AST1 2012 - mathématiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

EDHEC 2012 Concours AST 1b) Avec la méthode du pivot de Gauss, on trouve :−1 1 ⎛1 1 ⎞ 1P = ⎜ ⎟ = P2 ⎝1 −1⎠2On montre par récurrence sur k que , pour tout entier naturel k, on a :1( ( )) kkA x = P D ( x)P −0 −1 −1 −1Pour k = 0 : ( ) 0P D ( x) P = P I P = P P = I= A ( x).nk 1Si l'on suppose pour un entier naturel k fixé que ( )( ) ( )nnnkA ( x) = P D ( x)P − , alors on a :k+ 1 k k −1 −1 k − 1 k+ 1 −1n( )n( )n( )n( )n( )n( )n( )n( )A x = A x A x = P D x P P D x P = P D x D x P = P D x P La récurrence est terminée.En particulier, on a pour k = n :1( ( )) nnA x = P D ( x)P −En remplaçant, on obtient :n⎛⎛x ⎞ ⎞⎜ 1 01 1 1 1⎜ + ⎟ ⎟nn − ⎛ ⎞ ⎝ n ⎠⎛1 1 ⎞( An ( x) ) = P Dn ( x)P =⎜⎟⎜2 1 1 ⎟ ⎜n ⎟ ⎜x 1 1 ⎟⎝ − ⎠ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠0 1⎜ ⎜ − ⎟n⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠nn⎛⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞⎜ 1 1n 1 1 1⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎟⎛ ⎞ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠( An ( x)) =⎜⎟⎜2 1 1 ⎟ ⎜ n n ⎟⎝ − ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞1 1⎜⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟n n⎟⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠Finalement :( A ( x))nnnn n n n⎛⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞⎜⎜1+ ⎟ + ⎜1− ⎟ ⎜1+ ⎟ − ⎜1−⎟ ⎟1 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠=⎜⎟2 ⎜ ⎟⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞1 1 1 1⎜⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟n n n n⎟⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠nn n n n nn2) a) Pour tout entier naturel n assez grand, 1+ x est strictement positif et on a :nn⎛ x ⎞xx x⎜1+ ⎟ = exp( nln(1 + )n ) . Lorsque n est au voisinage de +∞ , on a : ln(1 ) ~n n⎝ n ⎠+ , ce qui+∞ximplique : lim nln(1 + ) = x . Par continuité de la fonction exponentielle en tout réel x, onobtient :n→+∞n⎛ x ⎞lim ⎜1+ ⎟ = e→+∞ ⎝ n ⎠nnx