INTRODUCTION A LA PHYSIQUE DU SOLIDE - Iramis - CEA

1.4. LE GAZ D’ÉLECTRONS LIBRES. 13
FIG. 1.14 – Sommation dans l’espace des k
n = Ne
L
= 2kF
π
Les propriétés du gaz quantique dépendent de la densité électronique.
1.4.2 Gaz d’électron à trois dimension
La fonction d’onde de l’électron vérifie l’équation de Schrödinger :
dont les solutions sont les ondes planes :
△Ψ = 0
Ψ(x,y,z) = 1
√ Ω e ikxx e ikyy e ikzz = 1
√Ω e ik.r
On utilise les conditions périodiques de BVK 2 . Ces conditions se généralisent sans
problème en considérant un cube de taille L × L × L de volume Ω = L 3 :
Ψ(x + L,y,z) = Ψ(x,y + L,z) = Ψ(x,y,z + L) = Ψ(x,y,z)
Les conditions de BVK imposent :
e ikxL = e ikyL = e ikzL = 1
Ce qui conduit à la discrétisation des vecteurs d’ondes k qui doivent se situer aux
noeuds d’un réseau tridimensionnel régulier :
k = 2π
L (px, py, pz) ; (px, py, pz) ∈ ZZ 3
Chaque état de vecteur d’onde donné peut contenir 2 électrons.
L’énergie associée à une fonction d’onde de vecteur d’onde k est simplement :
E = �2 �k� 2
2m
2 A deux dimension il est encore possible de se représenter visulemment la signification de ces conditions
par un tore. Par contre à trois dimension cela devient difficile !