Problèmes de réduction de dimension pour la régression en ... - Isped

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntroductionY i temps de guérison du malade iX i un vecteur de variables explicatives (âge, poids, taille,type de traîtement...)Observations censurées : Pour certains malades, le tempsY i n’est pas observé.Causes possibles :Censure dite "administrative"Mort du patient, changement d’hôpital...

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexRégression en présence de données censuréesModèle semiparamétrique de Cox (ou Proportional HazardRegression Model) :h(t|x) = h 0 (t)e θ′ 0 x ,où h(t|z) taux de hasard conditionnel, h 0 fonctioninconnue, θ 0 ∈ R d inconnu.Autres modèles de régression : modèles portant surE[Y |X], modèles de régression quantile...But de cet exposé : Modèle de régression single-index enprésence de censureE[Y |X = x] = E[Y |θ ′ 0 X = θ′ 0 x] = m θ 0(θ ′ 0 x).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexRégression en présence de données censuréesModèle semiparamétrique de Cox (ou Proportional HazardRegression Model) :h(t|x) = h 0 (t)e θ′ 0 x ,où h(t|z) taux de hasard conditionnel, h 0 fonctioninconnue, θ 0 ∈ R d inconnu.Autres modèles de régression : modèles portant surE[Y |X], modèles de régression quantile...But de cet exposé : Modèle de régression single-index enprésence de censureE[Y |X = x] = E[Y |θ ′ 0 X = θ′ 0 x] = m θ 0(θ ′ 0 x).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexRégression en présence de données censuréesModèle semiparamétrique de Cox (ou Proportional HazardRegression Model) :h(t|x) = h 0 (t)e θ′ 0 x ,où h(t|z) taux de hasard conditionnel, h 0 fonctioninconnue, θ 0 ∈ R d inconnu.Autres modèles de régression : modèles portant surE[Y |X], modèles de régression quantile...But de cet exposé : Modèle de régression single-index enprésence de censureE[Y |X = x] = E[Y |θ ′ 0 X = θ′ 0 x] = m θ 0(θ ′ 0 x).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexObjectifs et difficultés rencontrées"Fléau de la dimension" frappant les estimateurs nonparamétriques de E[Y |X]Impossibilité d’utiliser la fonction de répartition empirique(remplacée par l’estimateur de Kaplan-Meier ou d’autresestimateurs)Sous certaines conditions d’identifiabilité, un nouveaufléau de la dimension frappe même les approches oùE[Y |X = x] appartient à un modèle paramétrique

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexObjectifs et difficultés rencontrées"Fléau de la dimension" frappant les estimateurs nonparamétriques de E[Y |X]Impossibilité d’utiliser la fonction de répartition empirique(remplacée par l’estimateur de Kaplan-Meier ou d’autresestimateurs)Sous certaines conditions d’identifiabilité, un nouveaufléau de la dimension frappe même les approches oùE[Y |X = x] appartient à un modèle paramétrique

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexObjectifs et difficultés rencontrées"Fléau de la dimension" frappant les estimateurs nonparamétriques de E[Y |X]Impossibilité d’utiliser la fonction de répartition empirique(remplacée par l’estimateur de Kaplan-Meier ou d’autresestimateurs)Sous certaines conditions d’identifiabilité, un nouveaufléau de la dimension frappe même les approches oùE[Y |X = x] appartient à un modèle paramétrique

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPlan de l’exposé1 Les conditions d’identifiabilitéModèle de régression en présence de censureLa censure dépend-elle des variables explicatives ?2 Modèle non linéaireDéfinitionIntégrales Kaplan-MeierEstimateur Kaplan-Meier conditionnel3 Nouvel estimateur de F(x, y)DéfinitionPropriétés asymptotiques4 Modèle de régression single-indexPrincipe généralHypothèses de convergence de ˆf

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexRéférencesLopez (2007a) : On the estimation of the joint distribution inregression models with censored responsesLopez (2007b) : Single-index regression models withcensored responsesLopez, Patilea, Van Keilegom (200 ?) : Dimensionreduction in censored mean-regression (Titre provisoire)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexOutline1 Les conditions d’identifiabilitéModèle de régression en présence de censureLa censure dépend-elle des variables explicatives ?2 Modèle non linéaireDéfinitionIntégrales Kaplan-MeierEstimateur Kaplan-Meier conditionnel3 Nouvel estimateur de F(x, y)DéfinitionPropriétés asymptotiques4 Modèle de régression single-indexPrincipe généralHypothèses de convergence de ˆf

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureModèleRégression avec variables expliquées censuréesOn s’intéresse à Y ∈ R.On observe (pour i = 1, ..., n)T i = Y i ∧ C i ,δ i = 1 Yi ≤C i,X i ∈ X ⊂ R d .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureModèleRégression avec variables expliquées censuréesOn s’intéresse à Y ∈ R.On observe (pour i = 1, ..., n)T i = Y i ∧ C i ,δ i = 1 Yi ≤C i,X i ∈ X ⊂ R d .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureModèleRégression avec variables expliquées censuréesOn s’intéresse à Y ∈ R.On observe (pour i = 1, ..., n)T i = Y i ∧ C i ,δ i = 1 Yi ≤C i,X i ∈ X ⊂ R d .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureModèleRégression avec variables expliquées censuréesOn s’intéresse à Y ∈ R.On observe (pour i = 1, ..., n)T i = Y i ∧ C i ,δ i = 1 Yi ≤C i,X i ∈ X ⊂ R d .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureModèleRégression avec variables expliquées censuréesOn s’intéresse à Y ∈ R.On observe (pour i = 1, ..., n)T i = Y i ∧ C i ,δ i = 1 Yi ≤C i,X i ∈ X ⊂ R d .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureEn l’absence de variables explicativesHypothèse d’identifiabilitéC i et Y i sont indépendants.Estimation de F(y) = P(Y ≤ y) par l’estimateur deKaplan-MeierˆF(y) = 1 − ∏i:T i ≤y(1 −1∑ nj=1 1 T j ≥T i) δi.QuestionComment étendre cette hypothèse en présence de variablesexplicatives ?

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureEn l’absence de variables explicativesHypothèse d’identifiabilitéC i et Y i sont indépendants.Estimation de F(y) = P(Y ≤ y) par l’estimateur deKaplan-MeierˆF(y) = 1 − ∏i:T i ≤y(1 −1∑ nj=1 1 T j ≥T i) δi.QuestionComment étendre cette hypothèse en présence de variablesexplicatives ?

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexModèle de régression en présence de censureEn l’absence de variables explicativesHypothèse d’identifiabilitéC i et Y i sont indépendants.Estimation de F(y) = P(Y ≤ y) par l’estimateur deKaplan-MeierˆF(y) = 1 − ∏i:T i ≤y(1 −1∑ nj=1 1 T j ≥T i) δi.QuestionComment étendre cette hypothèse en présence de variablesexplicatives ?

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexLa censure dépend-elle des variables explicatives ?Retour sur l’exemple introductifExemple 1Y i = temps de guérison du malade iX i = âge, poids, tailleC i = censure administrativeConclusionC i indépendant de (Y i , X i ).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexLa censure dépend-elle des variables explicatives ?Retour sur l’exemple introductifExemple 1Y i = temps de guérison du malade iX i = âge, poids, tailleC i = censure administrativeConclusionC i indépendant de (Y i , X i ).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexLa censure dépend-elle des variables explicatives ?Retour sur l’exemple introductifExemple 2Y i = temps de guérison du malade iX i = âge, poids, tailleC i = Mort du patientConclusionC i devrait dépendre de X i

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexLa censure dépend-elle des variables explicatives ?Retour sur l’exemple introductifExemple 2Y i = temps de guérison du malade iX i = âge, poids, tailleC i = Mort du patientConclusionC i devrait dépendre de X i

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexLa censure dépend-elle des variables explicatives ?Deux types d’hypothèsesHypothèse "Forte"C indépendant de (Y , X) (L(C|X, Y ) = L(C))Hypothèse "faible"C indépendant de Y conditionnellement à X(L(C|Y , X) = L(C|X))

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexOutline1 Les conditions d’identifiabilitéModèle de régression en présence de censureLa censure dépend-elle des variables explicatives ?2 Modèle non linéaireDéfinitionIntégrales Kaplan-MeierEstimateur Kaplan-Meier conditionnel3 Nouvel estimateur de F(x, y)DéfinitionPropriétés asymptotiques4 Modèle de régression single-indexPrincipe généralHypothèses de convergence de ˆf

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionDéfinition du modèle non linéaireModèle de régression non linéaireOn supposeE[Y |X = x] = f (θ 0 , x),où f fonction connue, θ 0 ∈ Θ ⊂ R k .Cas particulier : régression linéaire, f (θ 0 , x) = θ ′ 0 x.Sous l’Hypothèse forte :Koul, Susarla, Van Ryzin (1981), Leurgans (1987), Zhou(1992), régression linéaireStute (1999), Delecroix, Lopez, Patilea (2006), non linéaireSous l’Hypothèse faible :Heuchenne et Van Keilegom (2007a) : RégressionpolynomialeHeuchenne et Van Keilegom (2007b) : non linéaireDans ces deux derniers cas, d = 1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionDéfinition du modèle non linéaireModèle de régression non linéaireOn supposeE[Y |X = x] = f (θ 0 , x),où f fonction connue, θ 0 ∈ Θ ⊂ R k .Cas particulier : régression linéaire, f (θ 0 , x) = θ ′ 0 x.Sous l’Hypothèse forte :Koul, Susarla, Van Ryzin (1981), Leurgans (1987), Zhou(1992), régression linéaireStute (1999), Delecroix, Lopez, Patilea (2006), non linéaireSous l’Hypothèse faible :Heuchenne et Van Keilegom (2007a) : RégressionpolynomialeHeuchenne et Van Keilegom (2007b) : non linéaireDans ces deux derniers cas, d = 1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionDéfinition du modèle non linéaireModèle de régression non linéaireOn supposeE[Y |X = x] = f (θ 0 , x),où f fonction connue, θ 0 ∈ Θ ⊂ R k .Cas particulier : régression linéaire, f (θ 0 , x) = θ ′ 0 x.Sous l’Hypothèse forte :Koul, Susarla, Van Ryzin (1981), Leurgans (1987), Zhou(1992), régression linéaireStute (1999), Delecroix, Lopez, Patilea (2006), non linéaireSous l’Hypothèse faible :Heuchenne et Van Keilegom (2007a) : RégressionpolynomialeHeuchenne et Van Keilegom (2007b) : non linéaireDans ces deux derniers cas, d = 1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionDéfinition du modèle non linéaireModèle de régression non linéaireOn supposeE[Y |X = x] = f (θ 0 , x),où f fonction connue, θ 0 ∈ Θ ⊂ R k .Cas particulier : régression linéaire, f (θ 0 , x) = θ ′ 0 x.Sous l’Hypothèse forte :Koul, Susarla, Van Ryzin (1981), Leurgans (1987), Zhou(1992), régression linéaireStute (1999), Delecroix, Lopez, Patilea (2006), non linéaireSous l’Hypothèse faible :Heuchenne et Van Keilegom (2007a) : RégressionpolynomialeHeuchenne et Van Keilegom (2007b) : non linéaireDans ces deux derniers cas, d = 1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionDéfinition du modèle non linéaireModèle de régression non linéaireOn supposeE[Y |X = x] = f (θ 0 , x),où f fonction connue, θ 0 ∈ Θ ⊂ R k .Cas particulier : régression linéaire, f (θ 0 , x) = θ ′ 0 x.Sous l’Hypothèse forte :Koul, Susarla, Van Ryzin (1981), Leurgans (1987), Zhou(1992), régression linéaireStute (1999), Delecroix, Lopez, Patilea (2006), non linéaireSous l’Hypothèse faible :Heuchenne et Van Keilegom (2007a) : RégressionpolynomialeHeuchenne et Van Keilegom (2007b) : non linéaireDans ces deux derniers cas, d = 1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierMoindres carrésMéthode des moindres carrés en l’absence de censure :M(θ) = EIci, ˆF emp n’est pas disponible.[[Y − f (θ, X)] 2] ,θ 0 = arg min M(θ),θ∈ΘM n (θ) = 1 n∑[Y i − f (θ, X i )] 2 ,ni=1ˆθ = arg minθ∈Θ M n(θ).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierMoindres carrésMéthode des moindres carrés en l’absence de censure :M(θ) =∫[y − f (θ, x)] 2 dF (x, y),θ 0 = arg min M(θ),θ∈Θ∫M n (θ) = [y − f (θ, x)] 2 d ˆF emp (x, y),ˆθ = arg minθ∈Θ M n(θ).Ici, ˆF emp n’est pas disponible.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierMoindres carrésMéthode des moindres carrés en l’absence de censure :M(θ) =∫[y − f (θ, x)] 2 dF (x, y),θ 0 = arg min M(θ),θ∈Θ∫M n (θ) = [y − f (θ, x)] 2 d ˆF emp (x, y),ˆθ = arg minθ∈Θ M n(θ).Ici, ˆF emp n’est pas disponible.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierIntégrales Kaplan-MeierRéécriture de l’estimateur de Kaplan-Meiern∑ˆF(y) = δ i W in 1 Ti ≤y.i=1En présence de variables explicatives, Stute (1993) estimeF(x, y)n∑ˆF F (x, y) = δ i W in 1 Ti ≤y1 Xi ≤x.i=1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierIntégrales Kaplan-MeierRéécriture de l’estimateur de Kaplan-Meiern∑ˆF(y) = δ i W in 1 Ti ≤y.i=1En présence de variables explicatives, Stute (1993) estimeF(x, y)n∑ˆF F (x, y) = δ i W in 1 Ti ≤y1 Xi ≤x.i=1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierIntégrales Kaplan-MeierRéécriture de l’estimateur de Kaplan-MeierˆF(y) =n∑δ i W in 1 Ti ≤y.i=1En présence de variables explicatives, Stute (1993) estimeF(x, y)n∑ˆF F (x, y) = δ i W in 1 Ti ≤y1 Xi ≤x.Estimation de θ 0 :ˆθ F = arg minθ∈Θi=1∫[y − f (θ, x)] 2 d ˆF F (x, y)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierIntégrales Kaplan-MeierRéécriture de l’estimateur de Kaplan-MeierˆF(y) =n∑δ i W in 1 Ti ≤y.i=1En présence de variables explicatives, Stute (1993) estimeF(x, y)n∑ˆF F (x, y) = δ i W in 1 Ti ≤y1 Xi ≤x.Estimation de θ 0 :ˆθ F = arg minθ∈Θi=1n∑δ i W in [T i − f (θ, X i )] 2i=1

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierComportement asymptotique des intégrales KMSauts de l’estimateur de Kaplan-MeierSoit G(t) = P(C ≤ t), Ĝ(t) son estimateur de Kaplan-Meier.Les sauts de ˆF sontW in =1n[1 − Ĝ(T i−)] .Représentation asymptotique, Stute (1993)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierComportement asymptotique des intégrales KMSauts de l’estimateur de Kaplan-MeierSoit G(t) = P(C ≤ t), Ĝ(t) son estimateur de Kaplan-Meier.Les sauts de ˆF sontW in =1n[1 − Ĝ(T i−)] .Représentation asymptotique, Stute (1993)∫φ(x, y)d ˆF F (x, y) = 1 nn∑ δ i φ(X i , T i )i=11 − Ĝ(T i−)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierComportement asymptotique des intégrales KMSauts de l’estimateur de Kaplan-MeierSoit G(t) = P(C ≤ t), Ĝ(t) son estimateur de Kaplan-Meier.Les sauts de ˆF sontW in =1n[1 − Ĝ(T i−)] .Représentation asymptotique, Stute (1993)∫φ(x, y)d ˆF F (x, y) = 1 nn∑i=1δ i φ(X i , T i )1 − G(T i −) + η(T i, δ i )+o P (n −1/2 ),avec E[η(T , δ)] = 0, sous des hypothèses de moments.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierConvergence des intégrales Kaplan-MeierSous les Hypothèses fortes,E[ ] δφ(X, T )1 − G(T −)= E[ ]1Y ≤C φ(X, Y )1 − G(Y −)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierConvergence des intégrales Kaplan-MeierSous les Hypothèses fortes,E[ ] δφ(X, T )1 − G(T −)[ ]1Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y −)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierConvergence des intégrales Kaplan-MeierSous les Hypothèses fortes,E[ ] δφ(X, T )1 − G(T −)[ ]1Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ]P(Y ≤ C|X, Y )φ(X, Y )= E1 − G(Y −)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierConvergence des intégrales Kaplan-MeierSous les Hypothèses fortes,E[ ] δφ(X, T )1 − G(T −)[ ]1Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ]P(δ = 1|X, Y )φ(X, Y )= E1 − G(Y −)[ ][1 − G(Y −)]φ(X, Y )= E= E[φ(X, Y )].1 − G(Y −)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierBilan sur les intégrales Kaplan-MeierBilanFonctionne sous les Hypothèses fortes, pas sous lesHypothèse faiblesOn peut envisager le cas X ∈ R d avec d > 1Autres approches pour la régression sous les Hypothèsesfortes : approche synthetic data, lien avec les intégralesKaplan-Meier, voir Delecroix, Lopez, Patilea (2006).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexIntégrales Kaplan-MeierBilan sur les intégrales Kaplan-MeierBilanFonctionne sous les Hypothèses fortes, pas sous lesHypothèse faiblesOn peut envisager le cas X ∈ R d avec d > 1Autres approches pour la régression sous les Hypothèsesfortes : approche synthetic data, lien avec les intégralesKaplan-Meier, voir Delecroix, Lopez, Patilea (2006).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur Kaplan-Meier conditionnel(Hypothèses faibles)Beran (1981) estime F(y | x) = P(Y ≤ y | X = x) parˆF(y | x) = 1 − ∏i:T i ≤ySoit K un noyau, on prendw ni (x) =(1 −w ni (x)∑ nj=1 w nj(x)1 Tj ≥T i) δi.K ( X i −xh )∑ nj=1 K ( X j −xh ).Etude théorique par Dabrowska (1987).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur Kaplan-Meier conditionnel(Hypothèses faibles)Beran (1981) estime F(y | x) = P(Y ≤ y | X = x) parˆF(y | x) = 1 − ∏i:T i ≤ySoit K un noyau, on prendw ni (x) =(1 −w ni (x)∑ nj=1 w nj(x)1 Tj ≥T i) δi.K ( X i −xh )∑ nj=1 K ( X j −xh ).Etude théorique par Dabrowska (1987).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur Kaplan-Meier conditionnel(Hypothèses faibles)Beran (1981) estime F(y | x) = P(Y ≤ y | X = x) parˆF(y | x) = 1 − ∏i:T i ≤ySoit K un noyau, on prendw ni (x) =(1 −w ni (x)∑ nj=1 w nj(x)1 Tj ≥T i) δi.K ( X i −xh )∑ nj=1 K ( X j −xh ).Etude théorique par Dabrowska (1987).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur de F (x, y) (Van Keilegom et Akritas,1999)F(x, y) = ∫ u≤x F(y | u)dF X (u), où F X (x) = P(X ≤ x).Estimation par ˆF(x, y) = ∫ u≤x ˆF(y | u)d ˆF X (u), avec ˆF Xfonction de répartition empirique de X.Hypothèses supplémentaires :Y = m(X) + σ(X)ε,où m fonction de localisation, σ fonction d’échelle, εindépendant de X.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur de F (x, y) (Van Keilegom et Akritas,1999)F(x, y) = ∫ u≤x F(y | u)dF X (u), où F X (x) = P(X ≤ x).Estimation par ˆF(x, y) = ∫ u≤x ˆF(y | u)d ˆF X (u), avec ˆF Xfonction de répartition empirique de X.Hypothèses supplémentaires :Y = m(X) + σ(X)ε,où m fonction de localisation, σ fonction d’échelle, εindépendant de X.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelEstimateur de F (x, y) (Van Keilegom et Akritas,1999)F(x, y) = ∫ u≤x F(y | u)dF X (u), où F X (x) = P(X ≤ x).Estimation par ˆF(x, y) = ∫ u≤x ˆF(y | u)d ˆF X (u), avec ˆF Xfonction de répartition empirique de X.Hypothèses supplémentaires :Y = m(X) + σ(X)ε,où m fonction de localisation, σ fonction d’échelle, εindépendant de X.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelInconvénients majeursDifficulté d’étude pour X ∈ R d avec d > 1.On impose X continuCas C = ∞ p.s. : ne généralise pas la notion de fonctionde répartition empirique.Régression sous les Hypothèses faibles : d = 1 seulement

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelInconvénients majeursDifficulté d’étude pour X ∈ R d avec d > 1.On impose X continuCas C = ∞ p.s. : ne généralise pas la notion de fonctionde répartition empirique.Régression sous les Hypothèses faibles : d = 1 seulement

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelInconvénients majeursDifficulté d’étude pour X ∈ R d avec d > 1.On impose X continuCas C = ∞ p.s. : ne généralise pas la notion de fonctionde répartition empirique.Régression sous les Hypothèses faibles : d = 1 seulement

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexEstimateur Kaplan-Meier conditionnelInconvénients majeursDifficulté d’étude pour X ∈ R d avec d > 1.On impose X continuCas C = ∞ p.s. : ne généralise pas la notion de fonctionde répartition empirique.Régression sous les Hypothèses faibles : d = 1 seulement

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexOutline1 Les conditions d’identifiabilitéModèle de régression en présence de censureLa censure dépend-elle des variables explicatives ?2 Modèle non linéaireDéfinitionIntégrales Kaplan-MeierEstimateur Kaplan-Meier conditionnel3 Nouvel estimateur de F(x, y)DéfinitionPropriétés asymptotiques4 Modèle de régression single-indexPrincipe généralHypothèses de convergence de ˆf

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionRecherche du "bon poids"Idée : proposer un estimateur du typeˆF f (x, y) = 1 nn∑δ i W (X i , T i )1 Ti ≤y,X i ≤x.i=1Idéalement, pour toute fonction φ,E [δW (X, T )φ(X, T )] = E [φ(X, Y )] .Lorsque Y ⊥ C | X, soit G(y | x) = P(C ≤ y | X = x),

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionRecherche du "bon poids"Idée : proposer un estimateur du typeˆF f (x, y) = 1 nn∑δ i W (X i , T i )1 Ti ≤y,X i ≤x.i=1Idéalement, pour toute fonction φ,E [δW (X, T )φ(X, T )] = E [φ(X, Y )] .Lorsque Y ⊥ C | X, soit G(y | x) = P(C ≤ y | X = x),

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionRecherche du "bon poids"Idée : proposer un estimateur du typeˆF f (x, y) = 1 nn∑δ i W (X i , T i )1 Ti ≤y,X i ≤x.i=1Idéalement, pour toute fonction φ,E [δW (X, T )φ(X, T )] = E [φ(X, Y )] .Lorsque Y ⊥ C | X, soit G(y | x) = P(C ≤ y | X = x),E[δW (X, T )φ(X, T )] = E[δW (X, Y )φ(X, Y )]

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionRecherche du "bon poids"Idée : proposer un estimateur du typeˆF f (x, y) = 1 nn∑δ i W (X i , T i )1 Ti ≤y,X i ≤x.i=1Idéalement, pour toute fonction φ,E [δW (X, T )φ(X, T )] = E [φ(X, Y )] .Lorsque Y ⊥ C | X, soit G(y | x) = P(C ≤ y | X = x),E[δW (X, T )φ(X, T )] = E[δW (X, Y )φ(X, Y )]= E [ E[1 Y ≤C | X, Y ]W (X, Y )φ(X, Y ) ]

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionRecherche du "bon poids"Idée : proposer un estimateur du typeˆF f (x, y) = 1 nn∑δ i W (X i , T i )1 Ti ≤y,X i ≤x.i=1Idéalement, pour toute fonction φ,E [δW (X, T )φ(X, T )] = E [φ(X, Y )] .Lorsque Y ⊥ C | X, soit G(y | x) = P(C ≤ y | X = x),E[δW (X, T )φ(X, T )] = E[δW (X, Y )φ(X, Y )]= E [ E[1 Y ≤C | X, Y ]W (X, Y ) ]= E [(1 − G(Y − | X))W (X, Y )φ(X, Y )]

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionEstimation de F (x, y)Estimateur "idéal"On choisitet on définitW (X i , T i ) =11 − G(T i − | X i ) ,˜F f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | X i ) .ProblèmeLa fonction G est inconnue : ˜F est inaccessible.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionEstimation de F (x, y)Estimateur "idéal"On choisitet on définitW (X i , T i ) =11 − G(T i − | X i ) ,˜F f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | X i ) .ProblèmeLa fonction G est inconnue : ˜F est inaccessible.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionEstimateur proposéEstimer G(y | x) par l’estimateur de Beran Ĝ(y | x).Définition de l’estimateurOn estime F(x, y) parˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | X i ) .Pour toute fonction φ, on a∫φ(x, y)d ˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i φ(X i , T i )1 − Ĝ(T i− | X i ) .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionEstimateur proposéEstimer G(y | x) par l’estimateur de Beran Ĝ(y | x).Définition de l’estimateurOn estime F(x, y) parˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | X i ) .Pour toute fonction φ, on a∫φ(x, y)d ˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1δ i φ(X i , T i )1 − Ĝ(T i− | X i ) .

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionPremières propriétés élémentairesC = ∞ p.s. : Ĝ(y | x) = 0 p.s., on retrouve la fonction derépartition empirique.Pour l’étude théorique, supposer X continu.Dans le cas d > 1, même problème que pour l’estimateurde Van Keilegom et Akritas : fléau de la dimension

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionPremières propriétés élémentairesC = ∞ p.s. : Ĝ(y | x) = 0 p.s., on retrouve la fonction derépartition empirique.Pour l’étude théorique, supposer X continu.Dans le cas d > 1, même problème que pour l’estimateurde Van Keilegom et Akritas : fléau de la dimension

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionPremières propriétés élémentairesC = ∞ p.s. : Ĝ(y | x) = 0 p.s., on retrouve la fonction derépartition empirique.Pour l’étude théorique, supposer X continu.Dans le cas d > 1, même problème que pour l’estimateurde Van Keilegom et Akritas : fléau de la dimension

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des conditions d’identifiabilitédu modèleNouvelle hypothèseSoit g une fonction à valeurs réelles. On supposeL(C|X, Y ) = L(C|g(X)) (au lieu de L(C|X)).Exempleg(x) = x 1g(x) = β ′ 0 xRemarque : Si on dispose d’un estimateur de g(x)convergeant à la vitesse n −1/2 , on peut étendre lesdifférents résultats.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des conditions d’identifiabilitédu modèleNouvelle hypothèseSoit g une fonction à valeurs réelles. On supposeL(C|X, Y ) = L(C|g(X)) (au lieu de L(C|X)).Exempleg(x) = x 1g(x) = β ′ 0 xRemarque : Si on dispose d’un estimateur de g(x)convergeant à la vitesse n −1/2 , on peut étendre lesdifférents résultats.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des conditions d’identifiabilitédu modèleNouvelle hypothèseSoit g une fonction à valeurs réelles. On supposeL(C|X, Y ) = L(C|g(X)) (au lieu de L(C|X)).Exempleg(x) = x 1g(x) = β ′ 0 xRemarque : Si on dispose d’un estimateur de g(x)convergeant à la vitesse n −1/2 , on peut étendre lesdifférents résultats.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des hypothèses d’identifiabilitédu modèleSous la nouvelle hypothèse,[]δφ(X, T )E1 − G(T − |g(X))[]1 Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des hypothèses d’identifiabilitédu modèleSous la nouvelle hypothèse,[]δφ(X, T )E1 − G(T − |g(X))[]1 Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des hypothèses d’identifiabilitédu modèleSous la nouvelle hypothèse,[]δφ(X, T )E1 − G(T − |g(X))[]1 Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ]P(Y ≤ C|X, Y )φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionUne modification des hypothèses d’identifiabilitédu modèleSous la nouvelle hypothèse,[]δφ(X, T )E1 − G(T − |g(X))[]1 Y ≤C φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ]E[1Y ≤C |X, Y ]φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ]P(δ = 1|X, Y )φ(X, Y )= E1 − G(Y − |g(X))[ ][1 − G(Y − |g(X))]φ(X, Y )= E.1 − G(Y − |g(X))

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionL’estimateur pour le cas d > 1Définition de l’estimateur˜F f (x, y) = 1 nˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1n∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | g(X i )) ,δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | g(X i )) .On n’utilise que des estimateurs à noyau en dimension 1.g(X) doit être une variable continue, mais pasnécessairement X.Les nouvelles hypothèses d’identifiabilité ne permettentpas de se ramener à la dimension 1 pour l’estimateur deVan Keilegom et Akritas.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionL’estimateur pour le cas d > 1Définition de l’estimateur˜F f (x, y) = 1 nˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1n∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | g(X i )) ,δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | g(X i )) .On n’utilise que des estimateurs à noyau en dimension 1.g(X) doit être une variable continue, mais pasnécessairement X.Les nouvelles hypothèses d’identifiabilité ne permettentpas de se ramener à la dimension 1 pour l’estimateur deVan Keilegom et Akritas.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionL’estimateur pour le cas d > 1Définition de l’estimateur˜F f (x, y) = 1 nˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1n∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | g(X i )) ,δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | g(X i )) .On n’utilise que des estimateurs à noyau en dimension 1.g(X) doit être une variable continue, mais pasnécessairement X.Les nouvelles hypothèses d’identifiabilité ne permettentpas de se ramener à la dimension 1 pour l’estimateur deVan Keilegom et Akritas.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionL’estimateur pour le cas d > 1Définition de l’estimateur˜F f (x, y) = 1 nˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1n∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | g(X i )) ,δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | g(X i )) .On n’utilise que des estimateurs à noyau en dimension 1.g(X) doit être une variable continue, mais pasnécessairement X.Les nouvelles hypothèses d’identifiabilité ne permettentpas de se ramener à la dimension 1 pour l’estimateur deVan Keilegom et Akritas.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexDéfinitionL’estimateur pour le cas d > 1Définition de l’estimateur˜F f (x, y) = 1 nˆF f (x, y) = 1 nn∑i=1n∑i=1δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − G(T i − | g(X i )) ,δ i 1 Ti ≤y,X i ≤x1 − Ĝ(T i− | ĝ(X i )) .On n’utilise que des estimateurs à noyau en dimension 1.g(X) doit être une variable continue, mais pasnécessairement X.Les nouvelles hypothèses d’identifiabilité ne permettentpas de se ramener à la dimension 1 pour l’estimateur deVan Keilegom et Akritas.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesLoi des grands nombresOn utilise la convergence uniforme de l’estimateur deBeran.Loi des grands nombresSoit F une classe telle que δ[1 − G(T − |g(X))] −1 F soitP−Glivenko-Cantelli possédant une enveloppe satisfaisantcertaines hypothèses de moments,∫∫∀φ ∈ F, φ(x, y)d ˆF f (x, y) = φ(x, y)d ˜F f (x, y)x∈Xoù sup φ∈F |R n (φ)| = o P (1). On en déduitsupφ∈F∫∣x∈Xx∈X+R n (φ),φ(x, y)d(ˆF f − ˜F f )(x, y)∣ = o P(1).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesLoi des grands nombresOn utilise la convergence uniforme de l’estimateur deBeran.Loi des grands nombresSoit F une classe telle que δ[1 − G(T − |g(X))] −1 F soitP−Glivenko-Cantelli possédant une enveloppe satisfaisantcertaines hypothèses de moments,∫∫∀φ ∈ F, φ(x, y)d ˆF f (x, y) = φ(x, y)d ˜F f (x, y)x∈Xoù sup φ∈F |R n (φ)| = o P (1). On en déduitsupφ∈F∫∣x∈Xx∈X+R n (φ),φ(x, y)d(ˆF f − ˜F f )(x, y)∣ = o P(1).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesThéorème central limiteOn définit H y = {(X i , δ i , T i )1 Ti ≤y, i = 1, ..., n} etM G iThéorème (d = 1)(y) = (1 − δ i )1 Ti ≤y −∫ y−∞1 Ti ≥sdG(s | X i )1 − G(s | X i ) .On a la représentation i.i.d., pour tout φ ∈ F VC-classe,∫φ(x, y)d ˆF f (x, y)X δ=∫φ(x, y)d ˜F f (x, y)X δ+ 1 nn∑i=1∫ y−∞où ¯φ(x, y) = ∫ φ(x, s)dF (s | x), etsup φ∈F |R n (φ)| = O P (h 2 + n −3/4 h −3/4 ).¯φ(X i , s)dMiG (s)+ R n (φ),1 − H(s | X i )

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesRemarquesIngrédients principaux de la preuve :Représentation i.i.d. de l’estimateur de Beran avecuniformité en x et hVitesse de convergence des U−processus indexés par desclasses polynomialesInégalités de concentrationSi nh 4 → 0, le reste est o P (n −1/2 ).On a alorsn 1/2 ∫x∈X δφ(x, y)d[ˆF f − F f ](x, y) =⇒ N (0, σ 2 (φ)).On peut obtenir une représentation avec uniformité en h

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesRemarquesIngrédients principaux de la preuve :Représentation i.i.d. de l’estimateur de Beran avecuniformité en x et hVitesse de convergence des U−processus indexés par desclasses polynomialesInégalités de concentrationSi nh 4 → 0, le reste est o P (n −1/2 ).On a alorsn 1/2 ∫x∈X δφ(x, y)d[ˆF f − F f ](x, y) =⇒ N (0, σ 2 (φ)).On peut obtenir une représentation avec uniformité en h

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesRemarquesIngrédients principaux de la preuve :Représentation i.i.d. de l’estimateur de Beran avecuniformité en x et hVitesse de convergence des U−processus indexés par desclasses polynomialesInégalités de concentrationSi nh 4 → 0, le reste est o P (n −1/2 ).On a alorsn 1/2 ∫x∈X δφ(x, y)d[ˆF f − F f ](x, y) =⇒ N (0, σ 2 (φ)).On peut obtenir une représentation avec uniformité en h

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesRemarquesIngrédients principaux de la preuve :Représentation i.i.d. de l’estimateur de Beran avecuniformité en x et hVitesse de convergence des U−processus indexés par desclasses polynomialesInégalités de concentrationSi nh 4 → 0, le reste est o P (n −1/2 ).On a alorsn 1/2 ∫x∈X δφ(x, y)d[ˆF f − F f ](x, y) =⇒ N (0, σ 2 (φ)).On peut obtenir une représentation avec uniformité en h

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesSimulationsY = 1/d(X (1) − X (2) + ...X (d) ) + ε, où ε ∼ N (m, 1),X ∼ U[0, 1] ⊗d .Conditionnellement à X, C ∼ E(e β′ 0 X /5).On estime E[Y ] = ∫ ∫X ydF (x, y).Comparaison entre l’estimateur de Van Keilegom etAkritas, estimateur avec β 0 connu, avec β 0 estimé.Choix de h à partir des données :∫I(h) = y1 y≤τ d ˆF f (x, y; h),ĥ =∫arg min (y − I(h)) 2 d ˆF f (x, y; h 0 ).h∈H n

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesSimulationsY = 1/d(X (1) − X (2) + ...X (d) ) + ε, où ε ∼ N (m, 1),X ∼ U[0, 1] ⊗d .Conditionnellement à X, C ∼ E(e β′ 0 X /5).On estime E[Y ] = ∫ ∫X ydF (x, y).Comparaison entre l’estimateur de Van Keilegom etAkritas, estimateur avec β 0 connu, avec β 0 estimé.Choix de h à partir des données :∫I(h) = y1 y≤τ d ˆF f (x, y; h),ĥ =∫arg min (y − I(h)) 2 d ˆF f (x, y; h 0 ).h∈H n

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesSimulations n=50, 30 % de censureFIG.: Biais et variance des estimateurs de E[Y ] suivant les valeurs duparamètres de lissage pour n = 50 et 30% de censure.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexFIG.: Biais et variance des estimateurs de E[Y ] suivant les valeurs duparamètres de lissage pour n = 100 et 45% de censure.Propriétés asymptotiquesSimulations n=100, 45 % de censure

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesAutres applications de ce nouvel estimateur de FEstimation de la densité de Y quand C et Y ne sont pasindépendants (voir Lopez, 2007).Régression quantileTests non paramétriques d’adéquation (extension de laprocédure de Lopez et Patilea (2006), valable sous lesHypothèses fortes).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesAutres applications de ce nouvel estimateur de FEstimation de la densité de Y quand C et Y ne sont pasindépendants (voir Lopez, 2007).Régression quantileTests non paramétriques d’adéquation (extension de laprocédure de Lopez et Patilea (2006), valable sous lesHypothèses fortes).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPropriétés asymptotiquesAutres applications de ce nouvel estimateur de FEstimation de la densité de Y quand C et Y ne sont pasindépendants (voir Lopez, 2007).Régression quantileTests non paramétriques d’adéquation (extension de laprocédure de Lopez et Patilea (2006), valable sous lesHypothèses fortes).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexOutline1 Les conditions d’identifiabilitéModèle de régression en présence de censureLa censure dépend-elle des variables explicatives ?2 Modèle non linéaireDéfinitionIntégrales Kaplan-MeierEstimateur Kaplan-Meier conditionnel3 Nouvel estimateur de F(x, y)DéfinitionPropriétés asymptotiques4 Modèle de régression single-indexPrincipe généralHypothèses de convergence de ˆf

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralPrincipe généralOn supposeE[Y |X = x] = E[Y |X ′ θ 0 = x ′ θ 0 ] = f θ0 (x ′ θ 0 ).Modèle de Cox : cas particulier de modèle single-index.θ 0 vérifie, pour toute fonction J positive,ProcédureEstimer F par un estimateur ˆFEstimer non paramétriquement f θ (u).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralPrincipe généralOn supposeE[Y |X = x] = E[Y |X ′ θ 0 = x ′ θ 0 ] = f θ0 (x ′ θ 0 ).Modèle de Cox : cas particulier de modèle single-index.θ 0 vérifie, pour toute fonction J positive,ProcédureEstimer F par un estimateur ˆFEstimer non paramétriquement f θ (u).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralPrincipe généralOn supposeE[Y |X = x] = E[Y |X ′ θ 0 = x ′ θ 0 ] = f θ0 (x ′ θ 0 ).Modèle de Cox : cas particulier de modèle single-index.θ 0 vérifie, pour toute fonction J positive,Procédure[]θ 0 = arg min E (Y − f θ (X ′ θ)) 2 J(X) = M(θ, f )θ∈Θ∫= arg min [y − f θ (x ′ θ)] 2 J(x)dF(x, y).θ∈ΘEstimer F par un estimateur ˆFEstimer non paramétriquement f θ (u).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralPrincipe généralOn supposeE[Y |X = x] = E[Y |X ′ θ 0 = x ′ θ 0 ] = f θ0 (x ′ θ 0 ).Modèle de Cox : cas particulier de modèle single-index.θ 0 vérifie, pour toute fonction J positive,Procédure[]θ 0 = arg min E (Y − f θ (X ′ θ)) 2 J(X) = M(θ, f )θ∈Θ∫= arg min [y − f θ (x ′ θ)] 2 J(x)dF(x, y).θ∈ΘEstimer F par un estimateur ˆFEstimer non paramétriquement f θ (u).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralPrincipe généralOn supposeE[Y |X = x] = E[Y |X ′ θ 0 = x ′ θ 0 ] = f θ0 (x ′ θ 0 ).Modèle de Cox : cas particulier de modèle single-index.θ 0 vérifie, pour toute fonction J positive,Procédure[]θ 0 = arg min E (Y − f θ (X ′ θ)) 2 J(X) = M(θ, f )θ∈Θ∫= arg min [y − f θ (x ′ θ)] 2 J(x)dF(x, y).θ∈ΘEstimer F par un estimateur ˆFEstimer non paramétriquement f θ (u).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralExemple d’estimateur pour f θ (u)Estimateur à noyau :ˆfθ (u) =∫yK1 ([θ ′ x − u]/h 1 )d ˆF(x, y)∫K1 ([θ ′ x − u]/h 1 )d ˆF(x, y) .Possibilité d’utiliser d’autres types d’estimateurs.Par la suite, on obtient un certain nombre de conditionsque doivent vérifier ces estimateurs paramétriques.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexPrincipe généralNormalité asymptotique de ˆθ∫ˆθ = arg minθ∈Θ(y −ˆf θ (x ′ θ)) 2 J(x)d ˆF(x, y) = arg minθ∈Θ M n(θ,ˆf ).Normalité asymptotiqueSous des conditions de moments, sur la distribution de lacensure, et sur ˆfM n (θ,ˆf ) = M n (θ, f ) + termes negligeables.On en déduitn 1/2 (ˆθ − θ 0)⇒ N (0, σ 2 ).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfSous les Hypothèses faiblesConvergence uniformesup |ˆf θ (u) − f θ (u)| = o P (1),θ∈Θ,u∈U δsup |∇ θˆfθ (θ, x) − ∇ θ f θ (θ, x)| = o P (1),θ∈Θ,x∈X δsupθ∈Θ,x∈X δ|∇ 2 θˆf θ (θ, x) − ∇ 2 θ f θ(θ, x)| = o P (1).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfSous les Hypothèses faiblesVitesse de convergence en θ 0supu∈U δ|ˆf θ0 (u) − f θ0 (u)| = O P (ε n ),sup |∇ θˆfθ0 (θ 0 , x) − ∇ θ f θ0 (θ 0 , x)| = O P (ε ′ n),x∈X δavec εε ′ n = o(n −1/2 ).

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfSous les Hypothèses faiblesClasses de DonskerSoit U ⊂ R = {θ ′ x, θ ∈ Θ, x ∈ X }. Pour M > 0,f θ0 (·) ∈ H 1 = C 1 (U, M),∇ θ f (θ 0 , ·) ∈ H 2 = xC 1 (U, M) + C 1 (U, M).Pour la classe C α (U, M) des fonctions sur U ⊂ R pα−différentiables, différentielles bornées par M. On a( ) 1 p/αlog N [] (ε, C α (U, M)) ≤ Kε

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfSous les Hypothèses faiblesClasses de DonskerSoit U ⊂ R = {θ ′ x, θ ∈ Θ, x ∈ X }. Pour M > 0,f θ0 (·) ∈ H 1 = C 1 (U, M),∇ θ f (θ 0 , ·) ∈ H 2 = xC 1 (U, M) + C 1 (U, M).Pour la classe C α (U, M) des fonctions sur U ⊂ R pα−différentiables, différentielles bornées par M. On a( ) 1 p/αlog N [] (ε, C α (U, M)) ≤ Kε

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfBilanOn obtient, sous les hypothèses fortes ou faibles,n 1/2 (ˆθ − θ 0 ) ⇒ N (0, σ 2 (φ)).Utilisation de ˆθ pour estimer E[Y |X] = E[Y |X ′ θ 0 ].Estimation de F(y|X ′ θ 0 ).Choix du paramètre h 1 :possibilité d’adapter la méthode de Härdle, Hall, Ichimura"Optimal smoothing in single-index models". Ann. Statist.(1993) Sous les hypothèses fortes, on peut choisirh 1 = O(n −1/5 ).Sous les Hypothèse fortes, autre méthode :Burke, M. D. & Lu, X. (2005). Censored multiple regressionby the method of average derivatives. J. Multivariate Anal.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfBilanOn obtient, sous les hypothèses fortes ou faibles,n 1/2 (ˆθ − θ 0 ) ⇒ N (0, σ 2 (φ)).Utilisation de ˆθ pour estimer E[Y |X] = E[Y |X ′ θ 0 ].Estimation de F(y|X ′ θ 0 ).Choix du paramètre h 1 :possibilité d’adapter la méthode de Härdle, Hall, Ichimura"Optimal smoothing in single-index models". Ann. Statist.(1993) Sous les hypothèses fortes, on peut choisirh 1 = O(n −1/5 ).Sous les Hypothèse fortes, autre méthode :Burke, M. D. & Lu, X. (2005). Censored multiple regressionby the method of average derivatives. J. Multivariate Anal.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfBilanOn obtient, sous les hypothèses fortes ou faibles,n 1/2 (ˆθ − θ 0 ) ⇒ N (0, σ 2 (φ)).Utilisation de ˆθ pour estimer E[Y |X] = E[Y |X ′ θ 0 ].Estimation de F(y|X ′ θ 0 ).Choix du paramètre h 1 :possibilité d’adapter la méthode de Härdle, Hall, Ichimura"Optimal smoothing in single-index models". Ann. Statist.(1993) Sous les hypothèses fortes, on peut choisirh 1 = O(n −1/5 ).Sous les Hypothèse fortes, autre méthode :Burke, M. D. & Lu, X. (2005). Censored multiple regressionby the method of average derivatives. J. Multivariate Anal.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfBilanOn obtient, sous les hypothèses fortes ou faibles,n 1/2 (ˆθ − θ 0 ) ⇒ N (0, σ 2 (φ)).Utilisation de ˆθ pour estimer E[Y |X] = E[Y |X ′ θ 0 ].Estimation de F(y|X ′ θ 0 ).Choix du paramètre h 1 :possibilité d’adapter la méthode de Härdle, Hall, Ichimura"Optimal smoothing in single-index models". Ann. Statist.(1993) Sous les hypothèses fortes, on peut choisirh 1 = O(n −1/5 ).Sous les Hypothèse fortes, autre méthode :Burke, M. D. & Lu, X. (2005). Censored multiple regressionby the method of average derivatives. J. Multivariate Anal.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfBilanOn obtient, sous les hypothèses fortes ou faibles,n 1/2 (ˆθ − θ 0 ) ⇒ N (0, σ 2 (φ)).Utilisation de ˆθ pour estimer E[Y |X] = E[Y |X ′ θ 0 ].Estimation de F(y|X ′ θ 0 ).Choix du paramètre h 1 :possibilité d’adapter la méthode de Härdle, Hall, Ichimura"Optimal smoothing in single-index models". Ann. Statist.(1993) Sous les hypothèses fortes, on peut choisirh 1 = O(n −1/5 ).Sous les Hypothèse fortes, autre méthode :Burke, M. D. & Lu, X. (2005). Censored multiple regressionby the method of average derivatives. J. Multivariate Anal.

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfComparaison avec les méthodes existantesConfig 1 Config 2 Config 3ε ∼ N (0, 2) ε ∼ N (0, 1) ε ∼ N (0, 1/16)X ∼ U[−2; 2] ⊗ U[−2; 2] X ∼ U[0; 1] ⊗ U[0; 1] X ∼ B(0.6) ⊗ U[−1; 1]f (θ ′ x; θ) = 1/2(θ ′ x) 2 + 1 f (θ ′ x; θ) = 2e(0.5θ′ x)θ ′ xf (θ ′ x; θ) = 1 + 0.1(θ ′ x) 2−0.2(θ ′ x − 1)θ 0 = (1, 1) ′ θ 0 = (1, 2) ′ θ 0 = (1, 2) ′C ∼ U[0, λ 1 ] C ∼ E(λ 2 ) C ∼ E(λ 3 )

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConfig 1 n = 50 n = 100λ 1 = 1.17 ˆθ AD 3.3285 × 10 −2 1.8236 × 10 −2ˆθ MC 3.8088 × 10 −5 2.9482 × 10 −5λ 1 = 0.1 ˆθAD 7.4870 × 10 −2 5.0438 × 10 −2ˆθ MC 1.3010 × 10 −4 3.7669 × 10 −5Config 2 n = 50 n = 100λ 2 = 0.1 ˆθ AD 3.3522 × 10 −1 2.8713 × 10 −1ˆθ MC 7.8301 × 10 −3 7.7180 × 10 −3λ 2 = 0.05 ˆθAD 1.5553 1.5223ˆθ MC 1.5100 × 10 −2 1.2013 × 10 −2Config 3 n = 50 n = 100λ 3 = 4 ˆθ AD > 10 > 10ˆθ MC 3.3124 × 10 −4 2.8984 × 10 −4λ 3 = 2 ˆθ AD > 10 > 10ˆθ MC 1.1431 × 10 −2 2.4111 × 10 −4

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConclusion et perspectivesEstimateur de la fonction de répartition : application àd’autres modèles de régression (régression quantile),utilisation pour des tests d’adéquation...Sous les Hypothèses faibles : outils qui permettentd’envisager des modèles de régression avec régresseursmultivariésPossibilité de considérer des variables explicativesdiscrètesLes résultats peuvent être adaptés aux techniques derégression dites "synthetic data" (voir Delecroix, Lopez,Patilea, 2006).Données réelles : Stanford Heart Transplant Data, PBCdata (étude en cours)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConclusion et perspectivesEstimateur de la fonction de répartition : application àd’autres modèles de régression (régression quantile),utilisation pour des tests d’adéquation...Sous les Hypothèses faibles : outils qui permettentd’envisager des modèles de régression avec régresseursmultivariésPossibilité de considérer des variables explicativesdiscrètesLes résultats peuvent être adaptés aux techniques derégression dites "synthetic data" (voir Delecroix, Lopez,Patilea, 2006).Données réelles : Stanford Heart Transplant Data, PBCdata (étude en cours)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConclusion et perspectivesEstimateur de la fonction de répartition : application àd’autres modèles de régression (régression quantile),utilisation pour des tests d’adéquation...Sous les Hypothèses faibles : outils qui permettentd’envisager des modèles de régression avec régresseursmultivariésPossibilité de considérer des variables explicativesdiscrètesLes résultats peuvent être adaptés aux techniques derégression dites "synthetic data" (voir Delecroix, Lopez,Patilea, 2006).Données réelles : Stanford Heart Transplant Data, PBCdata (étude en cours)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConclusion et perspectivesEstimateur de la fonction de répartition : application àd’autres modèles de régression (régression quantile),utilisation pour des tests d’adéquation...Sous les Hypothèses faibles : outils qui permettentd’envisager des modèles de régression avec régresseursmultivariésPossibilité de considérer des variables explicativesdiscrètesLes résultats peuvent être adaptés aux techniques derégression dites "synthetic data" (voir Delecroix, Lopez,Patilea, 2006).Données réelles : Stanford Heart Transplant Data, PBCdata (étude en cours)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfConclusion et perspectivesEstimateur de la fonction de répartition : application àd’autres modèles de régression (régression quantile),utilisation pour des tests d’adéquation...Sous les Hypothèses faibles : outils qui permettentd’envisager des modèles de régression avec régresseursmultivariésPossibilité de considérer des variables explicativesdiscrètesLes résultats peuvent être adaptés aux techniques derégression dites "synthetic data" (voir Delecroix, Lopez,Patilea, 2006).Données réelles : Stanford Heart Transplant Data, PBCdata (étude en cours)

Les conditions d’identifiabilité Modèle non linéaire Nouvel estimateur de F (x, y) Modèle de régression single-indexHypothèses de convergence de ˆfMerci de votre attention !