TD 5 : Modélisation - Le Cermics - ENPC

3. Pour pouvoir calculer P(N 1 + N 2 + N 3 ≥ 12), il faut connaître la loi deN 1 +N 2 +N 3 , et il faut donc supposer que les trois v.a. sont indépendantes.Alors, d’après le cours, N 1 + N 2 + N 3 est encore de loi de Poisson, deparamètre 6. La table de la loi de Poisson 2 donne alors P(Y ≥ 12) =1 − P(Y ≤ 11) ≃ 0, 98.Conditions normales ?On utilise une v.a. X de loi binomiale, de paramètres 1000 et 0,02 pourmodéliser le nombre de disjoncteurs défectueux dans le lot. On a alors, pardéfinition,P(X ≥ 27) =1000∑k=27( 1000k)(0, 02) k (0, 98) 1000−k .Un logiciel de calcul numérique donne P(X ≥ 27) ≃ 0, 0758. On peut utilisersinon une approximation gaussienne (np = 20 > 10) pour calculer “à la main”une valeur approchée de ce résultat : P(X ≥ 27) ≃ P(Y ≥ 27), où Y ∼N (20; 19, 6). En se ramenant à une v.a. gaussienne standard, on trouve P(Y ≥27) = P(Z ≥ 1, 58) = 1 − P(Z ≤ 1, 58) ≃ 0, 057.Assurances1. Il faut bien faire attention ici que l’assurance ne rembourse que les assurésayant effectivement eu un sinistre, ce qui arrive à chacun d’entre eux avecprobabilité 0,05. On peut donc exprimer S commeS = X 1 1 {1 a eu un sinistre} + ... + X N 1 {N a eu un sinistre} .On peut alors en déduire l’espérance et la variance de S, sous l’hypothèseque les v.a. X i et 1 {i a eu un sinistre} sont indépendantes.[ N]∑E[S] = E X i 1 {i a eu un sinistre}==i=1N∑E[X i ]P(i a eu un sinistre)i=1N∑0, 05µ = 0, 05µN = M.i=12. Par exemple à http://www.unige.ch/ses/metri/statprob1/files/TablePoisson.pdf3

( N)∑V ar(S) = V ar X i 1 {i a eu un sinistre}====i=1N∑V ar(X i 1 {i a eu un sinistre} )i=1N∑E[(X i 1 {i a eu un sinistre} ) 2 ] − E[X i 1 {i a eu un sinistre} ] 2i=1N∑E[Xi 2 ]P(i a eu un sinistre) − (0, 05µ) 2i=1N∑0, 05(V ar(X i ) + E[X i ] 2 ) − (0, 05µ) 2i=1= 0, 05(σ 2 + µ 2 )N − 0, 05 2 µ 2 N = Σ 2 .2. La v.a. S est, d’après la question précédente, une somme de N variablesaléatoires, les X i 1 {i a eu un sinistre} , qui sont toutes de même loi et indépendantes,et qui sont de variance finie. On peut donc, par le théorème centrallimite, dans la mesure où N est supposé “grand” approcher la loi (inconnue)de S par une loi gaussienne, d’espérance M = 0, 05µN et de varianceΣ 2 = 0, 05(σ 2 + µ 2 )N − 0, 05 2 µ 2 N. En effet, le théorème central limite assureque la loi de (S − M)/Σ est approximativement gaussienne N (0, 1),d’où le résultat annoncé par les normalisations usuelles.3. Le profit réalisé pour un assuré n’ayant pas été sinistré est exactement κ,soit sa cotisation. Si l’assuré a subi un sinistre, la compagnie d’assuranceréalise un bénéfice de κ − X i . Au total, on a donc P = Nκ − S, soitE[P ] = Nκ − 0, 05µN ; V ar(P ) = V ar(Nκ − S) = V ar(S) = Σ 2 .La loi de P est approximativement gaussienne, pour les mêmes raisonsque S, de moyenne E[P ] et de variance V ar(P ) = Σ 2 .4. On se ramène à une v.a. gaussienne en normalisant :P(P ≥ p 0 ) = P( p 0 − E[P ]Σ≥ p 0 − E[P ])Σ= 1 − P(Z ≤ p 0 − E[P ]).ΣGrâce aux tables, on trouve que 1 − P(Z ≤ x) ≥ 0, 999 à condition quex ≥ 3, 62, ce qui donne finalementJeux vidéop 0 − Nκ + 0, 05µNΣ= 3, 62 ⇔ κ = p 0 − 3, 62ΣN+ 0, 05µ.1. Le nombre d’essais qu’il faut faire avant de trouver le trésor est modélisépar une loi géométrique de paramètre 1/5, puisque toutes les tentativessont indépendantes et que la probabilité de trouver le trésor est toujoursla même.4

2. Par définition, on trouveP(X ≤ 3) =3∑k=1( ) k−11 4≃ 0, 488 ; P(X > 5) = 1−P(X ≤ 4) ≃ 0, 4096.5 53. L’espérance d’une v.a. géométrique de paramètre p est 1/p ; il faudra donc5 essais en moyenne pour trouver le trésor.CorrélationLes règles de calcul de l’espérance et de la variance pour des v.a. indépendantesdonnent :E[Y ] = 2µ ; E[Z] = (a + b)µ,V ar(Y ) = 2σ 2 ; V ar(Z) = (a 2 + b 2 )σ 2 .De même, on peut calculer la covariance de Y et de Z :Cov(Y, Z) = E[Y Z] − E[Y ]E[Z]= E[(X 1 + X 2 )(aX 1 + bX 2 )] − 2(a + b)µ 2= aE[X 1 X 2 ] + bE[X 1 X 3 ] + aE[X 2 2 ] + bE[X 2 X 3 ] − 2(a + b)µ 2= aµ 2 + 2bµ 2 + a(V ar(X 2 ) + E[X 2 ] 2 ) − 2(a + b)µ 2= aσ 2 .On en déduit le coefficient de corrélation entre Y et Z :κ Y,Z =aσ 2√2σ4 (a 2 + b 2 ) = a√2(a2 + b 2 ) .Trafic aérien1. Les cinq radars fonctionnent de façon indépendante et détectent un aviondonné avec probabilité 0,9. Par conséquent, le nombre de radars détectantun avion donné est de loi binomiale de paramètres 5 et 0,9. On en déduitP(X ≥ 4) =5∑k=4( 5k)(0, 9) k (0, 1) 5−k ≃ 0, 99954.2. Supposons donc qu’on dispose de n radars, chacun détectant un aviondonné avec probabilité 0,9. Le nombre de radars détectant un avion suitdonc une loi binomiale de paramètres n et 0,9. On a doncP(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (0, 1) n .Ainsi, P(X ≥ 1) ≥ 0, 9999 ⇔ (0, 1) n ≤ 0, 0001 ⇔ n ≥ 4. Quatre radarssuffisent donc pour cette précision de détection.5

Ventes en librairie1. Le nombre de clients achetant le magazine au cours d’une semaine donnéesuit donc une loi de Poisson de paramètre 10. On peut aller chercher lesvaleurs dans une table :P(X ≥ 15) = 1 − P(X ≤ 14) ≃ 0, 0835.2. Si on modélise les ventes de chaque semaine par une v.a. de loi de Poisson(10)et que l’on suppose que les ventes sont indépendantes d’une semainesur l’autre, alors on peut calculer :P(X 1 ≤ 14 ou X 2 ≤ 14 ou X 3 ≤ 14 ou X 4 ≤ 14)= 1 − P(X 1 ≥ 15, X 2 ≥ 15, X 3 ≥ 15, X 4 ≥ 15)= 1 − P(X 1 ≥ 10)P(X 2 ≥ 10)P(X 3 ≥ 10)P(X 4 ≥ 10)≃ 0, 999951.3. Le nombre de magazines vendus en une semaine suit donc une loi dePoisson de paramètre 10. On a doncE[X] = 10 ; V ar(X) = 10.Par ailleurs, le nombre Y de clients qui n’obtiennent pas un exemplairedu magazine est de 0 si X ≤ 15, et de X − 15 si X ≥ 16. On a doncE[Y ] = E[(X − 15)1 X≥15 ] = E[X1 X≥15 ] − 15P(X ≥ 15)puisque si k ≥ 1, on a {Y = k} si et seulement si {X − 15 = k}. Au final,on peut utiliser un changement de variable pour trouverE[Y ] =∞∑k=15= 10−10 10kk e − 15P(X ≥ 15)k!∞∑k=14−10 10ke − 15P(X ≥ 15)k!= 10P(X ≥ 14) − 15P(X ≥ 15) ≃ 0, 1025.En moyenne, il y a donc un client toutes les 10 semaines qui n’obtient passon journal.Approvisionnement électrique1. On se ramène toujours à des v.a. gaussiennes de moyenne 0 et d’écart-type1 pour faire les calculs. On trouveP(X ≥ 12) = P( X − 82≥ 12 − 8 ) = P(Z ≥ 2),2où Z est de loi N (0, 1). En utilisant les symétries de la loi gaussienne, ontrouve P(X ≥ 12) = P(Z ≥ 2) = 1 − P(Z ≤ 2) ≃ 0, 0228.6

2. Si la demande électrique d’une journée est modélisée par une v.a. gaussienned’espérance 8 et d’écart-type 2, et si on suppose l’indépendance dela demande de deux jours consécutifs, on trouveP(X 1 ≥ 12, X 2 ≥ 12) = P(X 1 ≥ 12)P(X 2 ≥ 12) ≃ 0, 00051984.Cette hypothèse d’indépendance est évidemment à discuter dans le cadred’une modélisation plus fine de la demande d’électricité, mais elle constitueune première approximation, qui possède au moins le mérite de mener àdes calculs simples.3. Si on suppose encore l’indépendance de la demande de deux journées distinctes,on peut modéliser chaque journée comme une expérience aléatoire,qui réussit avec probabilité P(X ≤ 12) ≃ 0, 9772. Ainsi, le nombre N dejours durant lesquels la demande n’excède pas la capacité de productionest distribué suivant une loi binomiale de paramètres 7 et 0, 9772. On aalorsP(N ≥ 5) =7∑k=5( 7k)(0, 9772) k (0, 0228) 7−k ≃ 0, 999613.4. On cherche x tel que P(X ≤ x) = 0, 99. En se ramenant toujours à unegaussienne standard, on trouveP(X ≤ x) = P(Z ≤ x − 8 ).2En consultant la table, on s’aperçoit que P(X ≤ x−8x−82) ≃ 0, 99 pour2≃2, 33, soit x ≃ 12, 66 millions de kWh.7