AST1 2012 - mathématiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

EDHEC 2012 Concours AST 1Pour tout entier naturel n assez grand, on a 1− x qui est strictement positif et on trouve denmême :⎛ x ⎞lim ⎜1− ⎟ = e→+∞⎝n ⎠nn n n n⎛⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞⎜⎜1+ ⎟ + ⎜1− ⎟ ⎜1+ ⎟ − ⎜1−⎟ ⎟n 1 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠b) On a : ( An ( x)) =⎜⎟2 ⎜ n n n n ⎟⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞1 1 1 1⎜⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟n n n n⎟⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠Tout les éléments de cette matrice ont une limite lorsque n tend vers +∞ et, après passage à lalimite, on obtient :n− xx −x x −x1 ⎛e + e e − e ⎞R( x)= 2 ⎜x −x x −xe − e e + e ⎟⎝⎠3) a) La matrice R( x ) est symétrique réelle donc diagonalisable.b) • Si x = 0, la matrice R (0) est la matrice identité : 1 est sa seule valeur propre etM 2, 1(R) est le sous-espace propre associé• Si x ≠ 0, les valeurs propres de R( x ) sont les réels λ pour lesquels la matriceR( x) − λIn'est pas inversible, c'est-à-dire les réels λ solutions de :x −x 2x −x2⎛e + e ⎞ ⎛e −e⎞⎜ − λ ⎟ − ⎜ ⎟ = 0⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠xOn trouve deux valeurs propres distinctes (car x ≠ 0): λ1= e et λ2= e −x .Les sous-espaces propres respectivement associés, notés F 1 et F 2 , s'obtiennent en résolvant⎛ a ⎞ ⎛0⎞( R( x) − λI)⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ pour chaque valeur propre λ.⎝b⎠ ⎝0⎠ x −x x −x⎛ e − e e − e ⎞⎜ −⎟ 0Pour la valeur propre λ 1 , ceci s'écrit :2 2 ⎛ a ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟x −x x −x⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . Comme x est⎜ e − e e − e ⎟⎝b⎠ ⎝ 0⎠⎜− ⎟⎝ 2 2 ⎠différent de 0, on a x xe −e − ≠ 0 et on trouve : − a+ b= 0.On a donc :⎛1⎞F1 = vect( ⎜ ⎟)= E1⎝1⎠