AST1 2012 - mathématiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

EDHEC 2012 Concours AST 1p(1 − p) p(1 − p)On en déduit : ( nn n )p(1 − p) p(1 − p)On a ainsi : ( n nn n )P − t ≤ p − F ≤ t = 2Φ( t ) − 1.P F − t ≤ p ≤ F + t = 2Φ( t ) − 1Comme Φ(t) = 0,975, on a 2Φ( t) − 1 = 0,95 et on obtient bien :p(1 − p) p(1 − p)( n nn n )P F− t ≤ p≤ F+ t = 0,953) a) On étudie la fonction h : p p(1 − p)֏ sur [ ]0,1 . Cette fonction (polynomiale) estdérivable et on a : h′ 1( p) = 1− 2 p , quantité qui est positive si et seulement si p≤ . Lafonction h croît sur1⎡⎣ 0, ⎤2⎦ et décroît sur ⎡ 1⎣ , 1⎤2 ⎦ , ce qui prouve qu'el a un maximum global en1et ce maximum vaut : 1 1 1 1h ( ) = (1 − ) = .2 2 2 2 4Conclusion :1∀p ∈[ 0, 1 ], p (1 − p)≤4b) D'après la majoration précédente, l'événement ( p (1 − p ) p (1 − p )Fnt p Fnn tn )ttinclus dans l'événement ( Fnp Fn)− ≤ ≤ + .2 n2 n− ≤ ≤ + estComme t = 1,96, on obtient : ( p (1 − p ) p (1 − p )) (0,98 0,98Fn t p Fn t Fn p Fn)On en déduit, par croissance de la probabilité :− ≤ ≤ + ⊂ − ≤ ≤ + .n n n n(1 ) (1 )( ) ( )0,98 0,98 p − p p − pn n n n n n n nP F− ≤ p≤ F+ ≥ P F− t ≤ p≤ F+ t .Finalement, avec le résultat de la question 2c), on trouve bien :0,98 0,98( nn )P F− ≤ p≤ F+ ≥ 0,95n4) Remarquons que, avec n = 625 et n = 400, nous sommes bien dans les conditionsd'approximation établies à la question 2a), ces conditions étant correctes dès que n ≥ 30.325 13a) Les données du premier sondage donnent n= 625 et F 625= = donc on obtient :625 25⎛ 13 0,98 13 0,98 ⎞P ⎜ − ≤ p ≤ + ⎟ ≥ 0,95 , soit : P( 0, 4808≤ p≤ 0,5592)≥ 0,95 .⎝ 25 25 25 25 ⎠Avec les données du premier sondage, un intervalle de confiance pour p au risque 5% estdonc : [ 0,4808 ; 0,5592 ] .180 9b) Les données du deuxième sondage donnent n= 400 et F 400= = donc on a :400 20⎛ 9 0,98 9 0,98 ⎞P ⎜ − ≤ p ≤ + ⎟ ≥ 0,95 , soit : P( 0, 401≤ p≤ 0, 499)≥ 0,95 .⎝ 20 20 20 20 ⎠n2