Espaces de Hilbert - Le Cermics

Espaces de Hilbert1 Espaces de HilbertSoit V un ev sur R.Dénition 1.1. Un produit scalaire sur V est une application bilinéaire surV , notée (., .) V : V × V → R, et vériant les trois propriétés suivantes :(i) symétrie : ∀v, w ∈ V , (v, w) V = (w, v) V ,(ii) positivité : ∀v ∈ V , (v, v) V ≥ 0,(iii) (v, v) V = 0 ⇐⇒ v = 0.Proposition 1.2. Soit (., .) V un produit scalaire sur V . L'application x ∈V ↦→ ‖x‖ V = √ (v, v) V est une norme (norme induite). Elle vérie l'inégalitéde Cauchy-Schwarz :∀v, w ∈ V, |(v, w) V | ≤ ‖v‖ V ‖w‖ V .Remarque 1.3. Cette inégalité montre que l'application bilinéaire v, w ∈V → (v, w) V est continue, autrement dit que le produit scalaire est une applicationbilinéaire continue.Dénition 1.4. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produitscalaire (donc normé), et complet pour la norme induite.Un espace de Hilbert est donc un cas particulier d'espace de Banach (lanorme est dénie à partir d'un produit scalaire).1

ExempleSoit l 2 = {u i ∈ R; ∑ i u2 i < ∞}.On considère l'application qui à u, v ∈ l 2 associe < u, v >= ∑ i u iv i .Ce nombre est bien déni (en eet, |u i v i | ≤ u 2 i /2 + v 2 i /2 donc la série estabsolument convergente donc convergente).L'application < ·, · > est donc bien dénie, symétrique, dénie et positive :c'est un produit scalaire sur l 2 . La norme induite est ‖u‖ l2 = √ ∑i u2 i .l 2 muni de cette norme est un espace complet, donc un espace de Hilbert.2 Théorème de projection orthogonaleThéorème 2.1. Soit H un espace de Hilbert, et K un sous espace vectorielfermé non vide de H. Pour tout u ∈ H, il existe un unique u ∈ K, appeléprojection orthogonale de u sur K, et noté P K u, tel queDe plus, P K u est caractérisé par‖P K u − u‖ H = infw∈K ‖w − u‖ H (1)P K u ∈ K et ∀w ∈ K, (P K u − u, w) = 0 (2)Remarque 2.2. Si u ∈ K, P K u = u.Théorème 2.3. P K est une application linéaire de H dans K et ‖P K ‖ L(H,K) =1 (si K ≠ {0}).3 Théorème de RieszA tout u ∈ H, on peut associer l'application ϕ : w ∈ H ↦→ (u, w) ∈ R,qui est une application linéaire continue de H dans R, et donc un élément deH ′ . Est-ce qu'on atteint ainsi tous les éléments de H ′ ? Le théorème de Rieszdit que oui.Théorème 3.1 (Riesz). Soit H un espace de Hilbert. Etant donné ϕ ∈ H ′ =L(H, R), il existe u ∈ H unique tel que∀w ∈ H, ϕ(w) = (u, w) H .De plus, on a ‖u‖ H = ‖ϕ‖ H ′. En d'autres termes, l'application de H ′ dansH qui à ϕ associe u permet d'identier l'espace de Hilbert H avec son dual.2

4 Bases hilbertiennesDénition 4.1. A sous-ensemble de V est dense dans V si tout élémentv ∈ V est la limite d'une suite a n de points de A.Dénition 4.2 (base hilbertienne). Soit H un Hilbert. On appelle basehilbertienne de H une suite (e n ) d'éléments de H tels que pour tout n,‖e n ‖ = 1 et (e n , e m ) = 0 si n ≠ m. l'espace vectoriel engendré par la famille (e n ) est dense dans H.Remarque 4.3. En dimension nie, on généralise la notion de base orthonormée.En dimension innie, un espace de Hilbert peut ne pas avoir de basehilbertienne. Cependant, tous les espaces de Hilbert qu'on rencontrera dansce cours auront une base hilbertienne.Proposition 4.4. Soit H un Hilbert admettant une base hilbertienne e n etsoit u dans H. On pose u n = (u, e n ). Alors les séries ∑ n u ne n et ∑ n u2 n sontconvergentes dans H et R respectivement, etu = ∑ nu n e n ,‖u‖ 2 H = ∑ nu 2 n3