Exercice 1: Expression du filtre numérique récursif de Wiener

Question 1.1: Écrire le théorème d’orthogonalité pour le filtre H(z) et endéduire les équations de Wiener-Hopf permettant le calcul de la réponse impulsionnelleh(k)Rappel: X est le vecteur observé et contient s(k) dont on veut faire une estimation. Oncherche tout d’abord une estimée linéaire ŝ(k) à partir des observations de tout le vecteurXŝ(k) = ∑ i∈Zh(i)x(k − i)où les coefficients h(i) constituent la réponse impulsionnelle d’un filtre numérique transversal.La solution est déterminée en minimisant la moyenne quadratique de l’erreur d’estimationIE [(s(k) − ŝ(k)) 2 ].∀j ∈ Z,⇐⇒∂∂h(j) IE [ (s(k) − ŝ(k)) 2] = 0[]∂2IE (s(k) − ŝ(k))∂h(j)ŝ(k) = 0⇐⇒ IE [(s(k) − ŝ(k))x(k − j)] = 0 (1)L’expression (1) est appelé le théorème d’orthogonalité.Application:(1) ⇐⇒ ∀j ∈ Z, IE [s(k)x(k − j)] = IE[ ∑i∈Zh(i)x(k − i)x(k − j)]⇐⇒⇐⇒⇐⇒Γ sx (j) = ∑ i∈ZΓ sx = Γ x HH = Γ −1x Γ sxh(i)Γ x (j − i) (2)2