simulation acoustique par la methode des sources images

MEMOIRE DE FIN D’ETUDESECOLE NATIONALE SUPERIEURE LOUIS-LUMIERE- SECTION SON -MIKAËL KANDELMANSIMULATION ACOUSTIQUE PAR LA METHODEDES SOURCES IMAGESLAURENT MILLOT – Directeur interne - ENS Louis-LumièreJEAN-DOMINIQUE POLACK – Directeur externe - L.A.MJUIN 2007

Ce mémoire a été réalisé dans le cadre d’un stage au Laboratoire d’Acoustique Musical(L.A.M), encadré par :GUILLAUME DEFRANCE- Doctorant en acoustique des salles - L.A.MLe Laboratoire d'Acoustique Musicale est un organisme public de recherche sous la tutelle del'Université Pierre et Marie Curie, du CNRS et du Ministère de La Culture et de laCommunication. Il coordonne des travaux de recherche selon trois axes : cognition etperception, instrument de musique et voix, technique audio.2

« QUE NUL N’ENTRE ICI S’IL N’EST GEOMETRE. »Platon.3

Sommaire.INTRODUCTION...........................................................................................................7I LES DIFFERENTES METHODES DE SIMULATION ENACOUSTIQUE DES SALLES. ....................................................................... 9I.1 LES PROCEDES ANALYTIQUES.....................................................................................10I.1.1 Méthode par résolution d'équation d'onde.........................................................10I.1.2 Simulation par tracé de rayons..........................................................................11I.1.3 Projection de faisceaux. ....................................................................................14I.1.4 Méthode des sources images..............................................................................15I.2 LES PROCEDES STATISTIQUES.....................................................................................19I.2.1 La réverbération selon Sabine et Eyring............................................................19I.2.2 Les filtres récursifs............................................................................................24I.3 LES METHODES GEOMETRICO-STATISTIQUES, DOMAINE DE VALIDITE. ......................31I.3.1 Limitation temporelle et fréquentielle. ...............................................................31I.3.2 Partage du plan Temps/Fréquence. ...................................................................32I.4 CHOIX D'UNE METHODE DE SIMULATION....................................................................38I.4.1 Domaines de validité du simulateur...................................................................38I.4.2 De la méthode des sources images vers une approche stochastique...................39II LES BASES DE LA METHODE DES SOURCES IMAGES............... 43II.1 PRINCIPES GENERAUX. ..............................................................................................45II.1.1 Lois de réflexion............................................................................................45II.1.2 Loi de sommation. .........................................................................................48II.1.3 Généralisation de la méthode à l'acoustique des salles..................................51II.1.4 Programmation : les fonctions « reflex.m » et « matrice.m » .........................56II.2 CRITERES DE SOURCES..............................................................................................60II.2.1 Discussion sur la « validité » des sources images. .........................................60II.2.2 Discussion sur la « visibilité » des sources. ...................................................63II.2.3 Les problèmes liés aux critères de sources.....................................................66II.2.4 Programmation : les fonctions geometrie.m, validite.m, sourcevu.m..............69III EXTENSION DE LA METHODE DES SOURCES IMAGES. ........ 75III.1 APPROCHE PAR LE TRAITEMENT DU SIGNAL............................................................76III.1.1 Equivalence source/filtre. ..............................................................................76III.1.2 Equivalence espace/temps. ............................................................................77III.1.3 Question du/des point(s) d'écoute. .................................................................80III.1.4 Programmation : les fonctions impulse.m et ecriture.m .................................83III.2 GESTION DE L'ABSORPTION PAR LES PAROIS. ..........................................................86III.2.1 Réflexions indépendantes de la fréquence......................................................86III.2.2 Réflexions dépendantes de la fréquence.........................................................89III.2.3 Programmation : les fonctions « absorption.m » et « reconstruction.m ».......924

III.3 EXTENSION TRIDIMENSIONNELLE............................................................................93III.3.1 Principes généraux........................................................................................94III.3.2 Programmation : la fonction dto3d.m............................................................96III.4 VERS UNE APPROCHE STOCHASTIQUE......................................................................97III.4.1 Principes généraux........................................................................................97III.4.2 Programmation : les fonctions « stochastique.m » et « param.m »...............105CONCLUSION. .........................................................................................................111BIBLIOGRAPHIE......................................................................................................112TABLE DES ILLUSTRATIONS. ...................................................................................113ANNEXES. ...............................................................................................................119RESUME..................................................................................................................137ABSTRACT. .............................................................................................................1375

Introduction.Les architectes de l’antiquité n’ont pas attendu l’essor de la simulation acoustique pourbâtir des théâtres et des auditoriums aux excellentes propriétés sonores. Pour autant, lesaméliorations que les outils de prédiction ont apportées à cet art sont considérables, etaujourd’hui, peu de salles de concert peuvent prétendre se construire sans étude acoustiquepréalable. Des logiciels performants (Catt-acoustique, Ease, Odéon,…) sont ainsi disponiblessur le marché. De plus, de nombreuses méthodes de simulations ont d’ores et déjà fait l’objetd’études approfondies.Cependant, les résultats de ces recherches, publiés ou diffusés pour la promotion delogiciels commerciaux, donnent rarement accès à la totalité des paramètres nécessaires à lacompréhension de la technique de simulation employée. Si les principes des modèles desynthèses sont exposés, peu d’études publient, par exemple, les codes du programmepermettant d’accéder à l’intégralité de la méthode retenue.Pour répondre à ce manque, au travers de ce mémoire on se propose de réaliser etd’étudier un prototype de simulateur acoustique dont le code Matlab sera donné dans sonintégralité.Ici, deux familles de réverbérateurs s’opposent : certains s’appuient sur des lois deréflexions géométriques et d’autres sur des lois statistiques. La question de la méthode estdonc posée. Nous devrons ainsi déterminer ce procédé : comment et dans quelles limites peutonl’utiliser ?C’est pourquoi, dans une première partie, nous engagerons l’étude des différentestechniques de simulation. Celle-ci nous permettra de dégager une méthode de synthèseconforme au cahier des charges que nous définirons.Dans une seconde partie, nous approfondirons les bases du procédé retenu afin d’assoirela réalisation de notre simulateur. Ces principes élémentaires seront donc traités en détail pourpermettre au système d’être amélioré par la suite.Ainsi, dans une dernière partie, nous discuterons des extensions possibles de la méthodeet de leurs réalisations pratiques. L’enjeu sera alors de déterminer des moyens simples pourrépondre aux problématiques posées par la simulation acoustique en général.7

ILes différentes méthodes de simulation enacoustique des salles.Depuis le début du XX ème siècle, la recherche en acoustique des salles a développé desoutils de prédiction des phénomènes sonores dans des lieux clos. De nombreuses techniquesde simulation ont ainsi pu voir le jour. Toutes différentes dans leurs applications, elles'appuyant toujours sur les propriétés de la propagation des ondes sonores. Nous distinguonsdeux sortes de méthodes.Premièrement, il existe des procédés analytiques qui déterminent le trajet des rayonsacoustiques de façon déterministe. L’enjeu de leur utilisation est de pouvoir simuler trèsprécisément différents phénomènes acoustiques plus ou moins complexes. Il faut pour celaanalyser précisément les conditions initiales et développer les calculs jusqu’à obtenir uneprécision suffisante pour les résultats. Évidemment, nous verrons que l’équilibre entre letemps de calculs et la résolution obtenue pour les résultats est difficile à maîtriser et dépendessentiellement de la technique employée.Deuxièmement, les méthodes dites « statistiques » proposent de considérer le champacoustique diffus comme un phénomène aléatoire. Il est alors possible d’envisager unemodélisation de l’acoustique d’une salle par des procédés stochastiques.Dans ce chapitre, l’étude de ces différentes méthodes nous permettra de faire un état de l’arten matière de simulation acoustique. Ce travail de synthèse nous guidera dans le choix d’unsystème de simulation.9

I.1 Les procédés analytiques.I.1.1 Méthode par résolution d'équation d'onde.La description du champ sonore dans une salle close peut-être ramenée à la résolutiond'une équation aux dérivés partielles, avec comme conditions aux limites, les parois de lapièce. Suivant les paramètres de l'acoustique linéaire [JOT92], si nous considérons que :- l'aire est un fluide parfait ;- la température et la pression reste constantes ;- la vitesse macroscopique du fluide est faible devant la célérité du son ;- les fluctuations dues aux déplacements d'air sont faibles devant ces valeursmoyennes.Alors, en tout point et en tout temps, nous pouvons écrire l'équation d'onde suivante pour lapression p(x,y,z,t) :∆ p − 1c∂ p∂t2=2 2Il faut ensuite définir les impédances complexes des parois de la salle comme conditions auxlimites pour la résolution de cette équation différentielle. La solution numérique de l'équationest alors être calculée par la méthode des différences finies via un échantillonnage de l'espaceet du temps. Ainsi, pouvons simuler la réflexion spéculaire en phase, l'absorption et ladiffusion par les parois en fonction de la fréquence et de l'incidence du front d'onde.Cette méthode permet de traiter de nombreux phénomènes acoustiques (modespropres, couplage de salle, diffusion, …), mais aux prix de lourds calculs. Lors de sa thèse en1987 sur la modélisation en acoustique des salles par équation d'onde, X. Sun, va jusqu'àprésenter une architecture informatique multiprocesseur pour mener à bien ce type desimulation [JOT92].Par souci d'économie de calcul, nous pourrions envisager de restreindre le domained’application d'une telle méthode pour simplifier la résolution des équations. Si les pasd'échantillonnage spatial et temporel deviennent grands, alors, le nombre d'itérations à réaliserdiminue et seuls les phénomènes basses fréquences deviennent interprétables. Ceraisonnement destinerait donc cette méthode à l'étude de modes propres en dessous de la010

fréquence de M.R. Schroeder (voir I.3). Au-delà de cette fréquence, d’autres méthodes desimulation semblent mieux adaptées.I.1.2 Simulation par tracé de rayons.Principes.La méthode de tracé de rayons est utilisée depuis la fin des années 1950. Elle prend appuie surl'acoustique géométrique qui suppose les réflexions sur les parois comme spéculaires, c'est àdire vérifiant la 2 ème loi de réflexion de Snell-Descartes illustrée Figure 1, aveci = −i '.vii'v'Figure 1 - Illustration du principe de réflexion de Snell-Descartes pour un rayon acoustique rencontrantune paroi rigide.Dans une première approximation, ce procédé de calcul néglige sciemment les effets dediffusion et de diffraction dus aux irrégularités des parois. Il ne prend donc pas en compte leseffets de déphasage induits par ces dispositifs.Dans le principe, il faut définir un point source dans la salle dont l'énergie se répartitéquitablement, autour de lui, en N rayons. Chacun d'eux est prolongé suivant son vecteurdirecteur v jusqu'à la rencontre avec une paroi de la salle. Il subit alors une transformée selonles lois de Snell-Descartes qui définit un nouveau vecteur directeur v ' en fonction de l'ancien.On construit ainsi un rayon réfléchi à partir du point d'impact et suivantSi α est le coefficient d'absorption de la paroi en énergie, chaque réflexion fait perdreau rayon une énergie (1 - α). Ce phénomène est répété à chaque rebond ce qui permetd'obtenir une décroissance comparable aux modèles de la réverbération statistique de Sabine(voir I.2.1). Dans un premier temps, le coefficient de réflexion est considéré indépendant del'incidence de l'onde sur la paroi. D'après M.R. Schroeder [SCH69] , cette approximation peutv '.11

être levée en indiquant à l'algorithme de calcul les angles des rayons par rapport aux parois.En ce qui concerne la réponse en fréquence des parois de la pièce, nous pouvons travailler parbandes d'octave ou bien utiliser des réponses impulsionnelles de filtre pour simulerl’absorption acoustique des matériaux.Description de l'algorithme.L'algorithme de projection prolonge chacun des rayons suivant les lois de la réflexionspéculaire (voir Figure 2). Certains logiciels de tracé de rayons comme Odéon [NAY92]permettent à l'utilisateur de paramétrer le nombre de trajets émis par la source, le nombre deréflexions à prendre en compte (jusqu'à 200) ainsi qu'un temps de calcul maximum à ne pasdépasser. Le programme doit aussi caractériser la « taille » du récepteur. En effet, laprobabilité qu’un rayon passe par un point P après n réflexions est quasi-nulle : c'est sonpassage par la « tache » auditeur qui détermine si le rayon est perçu ou non. Cetteapproximation se justifie dans la mesure où, si celui-ci passe à proximité d'un auditeurponctuel, il y existe une grande probabilité pour qu’un autre rayon ayant un trajet similaireatteigne exactement l'auditeur.Il devient alors possible de construire la réponse impulsionnelle de la salle : à chaquerayon perçu, correspond une atténuation géométrique, un coefficient d'absorption par lesparois et un retard lié au temps de propagation du rayon. On construit ainsi, la réponseimpulsionnelle de la salle à mesure que les rayons calculés viennent simuler des échos.SPFigure 2 -Exemple de tracé d'un rayon 2D dans une salle rectangulaire « passant » par l'auditeur P.12

Extension du modèle.D'après J. M. Jot [JOT92], il est possible d'utiliser ce type de méthode pour simuler desdirectivités de sources non omnidirectionnelles. Il suffit pour cela d'attribuer un poidsénergétique différent aux rayons dès l'émission. En travaillant par bandes de fréquence ouavec des réponses impulsionnelles de filtre, il est aussi possible de définir une directivité desource en fonction de la fréquence. Nous pouvons donc, par exemple, simuler lecomportement d'une enceinte dont le facteur de directivité Q est connu 1 et de reproduire lechamp acoustique autour d'un instrument de musique.M. R. Schroeder [SCH69] propose aussi d'ajouter une loi de probabilité aux réflexionsspéculaires afin d’ajouter des propriétés de diffusion aux parois. C’est ce type de méthode quiest utilisé pour simuler le champs diffus dans les logiciels de simulation du commerce (CattAcoustic, Odeon, …). Plus généralement, rien n'empêche l'algorithme de simuler plussystématiquement la diffusion par les parois ainsi que de la diffraction au passaged'irrégularités dans la géométrie de la salle (angle saillant ou rentrant, obstacleponctuel, …) [FUN] : il n'en coûtera qu'un plus grand temps de calcul. Il est égalementintéressant de noter que le tracé de rayons est la seule méthode géométrique pouvant simuleravec précision des réflexions sur des parois courbes.Limitation et inconvénientCe type de simulation est aussi source d'approximation et d'inexactitude. Lehnert dit cetteméthode que, « le jour où elle a été inventé, la première erreur a été faite » [LEH93] . Il veutainsi souligner que l'échantillonnage spatial qui est à la base du calcul induit inévitablementune divergence du résultat final. En effet, deux rayons quasi parallèles émis cote à cote àl'instant initial se retrouveront très éloignés aux ordres de réflexions élevés : un grand nombrede rayons intermédiaires ne sont donc pas simulés. De plus, selon la taille, et la position quel'on donne à l'auditeur, les rayons interceptés ne seront pas les mêmes. Rien n'assure donc queceux-ci soient réellement perçus par l'auditeur. Enfin, les calculs d'angles de réflexion sontquantifiés sur un nombre limité de bits. Les approximations successives qui en découlent vont1 Le facteur de qualité est le rapport de l’énergie émise dans l’axe sur l’énergie total de la source. La plupart desconstructeurs d’enceinte sérieux (JBL, NEXO, L.Acoustique, …) fournissent cette donnée en fonction de lafréquences.13

Sii'S'Figure 3 - Illustration de la méthode des sources images pour tracer un faisceau de rayons réfléchi par uneparois rigide.I.1.4 Méthode des sources images.Les pionniers : J.B. Berkley et A. D. Allen.Nous pouvons généraliser la méthode des sources images décrite ci-dessus pour en faire unetechnique de synthèse à part entière. Nous allons voir comment cette dernière s'apparente auxméthodes de tracé de rayons tout en étant plus précis. Au lieu de projeter des rayons danstoutes les directions, nous ne calculons que les trajets joignant la source à l'auditeur. En 1978J. B. Allen et A. D. Berkley [ALL78] font parti des premiers à expérimenter cette méthode ensimulant la réponse impulsionnelle d'une salle rectangulaire. Ils parviennent malgré la faiblepuissance des machines de l'époques à simuler une réponse de salle sur 256 ms, en prenant encompte l'absorption moyenne des parois.Les résultats des temps de réverbération qu’ils obtiennent sont très proches de ceuxprédits par les théorie statistiques de Sabines et Eyring [SAB32] . Cela s'explique en serappelant que ces formules sont obtenues par intégration (pour Sabine) ou sommation (pourEyring) à l'infini des libres parcours des rayons dans la salle. La méthode des sources imagesne fait que reproduire leurs raisonnements non plus à l'infini mais jusqu’à l'ordre N.J. B. Allen et A. D. Berkley ne prennent pas en compte une absorption dépendante dela fréquence et de l'incidence des rayons sur les parois. Cela se justifie, expliquent-ils, si la15

source et le récepteur ne sont pas trop près des parois et si on ne s'intéresse qu'au temps deréverbération de la salle.Ils nous mettent aussi en garde contre un phénomène inhérent à toute forme desimulation informatique (y compris pour les méthodes de tracé de rayons) : les troncatureseffectuées sur les résultats des calculs qui introduisent des incertitudes sur le positionnementdes sources images.Les principes.La méthode des sources images part du principe que le champ sonore créé en un point del'espace par une source et ses réflexions sur les parois peuvent être obtenus par sommation duchamp direct et du champ engendré par chaque source image en champ libre. Une fois lessources images placées dans l'espace, il ne reste qu'à calculer :- leurs atténuations géométriques : chaque source image est un monopole créant uneonde sphérique aller progressive dont l'énergie décroît avec le carré de la distance ;- leurs atténuations par absorption par les parois dépendant du nombre et du type deparois rencontrées par le rayon correspondant à la source image ;- leurs retards de groupe lié au temps de propagation des rayons pour parvenir jusqu’àl'auditeur.Par la suite, nous appellerons constellation l'ensemble des sources images visibles parun auditeur, pour une position de source donnée. Nous pouvons représenter une constellationdans l’espace en traçant la position de chaque source image (Figure 4). Ce calcul de sourcesimages se fait par itération successive : la source primaire dite « mère » ou encore « source derang 0 » engendrera des sources images dites « filles » par symétrie suivant les parois de lasalle. A l'itération suivante ces dernières deviennent « mères » à leur tour et engendrent uncertain nombre de sources « filles » [MEC01]. A cette étape, il faut vérifier que chaque sourceimage calculées correspond bien à un trajet physique de rayon. En fait, certainesconfigurations de parois rendent les réflexions impossibles : on parle alors de sources« illégales » [MEC01] ou « invalides » [BOR84]. Si tel est le cas, ces sources sont suppriméeset deviennent « stériles » : elle ne peuvent plus en engendrer d’avantege.Une fois les sources valides triées, il faut noter que certaines d'entre elles ne sont pas« entendues » ou « vues » (par analogie avec l'optique) car les limites des parois qui les ontengendrées les masquent. On parle alors de sources « invisibles » [MEC01] [BOR84].16

Contrairement aux sources non-valides, ce critère dépend surtout de la position de l'auditeurdans la salle. De plus, si une source invisible ne doit pas être prise en compte lors de lareconstruction de la réponse impulsionnelle, elle n'est pas pour autant stérile et peut engendrerdes sources « filles » visibles.Figure 4 - Illustration de la constellation des sources images jusqu'à la 7ème réflexion géométrique dansune salle héxagonale17

Avantages, inconvénients.Le principal inconvénient de la méthode des sources images est qu'elle génère un nombre desources très important à des ordres de réflexions élevés. Si N est le nombre de réflexionscalculés et k le nombre de parois, on peut exprimer le nombre de sources images maximumdans une constellation n(N,k) par :n(N,k)= Nn peut devenir rapidement très grand quand N augmente. Il devient alors difficile de gérerautant de données. Notons également que malgré la grande quantité de sources à calculer, seulun très petit nombre d’entre elle répondent aux critères énoncés plus haut. Par rapport auxméthodes de tracé de rayons, le gain de temps de calcul obtenu en ne traçant que les rayonsutiles est minoré par la nécessité d'étudier tous les cas de figures. Cependant, la précision aveclaquelle cette méthode simule le champ acoustique en un point de la salle reste intéressante.Les temps de calcul importants mis en jeux restreigne tout de même cette méthode à lasimulation des premières réflexions. Reste à trouver une technique autre, permettant desynthétiser l’extinction de la réverbération d’une salle en s'affranchissant des limitation desprocédés géométriques.i=0ki18

I.2 Les procédés statistiques.I.2.1 La réverbération selon Sabine et Eyring.P. E. Sabine écrit en 1932 « Acoustics and architecture » [SAB32] . Il y reprend lesprincipes de W. Sabine, qui décrivait 20 ans plus tôt, des protocole de tests pour mesurer destemps de réverbérations dans les salle. Pour P. E. Sabine, le modèle de la réverbération estpurement statistique. De son point de vue, la densité d'échos à prendre en compte estsuffisamment importante pour considérer le phénomène comme pseudo-aléatoire : les outilsstatistiques sont donc adapter à cette méthode.Réverbération dans un tube selon Eyring : modèle discontinu.Soit un tube, refermé à ses extrémités par des matériaux d'impédance Z, dans lequel nousétablissons un champ sonore stationnaire. Nous émettons l'hypothèse que toute la dissipationd’énergie se fait par les extrémités du tuyau et que les pertes dans le volume sont négligeablesdevant celle-ci. Nous considérons aussi la moyenne de l’intensité sonore comme uniformedans le tube. Dans ces conditions, si l est la longueur du tube, le coefficient d'absorption desextrémités, c la célérité du son dans l'air et (t) la densité d'énergie par unité de temps, nouspouvons montrer [SAB32] que l'énergie par unité de volume dans le tube en régimepermanent s'écrit :ε ( t)le( t)=cαVNous interrompons brusquement la source qui entretenait cette énergie. une décroissance duson par réflexions successives est alors observée. Après la première réflexion, la densitéd'énergie réfléchie par le tube a pour valeur :ε(t)le 1( t)= 1−V c( α)où est le coefficient moyen d'absorption des extrémités du tube.A la n-ième réflexion, la densité d'énergie réfléchie s'écrit :ε ( t)len(t)=V c( 1−α)n−119

Pour obtenir la densité d'énergie produite par les réflexions successives et le champ direct,sommons les contributions des n réflexions :ε ( t)ler(t)=Vc2 3n−[ 1+( 1−α) + ( 1−α) + ( 1−α) + ( 1−α) ]1Et naturellement, la densité énergie correspondant au champ stationnaire et à la décroissances'écrit :ε ( t)l ε ( t)le(t)= −cαVVcOr, la somme de la série des puissances de (1-) est :D'où, finalement :2 3n−[ 1+( 1−α) + ( 1−α) + ( 1−α) + ( 1−α) ]1ε(t)lcαV1−(1−α)α ne ( t)= (1−α)n= e0 ( t).(1−α)nNous pouvons alors exprimer le logarithme du rapport des densités d'énergie du champréverbéré sur le champ stationnaire :lnee0=− n.ln(1− α )Or, pendant un temps T, il se produit n réflexions. Compte tenu de la longueur du tube et de lacélérité du son c, nous pouvons écrire l'égalité :Et l'équation ( 1 devient :ln e e0T =nlccT= −lln(1−α)( 120

Le temps de réverbération T 0 d’une salle est définit pour une décroissance de –60 dB. Nousimposons donc un rapport de 1:1000000 entre l'énergie réverbérée et l'énergie stationnaire.Soit avec ln(1000000) = 13,8 :( 2T0=−13,8 lc . ln(1 −α)Réverbération dans un tube selon Sabine : modèle continu.Le raisonnement précédent revient à faire l'hypothèse que l'énergie ne décroît pas entre deuxréflexions successives. A l’inverse, la formulation de Sabine considère cette décroissancecomme continue.Sous les mêmes hypothèses de départ : dissipation par les extrémités du tube, champsacoustique homogène, …, nous posons m, le nombre de réflexions par seconde. Nous avonsdonc :avecm =l c = 1∆t∆ t , le temps mis par l'onde pour traverser le tuyaux.Pendant un court instant dt, la variation de densité d'énergie dans le tube s'écrit :de = −mαe.dtavec α . e , la densité d'énergie absorbée à chaque réflexion et donc α .e. m , la densité d'énergieabsorbée par unité de temps.Soit :Et avec les conditions initiales :− edTde = αl c .à t = 0,e(0)= e0Nous écrivons :et)= e .exp( − α )l ct( 021

A l’instar de la démonstration de Eyring, le temps de réverbération To de la salle est obtenuepour un rapport de 1 : 1000000 entre e(T 0 ) et e 0. Nous trouvons :( 3T0 =13,8lcαCas d'une salle réelle.E.P. Sabine définit le libre parcours moyen d'une salle de façon suivante : « Pour formerl’image 2D des réflexions dans une salle, on peut imaginer une boule de billard lancée auhasard sur une table et noter la variation des longueurs des trajets entre deux impactssuccessifs. (…) La distance moyenne de ces longueurs peut être assimilée au libre parcoursmoyen d’une onde sonore dans la salle » [SAB32] . Ainsi, par définition, la longueur l du tubeest remplacée par p, le libre parcourt moyen, dans le cas d'une salle au volume quelconque.Cette notion découle de lois statistiques, elle n'est donc applicable que dans le cas deréflexions suffisamment nombreuses et réparties statistiquement dans toute salle. Par ailleurs,notons que dans les modèles de prédiction acoustique statistiques, le libre parcours moyenreste la seule grandeur en lien avec la géométrie de la salle. Mais celui-ci il ne tient pascompte des particularités géométriques petites devant les dimensions de la salle. Si nousvoulons nous y intéresser, il faut découper la salle en plusieurs volumes et y définir des libresparcours moyens et des temps de réverbérations locaux : c'est ce que l'on retrouve lors del'étude de salles couplées.J. Jouhaneau [JOU97] (Chap.2.3) donne une démonstration de la formule du libreparcours moyen dans une salle quelconque en intégrant tous les rayons possibles sur toutl'espace. Il démontre ainsi la formule de Jaeger donnant le libre parcours moyen pour unesalle en fonction de sa surface S et de son volume V :p = 4 VS22

En remplaçant l par p dans ( 2 et ( 3 nous obtenons les formules usuelles :Pour Sabine :T0=0, 16VaAvec c = 340 m.s -1 ; et ==a= i NSi.αii 1Et pour Eyring :T0=−S0,16ln 1V−aSCes deux formules sont celles utilisées en pratique. La plupart des constructeurs de panneauxacoustiques fournissent les procès verbaux de leurs matériaux où sont répertoriées les courbesd'absorptions en fonction de la fréquence. Nous pouvons donc calculer fréquence parfréquence les absorptions, puis les temps de réverbération en fonction des absorbants dans lasalle.Validité Sabine/ Eyring.Eyring affirme que selon ses hypothèses, les parois d'une salle peuvent être remplacées pardes sources images situées sur des zones concentriques discrètes dont les rayons sont desmultiples du libre parcours moyen p, 2p, 3p, … Cette approche s'apparente à la méthode dessources-images décrite plus haut. Cependant, la notion de libre parcours permet de s'affranchirdu calcul fastidieux de la position précise des sources. En revanche, un tel procédé statistiquesera incapable de prévoir des effets de polarisation de salle 1 , des phénomènes de modespropres ou bien de flutter-échos. De même, utiliser la formule de Sabine passe aussi soussilence ces phénomènes.Ces formules présentent également des problèmes aux limites [JOU97] (Chap. 3.2). Enpratique, lorsque les coefficients d'absorption tendent vers 1, nous nous ramenons au cas duchamp libre. Or, dans cette situation, la formule de Sabine donne un temps de réverbération1 Ex : cabine Live-End-Dead-End [JOU97] (Chap.10.2)23

toujours dépendant de la géométrie de la salle. Sabine n'est donc pas applicable dès lors queles temps de réverbération deviennent trop petits. En revanche, Eyring corrige ces problèmesen faisant tendre le temps de réverbération vers 0 quand l’absorption tend vers 1, et versl'infini quand l’absorption tend vers 0. De façon générale, nous favoriserons la formule deSabine pour les acoustiques très réverbérantes (car la formule est plus simple), alors que celled’Eyring sera préférée pour des acoustiques plus sèches (car la formule est plus juste).Néamoins, dans tous les cas, les hypothèses de diffusion homogène empêchent de pouvoirprendre en compte l'atténuation géométrique liée à la distance : cela éviterait pourtant deretrouver des temps de réverbérations infinis pour des absorptions nulles.Il existe d'autres formules de calcul de temps de réverbération que nous ne détailleronspas ici : Millgton, Fitzroy, … [JOU97] (Chap. 3.2). Elles partent des mêmes hypothèses maisintroduisent différentes manières de calculer l'absorption moyenne des salles. Chacune de cesformules s’adapte alors à un type de géométrie particulière. Selon les cas, l’une des formulesdonnera des résultats plus proches de l’expérience. Il convient donc toujours de vérifier leshypothèses de validité de ces formules.Nous avons vu dans ce paragraphe que des hypothèses purement statistiquespermettent déjà d’appréhender un certain nombre de phénomènes en acoustique des salle..Poursuivons donc cette idée en essayant de simuler une salle par un filtre récursif dont lespropriétés se rapprochent de celle d’un générateur de signal aléatoire.I.2.2 Les filtres récursifs.Nous cherchons à réaliser un filtre à rétroaction qui présente une densité maximaled'échos et de modes. Ces propriétés devront correspondrent à cell d’une salle réelle en champdiffus : caractère aléatoire, spectre régulier, ...Filtre de Schroeder.En 1962, M.R. Schroeder [SCH62] propose l'implémentation d'un filtre numérique à base de 4filtres en peigne en parallèle et de 2 filtres passe-tout en série.Un filtre en peigne est une boucle récursive dont l’implémentation et la réponseimpulsionnelle sont données Figure 5. Il se caractérise par un temps de retard de méchantillons et d'un gain g en atténuation. M.R. Schroeder propose d'utiliser un gain g négatifpour obtenir une répartition homogène d'échos négatifs et positifs.24

Z -m g101mgg²g 3 g 4 TempsFigure 5 - (à gauche) Implémentation d'un filtre en peigne d’ordre 1 de gain g < 0 et de retard unitaire m.(à droite) Allure de la réponse impulsionnelle de ce filtre.M.R. Schroeder définit également le temps de réverbération T R du filtre à –60 dBcorrespondant au temps prédit par Sabine :20log(g)−60=mTs T Ravec T s , la période d'échantillonnage.Pour chaque peigne en parallèle, nous souhaitons obtenir des T R identiques ; il fautdonc choisir des couples de valeurs de retard et d'atténuation (m i , g i ) en fonction. Ceci permetd’assurer une décroissance constante de la réponse impulsionnelle sur tout le spectre. Ainsi,aucune traînée ou coloration ne sera audible en fin de réverbération lors de la sommation desquatre filtres. De plus, afin d'éviter des annulations d'échos et de maximiser leurs densités, lesretards m i sont choisis de sorte qu'ils soient premiers entre eux. La somme de N filtres ainsidéfinie présente une densité d'échos D e :DNe = − 1i=01 ≈ Nτiτoù lesτ i sont les retards des filtres en peigne en seconde et τ la moyenne des retards desfiltres en seconde [JOT92].25

De même, nous définissons la densité de modes D m par :D= −N 1m =i=0τ i N.τEn premier lieu, nous remarquons que ces densités sont indépendantes du temps. Or,dans les salles réelles, nous constatons la plupart du temps une augmentation de la densitéd'échos avec le carré du temps (voir Annexe A). Cette implémentation de base ne peut doncprétendre simuler ces effets.En second lieu, nous constatons que le retard τ joue un rôle inverse pour la densitéd'échos et de modes. Or, en construisant de tels filtres, l'objectif visé consiste à maximiser cesdeux grandeurs. En ayant fixé le nombre N de filtres en peigne à disposition, J. M. Jot réaliseun compromis [JOT92] sur D m et D e par moyenne géométrique tel que :N =DmDePour D. Griesinger De doit être de l’ordre de 10 000 échos/s pour rendre crédible laréverbération. De plus, d'après M.R. Schroeder, Dm doit être au moins égale au quart dutemps de la décroissanc. Pour simuler une réverbération de 1 seconde, il faut alors :N = 0 ,25×10000 = 50 FiltresIl est donc nécessaire d'implémenter au moins 50 lignes à retard dans le réverbérateur ! C'estpour contourner ce problème que M.R. Schroeder introduit des filtres passe-tout série dansson implémentation.Les filtres passe-tout permettent d'augmenter la densité d'échos sans changerthéoriquement le timbre de la réverbération (cf. Figure 6 pour l’implémentation d’un filtrepasse-tout). Il devient donc possible de ne travailler qu'avec quatre filtres en peigne sommés,puis « densifiés » par deux passe-tout en série (cf. Figure 7 pour l’implémentation duréverbérateur). Le problème posé par ces derniers est qu'ils produisent souvent une colorationmétallique, difficilement maîtrisable.26

Z -m g-gFigure 6 - Implémentation d'un filtre passe-tout.27

g1g5g6Z -m1Z -m5Z -m6g2-g5-g6Z -m2Passe-tout sérieg3Z -m3g4Z -m4Somme de peignesFigure 7 - Implémentation du réverbérateur de M.R. Schroeder.Pour minimiser ces effets, il est possible de réduire la proportion de hautes fréquencedans la réponse du filtre. Pour cela, il faut remplacer les gains g i par des filtres H i (z)dépendants de la fréquence. Ceci permet alors de simuler l'absorption de l'air et le filtrage desréflexions par les parois. Nous pouvons ainsi simuler la tendance des salles à être plusréverbérants dans les fréquences basses que dans les fréquences aiguës.28

Filtrage multi-canaux.J.M. Jot décrit en 1992 [JOT92] une méthode pour améliorer les algorithmes deM.R. Schroeder. Il propose de mélanger les retards entre eux par une matrice de bouclage etgénéralise ainsi la notion de filtre réverbérant. Le re-bouclage des filtres en peigne permet :- d'augmenter la densité d'échos et homogénéiser la réponse impulsionnelle ;- de rendre la densité d'échos dépendante du temps (comme dans les salles réelles) ;- d'éviter l'utilisation systématique de filtres passe-tout.Ce type d'algorithme est donc à privilégier par rapport à celui de M.R. Schroeder qui présentedes imperfections audibles.Il est également possible de compenser les irrégularités de la réponse en fréquence autemps initial. Nous insérons, pour cela, des filtres inverses des H i (z) sur chaque ligne à retardet nous égalisons ainsi la réponse énergétique sur tout le spectre. Sans même envisager lasimulation de premières réflexions, nous pouvons déjà imaginer prédire des acoustiques desalle « purement tardives » 1 .Néanmoins, J. M. Jot ajoute à son filtre, un module de synthèse de premièresréflexions qui fait défaut au système récursif. Il recrée alors les échos précoces de réflexion enréinjectant certains échos en différents points du filtre. Il procède de façon à ce que cesnouvelles réflexions ne viennent pas altérer le timbre du réverbérateur. Ainsi, par ce principe,nous pouvons imaginer modéliser les échos précoces et tardifs d’une salle de façon statistique.Avantages et limites.Le principal avantage de la méthode par filtrage récursif est sa relative simplicitéd'implémentation. Si, en pratique, un tel filtre peut poser des difficultés de mise en œuvre, ilest théoriquement élémentaire à construire. De plus, il est structurellement adapté autraitement en temps réel des acoustiques de salles car il fonctionne de façon récursive.Son principal défaut reste sa difficulté d’utilisation dans le but une spatialisationprécise. J.M. Jot présente une méthode permettant de décorréler les signaux envoyés à droiteet à gauche pour la stéréophonie (méthode IACC). Mais celle-ci n'est pas suffisammentprécise pour permettre la localisation des phénomènes liés à la géométrie de la salle(couplage, flutter, …).1 C'est le cas des géométries très accidentées (Ex : escaliers), aux temps de réverbération suffisamment longs29

En conclusion, un tel procédé de simulation n'est acceptable que dans un certaindomaine de validité :- Pour des fréquences supérieures à la fréquence de Schroeder ; c'est-à-dire lorsque ladensité de modes propres est suffisante pour ne plus les considérer indépendamment ;- Pour un temps suffisamment important (appelé temps de mélange [POL88b] au-delàduquel la densité d'échos devient grande.Il est donc nécessaire de restreindre l'utilisation de ces procédés à un domaine de validitétemps/fréquence précis.30

I.3 Les méthodes géométrico-statistiques, domaine de validité.L'étude d'un procédé de synthèse de réponse impulsionnelle par filtrage récursif nous amontré l'importance de décomposer l'espace temps/fréquence suivant différents domaines devalidité. Il n'existe donc pas de méthode parfaite capable de traiter la totalité des cas sur toutle spectre et sur l'intégralité de la durée de la réponse impulsionnelle.Dans cette étude préalable, différentes méthodes de prédiction acoustique, ont révéléleurs efficacités suivant les situations. Il faudrait donc réaliser un réverbérateur hybridecapable d'analyser les paramètres d'une salle et de reproduire une réponse impulsionnellecohérente en fonction des situations étudiées. Pour cela, ce simulateur devrait nécessairementfaire appel à différentes méthodes de calcul et assurer le lien entre elles au sein d'une mêmeréponse impulsionnelle.I.3.1Limitation temporelle et fréquentielle.En 1988, J.D Polack [POL88b] (Chap.3.3.1) définit la notion de « temps de mélange »d'une salle comme le temps où « la superposition de 10 retours aléatoires approche unedistribution gaussienne de manière satisfaisante ». En d’autres termes, il s’agit du temps « aubout duquel le nombre de retours dans un intervalle t fixé dépasse 10 ». Il faut donc choisirt comme période d'intégration pour que 10 réflexions ne soient plus séparables par lesystème auditif. J.D. Polack choisit comme valeur 24 ms qui correspond à la constante detemps de l'oreille définit par L. Cremer et H. A. Muller. Nous pouvons exprimer ce temps demélange T m en fonction du volume V de la salle, de la célérité c du son (voir Annexe A) :TmEn pratique,10V=4πc 3∆tTm ≈V( en ms)Physiquement, ce temps marque la limite entre les premières réflexions et le champ diffus.Par conséquent, ce n'est qu'à partir de cette durée que les algorithmes stochastiques doiventprendre le relais des modélisations géométriques. Cette limitation est particulièrementimportante car les résultats sur les différents critères de salle (clarté, early decay time etc…)31

sont fortement influencés par la durée du temps de mélange. Il semble donc que la synthèsecomplète d’une réponse impulsionnelle de salle passe par l’étude des réflexions géométriquesprécoces puis par la construction statistique de sa décroissance finale.L'équivalent du temps de mélange, dans le domaine fréquentiel, correspond à lafréquence à partir de laquelle nous ne distinguons plus deux modes contigus. En pratique,cette fréquence est définie pour « un taux de recouvrement modal au moins égal à 3 »[JOT92] (Chap. 1.1.4). C'est à dire lorsque deux modes propres voisins sont espacés de moinsde 1/3 de leurs largeurs de bande. Cette limite est appelée « fréquence de Schroeder ». Ainsi,la fréquence de Schroeder s'écrit en fonction du temps de réverbération T R et du volume V dela salle :fSchroeder = 2000TrVC'est seulement au-dessus de cette fréquence qu'un procédé de synthèse stochastiquepeut être envisagé. En dessous, il faut analyser l'espace plus précisément pour étudierl'installation et la résonance de chaque mode. L’étude de ces fréquences propres doit être priseen compte dans le cas de petites salles d'écoute car les fréquences de Schroeder peuvent ydépasser les 100 Hz. En revanche, dans le cadre de plus grandes salles, ces dernières sontsouvent suffisamment basses pour pouvoir s’affranchir des problèmes de modes propres.I.3.2 Partage du plan Temps/Fréquence.Il est possible de généraliser le raisonnement du paragraphe I.3.1 en réalisant unpartage du plan temps/fréquence permettant de déterminer la méthode de simulation la mieuxadaptée en fonction de la géométrie de la salle. C’est pourquoi, avant d’orienter finalementnotre choix vers un procédé de synthèse précis, nous réaliserons le bilan des domaines devalidités des méthodes rencontrées pour trois types de géométries : les salles polygonalesconvexes, les salles polygonales concaves et les réseaux de salles couplées.Salle polygonale convexe.Les salles polygonales convexes ont la particularité de ne pas posséder d’angle rentrant (cf.Figure 8). Cette propriété géométrique simplifie considérablement le raisonnement en termede construction de sources images. Dans un premier temps, il est donc logique de privilégier32

cette méthode de simulation. Cependant, le traitement d’un grand nombre de parois dépasserapidement la capacité de calcul d’un ordinateur courant. Il faut donc envisager une méthodestatistique pour synthétiser la fin de la réponse impulsionnelle. Il reste alors la résolution desphénomènes basses fréquences qui n’est envisageable par aucune de ces deux méthodes : leprocédé géométrique impose un calcul de constellation trop étendue et la méthode statistiqueest par nature inadaptée à reproduire des phénomènes répétitifs dans le temps. La seulesolution acceptable pour la synthèse des basses fréquences est alors la résolution d’équationd’onde par grand pas d’intégration temporelle et fréquentielle. La Figure 9 montre larépartition des méthodes de simulation dans le plan temps/fréquence.Figure 8 - Exemple de forme de salle polygonale convexe.33

VTemps de Mélange(en ms)TempsRésolution d’équation d’onde2T RVFréquence deSchroeder(en kHz)Méthode desSources- ImagesMéthode StatistiquefréquenceFigure 9 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptéespour une salle polygonale convexe.Salle polygonale concave avec de nombreux angles diffractant et parois courbes.Contrairement aux salles convexes, les salles concaves possèdent des angles rentrants (cf.Figure 10). De fait, leur simulation devient plus difficile par la seule méthode des sourcesimages. De plus, la présence de parois courbes empêche l’utilisation efficace de cettedernière 1 .Ceci guide notre choix vers une méthode de tracé de rayon à laquelle il faut ajouter despropriétés de diffractions pour simuler les déviations observées au passage des anglesrentrants. La fin de la réverbération peut être synthétisé par cette même méthode, enconsidérant que chaque réflexion d’un rayon sur une paroi crée une source diffusante. Ladensité d’échos augmente donc tout en réduisant le temps de calcul. Enfin, commeprécédemment, seule une méthode de résolution d’équation peut être utilisée pour le domainebasses fréquences (cf. Figure 11).1 Bien qu’il soit toujours possible de décomposer une paroi courbe en plusieurs parois planes34

Figure 10 - Exemple de forme de salle polygonale concave à parois courbes.VTemps deMélange (en ms)TempsRésolution d’équation d’onde2T RVFréquence deSchroeder(en kHz)Méthode tracé derayons avecdiffractionMéthode de tracé de rayonsStatistique diffusantfréquenceFigure 11 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptéespour une salle polygonal concave à parois courbes.35

Réseau de salles couplées.Les configurations en réseaux de salles couplées (cf. Figure 12) sont difficiles à simuler partracé de rayon ou sources images. En effet, la probabilité qu’un rayon passe d’une pièce àl’autre est faible et dépend de la taille de l’ouverture entre les deux salles. Ainsi, l’influencede l’acoustique d’une salle sur une autre reste physiquement peu importante maisperceptivement significative. Pour simuler ce type de salle, la meilleure méthode consistealors à projeter des faisceaux de rayons suivant des angles solides déterminées par lagéométrie du réseau [FUN] . Nous augmentons donc volontairement le nombre de rayonspassant d’une salle à l’autre et ainsi, la probabilité de les intercepter au point d’audition.Les premières réflexions peuvent alors être simulé avec une bonne précision. Enrevanche, pour le champ diffus, la méthode consiste à calculer localement chaquedécroissance statistique puis à sommer les deux champs obtenus. De même, c’est encore laméthode de résolution d’équation qui reste la plus efficace aux basses fréquences (cf. Figure13 pour l’illustration du partage du plan temps/fréquence).Figure 12 - Exemple de forme de salles couplées.36

VTemps de Mélange (enms)TempsRésolution d’équation d’onde2T RVFréquence deSchroeder (enkHz)Méthode de projection defaisceaux avec prédécoupagede l’espaceMéthode de Sabine appliquéelocalementfréquenceFigure 13 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptéespour un réseau de salles couplées.Un simulateur embrassant la totalité de ces possibilités n’est envisageable, en pratique,qu’au prix d’une parfaite maîtrise de tous les procédés exposés précédemment. Sa réalisationdemanderait un travail exhaustif sur la synthèse acoustique que notre étudie ne peut initier. Enrevanche, l’analyse des différents procédés de simulation réalisée ci-dessus nous permet delimiter nos hypothèses de validités tout en proposant la réalisation d’un prototype deprogramme de réverbération pertinent.37

I.4 Choix d'une méthode de simulation.La complexité de mise en œuvre d'un simulateur acoustique impose de faire un certainnombre de simplifications. Il faut se restreindre à un domaine du plan temps/fréquence ainsiqu'à un certain type de géométrie. Plusieurs phénomènes acoustiques complexes ne pourrontdonc pas être synthétisés dans le cadre du simulateur que propose de réaliser ce mémoire. Ici,après avoir définit le cadre de fonctionnement, nous exposerons un modèle de simulateurhybride en accord avec nos hypothèses.I.4.1 Domaines de validité du simulateur.Nous avons vu précédemment l'intérêt de l'utilisation de plusieurs méthodes desynthèse combinées pour couvrir la totalité du plan temps/ fréquence. Cependant, notre travailn’a pas pour but de proposer un programme d'une telle universalité : en connaissance de cesimperfections nous choisirons de couvrir seulement certains cas de figure.Nous devons notamment passer sous silence l'étude des phénomènes très bassesfréquences. En effet, en dessous de la fréquence de Schroeder, seule une méthode de typerésolution d'équation d'onde s'avère efficace (voir I.1.1 et I.3.2). Le simulateur ne pourra doncreproduire de phénomènes de modes propres qu’avec une certaine approximation.Un synthétiseur universelle doit aussi pouvoir travailler dans des espaces à géométriesquelconques ; mais là encore, des restrictions sont nécessaires car il n'existe pas de méthodeidéale pour toutes les situations. Nous choisissons de ne pas simuler de surfaces courbes si cen'est en les modélisant par une suite de parois planes. De même, les espaces couplés entre euxne seront pas reproduient car ils nécessitent un calcul de réflexions géométriques trop poussé.L'étude des réflexions se restreint aussi à des espaces en deux dimensions. Il s'agitd’une limitation contraignante car elle modifie considérablement les lois classiques del'acoustique. En outre, en deux dimensions, la densité d'échos diminue de façon perceptible(voir annexe A). La solution proposée pour contourner ce problème est l’implémentation d’unmodule de « mapping » 3D qui permet de passer artificiellement à une représentationtridimensionnelle à partir des données 2D. Il faudra notamment considérer le plafond et le solcomme perpendiculaires aux faces de la pièce.Nous ne simulons pas non plus de phénomènes acoustiques trop complexes. Les loisde la physique sont considérées, ici, comme linéaires impliquant de négliger les effets de38

turbulence, de viscosité, de couche limite et d'atténuation atmosphérique. De plus, même s'ilest possible, sans trop de difficulté, d'incorporer aux calculs des paramètres de diffraction etde diffusion, nous bornons notre étude aux des réflexions spéculaires dans la pièce. Celapermet d’ores et déjà d'appréhender un nombre conséquent d'effets de salle.La méthode retenue pour le calcul des premières réflexions est finalement lasimulation par sources images. Elle présente l'avantage d'être précise aux faibles rangs deréflexion. Elle permet aussi de tracer la constellation des sources images qui nous renseignesur la répartition angulaire de l'énergie et la densité des échos dans la réponse impulsionnelle.Les analogies de cette méthode avec le traitement du signal la rendent aussi plus simple àprogrammer grâce à l'équivalence source/filtre.En définitive, si pour appliquer cette méthode, il faut se limiter à des phénomènesacoustiques simples, dans des géométries simples et sur un domaine fréquentiel précis, il estpossible d'étendre le procédé aux réflexions diffuses pour travailler sans limitation temporelle.La même méthode de construction pourrait donc représenter des réponses impulsionnelles surtoute la durée de la décroissance : analytique dans un premier temps, elle deviendrait dans unsecond temps statistique.I.4.2 De la méthode des sources images vers une approche stochastique.La constellation de sources images obtenue grâce à des procédés géométriquescontient un nombre important de renseignements sur la décroissance de la réponse. En effet,la connaissance de la pente de la fonction de densité 1 géométrique permet d'extrapoler ladensité d'écho dans le domaine statistique. Les deux figures ci-dessous montrent des fonctionsde densité calculée par le programme : tout d’abord à partir des sources géométriquesuniquement (Figure 14), puis avec l'ensemble des sources géométriques et aléatoires (Figure15). La comparaison de ces courbes montre la similarité de leurs pentes et justifie le recours àla méthode statistique.1 correspondant au nombre de sources de la constellation par unité de volume39

Figure 14 - Densité d'échos 2D en fonction du temps. Salle triangulaire, 12 réflexions géométriques. Lafréquence d’échantillonnage est fixé à 44.1 KHzFigure 15 - Densité d'échos 2D en fonction du temps. Salle triangulaire, 12 réflexions géométriques et 10itérations de l'algorithme stochastique. Fs=44.1 KHzDe même, la décroissance de l'énergie réverbérée est aussi déductible de la pente de laréponse impulsionnelle des premières réflexions. Il suffit pour cela de moyenner le coefficient40

d'absorption dans la salle puis, à partir du libre parcours moyen 1 , de déterminer uneatténuation en fonction de la distance à la source (voir III.4 pour plus de détails). Chacune desimages nouvellement calculées peut donc être affectée d'un coefficient moyen d'absorptionqui définira la pente de la décroissance énergétique. (cf. Figure 16)RéflexionsgéométriquesRéflexions StochastiquesFigure 16 - Réponse impulsionnelle synthétisée géométrique ( 4 réflexions ) puis statistique ( 18 réflexions )d'une salle hexagonale calculée sans filtrage par bande. Fs = 44.1 KHz.La technique stochastique d'extension du modèle des sources images décrite ci-dessusnécessite une analyse fine de la constellation des sources géométriques. Il faut donc examinerl'espace pour en déduire les moyennes des densités de sources et des coefficientsd'absorptions.1 Donné par la moyenne des rayons géométriques déjà tracés.41

* * *Pour conclure ce chapitre, nous pouvons désormais décrire précisément le cahier descharges de notre simulateur :Ce réverbérateur programmé sous « MatLab 7.0 » doit :- Reproduire des constellations de sources images géométriques pour les premièresréflexions puis stochastiques pour la fin de la réverbération en 2D ;- Etendre la constellation des sources images à trois dimensions ;- Simuler des salles polygonales convexes et concaves à plafond et sol platsparallèles. Chaque paroi doit pouvoir être recouverte d’un matériau absorbant dontla courbe de réponse est définie par l’utilisateur.- Permettre le placement d’un système de captation de type « couple demicrophones » ;- Calculer la réponse impulsionnelle par bandes de fréquences et permettrel’écoute de sources convoluées placées dans la salle avec des temps de calculcompatibles avec une utilisation pratique (voir Annexe C).Les hypothèses simplificatrices retenues sont au nombre de quatre :- Pas de simulation des très basses fréquences ;- Pas de simulation dans des géométries trop complexes (polygone à plus de 10faces) ;- Prise en compte des réflexions spéculaires exclusivement ;- Sources omni-directionnelles.D’autres objectifs de réalisation pourraient être fixé pour ce programme, mais, dans lecadre de ce mémoire, le travail réalisé n’explorera qu’une manière parmi d’autre desynthétiser des réponses impulsionnelles de salle. Ce travail apportera une vue originale sur lasimulation par sources images puisqu’il proposera une manière d’étendre la méthode à latotalité des réflexions et non plus simplement aux premières. De plus, la possibilité d’écouterle résultat de la synthèse avec un signal réel permettra une comparaison frontale avecl’expérience.Afin de comprendre en détails les enjeux et les difficultés de mise en œuvre de cetteméthode, il faut étudier ses principes avec précision et exposer les solutions trouvées entermes de programmation.42

II Les bases de la méthode des sources images.Au chapitre précédent, nous avons vu le fonctionnement succinct de la méthode des sourcesimages ; et si son principe est simple, sa réalisation demande un soin particulier. Nousproposons donc de revenir en détail sur cette méthode en confrontant systématiquementthéorie et mise en œuvre pratique. Le synoptique de la Figure 17 présentant le fonctionnementdu programme sera étudié tout au long des chapitres qui vont suivre. Mais ici, nous nousattacherons à décrire seulement les principes de base de la méthode.C’est pourquoi, nous éxposerons et justifierons de façon exhaustive la technique deconstruction des constellations de sources images telle qu’elle se présente dans la littérature.Les différentes lois de réflexion et sommation de champ acoustique seront donc expliqué.Nous discuterons ensuite des précautions à prendre sur la validité physique des phénomènessimulés. Les critères que nous présenterons permettront ainsi de trier les sources à prendre encompte ou non pour la reconstruction de la réponse impulsionnelle.43

Fonction geometrie.mDéfinition de lagéométrie de la salleFonction param.mDéfinition desparamètres de la salle .Calcul de constante (Tr,Tm…)Fonction matrice.mCalcul des positions desources images validesFonction libreparcour.mCalcul du libre parcoursmoyen en fonction desrayons tracésFonction sourcevu.mTri des sources visiblesCalcul des rayonsFonction stochastique.mFonction densite.mCalcul de la densitéd'échos de la réponseimpulsionnelleCalcul des sourcesimages aléatoiresFonction visualisation.mFonction absorption.mCalcul de l’absorptionde chaque sources pourla bande iFonction dto3d.mFonction reconstruction.mConvolution RI par lesfiltres de bande etsommation des réponsesAnalyse de la réponseimpulsionnelleFonction analyse.mAnalyse de la réponseimpulsionnelleSI i 9Extension 3D de laconstellationFonction ecriture.mFonction impulse.mConvolution et écrituredes fichiers de sortieCalcul de la réponseimpulsionnelle dans labande iSi i = 10Figure 17 - Synoptique du programme de simulation par sources images.44

II.1 Principes généraux.La méthode des sources images telle qu'elle a été décrite au paragraphe I.1.4 est baséesur les lois classiques des réflexions spéculaires. Nous étudierons donc les principes deconstruction d’image, pour ensuite, nous attacher à la sommation de leurs contributions. Ilsera alors nécessaire de généraliser ces lois pour des géométries contenant un nombrequelconque de parois. Cette étape pouvant, selon les salles rencontrées, s'avérer très délicate,nous analyserons en détails l’exemple d'une source placée dans un angle, pour mieuxcomprendre ces procédés.II.1.1 Lois de réflexion.Lois de Snell-Descartes.Les deux lois de Snell-Descartes 1 sont utilisées pour décrire le comportement des rayonslumineux aux voisinages d'une interface séparant deux milieux aux propriétésélectromagnétiques différentes. Nous pouvons appliquer la première loi de Snell-Descartes àl'acoustique car elle est justifiée par le principe fondamental de la conservation de la quantitéde mouvement. Elle s'énonce de la façon suivante :Soit r, un rayon lumineux arrivant sur une interface réfléchissante en formant un anglei avec le vecteur normal au plan de réflexion n (cf. Figure 18) ; nous avons :- le rayon r' réfléchi par l'interface se situe dans le plan d'incidence du rayon- l'angle i', formé par le rayon réfléchi avec la normal au plan s'écrit :i =' −i1 La première décrit la réflexion et la seconde la réfraction des ondes sur l'interface45

Dans la mesure où le programme de simulation se restreint aux calculs des réflexions à deuxdimensions, nous ne tiendrons pas compte de la première partie de la loi. En revanche, laseconde concernant les angles de réflexion est fondamentale pour la suite.rnr'ii'Figure 18 - Réflexion spéculaire selon la première loi de Snell-Descartes.Déterminer le trajet d'un rayon.Nous cherchons à déterminer le parcours d'un rayon entre une source et un récepteur seréfléchissant sur une paroi. Soit S un point appelé « source primaire » ou « source de rang 0 »émettant une onde sphérique ; soit P un point appelé « auditeur », interceptant l'ondeprovenant de S et réfléchie par la paroi (cf. Figure 19. La méthode consiste à construire S',symétrique du point S par la paroi : ce point est appelé « source image fille » de S. Pourdéterminer le point du plan où se produit la réflexion, il suffit de déterminer l’intersection Oentre la droite (S'P) et . Ainsi, nous pouvons décrire complètement le trajet du rayon réfléchiSOP : sa longueur est donnée par la mesure du segment [S'P] ainsi que son angle d'incidenceen P.La méthode des sources images consiste en fait à systématiser cette technique pourdéterminer les trajets des rayons acoustiques réfléchis de façon spéculaire. Elle remplace ainsiune paroi réfléchissante par une source image correspondante.46

SnPaOS'Figure 19 - Méthode des sources images pour déterminer le trajet d'un rayon réfléchi.Il est aussi possible de modéliser des trajets de rayon plus complexes que pour lesréflexions spéculaires. Par exemple, Les effets d'une réflexion diffuse pourront être calculésen ajoutant une « source diffusante » au point de réflexion sur la paroi. De même, poursimuler des phénomènes de diffraction il est possible d’introduire une « source diffractante »supplémentaire au passage d'une paroi singulière (cf. Figure 20 et Figure 21). La difficulté deces procédés consiste à définir des atténuations et des directivités spécifiques aux sourcessupplémentaires. Il faut, pour cela, se référer aux théories de la diffraction et de la diffusion[POL88b] .Cependant, à cause des temps de calcul important engendrés par l’introduction de cessources, ainsi qu’en raison de la faible incidence de ces phénomènes dans des salles simples,le programme ne tiendra pas compte de ces effets. Il se contentera donc du calcul desréflexions spéculaires.Une fois la position de la source image calculée par la méthode exposée ci-dessus, ilest nécessaire de revenir à des questions d’ordre acoustique. Déterminons et justifions alors laloi de sommation des sources mises en jeu.47

SPO = S diffusS'Figure 20 - Ajout d'une source diffusante à la réflexion spéculaire.SS diffractFigure 21 - Ajout d'une source pour simuler la diffraction.II.1.2 Loi de sommation.Nous venons de calculer S', la source image de S grâce à une opération de symétrie :grâce à S’ appelée aussi « source de rang 1 », nous pouvons déterminer le trajet du rayoncorrespondant à la réflexion de S sur la paroi. Reste maintenant à évaluer la pressionacoustique effectivement perçue au point d'écoute P. En ce point, les contributions du champdirect et du champ réfléchi se font sentir. Si nous considérons les lois de l'acoustique commelinéaires (petits déplacements d'air, pas de turbulences, ...) alors la loi de contributions de ces48

deux champs est une simple addition point par point. Nous pouvons donc écrire le champrésultant (r,t), à tout instant, en fonction des champs direct d (r,t) et réflechi r (r,t) :Ψ ( r,t)= Ψd( r,t)+ Ψr(r,t)Il est difficile de résoudre cette équation dans le cas général car il faut calculer cettesomme à tout instant et en tout point de l'espace. En revanche, si la distance r est fixée par laposition du point d’écoute, le problème se simplifie, car seule la dépendance temporelle doitêtre prise en compte. Pour résoudre cette dernière difficulté, il est naturel de faire appel autraitement du signal en calculant cette somme pour un pic de Dirac (nous détaillerons ceprocédé au paragraphe III.1). Nous obtenons alors la réponse impulsionnelle d'un systèmeconstitué d’une source primaire et de sa source image.Exemple de calculSoit S une source située à une distance a d'une paroi et P un auditeur situé à cette mêmedistance a de la paroi mais distant de b de la source primaire (cf. Figure 19). Nous cherchonsla réponse impulsionnelle produite par cette configuration.Champ direct : Si la source S émet un signal sous la forme d'une impulsion de Dirac,alors ce signal est perçu en P avec un décalage temporel équivalent au temps de propagationdu son de la source à l'auditeur. Ici, avec c la célérité du son, cette distance est b et le temps depropagation d s'écrit :bτ d =cDe plus, la source S étant considérée comme sphérique, la pression en un point estinversement proportionnelle à la distance r (voir annexe B).Nous pouvons ainsi écrire le champ direct d (r,t) au point P :Où (t) est une impulsion de Dirac.ψ 1d( P,t)= δ ( t −τr)bNous constatons que l'onde directe est la même que celle produite à la source à un retard degroupe de d et à une atténuation en1 bprès.49

Champ réfléchi : De même que pour le champ direct, l'onde réfléchie arrive àl'auditeur avec un certain retard et une certaine atténuation. Calculons le retard en fonctiondes données du problème : il correspond à la longueur du rayon réfléchi l qui s'écrit :l = SO+OPAvec O, le point de réflexion sur le plan .Pour calculer l la solution la plus simple consiste à remplacer le point S par sonsymétrique S' suivant la méthode des sources images. Or, comme nous l'avons montré plushaut, la distance cherchée correspond à la longueur du segment [S’P] soit :D’où :Et un retard de groupe r :l = S'Pl = +τ r =4a2b24 a2+bcAinsi que la pression créée par l’onde réfléchie au point P :ψ r(P,t)=14a2+b22δ ( t−τr)En définitive, la somme des champs direct et réfléchi est la somme de deux pics deDirac séparés d'un temps = d - r . Elle s'écrit :ψ ( P,t)=14a2+b2δ ( t−τr)+1 δ ( t−τd)bdeτIl s'agit d'un filtre en peigne dont les maxima de la réponse fréquentielle sont écartés1 Hz et dont le premier zéro est trouvé pour la fréquence 0 = 12 τf .Un exemple est donné ci-dessous (Figure 22 et Figure 23) de l'influence d'une paroi sur unesource ; celle-ci étant située à 1 m de la paroi et l'auditeur placé à 2 m d'elle.50

Figure 22 - Réponse impulsionnelle numérique d'unesource et de sa réflexion sur une parois. a=1m, b=2m.Figure 23 - Réponse en fréquence du filtre en peigneci-contre.Nous retrouvons, par ce calcul, les effets de filtrage des parois et des obstaclesparticulièrement critiques lors de la mise en place d'enceintes acoustiques dans un auditorium.Ce filtrage en peigne intervient dès lors que les sources interagissent avec les parois d’unepièce. Ainsi, si l'auditeur et la source sont alignés sur la perpendiculaire au mur, la sourcen’est entendue sans perturbation que pour des longueurs d'ondes telle que :Où a est la distance de la source au mur.λ > 4aDans la pratique, c'est ce phénomène qui encourage les acousticiens à éloigner les enceintesdes murs pour obtenir une réponse cohérente dans les basses fréquences.Pour conclure, la méthode des sources images simule des modifications du champacoustique engendré par l'ajout d'une paroi comme si celle-ci avait été remplacée par unesource image lui correspondant. Un problème complexe de conditions aux limites setransforme donc en une simple addition de sources en champ libre. Il faut alors généraliser laméthode pour calculer ces sources images dans une salle quelconque.II.1.3 Généralisation de la méthode à l'acoustique des salles.Construction de la constellationAprès avoir déterminé une technique de tracé de rayon par la méthode des sources imagespour une parois, il faut étendre le procédé pour une salle contenant N parois.51

Pour trouver tous les rayons joignant une source à son auditeur via une seule réflexion,il faut tracer les symétriques de cette source de rang 0 par toutes les parois de la pièce. Nousobtenons ainsi l’ensemble des sources images de rang 1. Ensuite, les rayons ayant subis deuxréflexions sont obtenus en calculant les symétriques des sources de rang 1 par les parois. Nousdécouvrons alors toutes les sources dites « de rang 2 ». Par récurrence, les sources de rang Nsont calculées par symétrie successive des sources images engendrées par réflexion dessources de rang N - 1. En suivant ce procédé, nous retrouvons l’ensemble des images formantla constellation de la salle à simuler.Notons qu’à chaque rayon acoustique ayant été dévié par N réflexions, il existe unesource image unique de rang N et une suite unique de N - 1 sources de rangs inférieurs luicorrespondant. C’est la connaissance de cette suite qui permet de déterminer complètement lerayon à tracer. Il est alors possible de construire l’arbre généalogique des sources images de lasalle comme sur la Figure 24 en se référant à la notion de sources mères et de sources« filles » introduite au paragraphe II.1.1. Chaque source « mère » de rang n engendre dessources « filles » de rang n+1. A priori, si la salle contient k parois, une source « mère » nepeut engendrer plus de k sources « filles » 1 . Par construction, nous retrouvons la formule dunombre maximal de sources au rang N du paragraphe I.1.4.SS 1 S 2 S 3 S 4S 11 S 12S 13 S 14 S 21 S 22 S 23 S 24 S 31 S 32 S 33 S 34 S 41 S 42 S 43 S 44S 111S 112 S 113S 114Figure 24 - Arbre généalogique d'une salle à 4 parois avec en gras, le trajet de la suite de sourcesdéfinissant le rayon acoustique de S 114 .1 Nous verrons au paragraphe II.2 que ce nombre est en fait souvent plus restreint.52

Pour illustrer la construction d'une constellation, nous suggérons d'étudier lecomportement des rayons acoustiques dans un angle formé par deux parois réfléchissantes.Exemple de calcul de sources images dans un angleNous plaçons une source S(4,1) dans un angle formé de deux parois 1 et 2 parfaitementréfléchissantes formant un angle de 45° au point O(0,0). Un auditeur P se situe au point decoordonnée (5, 2.5). La constellation de sources images se construit par réflexion successivede S sur les parois : La Figure 25 illustre la construction des sources se situant toutes sur lecercle de centre O et de rayon OS.Nous distinguons deux branches de l'arbre généalogique : celle caractérisant les rayonsdont la première réflexion à lieu sur la paroi 1 (source S 1x ) ; celle caractérisant les rayonsdont la première réflexion a lieu sur la paroi 2 (source S 2x ).A partir des sources images, les rayons acoustiques se construisent par recoupementdes rayons joignant les sources et les parois. Prenons l'exemple de la source S 121 . Pour tracerle rayon lui correspondant (en gras Figure 26), il faut déterminer les points singuliers parlesquels il change de direction. Le premier est obtenu en traçant le point d'intersection de ladroite (S 121 P) et de la paroi 1 : appelons ce point R 121 . Ensuite, le point suivant R 12 se situe àl'intersection de la droite (R 121 S 12 ) et de la paroi d'où provient S 12 , c'est à dire 2 . Le dernierpoint de réflexion R 1 se situe au croisement des droites (R 12 S 1 ) et 1 . Le rayon cherché estdonc la ligne brisée définie par les points : P, R 121 , R 12 , R 1 et S. Les autres rayons sont trouvésde cette façon en partant d’une source image différente. Pour obtenir la totalité des rayons, ilsuffit de superposer les Figure 26 et Figure 27 et ajouter le trajet correspondant au champdirect. La réponse impulsionnelle obtenue dans une telle configuration est montrée Figure 28.Cette méthode itérative permet de passer des sources images aux rayons acoustiques :elle sera très utile par la suite pour vérifier la validité des sources calculées (voir paragrapheII.2) et contrôler visuellement les calculs du programme.53

S 21 S 1 1PS 121SOS 1212 2S 2S 2121S 212 S 12Figure 25 - Constellation de source image dans un angle.S 1R 121PS 121R 1SR 12S 1212 1 2S 12Figure 26 - Tracé des rayons issus de la première branche de l'arbre généalogique des sources images.54

PSS 21 1 2S 2S 2121S 212Figure 27 -Tracé des rayons issus de la deuxième branche de l'arbre généalogique des sources images.Figure 28 - Réponse impulsionnelle d'une source dans un angle à 45° pour un coefficient d'absorption desparois de 0,36. Fs = 44.1 KHz.55

II.1.4 Programmation : les fonctions « reflex.m » et « matrice.m »Algorithme de réflexionLa fonction « reflex.m » permet le calcul de ces réflexions spéculaires par une méthodematricielle. Elle accepte en entrée les coordonnées d’un point P ainsi que celles de deuxpoints par lesquels passe une droite (d). Cette fonction renvoie les coordonnées du point P’,symétrique de P par (d). Pour cela, elle va opérer une rotation de 180° autour d’un point Hconstruit par projection normale de P sur la droite (d) (cf. Figure 29).PH180°P’Figure 29 - Illustration de la méthode de construction de symétrique par rotation de 180° autour duprojeté normal à la paroi.En utilisant les coordonnées homogènes du plan, la matrice de rotation à 180° autour du pointde coordonnée H(x H , y H ) s’écrit :( 4−1 0 00−102x2y1HH56

Reste à déterminer les coordonnées du point H en projetant le point P suivant un vecteurnormal à (d). Sachant que si la droite (d) a pour coordonnées homogènes : ( a b c )D = ,alors la distance de xPP =yP à (d) s’écrit : 1dH=1DD⋅P=axP+byP+1a2+b2Les coordonnées homogènes du point H sont alors données par le produit d’une matrice detranslation de vecteur (-a,-b) et d’un vecteur colonne des coordonnées homogènes de P. Soit : xH = y 1HH 1= 00010−a.d−b.d1HH⋅PLe produit de la matrice de rotation ( 4 par le vecteur colonne des coordonnées de P donnedonc la position du point P’ dans le plan.Il faut noter que le recours aux coordonnées homogènes est un avantage en terme declarté et de présentation des opérations mais n’est pas forcément performant en terme derapidité de calcul. La fonction « reflex.m » se situe en effet au cœur du programme et va êtreappelée de nombreuse fois. Il serait donc intéressant de travailler à l’optimisation de cetalgorithme.Deux pistes sont d’ores et déjà envisageable :- de manière simple, il est envisageable de décomposer les calculs matriciels enséries de multiplications et d’additions. Nous évitons ainsi au programmed’appeler des fonctions externes.- de façon plus technique, il est possible d’utiliser un DSP 1 dédié à ce type decalcul. Nous savons qu’aujourd’hui, certaines cartes graphiques se sontspécialisées dans les opérations de géométrie projective en coordonnéeshomogènes pour le rendu d’objets 3D. Il serait donc intéressant d’utiliser laressource de calcul disponible sur ces cartes afin d’accélérer la vitessed’exécution de cette fonction.1 Digital Signal Processing, microcontroleur dédié et optimisé pour une tache précise.57

Algorithme de constructions des sources images.La fonction « matrice.m » se charge de la construction et de la gestion des sources images.Son rôle est de renvoyer un tableau appelé « mater » dont chaque ligne correspond à unesource image. Les colonnes renseignent un certain nombre de propriétés de la source commeindiqué dans le tableau de la Figure 30. Ces propriétés permettent au programme de construirela constellation de sources de façon itérative, puis de traiter les données pour synthétiser laréponse impulsionnelle correspondante.x y zN° de laface d’oùprovient lasource1 : si lasource estvue0 : sinonNuméro deligne de lasource mèreRang de lasourceAtténuationpar lesparoisFigure 30 - Présentation du tableau « mater ».Les données présentes dans le tableau sont :- Les coordonnées x, y, z permettent de localiser la source dans l’espace- Le numéro de la face d’où provient la source permet de repérer la paroi qui l’aengendrée et ainsi, de retrouver le coefficient d’atténuation correspondant à laréflexion.- Visibilité de la source : ce paramètre qui sera déterminé par la suite vaut 0 ou 1 etindique si la source en question est vue ou non par l’auditeur (voir II.2.2).- Le numéro de ligne de la source mère permet de retrouver la généalogie de cettesource pour pouvoir, entre autre, tracer le rayon acoustique lui correspondant.- Le rang de la source indique combien de réflexions ont été nécessaires pourl’engendrer. Visualiser ce paramètre s’avère intéressant pour contrôler les étapesdu programme ; de plus, il permet de faire des calculs statistiques d’atténuation quiserviront pour l’extension stochastique de la constellation (voir III.4).- L’atténuation par les parois sera renseignée par la suite. Ce coefficient détermine lafaçon dont la source doit être atténuée lors de la reconstruction de la réponseimpulsionnelle (voir III.2).La fonction « mater.m » ne calcule pas à elle seule tous ces paramètres et le tableau seremplie au fur et à mesure de l’avancement du programme. Elle s’attache principalement à58

déterminer la position des sources images dans un plan à deux dimensions. A cette effet, elleutilise l’algorithme de la sous-fonction « reflex.m » pour trouver les symétriques des sources àtraiter. Une boucle « for » va alors analyser les sources une à une tout en construisant leurssymétriques si nécessaires. Une sous-boucle teste ensuite la pertinence 1 de la réflexion dessources images sur chaque paroi de la pièce avant calcul de la réflexion. La boucle s’arrêtelorsqu’un de ces évènement intervient :- le nombre de réflexion dépasse celui demandé par l’utilisateur ;- toutes les sources ont été analysées sans avoir atteint le nombre de réflexionsouhaitéLe procédé que nous avons exposé constitue la base de la méthode des sources images.Cependant, l’extension du nombre de réflexions croit exponentiellement avec l’ordre decelles-ci, mais rien n’assure que ces calculs sont systématiquement justifiés. En effet, toutesles images de la constellation ne correspondent pas forcément à une réalité physique. Nousdevons donc déterminer des critères fiables permettant de s’assurer de l’existence physiquedes sources générées.1 Ici, il faut entendre pertinence au sens de « validité » : c’est le rôle de la fonction « validite.m ». Ce point seraabordé plus en détail au paragraphe II.2.59

II.2 Critères de sources.Après avoir décrit la méthode de construction des sources images et trouvé desmoyens de reconstruction des réponses impulsionnelles, il faut maintenant revenir sur lapertinence des images calculées. Nous avons déjà vu (voir I.1.4) qu'un grand nombre desources images calculées n'étaient pas perçues en tant que telle par l'auditeur : il faut doncdéterminer des tests permettant de faire le tri. En première analyse, deux critères se dégagent :un critère de « validité » correspondant à l'existence physique des sources et un critère de« visibilité » lié à la perception des sources par l'auditeur.II.2.1 Discussion sur la « validité » des sources images.L'algorithme de construction des constellations de sources images vu au II.1.3 définitun arbre généalogique dont le nombre total de sources est :n(N,k)= Ni=0k( 5iAvec N le nombre de réflexions calculées et k le nombre de parois de la salle. Ce calcul prenden compte toutes les branches possibles de l'arbre de telle sorte que chacune d'elle engendre kbranches au rang supérieur (voir Figure 24). Nous allons voir qu'en fait, le nombre de sourcesréelles est bien inférieur à cette valeur car de nombreuses sources ne peuvent pascorrespondre physiquement à des rayons acoustiques.DéfinitionUne source est dite « valide » s'il lui correspond un rayon acoustique se propageant réellementà l'intérieur de la salle. En d'autres termes, ce critère nous avertit si une source est physique oune l'est pas. L'existence d'une source non valide impose donc la suppression de celle-ci dansl'arbre généalogique ainsi que de toute sa descendance. Il faut donc noter que :Toute source non valide est « stérile ».60

Le rôle de ce critère sera donc principalement d'éviter la démultiplication des images etd'alléger les calculs. Il est intéressant de remarquer que la validité d’une source ne dépend pasde la position de l'auditeur mais uniquement de son emplacement par rapport à la dispositiondes parois de la salle.Salle convexeDans une salle convexe (sans angle rentrant), les seuls cas de sources non validescorrespondent aux réflexions par les faces extérieures des murs. L'exemple canonique de cettesituation est une source image engendrée par une paroi qui ne peut pas se réfléchir à nouveausur cette même paroi 1 comme le montre la Figure 31. Cet exemple indique, en fait, qu'unrayon acoustique ne peut pas se réfléchir deux fois de suite sur une même paroi plane.De façon plus générale, il faut définir un sens de réflexion pour chaque paroi. Lesmurs sont donc dotés d'un coté « face » réfléchissant et d'un coté « dos » extérieur à la salle :le critère de validité consiste finalement à ne jamais réfléchir une source se situant au "dos"d'un mur.Source non-valideSS 11PIMPOSSIBLEOS 1Figure 31 - Construction de source image impossible.Salle concaveDans une salle concave, le critère de validité est plus difficile à évaluer. En effet, dans ce typede lieu, certaines faces peuvent se retrouver dos à dos et engendrer une suite de sources1 Auquel cas, elle se retrouverait confondue avec la source du départ.61

images non valides. La Figure 32 montre justement un exemple de ce type de constructionnon réaliste : nous voyons que la source S 12 ne peut pas exister car aucun rayon ne peut serefléter sur 1 puis sur 2 .De même, d'autres dispositions de parois peuvent générer des sources images necorrespondant à aucun rayon possible. Par exemple, sous certaines conditions, lorsque deuxfaces sont disposées « dos à face », les rayons ne peuvent pas frapper l'une puis l'autre paroi(voir Figure 33).SS 12PSource non-valide 1IMPOSSIBLE 2S 1Figure 32 - Construction de source image impossible murs dos à dos.SPS 1 1IMPOSSIBLE 2S 12Source non-valideFigure 33 - Construction de source image impossible murs dos à face.62

Il existe cependant des situations plus ambiguës où il est difficile de dire si la sourceengendrée sera ou non validée. La Figure 34 illustre un cas de figure où les dimensions desparois empêchent certaines combinaisons de réflexions d'exister. La difficulté de cettesituation réside dans le fait que les faces sont partiellement « dos à face » et « face à face ».Nous ne pouvons donc statuer sur la validité des sources images qu'en fonction de la positionde sa source mère. En fait, pour traiter rigoureusement ce cas, il faudrait séparer la paroi 2 endeux faces, l'une engendrant des sources invalides avec 1 et l'autre des sources valides. Lacomplexité engendrée par ce type de raisonnement nous conduit à penser, qu'en pratique,mieux vaut comptabiliser ces sources. Afin d’éviter un risque d’invalider pour elles et toutesleurs descendances, il vaut mieux les prendre en compte : elles seront éliminées ensuite par lecritère de « visibilité ». 2S 1S 1?S 2Figure 34 - Disposition de parois ambiguë : face à face et dos à dos.II.2.2 Discussion sur la « visibilité » des sources.Le critère de validité correspond à la possibilité d'existence physique de rayonacoustique joignant deux points de la salle : comme nous l'avons vu, il est complètementindépendant du point d’écoute. En revanche, le critère que nous allons introduire dans ceparagraphe est fonction de la position de l’auditeur puisqu'il est question de savoir si la sourceen question est « vue », ou plutôt « entendue ».Définition.Une source de rang n est dite « visible » s'il lui correspond un rayon acoustique réel joignantla source de rang 0 et l'auditeur via n réflexions. Par analogie avec l'optique, cela revient àvérifier que la source image est bien vue par l'auditeur et non masquée par un obstacle63

quelconque (limites de parois, parois masquantes,…). Contrairement aux sources non valides,une source invisible peut engendrer des sources visibles à des rangs de réflexions supérieurs.Ainsi :Toute source invisible est potentiellement « fertile ».Il faut donc les prendre en compte dans le calcul de la constellation mais les rendre muettes aumoment de la reconstruction de la réponse impulsionnelle.Salle convexe.Dans les salles convexes, c'est la limitation des parois qui est à l'origine du masquage decertaines sources. L'exemple de la Figure 35 montre qu'une source image n'est vue que dansune certaine partie de l'espace correspondant au plus grand faisceau limité par les frontières dela paroi. L'auditeur ne perçoit donc S 1 que s'il se situe dans la zone d'influence de cette source.La Figure 36 montre qu'une source image invisible reste fertile : dans la situation de laFigure 35, l'ajout d'une paroi réfléchissante supplémentaire permet d'intercepter le faisceaupour le rediriger vers l'auditeur. La source de rang 1 n'est toujours pas visible contrairement àla nouvelle source de rang supérieur. Dans l'algorithme de construction de la constellation, ilfaut donc bien tenir compte de toutes les sources invisibles.Zone d'ombre deSZone de visibilité dela source S 1Pla source S 1P'Zone d'ombre dela source S 1O 1S 1Figure 35 - Zone d'influence d'une source image par rapport aux limites d'une surface de réflexion. S 1 estvisible pour P et non pour P'.64

S 12S 2P'O 1S 1Figure 36 - P'ne voit pas S 1 mais voit S 12 .Salle concaveDans les salles concaves, des murs rentrants peuvent devenir masquants pour certainessources. En d'autres termes, un rayon censé joindre deux parois (ou une paroi et un auditeur)peut être intercepté par un mur et dévier de sa trajectoire (voir Figure 37). Il est doncnécessaire de vérifier que chaque rayon émis par la source primaire arrive bien à destinationsans rencontrer d'obstacle.Notons néanmoins qu’en pratique, des phénomènes de diffraction interviennent danscette situation. Il n'est alors pas dit que des rayons acoustiques ne parviennent pas àcontourner l'obstacle : il serait possible d’intégrer ces effets en plus des réflexions spéculairesmais le modèle de simulation proposé n’en tient pas compte. Dans ces hypothèses, il estlégitime de ne pas retenir une source invisible dans la reconstruction de la réponseimpulsionnelle.65

S 1SS 2IMPOSSIBLEPFigure 37 - Exemple de source masquée par un mur de la salle. la source S 1 est invisible pour P car uneparoi intercepte le rayon.La détermination des sources visibles et invisibles peut se faire de différentesmanières. J. Borish [BOR84] propose une méthode itérative de calcul des zones d'influencedes sources successives. Sa théorie revient en fait à tracer et à vérifier les rayons associés àtoutes les sources images. Pour chaque rayon, il faut donc déterminer la suite de sourcesimages lui correspondant et analyser les points d'intersection des rayons avec les faces de lasalle : une source sera visible si tous ces points d'intersection se situent à l'intérieur de la salle.Si certaines parois sont potentiellement masquantes, il faudra systématiquement vérifier queles rayons ne les interceptent pas. Ce procédé, s’il n'est pas la plus rapide, est sans doute leplus fiable car il permet de vérifier rigoureusement le trajet acoustique de chaque source.Comme toute image non valide n'est pas visible, nous pourrions, en définitive, nouscontenter de ce dernier critère. Cependant, comme les sources invisibles sont fertiles et nedoivent pas être supprimées de l'arbre généalogique, cela demanderait la gestion d'un nombrede sources trop important. En d'autres termes, si le critère de visibilité permet de s'assurer del'existence d'un rayon entre la source et son auditeur, le critère de validité reste un simpleaccélérateur de calculs.II.2.3 Les problèmes liés aux critères de sources.La complexité de mise en œuvre de la méthode des sources images réside dans letemps de calcul. Celui-ci croit en effet exponentiellement avec le nombre de faces et la66

quantité de réflexions demandées (cf. formule ( 5). Il faut noter que la plupart des sourcesgénérées ne satisfont pas aux différents critères et ne sont donc pas prises en compte dans laréponse impulsionnelle au final. Trop de sources calculées restent alors invisibles à l'auditeuret la perte de temps engendrée par ces opérations inutiles n'est pas sans poser problème (voirAnnexe C pour une discussion plus précise sur les temps de calcul). Le tableau de la Figure38 indique les quantités de sources images de la constellation d'une salle hexagonale pour 6réflexions géométriques : seulement 2% des sources valides sont effectivement vues et moinsde 0.2% des sources possibles se retrouvent finalement dans la réponse impulsionnelle. Cesrésultats sont représentés sur les schémas de constellation de la Figure 39 : en comparant ladensité d’images visibles et invisibles, il devient clair que les sources valides calculées sontbeaucoup plus nombreuses que les sources vues.En fait, un rang de réflexion élevé va générer un nombre très important de sourcesvalides par rapport à la quantité de sources visibles au final. Le tableau de la Figure 40récapitule pour chaque niveau de réflexion, le nombre de nouvelles sources engendrées. Pourun taux de source visible de 100% à la première réflexion, nous n'obtenons plus que0,00005% de sources vues au rang 10. Les résultats de ce tableau sont reportés sur le graphede la Figure 41 : nous montrons ainsi que plus le rang de la source à traiter est élevé, plus laprobabilité qu'il soit vu par un auditeur est faible. Cela s'explique par le fait que le faisceau derayons issus de la source s'amincit à mesure qu'il vient se refléter sur les faces de la salle. Enconséquence, il serait intéressant d'étudier de plus près un moyen d’anticiper la visibilité d'unesource et de sa descendance avant tout calcul pour accélérer l’exécution du programme.Nombre de sources Nombre de sources Nombre de sourcesNombre de réflexionsimages sans critère images Validesimages Visible6 55987 4400 106Figure 38 - Nombres de sources de la constellation d'une salle hexagonale 2D en fonction des différentscritères de source.67

pourcentage de sources vues1009080706050403020100rapport sources vues /sources totalrapport sources vues /sources valide1 2 3 4 5 6 7 8 9 ordre de réflexionFigure 41 - Pourcentage de sources vues en fonction de l'ordre de réflexion qui les a générées.II.2.4 Programmation : les fonctions geometrie.m, validite.m, sourcevu.mFonction de définition des paramètres de la salleLe programme réalisé propose de définir la géométrie de la salle en deux dimensions face parface. La fonction géométrie.m, doit indiquer la position des parois dans un tableau référencésous une structure nommée « struct.salle ». La répartition des données de ce tableau estprésentée Figure 42 : les quatre premières colonnes indiquent les coordonnées des extrémitésde la paroi, la cinquième vaut 1 si la face peut potentiellement masquer des rayons (cas desfaces rentrantes) et 0 sinon. Enfin, la dernière colonne précise la hauteur de la salle à lapremière ligne et vaut 0 aux lignes suivantes. Il faut noter que chaque face est définie suivantun vecteur fixé dans l’espace. Le sens de réflexion des faces est donné par le sens de rotationdu vecteur autour du point d’origine du repère : une face tournant dans le senstrigonométrique réfléchira des rayons vers le centre du repère et inversement (cf. Figure 43).Pour des raisons liées à la singularité de l’origine du repère, nous conseillons de dessiner lasalle autour de celui-ci et de ne jamais faire passer de parois par ce point. De même, dans ce69

tableau, il est nécessaire de définir les faces par permutations circulaires et de placer en fin detableau les murs intérieurs n’influençant pas le volume et la surface de la salle 1 .Coordonnée xCoordonnée yCoordonnée xCoordonnée y1 : si la faceHauteur de ladu point dedu point dedu point dedu point deestsalle à ladépart de ladépart de lad’arrivée de lad’arrivée de lamasquante,première ligne, 0facefacefaceface0 : sinonensuiteFace n°1Face n°2…Figure 42 - Description du tableau « struct.salle » définissant la géométrie de la salle à simuler.Face n°2Face n°3Point d’arrivée de la face n°1Coté nonréfléchissantCotéOréfléchissantFace n°1Face n°4Face n°5Face n°6Point de départ de la face n°1Figure 43 - Illustration de la construction d'une salle dans la fonction geometrie.m. Le sens des vecteursfacesdéfinit l’intérieur et l’extérieur des parois.Comme nous le verrons par la suite (paragraphe III.2), il est possible de définir uneabsorption pour chaque paroi en fonction de la fréquence. Les coefficients des matériaux sontécrits par bandes de fréquence dans le tableau « struct.absorption » (cf. Figure 44).1 En toute rigueur, des murs placés à l’intérieur de la salle ne doivent pas coller strictement les parois sous risqued’erreur lors du calcul automatique de la surface de la salle et du volume de la salle par la fonction « persurf.m ».70

Bande 1 Bande 2 Bande 3 Bande 4 Bande 5 Bande 6 Bande 7 Bande 8 Bande 9Face n°1Face n°2…Figure 44 - Description du tableau « struct.absorption » définissant l’absorption de chaque paroi enfonction de la bande de fréquence considérée.Fonctions de tests sur les critères de salleLe test de validité est effectué avant toute construction de source pour permettre de réduire lestemps de calcul. La fonction « validite.m » est chargée de cette tache au sein de la fonction« mater.m ». En fonction d’un certain nombre de paramètres (coordonnées de la source image,coordonnées des parois, numéros des faces mère et grand-mère où la source doit se refléter etd’où la source provient), la fonction renvoie 1 si la source est valide et 0 sinon.La méthode retenue pour le tri des sources valides se divise en deux étapes. Dans unpremier temps, le programme vérifiera que la source mère à traiter se situe bien du côtéréfléchissant de la paroi. Nous calculons pour cela le produit scalaire du vecteur normal à laparoi avec un vecteur joignant un sommet de la face à la source image (cf. Figure 45). Si sonsigne est strictement positif, alors la source se situe coté réfléchissant et peut donc êtrereflétée.Dans un second temps, le programme teste la configuration des surfaces de réflexionen question : il faut s’assurer que la paroi mère fait face à la paroi grand-mère. Pour cela, leproduit scalaire des vecteurs joignant les sommets des faces avec le vecteur normal à la paroimère doit être négatif (cf. Figure 46).En fait, pour cette dernière étape, les sources images seront supprimées uniquement siles parois sont dos à dos car dans cette situation, l'invalidité des sources est assurée. Enrevanche, le cas des parois dos à face engendrera des sources valides qui serontéventuellement supprimées par le critère de « visibilité ».Si ces deux sous-critères sont vérifiés, la source est déclarée valide et la fonction« matrice.m » peut inscrire ses paramètres dans le tableau « mater ».71

SEn dernier lieu, une fonction indépendante, « sourcevu.m » doit analyser chaque sourcepour s’assurer de leurs visibilités par l’auditeur. Elle complète la colonne n°5 du tableau« mater » par un 1 si la source est vue ou bien par 0 sinon. Cet algorithme trace les rayonsacoustiques possibles dans la salle et recherche d’éventuelles aberrations dans leurs trajets :- Si l’auditeur ne se situe pas dans la zone d’influence de la source, alors desréflexions non physiques à l’extérieur des parois de la salle vont avoir lieu. La sous-72v nv testv test . v n > 0S’Figure 45 - Illustration de la méthode pour vérifier qu'une source se trouve face à une paroi. Ici, la sourceS’ est valide.Su 1u 2v testv nu 1 . v n < 0 etu 2 . v n < 0S’Figure 46 - Illustration de la méthode pour vérifier qu'une paroi mère se situe face à une paroi grandmère.Ici, la source S’ est valide.

fonction « croisement.m » qui calcule les coordonnées du point d’intersection de deuxsegments en fonction des coordonnées de leurs extrémités, renvoie un 1 si le pointd’intersection appartient bien au segment et 0 sinon. Ainsi, il est possible de dire si unrayon acoustique se réfléchit bien à l’intérieur d’une paroi pour garantir la visibilitéd’une source.- Si une paroi potentiellement masquante se trouve en travers du chemin d’un rayonalors, le programme détecte cette intersection et la source devient invisible.Ici, la fonction « croisement.m » est au centre de l’algorithme et mériterait un travaild’optimisation pour accélérer les calculs. Elle utilise la sous-fonction « intersection.m » quirenvoie les coordonnées du point d’intersection de deux droites à partir de leurs coefficientshomogènes. Le procédé utilisé est un solveur d’équation linéaire (« linsolve.m ») proposé parMatLab qui résoud le système d’équation définit par ces droites. C’est précisément cetalgorithme qui pourrait faire l’objet d’une attention particulière lors d’une étude ultérieure.Tout comme pour la gestion de l’absorption par les parois de la salle, la fonction« sourcevu.m » doit remonter l’historique des sources pour retracer les rayons point par point(voir II.1.3 pour la méthode de construction des rayons). Elle utilise encore le fait que laposition de la source mère est indiquée à chaque ligne du tableau « mater ». Il est ainsipossible de retrouver la suite de réflexions ayant engendrée une source.Ici, nous avons pu exposer les problématiques ainsi que les outils mathématiquespermettant de traiter des questions de critères de sources dans le cas général. Afin de bienexpliquer ces notions, il est essentiel de comprendre le passage de la constellation au tracé desrayons acoustiques qui, en définitive, ne sont que deux manières distinctes de représenter unmême phénomène.73

* * *Les fondements de la méthode des sources images que nous proposons d’utiliser dansnotre programme ont trouvé, dans ce paragraphe, leur justification théorique. De même, uncertain nombre d’explications sur sa mise en pratique ont été fournies pour permettre unemeilleure compréhension des problématiques posées. En revanche, les solutions proposées,même si elles découlent de nos recherches, ne sont pas nouvelles car de nombreuses d’étudesfont déjà état de ces questions. Cette étape de reconstruction théorique a malgré tout éténécessaire pour partir d’une base solide avant d’améliorer la méthode.Les fondations validées, nous pouvons dès lors nous intéresser à l’extension dumodèle pour répondre réellement au cahier des charges fixé.74

III Extension de la méthode des SourcesImages.Après avoir défini les limites de validité de notre programme à partir de l’étude desdifférentes méthodes existantes et justifié les bases de la méthode des sources images, nousentamons le dernier chapitre de cette étude pour tenter d’étendre les caractéristiques de notresimulateur. La méthode employée jusque là est assez limitée et ne rend compte que d’unfaible nombre de caractéristiques acoustiques.Allons plus loin. En envisageant, dans un premier temps, les calculs du point de vue dutraitement du signal. Il sera ainsi possible de répondre à la problématique posée parl’absorption des parois en fonction de la fréquence. Ensuite, Les calculs étant pour l’instantréalisés en deux dimensions, nous devrons trouver un moyen d’augmenter la densité d’échoen intégrant la troisième dimension au programme. Enfin, nous verrons pourquoi il estnécessaire de faire appel à des notions statistiques pour simuler l’intégralité des réponsesimpulsionnelles75

III.1 Approche par le traitement du signal.Une fois la constellation d’une salle construite, il reste à transposer les résultats obtenusdans le domaine temporel pour déterminer sa réponse impulsionnelle. Nous avons vu, auchapitre précédent (II.1.2), que la solution la plus simple, consiste à sommer la contributionde chaque source image sous forme d’impulsions de Dirac. Cette opération suggèrenaturellement de faire appel aux procédés de traitement du signal manipulant élégamment cesfonctions. Passer par cet outil mathématique, nous permet de retrouver simplement lesréponses des salles, tout en améliorant et en raffinant notre modèle. Pour commencer, nousdéfinissons une équivalence entre une source et un filtre dans le cas général. Ensuite, nousdéterminons un modèle pour ramener la constellation du domaine spatial vers le domainetemporel. Afin de permettre la reproduction du son spatialisé, nous étudions également laquestion du point d'écoute. Pour finir, nous abordons ces questions d’un point de vue pratiqueen décrivant les fonctions à implémenter pour réaliser ces taches.III.1.1 Equivalence source/filtre.Nous considérons une source émettant une onde sphérique en champ libre. Dans cesconditions, nous pouvons montrer que l'atténuation de la pression en fonction de la distance rest proportionnelle à1 (annexe B). Nous considérons l'air comme un fluide sans perte (pasrde viscosité) et nous supposons qu’aucun obstacle n'est rencontré. Dans ces conditions, seulel’atténuation géométrique est à prendre en compte. De plus, pour une position d'auditeurdonnée, l'onde met un certain temps à se propager de la source jusqu'au point d'écoute : cetemps peut être vu comme un retard proportionnel àr (avec c la célérité du son). Si cecretard s’exprime en échantillons, celui ci s'exprime alors comme la valeur entière la plusproche de :r. c Fs , où Fs est la fréquence d'échantillonnage du signal. Ainsi, en champ libre etdans ces hypothèses de linéarités, une source est complètement définie par un certain retard etune certaine atténuation. D'où l'équivalence avec le filtre présenté Figure 47.76

Entrée :1r−Z r.c FsSortieAtténuationRetardFigure 47 – Filtre équivalent à une source en champ libre pour une position d'auditeur donnée.Il faut noter que ce modèle n'est valide qu'en trois dimensions. Pour travailler sur deuxdimensions seulement, une modification du gain est nécessaire. Comme l'atténuationgéométrique 2D correspond à une décroissance enla valeur de l'atténuation du filtre par celle-ci.1 (voir annexe B) il suffit de remplacerrEn définitive, représenter une source par son filtre équivalent constitue la premièreétape de la reconstruction de la réponse d'une salle à partir de ses sources images.III.1.2 Equivalence espace/temps.Après avoir défini un filtre équivalent pour une source, il devient nécessaire degénéraliser le procédé pour trouver le filtrage associé à la salle. L'objectif est donc, ici, dedéterminer un modèle de filtre simple dont la réponse impulsionnelle est la même que celle dela salle à simuler.Cette opération consiste, en fait, à passer d'une représentation de sources dans l'espaceà une représentation d'impulsions dans le temps. L'équation linéaire permettant le passage del'un à l'autre s’écrit :t =avec t, le temps de retard de l'impulsion ; r, la distance de la source à l'auditeur et c, la céléritédu son dans l'air.Ainsi, la connaissance des distances sources-auditeur permet un passage trivial vers ledomaine temporel. Or, cette distance est donnée par :avec x et y les coordonnées de la source.c rr = x 2 + y 277

Nous passons donc d'une représentation 2D en coordonnées cartésiennes à une représentation1D radiale. Cette réduction se fait par le biais d'une projection circulaire (à rayon r constant)des images de la constellation sur l'axe reliant la source primaire à l'auditeur. Le résultat d'unetelle opération est représenté Figure 48. Sur ce graphique, la réponse impulsionnelle de lasalle en question a été mise à l'échelle et superposée à la constellation pour montrer lescorrespondances avec celle-ci. Notons que la décroissance des impulsions est régie par une loien1 comme si les parois de la salle étaient parfaitement réfléchissantes et ne possédaientrque deux dimensions.pressiontempsFigure 48 - Constellation de sources images dans une salle hexagonale projetée sur un axe temporel pourla reconstruction de la réponse impulsionnelle.En termes de traitement du signal, si chaque source image i est représentée par le filtredécrit au paragraphe III.1.1, alors, l’implémentation équivalente à la salle est la somme (ouassociation en parallèle) des filtres de toutes les sources de la constellation. Pour N sourcesimages, si la source i se situe à une distance r i de l'auditeur et correspond à un retardéquivalent de n i échantillons, alors, le filtre équivalent de la salle peut être écrit comme enFigure 49.78

Entrée :1r1Z −n 1Sortie1r1rin iZ −2nZ − 21r NNZ −nFigure 49 - Filtre de salle équivalent pour N sources images.La Figure 50, montre que la réponse impulsionnelle numérique de ce type de filtre estune distribution plus où moins aléatoire d’impulsions de Dirac dont l'enveloppe globale estune fonction en1 (ou en n1 en 2D). Il s'agit d'un filtre RIF (Réponse ImpulsionnellenFinie) causal : la durée de sa réponse ne dépend que du nombre de sources pris en compte,c'est-à-dire de la quantité de réflexions calculées. Ainsi, si une source sonore enregistrée enchambre sourde est envoyée à son entrée, sa sortie correspondra alors à la source« spatialisée » dans la pièce dont il simule l'acoustique.79

La réalisation pratique d'un tel filtre à l'aide de lignes à retard et d'atténuateurs n'estpas possible en raison du trop grand nombre de modules à mettre en œuvre (au moins uneligne à retard par source image !). En revanche, il est envisageable d'utiliser sa réponseimpulsionnelle pour convoluer le signal d'entrée et faire entendre la source dans la salle. Ladisponibilité sur le marché de système de réverbération à convolution peu onéreux (TLSpace,Voxengo Pristine Space…) voir gratuit (SIR), nous conforte dans ce choix pour uneutilisation du programme en production musicale ou cinématographique.1nFigure 50 - Réponse impulsionnelle d'un filtre de salle hexagonale (pour 4 réflexions géométriques 2D).III.1.3 Question du/des point(s) d'écoute.Equivalent récepteur/filtre.Un récepteur peut être modélisé de façon plus ou moins complexe. Qu'il s'agisse d'unmicrophone, d'une oreille où d'un système de capteurs quelconque, il est toujours possible deramener le problème à un modèle simple ne prenant en compte que des phénomènes linéaires.Les résultats obtenus par ces méthodes, bien que tronqués, sont souvent acceptables dans unelarge approximation.L'introduction d'un récepteur dans la chaîne de filtrage conduit à ajouter un moduled’atténuation en série avec la source perçue. Bien souvent, le récepteur possède unedirectivité. Aussi, cette atténuation dépendra-t-elle de l'angle avec lequel arrive le rayon80

associé à la source image 1 . Le diagramme équivalent d'un récepteur directif est doncsimplement celui de la Figure 51. 1ESDirectivitéFigure 51 - Filtre équivalent à un récepteur directif.Comme le gain de ce filtre dépend de l'incidence de la source au point d'écoute,ajouter un auditeur au filtre de salle revient à insérer une atténuation de récepteur pour chaquesource en fonction de sa position angulaire dans l'espace, d'où le filtre de la Figure 52. Il estégalement possible pour simuler des effets proches du filtrage du pavillon de l'oreille enremplaçant le module d'atténuation en niveau par un filtre définissant une directivitédépendante de la fréquence. Par exemple, en introduisant un filtrage HRTF (Head RelativeTransfert Function), il devient envisageable de simuler des effets d'élévation zénithale desources correspondant aux distorsions linéaires du son au voisinage des pavillons auditifs etde la tête de l'auditeur.1 Cet angle est facilement accessible puisque comme expliqué au paragraphe II.1.3, la source image se substitueexactement à son rayon acoustique.81

1Entrée :1r1DirectivitéZ −n 1Sortie 21r1riDirectivitén iZ −2DirectiviténZ − 2 i N1r NDirectivitéNZ −nFigure 52 - Filtre de salle équivalent pour N sources images avec atténuation par le récepteur.Application à des systèmes de prise de son multicanauxLe raisonnement ci-dessus, peut s'adapter à des systèmes de prise de son multicanaux pluscomplexes. Il est possible de placer dans la pièce à simuler plusieurs microphones : leurspositions, leurs directivités et leurs orientations vont définir autant de réponsesimpulsionnelles indépendantes qu’il y a de récepteurs. La convolution d'un son par cesréponses, diffusée sur un système d'écoute adapté reproduira ainsi les caractéristiquesspatiales de la salle. Par exemple, un couple de microphones peut être placé dans la salle avecla possibilité de paramétrer l’éloignement, l’angularité et la directivité des capsules. Le filtresource bi-canal correspondant à cette situation est reproduit Figure 53. Nous voyons qu’il ne82

possède qu’une seule entrée pour deux sorties ce qui correspond bien à un effet despatialisation 1 . 11Directivité1nZ − 1SortieGauche1rDirectivitéEntrée 1 '1r 1'2'Z −n 1SortieDroiteFigure 53 - Filtre bi-canal équivalent à une source en champ libre pour un couple de microphone.III.1.4 Programmation : les fonctions impulse.m et ecriture.mReconstruction des réponses impulsionnellesLe rôle de la fonction « impulse.m » est d’analyser la matrice des sources images pour endéterminer la réponse impulsionnelle. Elle opère donc une transformation des coordonnéesd’espace vers le temps.Les deux étapes de cette transformation sont :- le calcul du facteur d’atténuation constitué d’un produit de trois coefficients :i) l’atténuation géométrique :1=1yr 2+2+xz21 Ici de spatialisation latérale.83

ii) l’atténuation liée à la directivité 3D du microphone (cf. Figure 54),où d est la directivité du microphone en question 1 :[ ( ) ( )]cos ϕ cos θ − π −1−dα2 2iii) l’amortissement dû aux parois de la salle donnée par la colonne n°8du tableau « mater ».- le calcul du retard de l’impulsion calculée en échantillon par la formule avecc la célérité du son et F s la fréquence d’échantillonnage :n retard = int(c.rFoù la fonction int(x) renvoie la valeur entière la plus proche de x.Le programme réalise ces opérations pour chaque microphone placé dans la pièce.Nous obtenons donc un ensemble de deux réponses impulsionnelles distinctes pour un couplede microphones qui constitueront les filtres gauche et droite lors de la convolution avec unesource réelle.s)ySNB : l’angle , non représenté sur cettecoupe correspond à l’élévation de la sourceS par rapport au plan (x,O,y)OxFigure 54 - Plan de coupe 2D d'un couple de microphones avec l'orientation des angles mis en jeu.1 d = 0 : omnidirectionnelle , d = 0.5 : cardioïde, d = 1 bidirectionnel.84

Convolution et écriture des fichiersLa fonction « ecriture.m » permet de convoluer la réponse impulsionnelle stéréophoniqueobtenue par « impulse.m » par un signal réel monophonique. Pour cela, nous utilisons lafonction « fast_convo.m » qui est un algorithme de convolution rapide par FFT (Fast FourrierTransform) réalisant cette opération sans trop de perte de temps 1 . Il faut noter que cetalgorithme n’a pas été conçu pour traiter des signaux trop longs puisqu’il calcule laconvolution de façon globale et non par paquets (overlap-add). Des risques de saturation de lamémoire peuvent donc apparaître mais cette fonction reste suffisamment performante pourtraiter de nombreux signaux.Pour l’écriture des fichiers de sortie, un dispositif anti-saturation a été ajouté pouréviter les problèmes lorsque la réponse de la salle contient des échantillons supérieurs à 1 envaleur absolue. Cela peut être le cas, par exemple, si la source est placée à une distanceinférieure à 1 m de l’auditeur amplifiant ainsi le son direct par rapport au signal d’origine.Ce programme permet d’écrire à la fois le fichier convolué et le fichier de la réponseimpulsionnelle brute. Avoir accès à ces deux signaux permet l’écoute de caractéristiquesdifférentes : réalisme, profondeur, sensation d’espace pour le signal convolué. Véracité, tempsde réverbération, défauts spectraux pour la réponse impulsionnelle brute.Nous avons montré dans ce paragraphe tout l'intérêt de la représentation desréverbérations de salle au moyen de filtres linéaires équivalents : reconstruction de réponsesimpulsionnelles, ajout de système(s) de captation en bout de chaîne, approche plus simple dela méthode des sources images, etc… Nous verrons maintenant que le traitement du signalapporte aussi des solutions pour gérer le problème du filtrage par réflexion sur les parois.1 La fonction calcule les transformées de la réponse temporelle du filtre et du signal à traiter, puis, les multiplieterme à terme. Enfin, le résultat est donné par la transformée inverse de ce produit.85

III.2 Gestion de l'absorption par les parois.Les réponses impulsionnelles obtenues précédemment (cf. Figure 50) ne peuvent pascorrespondre à une réalité physique compte tenu de leur décroissance en1 (oun1 ) alorsnque les théories statistiques de la réverbération (Sabine, Eyring…) prédisent des décroissancesde type exponentielles. Le modèle exposé plus haut simule en fait des acoustiques de sallesdont les parois sont parfaitement rigides, c'est à dire avec des coefficients de réflexion égaux à1. Pour revenir à des situations plus physiques, il faut faire intervenir l'impédance des paroisdans le calcul de la constellation des sources. Nous considérerons cette impédance, toutd'abord, comme réelle et indépendante de la fréquence, puis, nous étudierons les casd'impédance complexe fonction de la fréquence.III.2.1 Réflexions indépendantes de la fréquence.La rupture d'impédance entre l'air de la salle et une paroi semi-rigide crée troisphénomènes :- un phénomène d'absorption dans le matériau ;- un phénomène de diffusion ;- une réflexion spéculaire.Le cas de la diffusion mis à part, tous sont déterminés par l'impédance de la paroi en question.La condition d'existence de tels effets reste la conservation d'énergie entre le rayon incident etles différents phénomènes liés à la réflexion. Pour un rayon arrivant sur une paroi dontl'énergie a été normalisée à 1, nous pouvons écrire l'égalité entre les coefficients d'absorption,de réflexion et de diffusion en énergie :αabsorption+ βréflexion+ δdiffusion=1Dans ce paragraphe, nous ne prenons en compte que des impédances réelles ce qui signifiequ'il n'y a pas de déphasage de l'onde réfléchie. De plus,, cela suppose que les effets dediffusion sont négligés : δ diffusion = 0 . Seule reste la contribution de l’absorption et de laréflexion.86( 6

En acoustique des salles, l'usage veut que le coefficient d'absorption soit la référence.Or, pour la simulation, il est plus judicieux de travailler avec des coefficients en réflexion quiinterviennent directement dans les calculs. La relation entre eux donnée par l’équation ( 6reste cependant assez simple. Cela permet de laisser l’utilisateur paramétrer ses matériauxavec des coefficients d’absorption usuels tout en travaillant en réflexion à l’intérieur duprogramme :β=1 −réflexion α absorptionDe même, s'il est possible de définir des coefficients de réflexion dépendants de lafréquence de l'onde incidente, nous nous contenterons, dans un premier temps, de ne traiter laréflexion que comme un filtre en atténuation pure.L'énergie absorbée par les parois correspond à une diminution de pression à laréflexion. Une réflexion sur une paroi de coefficient énergétiqueβ réflexion fait perdre uneénergie proportionnelle à son coefficient. Sib réflexion est le coefficient de réflexion enpression tel queβ2réflexion = b reflexion, alors, on peut écrire le filtre en pression correspondantà la paroi (cf. Figure 55).Entrée :b reflexionSortieFigure 55 - Filtre de réflexion en atténuation pure pour une paroi.A chaque réflexion, le rayon acoustique subit une atténuation b réflexion. En d'autres termes, siune source image subit n réflexions alors son filtre équivalent s'obtient en ajoutant en série lesn atténuateurs correspondants aux différentes parois rencontrées. Son filtre équivalent estdonc un atténuateur dont le gain est le produit de tous les coefficients de réflexion des parois.Ainsi, la Figure 56 représente-t-elle le filtre d'une source de rang n obtenue pour un gaind'absorption par les parois deG n b 1 reflexion. b 2 reflexion..= b .n reflexion87

Entrée :1rGn−Z r.c FsSortieAtténuation géométriqueGain d'absorptionRetardFigure 56 - Filtre de source avec atténuation pure par absorption sur les parois.Il est possible de tracer la décroissance de la réponse impulsionnelle avec absorption àpartir des courbes de décroissance géométrique sans absorption. En fait, si nous observons laconstruction de l'échogramme, pour chaque source de même rang, la décroissance suit une loien1 . Ainsi, le niveau des premières puis des deuxièmes puis des n-ièmes réflexions estndéterminé par un réseau de courbes en1 multipliées par des coefficients correspondant auxndifférentes combinaisons de produit desb i reflexion. La Figure 57 présente ainsi les premièresréflexions d'une réponse de salle en dB superposées à un réseau de courbes en(simulation en 2D) mis à l'échelle logarithmique. Nous remarquons que les réflexionsn'arrivent pas forcément dans l'ordre à l'auditeur : c'est ce phénomène qui contribue à ladensification des échos dans le temps. A droite, l’ensemble de cette réponse impulsionnelleest présenté : nous retrouvons alors la linéarité de la décroissance attendue.1n88

1 . 0,8 4n1 . 0,8 n2. 0,81n31 . 0,8 nFigure 57 – Méthode de construction d'une réponse impulsionnelle 2D pour une salle carrée dont tous lescoefficients de réflexion valent 0.8. A gauche, les premières réflexions, à droite, l’ensemble de la réponse.Fs = 44.1 kHz.III.2.2 Réflexions dépendantes de la fréquence.Dans la pratique, il est rare de trouver des matériaux aux coefficients d'absorptionconstants avec la fréquence. De même, il est courant d'observer des rotations de phases à laréflexion sur une paroi. Pour ces raisons, il est nécessaire de trouver une méthode permettantd'intégrer ces paramètres fréquentiels aux parois de la salle à simuler.Filtre de paroi.Comme dans le paragraphe précédent, à chaque source image va être associé un filtrerésultant correspondant aux différentes parois rencontrées. Mais cette fois-ci, il faut définirpour chaque face une réponse impulsionnelle caractéristique. L'opération à réaliser pourretrouver les filtres de sources est une simple mise en série, c'est-à-dire une convolution encascade des réponses impulsionnelles des parois.Ce processus est intéressant car elle permet de simuler des réflexions à phase et à gainvariable en fonction de la fréquence comme cela se produit physiquement. Néanmoins, elleprésente deux difficultés de mise en œuvre qui la rendent inexploitable en pratique :- Les bases de données des matériaux des constructeurs ne mentionnent jamais lecomportement en phase ou l’impédance de leurs produits…la seule donnée accessibleest l’absorption moyenne par bande de fréquences.89

- Les calculs nécessaires à la mise en place de tels filtres sont particulièrement lourds.Dans le cas général, pour chaque source de rang n, il faut calculer n convolutions defiltres de parois. Cette opération n'est pas particulièrement longue en tant que telle (lesfiltres ne possèdent que quelques dizaines de coefficients) mais la multiplier par lenombre de sources images (typiquement quelques dizaines de milliers) peut s'avérertrès long en pratique.Ceci nous conduit à envisager une autre méthode pour simuler l'absorption des paroisen fonction de la fréquence.Atténuation par bandeLa méthode de découpage du spectre en bande permet de se ramener à une situation déjà traitéau paragraphe III.2.1, où les gains des filtres de parois ne dépendent pas de la fréquence (cf.Figure 59 pour visualiser l’implémentation du programme à mettre en œuvre pour traiter cecas). En effet, si les bandes de fréquences sont suffisamment étroites, il est envisageable deconsidérer l’absorption comme constant dans cet intervalle : de cette façon, il devient possiblede travailler en atténuation pure dans chaque bande. La méthode de filtrage retenue est undécoupage en 9 sous-bandes à partir de filtres RIF. Les réponses impulsionnelle sont obtenuesgrâce à l’algorithme de L. Millot qui propose des filtres passe-bande à 8191 coefficientspermettant une sélection abrupte des fréquences. De plus, grâce à ces filtres, unereconstruction du signal après traitement est possible par simple sommation des sous-bandes :le résultat obtenu est tout à fait acceptable puisque le bruit résiduel après reconstruction est del’ordre de –50 dB.La Figure 58 montre la façon dont le spectre est découpé. Les fréquences centralesdes bandes ont été choisies pour correspondre aux fréquences données habituellement dans lesprocès verbaux des matériaux. Il pourrait cependant être intéressant d’envisager un découpagedifférent plus adapté à la perception auditive 1 .La question de la phase peut être partiellement résolue en considérant qu'au bout detrès peu de réflexions, les rotations de phase sont suffisamment complexes pour que nous nepuissions plus les prévoir. Ainsi, il devient possible d'appliquer une phase aléatoire pourchaque réflexion dans chaque bande pour simuler ce type de phénomène.1 A charge d’obtenir de la part des constructeurs les coefficients d’absorption équivalents à ces fréquences.90

62.5 125 250 500 1000 2000 4000 8000 160000 - 88 88 - 176 176 - 352 352 - 704 704 - 1408 1408 - 2816 2816 - 5632 5632 - 11264 11264 - 22050Figure 58 - Répartition des 9 bandes de fréquence. Avec en première ligne, la fréquence centrale et enseconde ligne les fréquences min. et max. de la bande en Hertz.Calcul de la constellation des sources images -Pleine BandeCalcul de la réponseimpulsionnelle enatténuation -bande 1Calcul de la réponseimpulsionnelle enatténuation -bande 2Calcul de la réponseimpulsionnelle enatténuation -bande 9Convolution avec la RIdu filtre 1 -bande 1Convolution avec la RIdu filtre 2 -bande 2Convolution avec la RIdu filtre 9 -bande 9Sommation/reconstruction de la réponse impulsionnelle -Pleine BandeFigure 59 - Synoptique du programme avec filtrage en bande pour la simulation des réflexionsdépendantes de la fréquence.91

III.2.3 Programmation : les fonctions « absorption.m » et « reconstruction.m »Gestion de l’absorption par les parois.La colonne n°8 de la matrice des sources images (voir II.1.4) indique le coefficientd’atténuation dû à l’absorption par les parois : la fonction « absorption.m » se charge dedéterminer ce paramètre pour chaque source.Les sources construites de façon géométrique sont, par définition, engendré se par unesource « mère » via une paroi. Or, le tableau « mater » des sources images indique pourchaque source sa provenance, c'est-à-dire le numéro de la paroi et la position de la source« mère » qui l’ont engendrée. La nouvelle atténuation de la source est obtenue simplement enmultipliant le nouveau coefficient de réflexion de cette paroi par le coefficient d’atténuationdéjà affectée pour la source « mère ». En analysant chaque source et en posant commecondition initiale que la source primaire n’est pas atténuée, un calcul par récurrence permet dedéterminer les atténuations pour toutes les lignes du tableau.Les sources stochastiques sont générées de façon aléatoire (voir III.4), il n’est doncpas possible de retrouver leurs généalogies. En fait, le coefficient d’absorption de ces sourcesest défini de façon statistique en fonction de paramètres géométriques. Si r est la distance dela source à l’auditeur, l le libre parcours moyen dans la salle et b reflex le coefficient deréflexion moyen à considérer, alors, le coefficient d’atténuation cherché est :rlbreflexNous justifierons ce principe en détail au chapitre III.4 mais il faut noter que le coefficientb reflex à considérer est le résultat d’une analyse statistique des coefficients des sourcesgéométriques déjà calculées.La fonction « absorption.m », nous l’avons dit, est un algorithme spécifiquementdestiné à l’attribution de ces coefficients. Or certaines opérations sont redondantes avec lecalcul de la construction des sources images. Il nous semblerait donc plus simple de combinerces taches en une seule et même fonction. Cependant, le découpage en sous-bandesnécessiterait de recalculer inutilement la constellation de sources images pour chacune desbandes. En séparant la construction spatiale des sources de l’application des coefficientsd’atténuation, seul ce qui change est recalculé.92

Reconstruction pleine bande de la réponse impulsionnelle.Après avoir déterminé les réponses impulsionnelles en atténuation pure dans chacune des 9bandes, la fonction « reconstruction.m » leur appliquera un filtre passe-bande correspondant(cf. Figure 59 pour le synoptique simplifié du programme). Elle appelle la sous-fonction« fast_convo.m » qui réalise 9 convolutions. La fonction somme ensuite toutes les réponsesterme à terme pour revenir au spectre pleine-bande.Les filtres à phases linéaires utilisés introduisent un retard de la moitié de leuréchantillons. La dernière étape consiste à translater dans le temps le signal en supprimant lespremiers échantillons.En conclusion, simuler l'absorption des parois d’une salle est essentiel pour obtenir desréponses impulsionnelles pertinentes. Or, en ne travaillant pas en fonction de la fréquence, letemps de réverbération est le même sur tout le spectre. Cela introduit de nombreux défauts etrend la réponse totalement irréaliste dans certains cas. La seule manière de rendre compteconvenablement des effets de paroi est de pouvoir décrire le comportement plus ou moinsabsorbant de la salle par bandes de fréquences : c’est ce que le programme réalisé dans lecadre de ce mémoire se propose de faire.La maîtrise de l’absorption a un effet particulièrement important sur le rendu final enterme de décroissance d’énergie. Cependant, d’autres paramètres rentrent en jeu dans lasynthèse de réponse impulsionnelle de salle. C’est le cas de la densité d’échos qui est fonctionde la répartition et du nombre de sources vues par l’auditeur. Or, les constellations 2D ont unaccroissement linéaire de cette densité (voir Annexe A), il est donc difficile d’obtenir lesdensités supérieures à 10 000 échos/seconde recommandé par D. Griesinge. Seules desconstellations tridimensionnelles, accroissant le nombre d’échos avec le carré du temps, sont,en réalité, capables de produire une telle densité. Une solution doit donc être trouvée pourobtenir un rendu 3D sans allonger les temps de calcul.III.3 Extension tridimensionnelle.Pour obtenir des réponses impulsionnelles compatibles avec une réalité physique, nousne pouvons pas faire abstraction des problèmes de densité d’échos engendrés par unesimulation sur seulement deux dimensions. Cependant, dans le cadre de ce travail qui nepropose qu’un prototype de simulateur acoustique, il n’est pas envisageable d’implémenter un93

système fonctionnant entièrement en 3D 1 . Ce paragraphe propose donc une méthode pourdensifier les échos de façon réaliste sans complexifier les calculs.III.3.1 Principes généraux.J. B. Allen et D. A. Berkley [ALL78] réalisent dès 1978 une simulation de salle par laméthode des sources images (voir I.1.4). Malgré les faibles ressources processeur de leurmachine, ils parviennent à simuler un grand nombre de réflexions géométriques en un tempsrelativement court. En fait, leur programme Fortran est particulièrement rapide car la salleconsidérée est rectangulaire : seules des additions et des soustractions de coordonnées sontnécessaires pour construire la constellation de sources images.L’extension 3D du simulateur que nous proposons s’appuie sur ces remarques pourgénérer de nouvelles sources à moindres calculs. Nous considérons alors que le sol et leplafond sont parallèles entre eux et perpendiculaires aux murs de la salle. Les images dessources de la constellation 2D peuvent ainsi être obtenues par simple translation verticale. Ilsuffit de recopier ces images autant de fois qu’on le souhaite en modifiant uniquement lacoordonnée d’élévation (cf. Figure 60 pour visualiser les différentes couches de laconstellation ainsi obtenues).Pour déterminer la hauteur de chaque couche de sources images, il faut définir lahauteur de la salle et celle de la source primaire. Les différentes coordonnées en z sont alorsobtenues par réflexion successive sur le sol et le plafond.Pour retrouver la réponse temporelle de la salle, il est toujours nécessaire de calculer ladistance de chaque source au point d’écoute : cette fois-ci, la formule donnant la distance d dela source S(x S , y S , z S ) à l’auditeur P(x P , y P , z P ) est :d=( x −x) 2 ( ) 2( ) 2P + y − yP+ z −zPSSSDe même, si précédemment, la décroissance géométrique 2D de la pression suivait une loi en1d, il faut maintenant lui faire suivre une décroissance en 1 d.1 Notamment à cause de la complexité du programme à mettre en œuvre et des temps de calcul non optimisés94

Cette technique de construction de source est dictée par un souci de simplification descalculs à réaliser. Un grand nombre d’approximations doit être envisagé pour pouvoir validerce type de méthode. En outre, il faut supposer que toutes les sources construites de cettemanière sont vues par l’auditeur : cela est vrai pour une salle carrée mais faux dans le casgénéral 1 . De même, répéter des motifs de sources dans l’espace introduit une modificationspectrale fonction de la hauteur de la pièce (phénomène de mode propre) venant perturber lacouleur de la réverbération aux basses fréquences 2 . Enfin, ce type de construction brise lasymétrie sphérique de la constellation de sources. Il est ainsi courant d’observer desrépétitions régulières de groupes d’échos : afin de résoudre ce problème, une solutionconsiste à prendre comme hauteur, le libre parcours moyen de la salle.Les solutions apportées ici doivent maintenant trouver leur place dans le programmeau sein d’une fonction spécifique d’extension en 3D.Figure 60 - Constellation de sources images étendue à trois dimension par réflexion successive de laconstellation 2D sur sol et plafond.1 Il serait envisageable d’affecter à chaque source 3D en fonction de la complexité de la géométrie de la salle une« probabilité de visibilité » qui supprimerait un certain nombre de sources images de façon aléatoire.2 Il serait envisageable de déterminer les hauteurs des couches de façon plus ou moins aléatoire pour « casser »ces effets de filtrage sur la réponse finale.95

III.3.2 Programmation : la fonction dto3d.m.La construction des nouvelles sources images 3D est confiée à la fonction « dto3d.m ».Elle va donc déterminer, dans un premier temps, la hauteur des couches successives. Dans unsecond temps, elle appliquera ce calcul à la recopie des sources images par couches.La suite donnant la hauteur des sources images n’est pas simple à déterminer dans lecas général. La manière la plus élémentaire de réaliser cela est de réutiliser l’algorithme deréflexion 2D « reflex.m » décrit plus haut (voir II.1.4 ). Nous calculons ainsi des réflexionssuccessives entre deux parois espacées de la hauteur de la pièce. De même, la fonction utilisece calcul pour indiquer les coefficients d’atténuation à appliquer à la couche.Ensuite, dans une boucle réalisée sur le nombre total de réflexions à prendre encompte, la fonction recopie la matrice de source image 2D en modifiant uniquement lacoordonnée en z (3 ème colonne de « mater »). Cette boucle est programmée pour obtenir lemême nombre de réflexions dans le plan horizontal que dans le plan vertical, afin derapprocher la géométrie de la constellation d’une forme sphérique.La fonction concatène finalement les différents tableaux de sources pour n’en fairequ’un seul exploitable par la suite du programme.La méthode de simulation 3D ainsi définie est capable de reproduire les phénomènesacoustiques de réflexion avec une bonne précision. Notamment, le rendu 3D permet unecomparaison plus pertinente avec des réponses impulsionnelles réelles.Cependant, le calcul de quelques réflexions géométriques est déjà très long. L'exempled'une salle cubique de 1000 m³ dont le coefficient d'absorption moyen est 0.4 nécessite déjà lecalcul de plus de n = 27 réflexions géométriques pour obtenir des réponses impulsionnelles dela durée du temps de réverbération de la salle. Il semble alors inenvisageable de générer uneréponse impulsionnelle de salle sur 60 dB de dynamique avec cette seule méthode.Nous avons vu au paragraphe I.3.1 qu'un calcul analytique n'est plus nécessaire à partirdu temps de mélange de la salle. Dès lors, la densité d'échos est suffisante pour considérer lephénomène de réverbération comme chaotique. Il devient donc possible de réduire le nombrede réflexions géométriques à calculer à condition de trouver une méthode statistiquepermettant de prendre le relais.96

III.4 Vers une approche stochastique.Nous avons décrit précédement la méthode des sources images classique où chaqueréflexion doit être traitée comme un phénomène déterministe. Cependant, en pratique, laréponse impulsionnelle d'une salle s'approche rapidement d'un signal pseudo-aléatoire dont onne peut plus retracer l'historique. En d'autres termes, pour une source image donnée, il n'estplus possible de déterminer un rayon acoustique lui correspondant. Les lois de réflexiondeviennent donc statistiques.A partir de la constellation d'images géométriques 2D, il est possible de générer dessources supplémentaires de façon statistique évitant ainsi les volumineux calculs de sourcesmiroirs. Dans un premier temps, nous étudierons les principes de cette méthode en analysantles différents enjeux de la construction de sources aléatoires : division de l'espace,moyennage des coefficients de réflexion, … Dans un second temps, un descriptif duprogramme permettra de mettre en œuvre ces idées.III.4.1 Principes généraux.La constellation de sources géométriques calculées jusqu'à la distance de mélange 1contient déjà de nombreuses informations sur le champ diffus. En ce sens, nous pouvons direque l’extinction de la réverbération est déjà déterminée par les premières réflexions. En outre,la décroissance d'énergie et la densité d'échos sont imposées par la densité radiale des sourceset les informations spatiales sont données par leurs répartitions angulaires.Division de l’espace radial.Nous remarquons que dans de nombreuses situations les sources images vues se répartissentde façon homogène de telle sorte qu'en moyenne, le nombre de source par unité de volumereste constant : plusieurs exemples de constellations de salles illustrent cette idée Figure 61.Cette condition d'homogénéité est d'autant mieux respectée que les salles images couvrent unmaximum d'espace sans se recouper. La densification des échos observée sur les réponsesimpulsionnelles n'est donc pas causée par une agglomération de sources, mais parl'augmentation du volume d'intégration, avec la distance.1 i.e. le produit du temps de mélange par la célérité du son.97

Ainsi, pour calculer des images aléatoires (ou stochastiques), divisons l'espace par dessphères concentriques délimitant des volumes égaux. En pratique, comme notre programmeréalise ce calcul en deux dimensions, les surfaces de travail doivent-être des cerclesconcentriques.La suite r n :1;2 ; 3 ; n définit une suite de cercles de rayons r n dont lapropriété est de délimiter des anneaux de même aire (cf. Figure 62). En effet, la surfacedélimitée par le premier cercle est :S 0=πLe second cercle définit une couronne avec le premier dont l’aire S 1 est :2S 1 = π 2 −1= π = S Dans le cas général, l’anneau compris entre le n-ième cercle et le (n–1)-ième a pour aire S n :Sn2 2= π n − n−1=π Ainsi, pour chaque couronne, nous avons montré que cette aire est égale à .Le principe de l'analyse est simple, le programme compte le nombre de sourcesgéométriques contenues dans la surface S 0 à l'intérieur du premier cercle de rayon :r n.l0 =où n est le nombre de réflexions géométriques calculées et l le libre parcours moyen dans lasalle.Le même nombre de sources est alors généré de façon aléatoire dans la surfacesuivante S 1 puis dans la surface S 2 …etc. Or comme nous l'avons vu, toutes ces surfaces sontégales, la densité des sources aléatoires reste donc inchangée en moyenne.098

Figure 61 – Différentes constellations de salle : la densité de sources reste constante.99

S 3S 2S 1S 0R 0R 1Figure 62 - Suite de cercles concentriques de rayons i ; i = 1, 2, … n définissant des couronnes de mêmesurface.Figure 63 - Constellation de sources pour une salle rectangulaire pour 10 réflexions géométriques et 9itérations stochastiques. Les cercles définissant des surfaces de mêmes aires ont été ajoutés au graphique.100

La construction de sources aléatoires à partir de la constellation géométrique estillustrée Figure 63. Les anneaux d'égales surfaces ont été dessinés sur la constellation pourmontrer la répartition des sources images stochastiques à densité constante. La séparationentre les sources géométriques et les sources stochastiques disposées au hasard est ainsivisible . Une analyse plus précise par subdivision angulaire peut alors être envisagée.Division de l’espace angulaire.La sensation d'immersion dans une acoustique provient en grande partie de la dé-corrélationdes signaux arrivant sur l'oreille droite et sur l'oreille gauche de l'auditeur. C'est pourquoi, ilest intéressant perceptivement de simuler des salles avec un couple de microphones à la placede l’auditeur : les différences perçues entre les deux microphones rendent compte, de façonplus satisfaisante, des effets de profondeur et de sensation d'espace. La simulation avec cetype de capteur demande alors un certain soin dans le rendu spatial des réverbérations.Il existe, en effet, des géométries de salle présentant des irrégularités localisées quientraînent une densité plus importante de source dans certaines directions de l’espace. Parconséquent, nous proposons de construire la constellation des sources stochastiquesdifféremment selon l'angle d'incidence des rayons. Pour cela, nous analyserons la répartitiondes sources géométriques par tranches angulaires.La division de l’espace permet d’étudier et de recopier les paramètres de densités desources images avec pertinence. Nous pourrions envisager de raffiner ce modèle entravaillant sur évolution de la densité des sources avec la distance. Il serait alors possible deprolonger cette fonction par interpolation pour obtenir des densités d’échos plus réalistes.Après avoir étudier l’extension de la densité des sources stochastiques, il fautmaintenant discuter de la simulation statistique les effets de l’absorption des parois.Coefficients de réflexion moyens.Dans ce paragraphe, nous abordons la façon statistique de répartir les coefficientsd’atténuations liés à l’absorption des parois. Montrons comment il est possible d’analyser larépartition des coefficients géométriques, puis présentons une méthode de distribution de cescoefficients sur les sources stochastiques.101

Un soin important doit être apporté à la répartition des facteurs d’amortissement dessources. Il existe en effet des salles dites "polarisées", dont les matériaux absorbants ne sontpas répartis uniformément sur la surface de la pièce mais se concentrent à certains endroits 1 .Afin de simuler de telle salle, il est nécessaire de différencier le traitement statistique réaliséselon l’angle d’incidence des rayons.Nous analysons donc le coefficient d’atténuation le plus représentatif de chaqueparcelle d’espace. Il est obtenu en moyennant les facteurs d’amortissement des sourcescorrespondantes. Si une source géométrique S engendrée par n réflexions présente uneatténuation globale de b n reflex , alors, le coefficient d’atténuation cherché est :bnreflex = b nreflexIl est ainsi possible de trouver l’atténuation subie en moyenne à chaque réflexion.Le recours à ces coefficients moyens se justifie car leur distribution décrit avecpertinence le comportement angulaire de la réverbération de la salle. En effet, si nous traçonssur un diagramme polaire, le facteur d’absorption moyen de cette salle en fonction de laposition angulaire des sources, alors, nous vérifions qu’une plus forte atténuation agit dans ladirection absorbante (cf. Figure 64).1 Ces déséquilibres spatiaux se retrouvent par exemple dans les cabines « LEDE » revêtues de matériauxabsorbants coté enceintes et diffusants coté auditeurs.102

Figure 64 - Répartition angulaire des facteurs d'absorption des sources images géométriques. La sallesimulée est dessinée au centre : l'une de ses faces (celle en bas à gauche) est absorbante. NB : le calcul estréalisé pour 4 réflexions géométriques.De l’analyse des coefficients d’atténuation, nous déduisons donc une fonctionrenvoyant le coefficient probable d’une source selon son rayon et son azimut. Déterminonsalors cette fonction pour affecter ces facteurs aux sources stochastiques.La notion de coefficient angulaire moyen prend un sens physique en considérant lelibre parcours moyen et de nombre de réflexion probable dans une salle. En effet, si unesource image S se situe à une distance d de l’origine du repère, et que la distance moyenneentre deux rebonds est l, alors, le nombre de réflexions probablement rencontrés est :n =Connaissant le coefficient d’absorption moyen de la zone angulaire dans laquelle se trouve S,il est possible de déterminer la fonction de répartition des facteurs d’atténuation. Comme àchaque réflexion, la pression acoustique du rayon est multipliée par ce coefficient, la fonctioncherchée b( d,θ ) est donnée par :bdll( d,θ ) = ( θ )b reflexdoù d est la distance de la source à l’origine, etla portion d’angle à analyser.103

Comme par définition, b ( θ )reflex, est inférieur à l’unité, cette fonction décroît avec ladistance, de la même façon que la pression moyenne diminue avec le temps, lorsqu’unesource sonore arrête brutalement d’émettre dans une salle.Rappelons tout de même que ce procédé relève d’un certain nombre d’approximation.La méthode n’est donc pas efficace dans tous les cas et certaines précautions d’utilisations’imposent. Il faut notamment éviter de calculer les moyennes sur un trop grand nombre deréflexions géométriques car les sources à fortes atténuations auront tendance à se répartiruniformément à mesure de l'élargissement de la constellation. Le défaut de ce type deconstruction réside donc dans une contradiction : la nécessité d’augmenter le nombre deréflexions géométriques afin de gagner en précision, face à l’exigence de restreindre cenombre pour valider la méthode de construction statistique. Un travail minutieux pourrait êtreréaliser sur la recherche d’un compromis entre ces deux contraintes en fonction desgéométries et de l’absorption des salles.Grâce à cette méthode, chaque source peut être dotée d’un amortissement probable cequi permet de prolonger la réponse impulsionnelle dans le domaine statistique. Par cetteméthode, le programme de synthèse que nous proposons peut donc simuler des réponses surune large plage de dynamique et pour des durées comparables au temps de réverbération de lasalle (cf. Figure 65 pour visualiser le résultat d’une simulation). Reste à voir comment le codeMatlab s’organise autour de ce procédé.104

Figure 65 - Réponse impulsionnelle d'une salle héxagonale géométrique ( 6 réflexions ) et statistique ( 20itérations ) avec un découpage par bande de fréquence .III.4.2 Programmation : les fonctions « stochastique.m » et « param.m »Nous avons décrit plus haut (voir III.2.3) comment la fonction « absorption.m »affectait les coefficients d’atténuation aux sources géométriques et stochastiques. Il fautmaintenant expliquer le fonctionnement de la fonction « stochastique.m » dont le rôle est degénérer les sources stochastiques à proprement parler. La fin de ce paragraphe sera alorsconsacrée à l’étude de la fonction « param.m » permettant la gestion globale des paramètresde calcul.Génération de sources aléatoiresL’algorithme de la fonction « stochastique.m » fonctionne par itérations successives. Toutd’abord, une 1 ère boucle passe en revue chaque parcelle d’espace. Au sein de chaque part, lafonction opère une analyse de la densité des sources géométriques vues déjà présentes. Pourcela, elle teste l’appartenance des sources à cette parcelle et ajoute 1 à la variabled’incrémentation si tel est le cas. La quantité de source est finalement stockée dans un vecteurqui sera exploité par la suite.Le calcul itératif des nouvelles images stochastiques commence ensuite. Le nombre desources trouvées lors de l’analyse sera généré successivement dans les couronnes de même105

aire 1 de la Figure 62. Ainsi, nous assurons une densité de sources constante dans toute laparcelle.Pour générer les sources de façon stochastiques, le programme utilise deux générateursde nombres aléatoires : le premier détermine une distance quelconque entre deux valeurs, et lesecond génère un angle compris dans la part d’espace à étudier.Enfin, la fonction « stochastique.m » ajoute les nouvelles sources calculées dans letableau « mater » pour qu’elles soient traitées comme les autres par les fonctions suivantes(« absorption.m » et « impulse.m » notamment).Le dernier point à aborder reste la liaison entre la partie géométrique et la partiestatistique. Aucune solution n’a été arrêtée pour réaliser ce lien mais certaines pistes derecherches pourront être poursuivies :Selon la salle envisagée, le contour de la constellation des sources images présente unegéométrie plus ou moins cylindrique. De façon générale, les salles dont la surface au sols’approche d’un rectangle créent des constellations en forme de losanges. A l’inverse, larépartition des sources pour des salles moins régulières s’approche de disques. Les problèmesde raccordement interviennent lorsque les sources statistiques se mêlent aux sourcesgéométriques. Ainsi, le découpage de l’espace en couronne de même aire n’est pas toujoursadapté à la forme de la constellation. Pour remédier à cela, le programme compte le nombrede sources géométriques déjà présentes dans la première couronne et génère moins de sourcesstochastiques pour respecter la condition d’égale densité. Nous évitons ainsi l’augmentationbrutale de la densité d’écho à l’interface entre synthèse analytique et statistique.Cependant, l’observation des courbes de densité d’échos montre que malgré lesprécautions citées ci dessus, la continuité de la fonction n’est pas assurée au changementd’algorithme (cf. Figure 67). Pour remédier à cela, la solution trouvée consiste à introduire undécalage radial de toutes les sources stochastiques, il est ainsi possible d’ajuster la densité desource pour minimiser les irrégularités de la fonction à cette interface.Il serait intéressant d’imaginer un système qui automatiserait ce type de travail. Ilfaudrait, à cet effet, modifier l’offset introduit sur les rayons des sources stochastiques tout enexerçant un contrôle rétroactif sur la fonction de densité. L’algorithme devrait être fait avecsuffisamment de soin pour assurer la convergence du procédé. De même, une méthode1 Il s’agit d’anneaux définis par la suite de cercles de rayon égale à, n géo . l ; n géo .l. 2 ; n géo .l. 3 ; … où n géoest le nombre de réflexion géométrique et l, le libre parcours moyen (voir Figure 62).106

pourrait être trouvée pour générer les sources aléatoires dans des formes adaptées à lagéométrie de la constellation. Cette forme de programmation adaptative pourrait permettre des’assurer plus simplement que la densification d’échos est correctement simulée.Figure 66 - Illustration du phénomène de mélange des sources géométriques et statistiques dans lapremière couronne : le programme génère donc moins de sources statistiques dans celle-ci.107

Densité statistiqueDensité géométriqueTransition accidentéeFigure 67 - Fonction de densité d'échos de la réponse impulsionnelle d'une salle carrée ( 5 réflexionsgéométriques, 5 itérations stochastiques ) montrant les irrégularités du passage de la synthèsegéométrique à la synthèse stochastique.Gestion des paramètres de calculLa fonction « param.m » propose une interface utilisateur sommaire afin de renseignerles données utilisateurs nécessaires au bon fonctionnement du programme. Elle doitrenseigner :- le nombre de réflexions géométriques à calculer ;- le nombre d’itérations stochastiques ;- le nombre de divisions spatiales pour l’analyse des sources par la fonction« stochastique.m » ;- les paramètres du couple de microphones récepteur : l’écartement intermicrophonique,l’angulation entre les capsules et leurs directivités ;- la célérité du son.Ces différents paramètres sont stockés dans la structure « struct.param » pour être exploitéspar les autres fonctions du programme.Cette fonction affiche également certains éléments permettant à l’utilisateur deconnaître les propriétés de la salle sur laquelle il travaille. Un calcul des temps deréverbération selon Sabine et Eyring est effectué en fonction des absorbants répartis sur la108

surface de la pièce. Une évaluation du temps de mélange d’après la formule de J.-D. Polack[POL88b] (cf. Annexe A) est aussi réalisée. Ces données permettent au programme de prévoirles nombres de réflexions géométriques et statistiques à calculer pour la synthèse del’intégralité de la réponse impulsionnelle. En fait, le nombre total de réflexions est déterminéafin d’obtenir en fin de réponse des atténuations d’au moins 60 dB correspondant au temps deréverbération de la salle.109

* * *La présentation du simulateur réalisé dans le cadre de ce mémoire s’arrêtera ici carpour poursuivre l’étude, il serait nécessaire de descendre à un degré de détail trop fin : nousrenvoyons le lecteur aux codes du programme pour cela. Ce chapitre a montré l’originalité deson fonctionnement basé sur le décloisonnement entre les méthodes de synthèse analytiques etstatistiques. Ce programme permet ainsi de :- définir des salles 2D avec une hauteur sous plafond tout en y intégrant l’absorptiondes parois en fonction de la fréquence ;- construire des constellations de sources images par une méthode « géométricostatistique» simulant les réflexions spéculaires sur les parois- synthétiser des réponses impulsionnelles en fonction de la position des sources imageavec un système de prise de son virtuel stéréophonique.- écouter des sons convolués par ces réponses impulsionnelles en stéréophonie.Des éléments de validation objective du modèle sont proposés en Annexe D (comparaisonavec des temps de réverbération, densité d’échos, …), mais l’écoute des premiers résultats estd’ores et déjà concluante.110

Conclusion.Les objectifs fixés par le cahier des charges du chapitre I ayant été atteints,l’exploitation de notre prototype de synthétiseur de réponses impulsionnelles devient possible.Par exemple, nous envisageons d’implémenter une console de mixage virtuelle réalisant unmélange acoustique de différentes sources placées dans une pièce. Les « faders » seraientalors remplacés par des curseurs plaçant les sons en profondeur. L’azimut des sources sesubstituerait aux « pan-pots ». L’utilisation de cet outil en production serait rendue possiblegrâce à une interface utilisateur intuitive s’apparentant à un mélangeur analogique classique.Cependant, compte tenu des imperfections du programme relevées tout au long de ceslignes, certaines améliorations restent à poursuivre. Optimiser le filtrage en sous-bandesemble notamment indispensable pour permettre un découpage efficace et une reconstructionpleine bande sans artefacts. De nouvelles solutions doivent aussi être envisagées pouraméliorer les fonctionnalités 3D du réverbérateur. De même, des essais de synthèse sur desfréquences d’échantillonnages plus élevées nécessiteraient une étude approfondie pouraméliorer le rendu final de la densité d’échos.Ces solutions implémentées dans le programme, une large campagne de validationpourrait alors être amorcée. Des tests objectifs, complets et systématiques, seraient ainsiréalisés. De même, une comparaison entre notre prototype et les logiciels du marchédisponibles justifieraient la méthode de synthèse. Un protocole de tests perceptifs pourraitégalement voir le jour afin de confronter réponses simulées et prise de son réelle.Enfin, certaines questions posées par cette étude ouvrent la voie à de nouveaux axes detravail. La question du temps de mélange mériterait notamment d’être explorée d’avantage àl’aide de ce simulateur. Nous pensons, effectivement, que les formes des constellations desources images sont en lien étroit avec la géométrie des salles et la notion de temps demélange. Des outils d’analyse statistique pourraient ainsi être développés pour maîtriser letemps d’arrivée des premiers échos lors de la construction d’auditoriums. Mieux comprendrela répartition des phénomènes déterministes et statistiques dans une salle aiderait alors audéveloppement des futurs simulateurs acoustiques.111

Bibliographie[JOT92] : JOT J.M. (1992). Etude et Réalisation d'un Spatialisateur de Sons par ModèlesPhysique et Perceptifs. These Telecom Paris 1.1.3a pp. 19.[SCH69] : SCHROEDER M. R. (1969). Digital Simulation of Sound Transmission inReverberant Space. J. Acous. Soc. Am. Vol. 47, 2, pp. 424.[NAY92] : NAYLOR G. (1992). Odeon room acoustics program V2.0 user manual. Ch. 2pp. 11.[FUN] : FUNKHOUSER T. , TSINGO N. , CARLBOM I. , ELKO G. , SONDHI M. , WESTJ. E. , PINGALI G. , MIN P. and NGAN A. A Beam Tracing Method for InteractiveArchitectural Acoustics.[LEH93] : LEHNERT H. (1993). Systematic Errors of the Ray-Tracing Algorithm. App.Acoust. Vol.38 pp. 207.[ALL78] : ALLEN J. B. and BERKLEY D. A. (1978). Image method for efficientlysimulating small-room acoustics. J. Acous. Soc. Am. Vol. 65, 4, pp. 943.[SAB32] : SABINE P. E. (1932). Acoustics and architecture.[MEC01] : MECHEL F.P. (2001). Improved Mirror Source Method in Room Acoustics. J.ofSou. and Vibr. Vol. 256, 5 pp. 873.[BOR84] : BORISH J. (1984). Extension of the Image Model to Arbitrary Polyhedra. J.Acous. Soc. Am. Vol.75, 6 pp. 1827.[JOU97] : JOUHANEAU J. (1997) Acoustique des Salles et Sonorisation. Ch. 2, 3[POL88a] : POLACK J.D. , MARSHALL A.H. and DODD G. (1988). Digital évaluation ofthe acoustiques of small models : the MIDAS package. J. Acous. Soc. Am. Vol. 85,[POL88b] : POLACK J.D. (1988). La Transmission de l'Energie Sonore dans les Salles. Th.Univ. Du Maine.1, pp. 185.[SCH62] : SCHROEDER M.R. (1962) Natural Sounding Artificial Reverberation. J. AudioEng. Soc. 10(3), pp. 219.112

Table des illustrations.Figure 1 - Illustration du principe de réflexion de Snell-Descartes pour un rayon acoustique rencontrant une paroirigide.............................................................................................................................................................11Figure 2 -Exemple de tracé d'un rayon 2D dans une salle rectangulaire « passant » par l'auditeur P....................12Figure 3 - Illustration de la méthode des sources images pour tracer un faisceau de rayons réfléchi par une paroisrigide.............................................................................................................................................................15Figure 4 - Illustration de la constellation des sources images jusqu'à la 7ème réflexion géométrique dans unesalle héxagonale............................................................................................................................................17Figure 5 - (à gauche) Implémentation d'un filtre en peigne d’ordre 1 de gain g < 0 et de retard unitaire m. (àdroite) Allure de la réponse impulsionnelle de ce filtre................................................................................25Figure 6 - Implémentation d'un filtre passe-tout. ...................................................................................................27Figure 7 - Implémentation du réverbérateur de M.R. Schroeder............................................................................28Figure 8 - Exemple de forme de salle polygonale convexe....................................................................................33Figure 9 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptées pour unesalle polygonale convexe..............................................................................................................................34Figure 10 - Exemple de forme de salle polygonale concave à parois courbes. ......................................................35Figure 11 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptées pourune salle polygonal concave à parois courbes. .............................................................................................35Figure 12 - Exemple de forme de salles couplées. .................................................................................................36Figure 13 - Partage du plan temps/fréquence en fonction des méthodes de simulation les mieux adaptées pour unréseau de salles couplées. .............................................................................................................................37Figure 14 - Densité d'échos 2D en fonction du temps. Salle triangulaire, 12 réflexions géométriques. Lafréquence d’échantillonnage est fixé à 44.1 KHz .........................................................................................40Figure 15 - Densité d'échos 2D en fonction du temps. Salle triangulaire, 12 réflexions géométriques et 10itérations de l'algorithme stochastique. Fs=44.1 KHz ..................................................................................40Figure 16 - Réponse impulsionnelle synthétisée géométrique ( 4 réflexions ) puis statistique ( 18 réflexions )d'une salle hexagonale calculée sans filtrage par bande. Fs = 44.1 KHz......................................................41Figure 17 - Synoptique du programme de simulation par sources images.............................................................44Figure 18 - Réflexion spéculaire selon la première loi de Snell-Descartes............................................................46Figure 19 - Méthode des sources images pour déterminer le trajet d'un rayon réfléchi. ........................................47Figure 20 - Ajout d'une source diffusante à la réflexion spéculaire. ......................................................................48Figure 21 - Ajout d'une source pour simuler la diffraction. ...................................................................................48Figure 22 - Réponse impulsionnelle numérique d'une source et de sa réflexion sur une parois. a=1m, b=2m. .....51Figure 23 - Réponse en fréquence du filtre en peigne ci-contre.............................................................................51Figure 24 - Arbre généalogique d'une salle à 4 parois avec en gras, le trajet de la suite de sources définissant lerayon acoustique de S 114 . .............................................................................................................................52Figure 25 - Constellation de source image dans un angle. .....................................................................................54Figure 26 - Tracé des rayons issus de la première branche de l'arbre généalogique des sources images...............54113

Figure 27 -Tracé des rayons issus de la deuxième branche de l'arbre généalogique des sources images. .............55Figure 28 - Réponse impulsionnelle d'une source dans un angle à 45° pour un coefficient d'absorption des paroisde 0,36. .........................................................................................................................................................55Figure 29 - Illustration de la méthode de construction de symétrique par rotation de 180° autour du projeténormal à la paroi...........................................................................................................................................56Figure 30 - Présentation du tableau « mater »........................................................................................................58Figure 31 - Construction de source image impossible. ..........................................................................................61Figure 32 - Construction de source image impossible murs dos à dos...................................................................62Figure 33 - Construction de source image impossible murs dos à face..................................................................62Figure 34 - Disposition de parois ambiguë : face à face et dos à dos.....................................................................63Figure 35 - Zone d'influence d'une source image par rapport aux limites d'une surface de réflexion. S 1 est visiblepour P et non pour P'. ...................................................................................................................................64Figure 36 - P'ne voit pas S 1 mais voit S 12 ..............................................................................................................65Figure 37 - Exemple de source masquée par un mur de la salle. la source S 1 est invisible pour P car une paroiintercepte le rayon. .......................................................................................................................................66Figure 38 - Nombres de sources de la constellation d'une salle hexagonale 2D en fonction des différents critèresde source.......................................................................................................................................................67Figure 39 - Constellations de source image dans une salle hexagonale pour 6 réflexions géométriques 2D. Agauche, les sources valides vues et non-vues. A droite, les sources valides uniquement vues.....................68Figure 40 - Nombre de sources images engendrées par différents rangs de réflexion selon les critères de sourcepour une salle hexagonale.............................................................................................................................68Figure 41 - Pourcentage de sources vues en fonction de l'ordre de réflexion qui les a générées. ..........................69Figure 42 - Description du tableau struct.salle définissant la géométrie de la salle à simuler. ..............................70Figure 43 - Illustration de la construction d'une salle dans la fonction geometrie.m. Le sens des vecteurs-facesdéfinit l’intérieur et l’extérieur des parois. ...................................................................................................70Figure 44 - Description du tableau « struct.absorption » définissant l’absorption de chaque paroi en fonction dela bande de fréquence considérée. ................................................................................................................71Figure 45 - Illustration de la méthode pour vérifier qu'une source se trouve face à une paroi. Ici, la source S’ estvalide. ...........................................................................................................................................................72Figure 46 - Illustration de la méthode pour vérifier qu'une paroi mère se situe face à une paroi grand-mère. Ici, lasource S’ est valide.......................................................................................................................................72Figure 47 – Filtre équivalent à une source en champ libre pour une position d'auditeur donnée...........................77Figure 48 - Constellation de sources images dans une salle hexagonale projetée sur un axe temporel pour lareconstruction de la réponse impulsionnelle.................................................................................................78Figure 49 - Filtre de salle équivalent pour N sources images.................................................................................79Figure 50 - Réponse impulsionnelle d'un filtre de salle hexagonale (pour 4 réflexions géométriques 2D). ..........80Figure 51 - Filtre équivalent à un récepteur directif...............................................................................................81Figure 52 - Filtre de salle équivalent pour N sources images avec atténuation par le récepteur............................82Figure 53 - Filtre bi-canal équivalent à une source en champ libre pour un couple de microphone. .....................83Figure 54 - Plan de coupe 2D d'un couple de microphones avec l'orientation des angles mis en jeu. ...................84114

Figure 55 - Filtre de réflexion en atténuation pure pour une paroi.........................................................................87Figure 56 - Filtre de source avec atténuation pure par absorption sur les parois. ..................................................88Figure 57 – Méthode de construction d'une réponse impulsionnelle 2D pour une salle carrée dont tous lescoefficients de réflexion valent 0.8. A gauche, les premières réflexions, à droite, l’ensemble de la réponse.Fs = 44.1 kHz. ..............................................................................................................................................89Figure 58 - Répartition des 9 bandes de fréquence. Avec en première ligne, la fréquence centrale et en secondeligne les fréquences min. et max. de la bande en Hertz. ...............................................................................91Figure 59 - Synoptique du programme avec filtrage en bande pour la simulation des réflexions dépendantes de lafréquence. .....................................................................................................................................................91Figure 60 - Constellation de sources images étendue à trois dimension par réflexion successive de laconstellation 2D sur sol et plafond. ..............................................................................................................95Figure 61 – Différentes constellations de salle : la densité de sources reste constante. .........................................99Figure 62 - Suite de cercles concentriques de rayons i ; i = 1, 2, … n définissant des couronnes de mêmesurface. .......................................................................................................................................................100Figure 63 - Constellation de sources pour une salle rectangulaire pour 10 réflexions géométriques et 9 itérationsstochastiques. Les cercles définissant des surfaces de mêmes aires ont été ajoutés au graphique..............100Figure 64 - Répartition angulaire des facteurs d'absorption des sources images géométriques. La salle simulée estdessinée au centre : l'une de ses faces (celle en bas à gauche) est absorbante. NB : le calcul est réalisé pour4 réflexions géométriques...........................................................................................................................103Figure 65 - Réponse impulsionnelle d'une salle héxagonale géométrique ( 6 réflexions ) et statistique ( 20itérations ) avec un découpage par bande de fréquence .............................................................................105Figure 66 - Illustration du phénomène de mélange des sources géométriques et statistiques dans la premièrecouronne : le programme génère donc moins de sources statistiques dans celle-ci....................................107Figure 67 - Fonction de densité d'échos de la réponse impulsionnelle d'une salle carrée ( 5 réflexionsgéométriques, 5 itérations stochastiques ) montrant les irrégularités du passage de la synthèse géométriqueà la synthèse stochastique. ..........................................................................................................................108Figure 68 - Répartition des sources images et des salles images dans une salle rectangulaire. ...........................119Figure 69 - Répartition des sources images et des salles images pour une salle quelconque...............................122Figure 70 - Onde sphérique émise en O...............................................................................................................123Figure 71 - Onde cylindrique émise en .............................................................................................................125Figure 72 - Tableau récapitulatif du nombre de sources générées par rang de réflexion géométrique avec lestemps de calculs mis en jeu en regard pour une salle 2D à 6 cotés.............................................................127Figure 73 - Temps de calcul des sources valides ( trait plein ) et des sources visibles ( pointillés ) en fonction dunombre de sources valides..........................................................................................................................128Figure 74 - Tableau de comparaison entre les temps de réverbération théoriques et simulés en fonction dedifférente salle. ...........................................................................................................................................130Figure 75 – intégrale inverse de Schroeder d’une réponse impulsionnelle et sa régression linéaire pour Illustrer laméthode de détermination des temps de réverbération...............................................................................130Figure 76 – Exemple de fonction de densité pour une salle 3D carrée. ...............................................................132115

Figure 77 – Comparaison des volumes et surfaces théoriques avec ceux obtenus par simulation de densitéd’échos en fonction de différentes géométries et tailles de salle. ...............................................................133Figure 78 - Réponse en fréquence d'une salle cubique de 3 m de coté avec une source au centre.......................134Figure 79 - Constellation de sources images dont les réseaux acoustiques à l'origine des modes propres ont ététracés...........................................................................................................................................................136116

117

118

Annexes.ANNEXE A.Densité d'échos en 3D et en 2D, temps de mélange dans les conditions de réflexionsspéculaires. D'après J. D. Polack [POL88].sFigure 68 - Répartition des sources images et des salles images dans une salle rectangulaire.Cas tridimensionnel dans une salle rectangulaire.Soit une source s placée dans une salle rectangulaire de volume V (cf. Figure 68). Nousremarquons que chaque salle image ne contient qu'une seule source image. Ainsi, le nombremoyen de sources N contenues dans un volume Vo s'exprime comme le rapport de ce volumesur le volume d'une salle :VoN =VNous cherchons à compter le nombre moyen de source n(r) compris entre deux sphères derayon r et r+r. Cela équivaut dans une analogie espace/ temps à rechercher le nombred'échos au temps t contenu dans un intervalle de temps t : en d'autres termes, la densité deséchos à l'instant t.( 7119

Nous avons :( 8∆n(r)=4. π rV. ∆r2Or comme r = c.t, avec c la célérité du son dans l'air, alors l'équation 8) devient :( 9∆n(t)=4. π t2c3.∆tVIl faut noter que n(t) correspond au nombre moyen de retours entendus pendant unintervalle t. Cette grandeur traduit donc bien la densité d'échos dans une salle rectangulaireen fonction du temps. Il est intéressant de noter que la densité d'échos croit avec le carré dutemps ce qui se retrouve dans bon nombre de mesure dans des salles réelles.J.D. Pollack définit à partir de cette étude la notion de temps de mélange comme letemps à partir duquel aux moins dix réflexions sont entendues pendant un intervalle t. Ilpropose de choisir comme intervalle 24 ms correspondant à la constante de l'oreille définiepar L. Cremer et H. A. Muller. Ainsi, on peut écrire le temps de mélange pour une sallerectangulaire en posant n(t) = 10 :( 10Tm =10.4. π c V3.∆tCas bidimensionnel dans une salle rectangulaire.Maintenant, la source s se trouve dans une salle rectangulaire à 2 dimensions de surface au solS. Le raisonnement précédent s'applique toujours sauf que le nombre de retour perçus pendantt est maintenant obtenu par un rapport de surfaces. La densité d'échos n(t) correspondant aunombre de sources comprises entre deux disques de rayon r=ct et r+ r=t+ t est :( 11∆n(t)=2. π tcS. ∆t2120

Il faut maintenant remarquer que cette densité devient proportionnelle au temps ce qui a pourconséquence de rendre non valide toute comparaison entre modèle 2D et salle réelle.Dans les mêmes conditions que précédemment, le temps de mélange se déduit enposant n(t) = 10 soit :( 12Tm =10.2. π c S2.∆tCas des salles quelconques.Les salles rectangulaires possèdent des propriétés particulières. En outre, le maillage de leurssalles images couvre la totalité de l'espace sans recoupement. Or comme le montre la Figure69, une salle polygonale convexe possédant des angles supérieurs à 120°, engendre des sallesimages se recouvrant les unes les autres dès le premier rang de réflexion. Le nombre desources images N contenues dans un volume Vo ne s'exprime donc plus comme le rapport dece volume sur le volume de la salle mais de façon plus complexe en tenant compte desparticularités géométriques de la pièce. La disposition des parois modifie en effet larépartition des sources et donc la densité d'échos perçus. Ainsi, à mesure que la géométriedevient complexe, la densité d'échos augmente. J.M. JOT donne pour exemple [JOT92] le casd'un escalier au temps de réverbération long. La densité d'échos d'une telle salle augmente trèsrapidement de telle sorte que le temps de mélange est quasi confondu avec le temps initial dela décroissance.En revanche, dans des cas simples, nous nous apercevons que lorsqu'il y arecouvrement (c'est à dire, au premier ordre de réflexion, des angles supérieurs à 120°), ilexiste des endroits de l'espace non occupé par des salles images. Ainsi, en moyenne, lesphénomènes de recouvrement sont compensés par ces effets d'absence de salle image. Leraisonnement fait plus haut peut donc s'appliquer si nous nous restreignons à des géométriessimples. Il serait intéressant de poursuivre cette étude et de généraliser des lois de densités deréflexion en fonction des géométries. L'oreille étant particulièrement sensible aux critères declarté liés à la répartition d'énergie entre premières réflexions et champ diffus, connaître letemps de mélange semble indispensable à la caractérisation d'une salle. Maîtriser la géométried'un auditorium pour fixer ce temps peut donc être un outil intéressant pour un acousticien.121

sFigure 69 - Répartition des sources images et des salles images pour une salle quelconque.122

ANNEXE B.Atténuation géométrique des ondes acoustiques 2D et 3D.Nous étudions ici les propriétés géométriques des ondes en champ libre. Laconservation de l'énergie émise à la source impose que le flux de l'intensité acoustique auxtravers du front d'onde soit constant et égal à cette énergie à tout instant. Les conséquences dece principe sont une décroissance de l'intensité avec la distance puisque à priori, la surface dufront d'onde augmente continûment (divergence du champ produit par un monopole). Pourdéterminer la nature de cette décroissance, une méthode consiste à intégrer l'intensité surdifférentes surfaces correspondant à la nature de la propagation de l'onde. En troisdimensions, cette surface est naturellement une sphère correspondant à la propagationnaturelle tirée de l'équation d'onde. En revanche, nous montrerons pourquoi il est pertinent detravailler sur un cylindre infini dans le cas des ondes sphériques.3 Dimensions : décroissance de la pression des ondes acoustiques enr 1 .rOFigure 70 - Onde sphérique émise en O.Dans les conditions de la Figure 70, on émet une onde sphérique en O à t = 0. Un instant plustard, à t = to, le front d’onde s’est déplacé d’une distance r et forme une surface sphériquedont l'aire S(r) s'écrit :123

S( r)= 4. π rAinsi, si E est l'énergie de la source et I(r), l'intensité acoustique (répartie par unité de surface)la conservation de l'énergie s'écrit :2I ( r).S(r)= ESoitI ( r)= E4. π r2Or l'intensité est proportionnelle au carrée de la pression doncp ( r)∝ E = 1 E4. π r2r 4.πC’est à dire p(r) est proportionnel àr 1 .2 Dimensions : décroissance de la pression des ondes acoustiques enPour étudier le comportement d'une onde bidimensionnelle, il faut se ramener à un espace entrois dimensions qui ne comporte que des ondes cylindriques. L'invariance par translationdans l'axe des z du problème ainsi défini nous confirme que les paramètres sont inchangésselon cette coordonnée. Nous nous ramenons donc bien à l'étude d'un phénomène sur deuxdimensions.1r124

hzyx∆Figure 71 - Onde cylindrique émise en .Dans les conditions de la Figure 71, on émet une onde cylindrique sur l’axe ∆ à t = 0.Un instant plus tard, à t = to, le front d’onde s’est déplacé d’une distance r et forme unesurface cylindrique dont l'aire S(r) s'écrit :S( r)= 2. π rhAinsi, si E est l'énergie de la source et I(r), l'intensité acoustique (répartie par unité desurface), la conservation de l'énergie s'écrit :I ( r).S(r)= ESoit :I ( r)= E2.π rhOr l’énergie est proportionnelle au carrée de la pression doncp( r)∝E2.π rhC’est à dire p(r) est proportionnel à1r.125

ANNEXE C.Discussion sur les temps de calcul mis en jeu.Les algorithmes utilisés par le programme sont tous très différents et posent desproblématiques de temps de calcul spécifique pour chacun. Les fonctions de construction desources stochastiques ou d’extension 3D sont lourdes en termes de gestion des variables carces dernières occupent rapidement beaucoup d’espace mémoire. En revanche, à condition debien traiter cette question 1 en stockant les données au fur et à mesure des calculs, lesmémoires des ordinateurs actuels sont telles que ce point n’est jamais problématique. Lavitesse d’exécution de ces deux fonctions est assez rapide et rarement critique dans la mesureoù le nombre de sources demandées au programme influe peu sur la complexité desopérations à réaliser.En revanche, les temps de calcul mis en jeu dans le programme pour la constructiondes sources géométriques sont fortement liés au nombre de sources générées. La Figure 72 quicomplète le tableau de la Figure 40 montre comment les temps de calcul suivent les quantitésde sources à traiter. Nous remarquons que les temps de calcul des sources images valides sontdu même ordre de grandeur que les temps de calcul de visibilité (cf. Figure 73). Cecis’explique par le fait que, dans les deux cas, un calcul élémentaire de la même complexité doitêtre appliqué à chaque source valide. Ceci explique aussi que les temps de calcul mis en jeusoient proportionnels au nombre de sources. Cette affirmation est vraie pour tous les ordres deréflexion excepté pour l’ordre 10 : lorsque le programme fonctionne longtemps, les processusnécessaires au lancement de l’application MatLab ne ralentissent plus les algorithmes ce quiexplique que les calcul s’optimisent à partir d’un certain ordre.En fait, la seule étape véritablement critique reste l’analyse de la réponseimpulsionnelle qui convertit la réponse en dB. En effet, le programme doit opérer un calcullogarithmique sur tous les échantillons du signal impulsionnel de sortie. Comme la longueurde celui-ci est proportionnelle au nombre de réflexions géométriques et statistiquesdemandées par l’utilisateur (en fonction du temps de réverbération qu’il souhaite obtenir),cette opération à elle seule peut prendre jusqu’à plusieurs minutes. Mais en pratique, dans la1 Ce qui n’est que partiellement fait pour le prototype du programme.126

mesure où cette conversion n’est utile que pour la visualisation des réponses simulées, il estenvisageable d’omettre cette étape pour donner directement à entendre les sons convolués.En définitive, nous avons montré que pour l’étape critique du calcul les sourcesgéométriques, les temps nécessaires ne dépassaient pas quelques minutes. Sachant qu’il estrare d’avoir à prendre en compte plus de six réflexions (calculées en quelques secondes) nouspouvons considérer que le programme respecte le cahier des charges fixé au I.4.2 concernantla limitation des temps de calculs.Ordre deréflexiongéométrique nNombres de Temps de calcul Nombre de Temps de calcul Nombre de Temps desources sans des sources decritère rang nsources de la visibilité des sourcesvalides sources de rang n vuescalcul total(en ms)1 6

Figure 73 - Temps de calcul des sources valides ( trait plein ) et des sources visibles ( pointillés ) enfonction du nombre de sources valides.128

ANNEXE D.Prémices de tests de validité quantitatifs.Il est intéressant d’étudier plusieurs paramètres pour tester la pertinence duréverbérateur réalisé. Il s’agit ici de tester les principaux critères caractérisant les réponsesimpulsionnelles de salles. Nous vérifierons donc la corrélation entre théorie et simulation destemps de réverbération, des densités d’échos observées ainsi que des réponses en fréquencedes salles.Temps de réverbération.Ici, les tests sont effectués sur une seule bande de fréquence ce qui permet de contourner lesproblèmes spécifiques posés par le filtrage en sous-bandes. Nous étudions alors lesdécroissances d’énergie des réponses impulsionnelles à partir de la méthode d’intégrationinverse de Schroeder qui permet de déterminer la courbe d’affaiblissement de l’énergie durantle temps que dure la réponse. Pour calculer cette fonction E(t), il faut intégrer le carré de laretournée temporelle de la pression jusqu’à l’infinie soit :E( t ) = p2( τ ) dτ ∞tL’intérêt d’utiliser cette formule pour déterminer les temps de réverbération est qu’elle atendance à lisser la réponse impulsionnelle constituée dans notre cas exclusivement de pic deDirac.Pour réaliser ce test, nous simulons plusieurs salles dont le temps de réverbération aété calculé théoriquement par la formule de Sabine et celle de Eyring du paragraphe I.2.1 enfonction de leur géométrie et de l’absorption des parois. Les réponses impulsionnellesobtenues sont ensuite traitées par le programme qui calcule leurs décroissances d’énergie ausens de Schroeder. Les temps de réverbération sont trouvés pour des décroissances de 60 dB àpartir du maximum de la fonction (cf. Figure 75). Le tableau de la Figure 74 rassemble cesdonnées et présente les résultats de simulations réalisées avec et sans atténuationsgéométriques pour 3 salles de même forme mais de tailles différentes et pour trois absorptionsdistinctes. Les lieux synthétisés ont tous été définis de manière à ce que leurs libres parcoursmoyens soient égaux à leurs hauteurs évitant ainsi les problèmes de répétition de groupementd’échos induits par la fonction « d23d.m ».129

formevolume(en m3)surface(en m2)absorptionTr Sabine(en s)TrEyring(en s)Tr Simulé avecatténuationgéométrique (ens)Tr simulé sansatténuationgéométrique(en s)pavé (4,4,2) 32 64 0,51 0,159 0,114 0,090 0,116pavé (4,4,2) 32 64 0,36 0,226 0,182 0,128 0,177pavé (4,4,2) 32 64 0,19 0,428 0,386 0,212 0,397pavé (10,10,5) 500 400 0,51 0,398 0,285 0,214 0,301pavé (10,10,5) 500 400 0,36 0,564 0,455 0,337 0,452pavé (10,10,5) 500 400 0,19 1,069 0,964 0,658 1,066pavé (20,20,10) 4000 1600 0,51 0,797 0,569 0,450 0,629pavé (20,20,10) 4000 1600 0,36 1,128 0,910 0,690 0,959pavé (20,20,10) 4000 1600 0,19 2,138 1,928 1,247 2,080Figure 74 - Tableau de comparaison entre les temps de réverbération théoriques et simulés en fonction dedifférente salle.Figure 75 – intégrale inverse de Schroeder d’une réponse impulsionnelle et sa régression linéaire pourIllustrer la méthode de détermination des temps de réverbération.Dans un premier temps, nous remarquons les fortes différences (de l’ordre de 30%)entre les temps de réverbération calculés avec atténuations et tous les autres. En effet, ni lathéories de Sabine et ni celle de Eyring ne tient compte du phénomène d’atténuationgéométrique pourtant nécessaire à la méthode des sources images ce qui explique sesdisparités. En revanche, il existe une forte corrélation entre les temps de réverbération obtenus130

par Eyring et ceux simulés sans atténuation (écart maximum de 7%). Cette observations’explique par la similitude qu’il existe entre la construction de constellations de sourcesimages et la théorie de Eyring. En réalité, le calcul des sources stochastique du simulateurutilise les mêmes hypothèses de calcul. Il faut noter que les temps de Sabine s’éloignentsouvent des valeurs simulées : ils deviennent proches pour de grand temps de réverbération etc'est-à-dire lorsque les deux théories se rejoignent (voir I.2.1).Il serait intéressant de poursuivre cette étude avec d’autre forme de salle pour observerplus finement l’influence de la géométrie sur les temps de réverbération. De même, il faudraitmettre en regard les décroissances des premières réflexions des différentes méthodes etanalyser avec pertinence les effets des sources géométriques.Densité d’échosNous allons étudier les différentes fonctions de densités d'échos obtenues en faisantvarier des paramètres géométriques. Nous mettrons en vis-à-vis les résultats de plusieurssimulations et les valeurs prédites par la théorie. Par comparaison des résultats dansdifférentes salles, il sera possible de dire dans quelle mesure l'utilisation de la méthodegéométrico-statistique utilisée ici est pertinente.Nous traçons donc les fonctions de densité à partir des réponses impulsionnelles ensommant le nombre d’échantillons non nuls sur un intervalle de 24 ms. Cela revient à compterle nombre de sources compris entre deux sphères centrées sur l’auditeur dont la différence derayon est de 340 x 0.024 = 8.20 m. Pour obtenir la densité correspondant à chaqueéchantillon, nous déplaçons alors cette intervalle le long de la réponse impulsionnelle. Unexemple de fonction de densité ainsi calculée est présenté Figure 76.Nous cherchons alors à interpoler ces courbes afin de vérifier leurs proximités avec lesformules théoriques. En effet, les constellations présentant des sources disperséesponctuellement dans l’espace, les courbes obtenues dévoilent de plus ou moins nombreusesirrégularités selon les densités de sources images. Une régression (linéaire pour les densités2D et quadratique pour les densités 3D) doit donc être opérée pour déterminer le paramètre des équations de densité :d( n)n2= α en 3 dimensions.d( n)= α n en 2 dimensions.131

A partir de la connaissance de ce coefficient, il est possible de retrouver le volume ou lasurface équivalents simulés d’après les équations :V =4. π c3 .α Fs∆t2en 3 dimensions.S=2. π c2α Fs. ∆ten 2 dimensions.Les résultats de ces tests sont rassemblés dans le tableau de la Figure 77 qui compare lesvolumes et surfaces théoriques à ceux simulés par le programme.Figure 76 – Exemple de fonction de densité pour une salle 3D carrée.132

Densitédimensionsurface au sol(en m2)volume (enm3)Surface équivalentesimuléeVolume équivalentsimulécarré (6,6) 2D 36 - 40carré (10,10) 2D 100 - 107carré (20,20) 2D 400 - 403hexagone 2D 300 - 264pavé (20,20,10) 3D 4000 2771pavé (10,10,5) 3D 500 381pavé (6,6,3) 3D 108 85Figure 77 – Comparaison des volumes et surfaces théoriques avec ceux obtenus par simulation de densitéd’échos en fonction de différentes géométries et tailles de salle.Pour les salles 2D, la comparaison des surfaces obtenues montre une forte similitudeentre la théorie et la simulation. Les résultats sont distincts en moyenne de seulement 6% pourles salles carrées mais restent relativement éloignés pour la salle hexagonale (12% d’écart).Cette différence s’explique par la complexité de la forme de ces salles qui ne respecte passtrictement les hypothèses nécessaires à l’application des formules de J.D. Polack qui imposela condition de non-chevauchement des salles images. Malgré ce léger écart, ces résultatsvalident tout de même notre méthode de construction des sources images en deux dimensions.Les résultats pour les salles tridimensionnelles sont plus éloignés de ceux prédits par lathéorie. En effet, les volumes obtenus après simulation sont en moyenne 25% plus petitsqu’au départ. Il faut ici se rappeler que l’intégration temporelle s’effectue sur 24 ms soit 1085échantillons pour une fréquence d’échantillonnage en 44100 Hz. Les fonctions de densité sontdonc bornées par cette valeur puisqu’il ne peut y avoir plus d’échos par intervalle de temps.Or, en trois dimensions, comme le nombre de sources générées augmente rapidement, il estcourant d’observer des densités d’échos importantes proche de cette valeur. Nous observonsdonc une modification de la forme de la fonction de densité liée au pas d’échantillonnagechoisi. Etudier ce paramètre n’a donc de sens que sur les tous premiers instants de laréverbération. C’est pourquoi, ici, les régressions quadratiques ne sont calculées que pour lespremières réflexions. Mais malgré cela, l’influence des fortes densités a tendance à minimiserles nombres d’échos perçu : c’est pour cela que les volumes obtenus après simulation sontplus grands que ceux prédits par la théorie.Ceci nous amène à penser que le passage des constellations 2D vers 3D n’est pas toutà fait abouti. Il faudrait pour respecter les densité d’échos augmenter les fréquences133

d’échantillonnages pour espérer percevoir l’augmentation de la concentration d’échosconvenablement.Etude spectralePour clore cette étude, nous allons maintenant étudier les réponses impulsionnelles enfréquence afin de vérifier que les phénomènes attendus se retrouvent bien dans le résultat dela simulation.Pour cela, nous simulons une réponse impulsionnelle de salle cubique de 3 m de coté parnotre méthode géométrico-statistique : une source ayant été positionnée en son centre, nouscalculons sa réponse en fréquence par FFT.Le résultat de cette opération est présenté Figure 78 :Figure 78 - Réponse en fréquence d'une salle cubique de 3 m de coté avec une source au centre.Compte tenu de la densité des modes aux hautes fréquences, il est difficile de tirer desconclusions sur le haut du spectre à partir de cette étude. En revanche, les modes propres sontbien plus visibles aux basses fréquences ce qui permet une analyse plus pertinente 1 . Avec c, la1 Bien que le réverbérateur ne puisse pas simuler de trop basse fréquence, nous observons ici une134

célérité du son, l la longueur d’un coté du cube et n, un entier positif, les modes axiaux définispar :cf = nn . 2lsont visibles sur le spectre pour n paire (n=2 pour 56 Hz, n=4 pour 113 Hz etc.). Il estconforme à la théorie de ne pas percevoir les autres résonances puisque la source primaire sesitue au centre de la salle, au niveau des ventres de pression pour les modes impairs.En revanche, les modes transverses sont aussi visibles à 84 Hz puis à 168 Hz etc. Ilscorrespondent en fait à des trajets réguliers dans les diagonales du cube. Il est possibled’interpréter ces phénomènes de modes propres comme la superposition de réseauxacoustiques constitués des sources images de la constellation. La Figure 79 montre commentla disposition régulière de sources images forme des réseaux en ligne qui sont à l’origine desphénomènes de modes propres. Le fait que ces réseaux ne soit pas infinis induit l’apparitiond’effet de bord. Ceux-ci vont avoir tendance à perturber le signal aux bases fréquence.L’intensité des modes les plus bas n’est donc pas garantie et dépendent fortement du nombrede sources géométriques pris en compte. Il faut aussi noter que les sources stochastiques (nonreprésentées sur la figure) viennent perturber la régularité de cette répartition et donc influersur la réponse spectrale. Mais leur contribution reste minime car le poids de ces sources estfaible devant celui des premières réflexions.Pour parfaire cette étude, il serait intéressant d’étudier non pas des réponses enfréquence globale mais des FFT glissante au cours du temps. Ces « waterfalls » permettraientde mieux comprendre les évolutions de la réponse au cours du temps et surtout de pouvoiranalyser des décroissances dépendant de la fréquence.135

Figure 79 - Constellation de sources images dont les réseaux acoustiques à l'origine des modes propres ontété tracés.136

Résumé.Dans ce travail, nous présentons l’étude et la réalisation d’un simulateur de réponsesimpulsionnelles de salles, programmé sous MatLab.Après examen des différents procédés de synthèse acoustique, nous adoptons etmontrons comment programmer la méthode des sources images géométriques, ainsi que sespossibilités d’évolution vers le domaine statistique. Elle doit permettre de générer desréponses impulsionnelles sous formes de fichiers audio permettant d’ajouter une réverbérationà un son par convolution.Les premiers résultats obtenus semblent valider l’approche adoptée puisque les sonsgénérés sont souvent perceptivement proches de ceux entendus dans une salle réelle, lestemps de réverbération sont similaires à ceux prévus par les lois de l’acoustique et les densitésd’échos respectent les prévisions théoriques.La mise en place de tests objectifs et subjectifs, maintenant possible à partir duprogramme réalisé, constitue une suite logique de ce mémoire afin de valider effectivement lemodèle proposé.Abstract.Study and realisation of a Matlab room impulse response simulator are presented inthis paper.Analysing different kind of existing room synthesisers, we choose our own methodand show how to compute it on a strength of geometric image-sources. Moreover, we willexplain the way to improve this process adding statistic-sources. Finally, a convoluted soundwill be generated by the simulator to let users listen the reverberated product.First results seem to corroborate the model in so far as generated signals sound closeto reality, reverberation times and echoes densities follow acoustic theories.Objective and subjective test can now be perform and could be an idea to definitivelyvalidate this simulator.137