Chapitre 5 Les graphes et leurs algorithmes - UQAC

T = { };F = E ;tant que |T| < n - 1 fairetrouver une arête e de F de poids minimalF = F - esi T + e est acycliquealors T = T + efinsifin tant queExemple 1:Les différentes étape pour construire l’arbre TExemple 2 : Reprenons le graphe ci-dessus, et construisons l’arbre recouvrant de poids minimum àl’aide de l’algorithme de Kruskal.Poids Arêtes2 B-C2 D-E3 C-D4 B-D éléminée4 A-E5 A-B éléminée6 B-E éléminéePreuve d’optimalité: Soit n l’ordre du graphe. L’algorithme produit bien un arbre recouvrant dugraphe puisqu’il termine lorsque les n −1arêtes sont choisies et T est acyclique. Supposons maintenantque l’arbre recouvrant T ne soit pas minimal. Si e1, e2,..., e n −1alors p ( e1 ) ≤ p(e2) ≤ ... p(en−1)parconstruction ( p( e i) étant le poids de l’arête ei). Soit alors A un arbre couvrant minimal tel que l’indicede la première arête de T, qui ne soit pas une arête de A, soit maximum. Soit donc k cet indice. On aalors e , e ,..., e ∈1 2 kT , e1 , e2,..., ek −1∈ A et e k∉ A . Alors A + ekcontient un unique cycle C. C ne peutpas être constitué uniquement d’arêtes de T (hormis ek) car sinon T contiendrait un cycle. Soit alors,,e une arête de C appartenant à A mais non à T. Nous avons alors A + e e est donc un arbrek −27