Modélisation de sons bruités par la Synth`ese Granulaire

souhaite représenter le signal, notamment par la possibilité de reprise d’unedécomposition trop grossière.L’intérêt pour l’analyse granulaire est ici multiple. D’un part, on peutanalyser une bien plus grande variété de signaux qu’avec l’analyse par segmentation,la structure de la méthode permettant la détection de grains serecouvrant dans le temps. De plus, l’extraction des paramètres suivant ladécomposition est ici beaucoup plus directe. En effet, les fonctions sur lesquelleson projette le signal à analyser étant elles mêmes définies de façonparamétrique, il y correspondance directe entre le choix d’un grain et lesparamètres applicables en synthèse. Toutefois il y a tout de même des limitationsquand au choix des fonctions g k . Cette méthode suppose en effetl’utilisation de fonctions déterministes simples dont les plus usités sont lesgaborettes ( sinusoïdes modulées par une gaussienne ).Nous allons maintenant decrire brièvement la méthode pour ensuite procéderà une étude de cas, nous permettant d’évaluer l’intérêt de celle ci, dans sonapplication à l’analyse granulaire.3.2.2 Décomposition Matching PursuitMatching Pursuit est un algorithme itératif “glouton” ( le nombre d’itérationest directement lié à la finesse de l’approximation ) qui effectue une décompositionde signaux sur une base d’atomes choisis dans un dictionnaire. Ce dernier a lapropriété d’être redondant, c’est à dire, plus que de proposer une base de fonctionsorthogonales, il inclue une grande variété de structures fréquentielles ettemporelles permettant la représentation compacte de nombreux comportementsdifférents. A chaque itération, l’atome qui approxime le mieux le signalest choisi; ensuite la contribution de cet atome au signal est soustraite et onapplique le même schéma sur le résidu ainsi calculé. En utilisant la norme-2comme mesure d’approximation, la tâche de l’algorithme à la i-ème itérationest de trouver l’atome g m(i) [n] qui minimise la norme-2 du signal résiduel :r i+1 [n] = r i [n] − α i g m(i) [n]avec α i le coefficient correspondant au poids de la contribution de l’atomedans le signal et m(i) l’index de l’atome dans le dictionnaire choisi à l’étapei. L’algorithme commence avec r 1 [n] = x[n] le signal original. En considérantles signaux comme des vecteurs colonnes, l’atome optimal que l’on doit choisirà l’étape i peut-être exprimé par :g m(i) = arg min gm(i) ∈D‖r i+1 ‖ 2 = arg min gm(i) ∈D‖r i − α i g m(i) ‖ 2avec D le dictionnaire d’atomes. Le principe d’orthogonalité nous donne lavaleur de α i :33