Chapitre 5 Les graphes et leurs algorithmes - UQAC

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Ce graphe est bien connexe (tout sommet peut être relié à un autre) et on aSommet A B C DDegré 3 3 3 5Il y a quatre sommets de degré impair : il n’existe donc pas de chemin Eulérien. Autrement dit, leproblème des 7 ponts de Königsberg n’a donc pas de solution.Exercice Lequel des deux graphes ci-dessous admet une cycle eulérien.figure 1 figure 2L’algorithme d’Euler permet de trouver explicitement, lorsque cela est possible, une chaîneeulérienne dans un graphe. Les conditions d’existence d’un parcours eulérien sont données commesuit : Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si le nombre desommets de degré impair est 0 ou 2. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si tous ses sommetssont de degré pair.Exemple de mise en œuvre sur le graphe ci-dessous : départ en D et arrivée en ABien entendu, il faut s,assurer au préalable que ce graphe admet une chaîne eulérienne : calculer pour celal’ordre de chaque sommet.22
Étape1Étape2Étape3Étape4Étape5Étape6ChaînesferméesA E K AD F A DF G H E FG I L J I H J GK J M KChaîne eulérienneD B C AD B C A E K AD F A D B C A E K AD F G H E F A D B C A E K AD F G I L J I H J G H E F A D B C A E K AD F G I L J I H J G H E F A D B C A E K J MK ANote : Cet algorithme ne conduit pas à une solution unique: le choix de la chaîne de départ et deschaînes fermées est arbitraire.Exercice : déduire un algorithme déterminant un cycle eulérien (en supposant que tous les degrés dessommet soient pairs). Quelle est sa complexité, en représentant le graphe comme :1. matrice d’adjacence2. matrice d’incidence3. liste d’adjacence.Graphes hamiltoniensDéfinition : une chaîne hamiltonienne est une chaîne passant une et une seule fois par tous les sommetsdu graphe. Si le sommet initial et le sommet final sont confondus, on parle alors de cycle eulérien.23
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