Notion de calcul vectoriel - LTHE

Université Joseph FourierExamen Mécanique des fluidesAnnée universitaire 2004-2005tous documents autorisésI- Pompage par entraînement.V 3BSV 2S/βα.SAV 0V 1EaupropreEau saleV 2B SV 0α.Shh 0ACe procédé est employé pour vidanger de l’eau sale qu’on ne veut pas faire passer dansune pompe. Dans une chambre de section S, de l’eau propre est injectée à grande vitesse V 0par une conduite de section α.S. L’eau sale est entraînée, et entre dans la chambre à la vitesseV 1 . Le mélange sort de la chambre à la vitesse V 2 . Puis la conduite s’élargit progressivement(pas de perte de charge) jusqu’à la section S/β et le mélange est rejeté à l’atmosphère à lavitesse V 3 . On note ρ la masse volumique de l’eau (propre ou sale).1) Au moyen de la conservation des débits, exprimer V 2 en fonction de V 0 , V 1 et α.2) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement de l’eau sale entre la surfacelibre et la section A, exprimer p gA3) Compte tenu de la discontinuité de vitesse dans la section A de la chambre, il fautemployer le théorème de la quantité de mouvement pour le volume fluide compris entre lessections A et B de la chambre. Etablir la relation entre la différence des pressions motrice (p gA– p gB ), α et les vitesses V 0 , V 1 . V 2 ..Cohard 04 1/4

Université Joseph Fourier4) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement du mélange entre la section B etla sortie à l’atmosphère, exprimer p gB .5) En reportant les résultats des questions 1), 2), 4) dans celui de la question 3) et enposant V 1 = x V 0 , établir la relation suivante:(1/2 – α).x 2 – (1 + β 2 )/2 .[(1 – α).x + α] 2 + α = g.(h 0 – h)/V 02f(x)0.10.090.080.070.060.050.040.030.020.010x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.76) La fonction f(x) au premier membre de cette relation est donnée par le graphique cidessus,pour α = 0,1 et β = 0,25. La vitesse d’injection est V 0 =20 m/s. On prend g = 10 m -2 , Lahauteur de refoulement est h 0 = 3 m. Le niveau d’eau sale peut varier entre h = 0 et h = 2,5 m.Pour ces deux niveaux, calculer V 1 et le rapport du débit d’eau sale évacué au débit d’eaupropre injecté.II-Influence d’une vanne de fond?10 -2 rdQCanal 110 -3 rdCanal 2? ?h 0L = 140 mDans une station hydroélectrique, un débit de Q = 6 m 3 /s transite dans un très long canalrectangulaire (canal 1) de largeur B = 4m. dont la pente de fond passe brusquement de 10 -2 rdà 10 -3 rd. Le coefficient de Strickler pour tout le canal est Ks = 83 USI. Dans le canal 2 aprèsune distance L = 140 m l’écoulement rencontre un dispositif de contrôle, soit une vanne defond. Le coefficient de débit de la vanne est Kv = 0,55.Cohard 04 2/4

Université Joseph Fourier1) calculer la hauteur critique de cet écoulement.2) Calculer les hauteurs normales h n1 et h n2 de cet écoulement dans les différentes partiesdu canal. Pour une hauteur h 0 = 1,20 m la vanne influence t’elle l’écoulement.Dans la suite la vanne est positionnée tel que h 0 = 0,5m .3) Qualifier l’écoulement (fluvial, torrentiel, faible pente, forte pente, …) dans lesdifférentes parties du canal en amont et en aval. Vous préciserez où il peut y avoir l’apparitionde ressaut hydraulique.On étudie d’abord l’écoulement à l’aval de la vanne. On souhaite savoir si la vanne estnoyée ou si elle est dénoyée. Pour les cas ou h 0 < h c < h n , le régime aval sera à priori torrentielpassant par un ressaut pour revenir au régime permanent (h = h n ).4) Dans l’hypothèse d’un ressaut, appliquer la conservation de la quantité de mouvemententre une section avant le ressaut et une section après le ressaut pour obtenir l’équation relianth r1 , h r2 et h c .5) h r1 est appelé conjugué de h r2Courbe conjuguéeet vice versa (l’expression reliant h r1 eth r2h r2 étant parfaitement symétrique).Si l’écoulement retrouve h n2 aprèsle ressaut la hauteur h r1 sera donc lehconjugué de h n2 Le ressaut sera donch Q cr1situé à l’intersection de la courbe h 0conjuguée et de h = h n2 . Si cetteintersection existe le ressaut existe etla vanne sera dénoyée. Si cetteintersection n’existe pas il n’y aura pasde ressaut et la vanne sera noyée. Lahauteur d’eau à l’aval de la vanne sera alors h n2 .La condition d’existence de l’intersection dépend de la position relative de h n2 et duconjugué h’ 0 de h 0 .h’ 0zPréciser cette condition et conclure sur l’existence du ressaut. Faire un schéma.III-Coefficient de débit d’une vanne1) Si on regarde précisémentl’écoulement à l’aval d’une vanne dénoyéeon remarque que la section se contracte enpassant de h 0 à Kv.h0. Kv est le coefficientde débit de la vanne. En appliquant larelation de Bernoulli entre les section A etB (figure ci-contre) et la conservation dudébit, donner une relation entre Q, Kv, h 0et h v1 .2) Cette relation reste valable pourune vanne noyée car le coefficient de débit ABKv dépend essentiellement de la géométriede la vanne. Calculer h v1 pour les conditions d’écoulement obtenues à la question (I-6).Cohard 04 3/4h v1h 0LK v .h 0

Université Joseph FourierIV-Ligne d’eau à l’amont de la vanne1) Rappeler (sans la démontrer) l’équation qui donne les variations de la hauteur d’eaudh/dx. Etudier les variations de cette fonction pour le canal 1 et pour le canal 2.2) Pour les conditions de la question (I-6) et (II-2) dessiner l’allure des lignes d’eau à l’aval duchangement de pente. Le calcul de cette ligne d’eau donne une hauteur d’eau au droit de lacassure de 2,20 m. Dessiner alors la ligne d’eau à l’amont du changement de pente. Vouspréciserez la position du ressaut par rapport à la cassure de pente.3) en reprenant l’équation obtenue à la question (I-4). calculer la hauteur d’eau après leressaut hydraulique sachant qu’avant le ressaut la hauteur d’eau est h n1 .4) Calculer la perte de charge au passage de ce ressaut.5) regrouper les résultats des parties I, II et III sur une courbe Hs(h).Cohard 04 4/4