Exercice 1: Expression du filtre numérique récursif de Wiener

∀i, j ≥ 0, IE [(s(j) − ŝ(j))v(j − i)] = 0 (4)Il vient(4) ⇐⇒ IE [s(j)v(j − i)] = ∑ k∈Z + f(k)IE [v(j − k)v(j − i)]⇐⇒ Γ sv (i) = ∑ k∈Z + f(k)Γ v (i − k)⇐⇒ = ∑ k∈Z + f(k)Γ v (i − k)⇐⇒ = ∑ k∈Z + f(k)δ(i − k)⇐⇒⇐⇒ ∀i ≥ 0,= 1.f(i)f(i) = Γ sv (i)SoitF (z) = [γ sv (z)] +(5)Question 2.2: Montrer que γ sx(z) = γ sv(z) B(z −1 )Γ sx (k) = IE [s(n)x(n − k)]= IE [x(n)s(n − k)]= Γ sx (−k) = IE [x(n)s(n + k)][ ]∑= IE b(i)v(n − i)s(n + k)i∈Z += ∑ i∈Z + b(i)Γ sv (−k − i)= ∑ i∈Z + b(i)Γ sv (k + i)4