AST1 2012 - mathématiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

EDHEC 2012 Concours AST 1b) On sait que E( aX+ b) = aE( X)+ b .Sn1Comme Fn= , on en déduit : E( Fn) = E( Sn)= p .nnF n est un estimateur sans biais de pOn sait aussi que V ( aX+ b) = a² V ( X ) .1 p(1 − p)On a ainsi V ( Fn) = V ( S )2 n = , et comme F n est sans biais, on sait que son risquennquadratique rS n( p ) est égal à sa variance. On a donc :rS n( p)=p(1 − p)n2) a) La variable aléatoire S n est la somme de n variables indépendantes, de même loi, etayant une espérance et une variance. On peut donc appliquer le théorème de la limite centrée àla variableS n , ce qui assure quesuivant la loi normale centrée réduite.Comme E( Sn)Sn− E( S )nV ( S )= np et V ( S ) = np(1 − p), on a donc :variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.nnconverge en loi vers une variable aléatoireSn− npnp(1 − p)Ainsi, pour des valeurs assez grandes de n, on peut approcher la loi denormale centrée réduite.b) Pour des valeurs assez grandes de n, on peut donc considérer que :⎛ Sn− np ⎞P −t ≤ ≤ t= Φ( t) − Φ( − t) = Φ( t) −⎜ np(1 − p)⎟( 1− Φ( t)) .⎝⎠On a bien (toujours pour n assez grand) :c) On a1n1n⎛ Sn− np ⎞P −t ≤ ≤ t = 2Φ( t) −1⎜np(1 − p)⎟⎝⎠( S − np)Sn−np n Fn−p= = .p(1 − p)np(1 − p) np(1 − p)Par conséquent, l'égalité obtenue à la question 2b) s'écrit :p(1 − p) p(1 − p)En arrangeant, on trouve : ( n nn )nP − t ≤ F − p ≤ t = 2Φ( t ) − 1.converge en loi vers uneSn− npnp(1 − p)par la loi⎛⎞FnpP⎜−−t ≤ ≤ t ⎟ = 2Φ( t) −1.⎜ p(1 − p)⎟⎝n ⎠