Exercice 1: Expression du filtre numÃ©rique rÃ©cursif de Wiener

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On a∀k ∈ Z,s(k + 1) = 1 s(k) + w(k)2⇐⇒S(z)z = 1 S(z) + W (z)2⇐⇒ = W (z)z − 1/2⇐⇒ = G(z)W (z) où G(Z) =⇐⇒γ s (z) = G(z)G(z −1 )γ W (z)⇐⇒1γ s (z) =(z − 1/2)(z −1 − 1/2)⇐⇒1γ s (z) =(1 − z z−1)(1 − 2 2B est le filtre de synthèse de x à partir d’un bruit blanc.Il nous faut écrire γ x (z) = B(z)B(z −1 ).Orγ x (z) = γ s (z) + γ n (z)1=(1 − z z−1)(1 − ) + 22 2= 2(z2 − 7/2z + 1)z 2 − 5/2z + 1= 2(z − α)(z − α−1 )où α = 0.3138 et β = 0.5(z − β)(z − β −1 )1z − 1/2On poseAlors√2βB(z) =α√2β=⇒ B(z −1 ) =α√2β=⇒ =α√ 2α=⇒ =βz − αz − βz −1 − αz −1 − βα z − α −1β z − β −1z − α −1z − β −1B(z)B(z −1 ) = γ x (z)6
Il vientOrD’où√ α(6) ⇐⇒ H(z) =2β√ α=2β√ [ ]α z − β γs (z)(6) ⇐⇒ H(z) =2β z − α B(z −1 )+1γ s (z) =(1 − βz)(1 − βz −1 )z=(1 − βz)(z − β)β −1 z=(β −1 − z)(z − β)β −1 z= −(z − β −1 )(z − β)[z − βz − αz − βz − αIdentification de la partie causale:La décomposition en éléments simples donne:z(z − β)(z − α −1 )[z= −√ 2αβ(β − α−1)K(z) = − 1 √ 2αβ√ ]β −1 z β (z − β −1 )−(z − β −1 )(z − β) 2α (z − α −1 )[−√ 1]z2αβ (z − β)(z − α −1 )1(z − β) − 1(z − α −1 )La fonction K(z) est définie sur la couronne β < |z| < α −1 .Plusieurs méthodes sont alors possibles:⋆ On développe chaque terme en série entière:1z − α = 1−1 α −1 (αz − 1)= − 1 1α −1 (1 − αz)= − 1 ∑(αz) kα −1k≥0= − 1α − 1 ∑(αz) k−1 α −1= − 1α −1 − 1α −1k≥1∑(αz) −kk≤−1]++7
Page 1 and 2: Exercice 1: Expression du filtre nu
Page 3 and 4: Question 1.2: Écrire la fonction d
Page 5: Il vientγ sx (k) = ∑ Γ sx (k)z
Page 9: La fonction de transfert totale K(z

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