Analyse quantitative des relations de causalité - Statistique pour ...

Analyse quantitative desrelations de causalitéGilbert RitschardDépartement d’économétrieUniversité de Genèvegilbert.ritschard@themes.unige.chhttp://mephisto.unige.ch/statsAQC, semestre été 2002

Notion de causalitéetstructure dedépendance causaleAQC, Causalité, 12/3/2002GR 1

Causalité : DéfinitionA est cause de Bsi A “produit”, “génère” B.L’événement B est une “réponse”,“conséquence” de A.A −→ BProblèmes empiriques :1. Comment vérifier que A est cause de B ?2. Comment mesurer l’influence de A sur B ?AQC, Causalité, 12/3/2002GR 2

Explication causale : problème conceptuelParadigme(J.S. Mill) :x situation générique (un marché).A(x) et B(x) deux constatations sur x.Exemple :A(x) : l’offre augmente sur x,B(x) : les prix augmentent sur x.a : situation particulière (marché des céréales).A(a) et la règle d’implication A(x) → B(x)donne une explication causale de B(a).Il faut les deux éléments :1) une observation particulière (A(a), B(a)) et2) une règle d’implication A(x) → B(x). (A(x)est un antécédent uniforme de B(x)).AQC, Causalité, 12/3/2002GR 3

Trois de types de problèmes philosophiques1. Problème de Hume : Nature de la connexionentre A et B.2. Symétrie de l’ordre causal par négation3. Psychologique : perception de la causalitéProblème de Hume (1777)La connexion est-elle nécessairement (toujours)vraie, ou l’est-elle en général, mais pasnécessairement ?Hume affirme qu’on ne peut pas établir unecausalité de façon déductive (donc on ne peutpas affirmer qu’elle est toujours vraie).⇒ on peut uniquement inférer une relation decausalité :« les observations laissent penser que ... »En particulier, si A précède toujours B on peutinférer que A est cause de B.AQC, Causalité, 12/3/2002GR 4

Symétrie par rapport à la négationEn logique : (A → B) ⇔ (non B → non A)Mais ce n’est pas ce que l’on attend d’unerelation de causalité.Récolte abondante ⇒ chute des prixPénurie ⇒ hausse des prixLa causalité fait référence à la relation entrevariables et non entre valeurs (Simon, 1957).Par exemple, l’importance de la récolte estcause du niveau des prix.Aspects psychologiques : perception de lacauseEtudes remontant à Michotte (1946) et Piaget(1923, 1927)Que perçoit-on comme cause ? (processusdirect et subconscient)Motivation d’actions, justification de règles,explications naturalistes.Les enfants interprètent les causes uniquementcomme des motivations (Piaget).AQC, Causalité, 12/3/2002GR 5

Aspects quantitatifsEn statistique on sait vérifier l’existence d’unerelation :– test de significativité d’une corrélation– test d’indépendance sur un tableau croiséCorrélation n’est pas causalité !Exemple : éducation et féconditéOn peut observer l’un et l’autremais pas l’action de l’un sur l’autre.On peut observer par exemple : « si A (niveaud’éducation élevé) a lieu alors B (faiblefécondité) a également lieu. »Ceci n’assure pas la causalité cependant.La chronologie peut conduire à inférer la cause(Hume, 1739) : la cause a lieu avant laconséquence.Contre-exemple : le comportement d’élus à laveille d’élection.La précédence temporelle ne peut pas êtrevérifiée empiriquement.AQC, Causalité, 12/3/2002GR 6

Sens de la causalité ?Exemple : Publicitéplus de publicité −→ plus de ventesplus de ventes −→ plus de publicitéLequel précède l’autre ?En fait on apub t → ventes t+1 → pub t+2Pour observer ces effets successifs, il fautconnaître le décalage temporel entre la cause etl’effet.Décalage plus petit que la périodicitéd’observation⇒ effets simultanésAQC, Causalité, 12/3/2002GR 7

Effet direct, indirect, fallacieuxEffet directABEffet indirectCABAntécédents communsCABCause non uniqueCABAQC, Causalité, 12/3/2002GR 8

Mesure de l’influencePour pouvoir mesurer l’effet d’une variable(cause) x 1 sur une variable (effet) y 1 , ondevrait pouvoir isoler le phénomène de toutesperturbations.Si phénomène isolé, il suffit de voir comment y 1réagit suite à une variation de x 1 .L’expérimentation en environnement contrôlén’est pas réalisable en sciences humaines⇒ on doit s’accommoder de la présenced’influences perturbatrices.AQC, Causalité, 12/3/2002GR 9

FormalisationCas 1. On ne connaît rien des déterminantsde y 1y 1 = ζ 1où ζ 1 est un terme aléatoire représentant lesinfluences non-connues.Cas 2. Relation déterministe (phénomène isolé)y 1 = f(x 1 )y 1 = γ 11 x 1Cas 3. Relation stochastique (phénomène nonisolé)y 1 = f(x 1 ) + ζ 1y 1 = γ 11 x 1 + ζ 1Pseudo-isolation si x 1 et ζ 1 sont non corrélés.Modèle linéaire généraly 1 = γ 11 x 1 + γ 12 x 2 + . . . + γ 1q x q + ζ 1y 1 = Γ 1 x + ζ 1AQC, Causalité, 12/3/2002GR 10

Sens de causalitéNe peut être déterminé empiriquement.Exemple :x t revenu en ty t dette en tα taux de croissance du revenu.Modèley t = γx t + ζ tx t = αx t−1 + η tavec cov(ζ t , η t ) = cov(x t , ζ t ) = cov(x t−1 , η t ) = 0et cov(x t−i , ζ t−j ) = 0 pour tout i, j.D’après ce modèle, y t n’influence pas x t+1 .AQC, Causalité, 12/3/2002GR 11

Si l’on estime le modèle (erroné) suivantx t+1 = γ ∗ y t + ζ ∗ tl’estimateur des moindres carrés de γ ∗ estˆγ ∗ = cov(x t+1, y t )var(y t )= cov(αx t + η t+1 , γx t + ζ t )var(y t )= αγ var(x t)var(y t )expression qui est non nulle pour α ≠ 0 et γ ≠ 0donc, contradiction de l’hypothèse y t x t+1AQC, Causalité, 12/3/2002GR 12

Relation inversey t = γx t + ζ t (1)x t = 1 γ y t − ζ tγ(2)= 1 γ y t + ζ ∗ t (3)avec ζ t ∼ N(0, σ 2 ζ )et ζ ∗ t ∼ N(0, σ2 ζ /γ2 ).De même, on ax t = 1 α x t+1 − η tαEn remplaçant dans l’expression (2), il vient1α x t+1 = 1 (ηtγ y t +α − ζ )tγx t+1 = α γ y t +(η t − α γ ζ t)= α γ y t + ζ ∗∗ tavec ζ ∗∗ t ∼ N(0, σ 2 η + (α/γ) 2 σ 2 ζ )AQC, Causalité, 12/3/2002GR 13

Simulation : données individuellesREVENUDETTEmodèle x t = αx t-1 + ν x t+1 = αx t + ν y t = γx t + ζx t ~ N(µ,σ 2 ) ν ~ N(µ,σ 2 ) ν ~ N(µ,σ 2 ) ζ ~ N(µ,σ 2 )α, γ 1.5 1.5 0.4µ 100 0 0 0σ 10 4 4 2donnéesmean 99.67 149.34 221.16 59.77stdev 11.12 17.43 26.91 6.87n 20 20 20 20t x t-1 x t x t+1 y t1 110.94 166.99 249.69 64.082 115.53 178.55 269.05 70.513 91.01 134.73 200.04 54.5719 116.37 176.81 263.55 67.6820 94.89 145.22 218.02 60.80COV 123.55 189.19 282.54 72.71303.97 460.92 114.98724.28 173.0147.21Estimations des MCOx t = αx t-1 + ν x t+1 = αx t + να = 1.53 1.52z 4.26 5.21γ = 0.38 y t = γx t + ζz 3.30x t+1 = γ* y t + ζ* γ* = 3.66x t+1 = (α/γ) y t + ζ* z 2.96γ* = α/γ ratio estim. 4.01ratio vraies val. 3.75AQC, Causalité, 12/3/2002GR 14

Simulation : séries temporellesREVENUDETTEmodèle x t = αx t-1 + ν x t+1 = αx t + ν y t = γx t + ζν ~ N(µ,σ 2 ) ζ ~ N(µ,σ 2 )α, γ 1.1 0.4µ 0 0σ 20 10donnéesmean 318.60 340.09 352.10 134.59stdev 179.07 199.44 196.82 83.52n 20 21 20 21t x t-1 x t x t+1 y t0 100.00 119.81 34.061 100.00 119.81 163.16 44.642 119.81 163.16 212.80 77.1619 637.31 695.68 769.93 271.6820 695.68 769.93 317.38COV 25'876.71 27'790.22 30'274.44 11'479.7831'106.70 33'705.89 12'862.2337'789.68 14'089.025'400.91Estimations des MCOx t = αx t-1 + νx t+1 = αx t + να = 1.07 1.08z 8.64 9.56γ = 0.41 y t = γx t + ζz 6.65x t+1 = γ* y t + ζ* γ* = 2.61x t+1 = (α/γ) y t + ζ* z 5.64γ* = α/γ ratio estim. 2.62ratio vraies val. 2.75AQC, Causalité, 12/3/2002GR 15

Modèle d’équations structurellesModèle décrivant les relations de causalité entrevariablesSoit y =⎡⎢⎣⎤y 1y 2 ⎥. ⎦y mm variables endogèneset x =⎡⎢⎣⎤x 1x 2⎥. ⎦x nn variables exogènesAQC, Causalité, 12/3/2002GR 16

ExempleRelations entre des mesures objectives dustatut socio-économique et la perception queles individus ont de leur statut. Les mesuresobjectivesx 1x 2le revenule prestige de la professionsont des variables exogènes.Les perceptions individuellesy 1y 2le revenu subjectifle prestige perçu de sa professionsont des variables endogènes (elles dépendentdes autres).On a y =[ ]y1y 2et x =[ ]x1x 2AQC, Causalité, 12/3/2002GR 17

NNCCCC>OO>Un modèle possible est[y1y 1 = β 12 y 2 + γ 11 x 1 + γ 12 x 2 + ζ 1y 2 = β 21 y 1 + γ 21 x 1 + γ 22 x 2 + ζ 2y 2]=[0 β12β 21 0] [ ] [ ] [ ]y1 γ11 γ+12 x1+y 2 γ 22 x 2γ 21[ζ1ζ 2]Écriture généraley m×1= B m×m y m×1+ Γ m×n x n×1+ ζ m×1E(y) = E(x) = E(ζ) = 0, E(xζ ′ ) = 0, E(ζζ ′ ) = ΨAQC, Causalité, 12/3/2002GR 18

Modèle récursif (causalité unidirectionnelle)Un modèle est récursif s’il n’y pas d’effet deretour.Exemple :y 1 = γ 11 x 1 + γ 12 x 2 + ζ 1y 2 = β 21 y 1 + γ 21 x 1 + ζ 2[y1y 2]=[0 0β 21 0] [y1y 2]+[γ11 γ 12γ 21 0] [ ]x1+x 2[ζ1ζ 2]On peut en effet résoudre ce systèmerécursivement en remplaçant y 1 dans ladeuxième équationy 1 = γ 11 x 1 +γ 12 x 2 +ζ 1y 2 = (β 21 γ 11 +γ 21 )x 1 +(β 21 γ 12 )x 2 +(β 21 ζ 1 +ζ 2 )Ce système est la forme réduite du modèle.AQC, Causalité, 12/3/2002GR 19

Forme réduitey m×1= Π m×n x n×1+ u m×1avecΠ = (I − B) −1 Γ et u = (I − B) −1 ζMoins intéressant, car ne décrit pas lesenchaînements causaux.AQC, Causalité, 12/3/2002GR 20