o ) : L 1 (0) = 1 .[A.(1 - γ) + B.(1 + γ)]2- bas de la couche (τ o ) : L 1 (τ o ) = r.L 2 (τ o )⇒A = 2.L s1+γ . 1 - r ∝ .r(1-r ∝ .r) + r ∝ .(r-r ∝ ).e -4.γ.τ o et B = 2.L s1+γ . r ∝ .(r-r ∝ ).e -4.γ.τ o(1-r ∝ .r) + r ∝ .(r-r ∝ ).e -4.γ.τ o avec r ∝ = 1-γ1+γLa réflectance diffuse totale est donc : r hh = π.L 1 + 1 . r-r ∝1(0) r ∝ 1-r ∝ .r .e-4.γ.τ o= rπ.L ∝ .s1 + r ∝ . r-r ∝1-r ∝ .r .e-4.γ.τ oLa transmittance diffuse de la couche (τ o ) est : t hh = π.L 1 + r2(τ o ) ∝ . r-r ∝1-r ∝ .r .e-2.γ.τ o=π.L s1 + r ∝ . r-r ∝1-r ∝ .r .e-4.γ.τ oOn a bien : τ o → ∝ ⇒ r hh → r ∝ et τ o → 0 ⇒ r hh → rRemarques : - le cas d'une couche isolée est représenté par les expressions de r hh et t hh si r=0.- pour une couche constituée de diffuseurs dans un milieu autre que le vide, il faut tenir comptedes réflectances et transmittances internes et externes aux interfaces.• Réflectance directionnelle d’un milieu à 2 couchesSoit une couche (τ o ) de diffuseurs (ω o , p o (Ω s ,Ω v ), α e,o ) au dessus d'une couche épaisse de diffuseurs (ω 1 ,p 1 (Ω s ,Ω v ), α e,1 ). L'altitude de l'interface entre les couches est z o . Le milieu est éclairé par une sourcedirectionnelle (E s , θ s ). De même que précédemment, la luminance selon Ω v peut être déterminée de manièreexacte pour ce qui est de la diffusion d'ordre 1 et avec la méthode des 2 flux, en supposant les diffuseursisotropes, pour ce qui est des diffusions d'ordre multiple.L(z=0,Ω) =∝⌠⎮⌡0τ[E s .eµ s.ω(τ). P4π (τ,Ω s ,Ω) + ω(τ). ⌡⌠avec τ < τ o : ω(τ)=ω 1 et P(τ,Ω s ,Ω v )=P 1 (Ω s ,Ω v )τ > τ o : ω(τ)=ω 2 et P(τ,Ω s ,Ω v )=P 2 (Ω s ,Ω v )4πL(z,Ω'). P4π (τ,Ω',Ω) .dΩ'].e -τµ . dτµOn utilise l'approximation : ⌡ ⌠ 4πL(z,Ω').P(Ω',Ω).dΩ' ≈ 4π. (τ)avec :1 (τ).d∆2 dττ= (1 - ω). (τ) - E s .eµ s. ω 4πet1 (τ).d2 dτ= ∆ (τ)⇒τ < τ o : (τ) = A 1 .e -2.γ 1 .τ + B 1 .e 2.γ 1 .τ + C 1 .e τ/µ sτ > τ o : (τ) = A 2 .e -2.γ 2 .τ + B 2 .e 2.γ 2 .τ + C 2 .e τ/µ sLes constantes A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 et C 2 sont déterminées avec les conditions aux limites : éclairementincident sur la couche supérieure, continuité des flux entre les 2 couches, et non infinitude de la luminancedans la couche inférieure si τ→∝.

PARAMETRES ATMOSPHERIQUES SIMULES AVEC LE MODELE 6-SLieu : centre de Sumatra (Indonésie) Date : 15 septembre 1995 Configuration solaire : θ s = 145° φ s = 20° (angle de diffusion : 145°)Altitude : 250m ⇒ Pression : 984.58 mb, H 2 O : 3.67 g/cm 2 , O 3 : 0.247 cm-atmAtmosphère : tropical ⇒ H 2 O : 4.12 g/cm 2 , O 3 : 0.247 cm-atm Type d'aérosols : modèle continental avec visibilité : 10 km ; τ p (λ = 550 nm) = 0.4321SPOT 4 NOAAQuantités 0.43 µm - 0.47 µm 0.61 µm - 0.68 µm 0.78 µm - 0.89 µm 1.58 µm - 1.75 µm 0.58 µm - 0.68 µm 0.725 µm - 1.1 µmΕ sol : direct - diffusenviron. (W.m -2 .µm -1 )620 (53%) - 535 (46%)21 (1.7%)767 (69%) - 328 (30%)12 (1.1%)573 (76%) - 153 (20%)32 (4.2%)149 (91%) - 13 (7.9%)1.7 (1%)769 (68%) - 344 (31%)13 (1.2%)465 (77%) - 114 (19%)24 (3.9%)ρ a (gaz - aérosols) 11.75 (8.42 - 3.67) 4.36 (1.97 - 2.39) 2.3 (0.7 - 1.57) 0.552 (0.04 - 0.51) 4.68 (2.21 - 2.47) 2.1 (0.6 - 1.47)s (gaz - aérosols) 21.75 (15.77 - 12.45) 12.17 (4.55 - 9.41) 8.1 (1.7 - 6.9) 2.8 (1.1 - 2.7) 12.67 (4.55 - 5.00) 7.5 (1.5 - 6.5)τ (gaz - aérosols) 0.75 (0.22 - 0.54) 0.41 (0.05 - 0.359) 0.278 (0.018 - 0.26 ) 0.109 (0.011 - 0.107) 0.427 (0.06 - 0.371) 0.26 (0.016 - 0.24 )ω (gaz - aérosols) 0.929 (1 - 0.9) 0.901 (1 - 0.887) 0.858 (1 - 0.848) 0.756 (1 - 0.753) 0.903 (1 - 0.888) 0.851 (1 - 0.842)ρ veg (sol) % 8.1 9.2 52.7 37.8 9.2 52.7ρ veg (satellite) % 16.54 (2.9 + 1.9 + 11.7) 11.05 (5.1 + 1.8 + 4.1) 44.29 (34.5+7.6+2.2) 32.8 (30.1+2.2+0.5) 11.05 (4.9 + 1.8 + 4.4) 39.09 (31 + 6.3 + 1.8)L veg (satellite)W.m -2 .sr -1 .µm -1 81.851(14.26 + 9.59 + 58)45.888(21.33 + 7.35 + 17.2)120.52(93.9 + 20.7 + 5.9)18.79(17.23 + 1.23 + 0.29)47.39(21 + 7.57 + 18.83)93.468(74.1 + 15 + 4.4)T g (T g (Ω s ).T g (θ v =0))H 2 OO 3CO 2O 2NO 2CH 4COT d (gas + aéro) (Ω s + Ω v )T d (gas) (Ω s + Ω v )T d (aéro) (Ω s + Ω v )t d (Ω v ) - e τ/µv0.9977610.99776111110.5870.7840.7560.319 - 0.4710.9460.9870.96010.999131110.7760.9450.8230.232 - 0.6340.9170.917110.999981110.8340.9790.8530.167 - 0.7570.9220.94410.989110.98810.9170.9990.9190.066 - 0.8970.9310.977750.9525910.999411110.7660.9390.8190.238 - 0.652Caractéristiques atmosphériques pour les canaux B0, B2, B3 et SWR de SPOT 4, et AVHRR1 et AVHRR2 de NOAA.0.8120.8270.999160.999980.985391110.840.980.8580.157 - 0.771

Landsat TMQuantités 0.45 µm - 0.52 µm 0.52 µm - 0.60 µm 0.60 µm - 0.69 µm 0.76 µm - 0.90 µm 1.55 µm - 1.75 µm 2.08 µm - 2.35 µmΕ sol : direct - diffusenviron. (W.m -2 .µm -1 )706 (56%) - 525 (41.9)24.8 (2%)768 (63%) - 427 (35%)22 (1.8%)762 (69%) - 327 (30%)14 (1.3%)568 (75%) - 153 (20%)32 (4.3%)154 (91%) - 14 (8%)1.8 (1.1%)55 (94%) - 3.15 (5%)0.19 (0.3%)ρ a (gaz - aérosols) 9.56 (6.38 - 3.41) 6.33 (3.53 - 2.85) 4.38 (1.99 - 2.39) 2.36 (0.72 - 1.6) 0.57 (0.04 - 0.53) 0.25 (0.01 - 0.25)s (gaz - aérosols) 19.27 (12.59 - 11.89) 15.13 (7.65 - 10.59) 12.2 (4.59 - 9.42) 8.17 (1.78 - 7.00) 2.84 (0.12 - 2.8) 1.53 (0.036 - 1.53)τ (gaz - aérosols) 0.661 (0.163 - 0.498) 0.514 (0.09 - 0.424) 0.411 (0.05 - 0.36) 0.282 (0.02 - 0.263) 0.11 (0.001 - 0.109) 0.068 (0.0004 - 0.068)ω (gaz - aérosols) 0.924 (1 - 0.899) 0.911 (1 - 0.892) 0.901 (1 - 0.887) 0.86 (1 - 0.85) 0.756 (1 - 0.753) 0.763 (1 - 0.762)ρ veg (sol) % 10.3 11.7 10.5 0.53 0.37 0.21ρ veg (satellite) % 16.2 (4.2 + 2.5 + 9.5) 14 (5.5 + 2.5 + 6) 11.9 (5.8 + 2 + 4) 43 (34 +7.5 + 2.2) 33 (30 + 2.2 + 0.5) 0.18 (0.17 - 0.08 - 0.02)L veg (satellite)W.m -2 .sr -1 .µm -1 81.84(21.47 + 12.5 + 47.87)66.537(26.18 + 11.85 + 28.5)49.458(24.05 + 8.22 + 17.19)119.165(92.54 + 20.68 + 5.95)19.195(17.57 + 1.31 + 0.31)3.724(3.51 − 0.168 − 0.046)T g (T g (Ω s ).T g (θ v =0))H 2 OO 3CO 2O 2NO 2CH 4COT d (gas + aéro) (Ω s + Ω v )T d (gas) (Ω s + Ω v )T d (aéro) (Ω s + Ω v )t d (Ω v ) - e τ/µv0.98910.98931111110.6410.8370.7720.305 - 0.5160.9340.982630.95045111110.7190.9050.7980.268 - 0.5980.9390.9890.95910.990110.7750.9450.8230.233 - 0.6630.8950.921480.9997710.973971110.8320.9780.8520.169 - 0.754Caractéristiques atmosphériques pour les canaux TM1, TM2, TM3, TM4, TM5 et TM7 de Landsat.0.9280.9520510.98512110.9901610.9160.9990.9170.067 - 0.8950.8590.9153410.993810.997150.9472710.95210.9530.045 - 0.934

ConstantesVitesse de la lumière dans le videPerméabilité du videPermittivité du videImpédance du videConstante de PlanckConstante de BoltzmanConstante de Stéfan BoltzmanConstantes Physiquesc = 2.9979 10 8 m.s -1µ o = 4.π.10 -7 H.m -1ε o = 8.8542 10 -12 F.m -1Z o = 83.7673 10 2 Ωh = 6.6261 10 -34 J.sk = 1.3807 10 -23 J.K -1σ = 5.6705 10 -8 W.m -2 .K -4Charge de l'électronMasse de l'électronUnité de masse atomiqueConstante gravitationnelleConstante des gazNombre d'AvogadroVolume molairee = 1.6022 10 -19 Cm e = 9.1094 10 -31 kgu = 1.6605 10 -27 kgG = 6.6726 10 -11 N.m 2 .kg -2R = 8.3145 J.K -1 .mol -1N A = 6.0221 10 23 mol -1V o = 22,413 996 L/molSoleilRayon solaireMasse du soleilPuissance solaire totaleTempérature de brillance solaireTerreDistance Soleil - Terre moyenneRayon équatorial terrestreDiamètre angulaire solaire moyenRayon terrestre polaireGrand axe de l'orbite terrestreMasse de la TerreVitesse angulaire terrestre polaireJour sidéralJour tropical (équinoxe à équinoxe)Année sidérale (étoile fixe à étoile fixe)Accélération terrestreAire des surfaces terrestresAire de l'océanPropriétés de la Terre et du SoleilProfondeur océanique moyenne6.96 10 8 m Altitude terrestre moyenne1.99 10 30 kg Albédo terrestre moyen3.85 10 26 WTempérature terrestre moyenne5770 K- équateur- latitude 30° N ou S1.496 10 8 km - latitude 60° N ou S6378.135 m - pôles31.99'Air sec6356.775 km- Densité à (P2.992 10 11 s , T s )m- Masse d'une mole5.976 10 24 kg- Chaleur spécifique à P constant7.292 10 -5 s -1- Chaleur spécifique à V constant86164.09 s31556926 s Unités31558150 s Température standardg= 9.807 m.s -2 Pression standard (1 atm)1.49 10 14 m 2 1 calorie3.61 10 14 m 2 1 torr = 1 mm Hg3.9 km860 m0.3527°C20°C-2°C-25°Cρ = 1.293 kg.m -328.964 g.mol -1c p = 1005 J.kg -1 K -1c v = 718 J.kg -1 K -1T s = 273.16 KP s = 1013.25 hPa4.187 J133 PaMidi, jour clairMidi, ciel couvertLever et coucher du soleilSoleil à 5° sous l'horizonEclairement de la surface terrestre10 5 lux10 4 lux500 lux5 luxPleine lune, ciel clairPleine lune, ciel couvertNuit, ciel étoiléA 550nm : 1 lux = 1.464 mW/m 20.5 lux0.05 lux0.005 lux