Chapitre 5 Les graphes et leurs algorithmes - UQAC

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Application 3: chemin le plus courtSoit un graphe (orienté ou non) pondéré, c'est-à-dire chaque arc de ce graphe est muni d'un poids(nombre réel). Le poids d’un chemin est défini comme étant la somme des poids des arcs qui leconstituent.Le problème du plus court chemin, dans ce chapitre, consiste à déterminer le poids minimal d'unchemin d'un sommet à tous les autres, en supposant des poids positifs.L’algorithme présenté ci-dessous est celui de Dijkstra. La stratégie de cet algorithme est comme suit :On construit un ensemble fixé (permanent) de sommets x ayant le plus court chemin Tx. Initialement,cet ensemble contient juste le sommet de départ S, et son plus court chemin est Ts= 0 . À chaque étape,on considère l’ensemble frontière des sommets qui ne sont pas encore fixés et sont adjacents à ceux quisont permanents. Si le sommet y qui est dans frontière est adjacent à x1, x2,..., xkappartenant àl’ensemble permanent, alors nous posons temporairement T égal au minimum de ( T + poids de( x 1, y),( T + poids de ( x 2, y), …,( T + poids de ( , y)), comme illustré par la figure ci-dessous.x 2x kParmi les sommets adjacents à cet ensemble permanent, nous prenons w dont Twest minimale. Il estalors mis dans l’ensemble fixé et supprimé de l’ensemble frontière. Cette procédure est répétée jusqu’àce que l’ensemble frontière devient vide.x kyx 1SEnsemblepermanent(fixé)Ensemblefrontière(non fixé)Théorème : Si un sommet w dans frontière possède le plus petit chemin temporaires Twparmi lessommets de cet ensemble, alors ce poids devient permanent.Preuve: La preuve est par contradiction. Supposons que Twne peut pas être mis comme étant le pluspetit chemin pour le sommet w. Alors, il doit exister un autre chemin de poids plus petit du sommet Sau sommet w (voir figure ci-dessous).30
Ce nouveau chemin contient le plus petit chemin de S à x, ensuite, ça continue vers v. Ensuite, uneautre suite de sommets (représenté dans la figure par des lignes courbées), avant d’arriver au sommetw. Autrement dit, Tv+ poids du chemin en ligne courbée < Tw. Mais cette inégalité ne peut pas êtrevraie pour la simple raison que le poids du chemin en ligne courbée est positive. D‘où le résultat duthéorème.SXxwvPOUR tout sommet td(s; t) := +infiniFINPOUR;T[s] = 0;TANT QU'il reste des sommets non fixéschoisir un sommet w non fixé tel que T[t] soit minimal;supprimer w des sommets non fixésPOUR tout (w,x) dans ESI T[x] > T[w] + poids (w,x)ALORST[x] = T[w] + poids (w,x)Si x n’est pas membre de frontiereAlors ajouter x à frontiereFIN SIFIN POURFIN TANT QUEExemple : Soit à chercher les plus courts chemins depuis le sommet A vers tous les autre sommetsdans le graphe suivant :31
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