Météorologie de la couche limite atmosphérique - Cerea - ENPC

Météorologie de lacouche limite atmosphériqueModule environnement atmosphérique et qualité de l'airHadjira Schmitt-Foudhilhadjira.schmitt@enpc.fr20 octobre 2009

Préoccupations environnementalesDétérioration de la qualité de l’airAction mécanique du ventFlux de Flux gènes de OGM, gène OGM pathogènes2

Préoccupations environnementalesDétérioration de la qualité de l’airAction mécanique du ventFlux de Flux pathogènes, de OGM gènes OGM3

Échelle du Paysage.Ces processus s’exercent à l’échelle sub-méso oupaysage (ensemble hétérogène de surfaces)• Comment la structure du paysage affecte-t-elle l’écoulement ?• Comment évaluer le potentiel éolien d’un site ?• Comment s’opère la diffusion de polluants en terrain hétérogène ?• Comment aménager le paysage pour limiter les risques ?4

Simulation environnementale• Les réponses à ces questions passent par une approchemultidisciplinaire :– L’acquisition de données expérimentales : in situ, en conditionscontrôlées…– Une modélisation fine de l’écoulement dans la couche limiteatmosphérique et des échanges turbulents avec la surfaceterrestre• Les progrès de la modélisation numérique permettentmaintenant d’aborder ces problèmes à cette échelle5

Plan de l’exposé• Structure verticale de l’atmosphère• La couche limite atmosphérique• Turbulence• Couche d’Ekman• Couche de surface• Sous-couche rugueuse• Dispersion atmosphérique6

Structure verticale de l’atmosphère (1)Profil vertical de température(atmosphère standard USA 1976)• La troposphère ~ 8 - 18 km– T décroissance jusqu’à 220 Kaux pôles et 190 K équateur– Gradient moyen de T est del’ordre de -6.5 K km -1• La stratosphère ~ 50 km– T constante puis croissantejusqu’à 270 K ⇒ Absorption desUV solaires par O 3 et O 2– Cette couche d’inversion est unecaractéristique essentielle de laTerre• La mésosphère ~ 85 - 90 km– T décroît jusqu’à 170 K(raréfaction de O3 et O2)• La thermosphère ~150 km– T augmente et devient trèsdépendante de l’activité solaire– Air gaz raréfié• 10 19 molécule m -3 à 100 km• 10 25 molécule m -3 au sol7

Structure verticale de l’atmosphère (2)Atmosphère Libre (AL)ensemble de l’atmosphère audessusde la couche limiteProfil vertical de température(atmosphère standard USA 1976)Couche Limite Atmosphérique(CLA) en contact direct avecla surface terrestre. Sonépaisseur h CLA varie d’unecentaine de mètres àquelques kilomètres8

Modèles statiques de l’atmosphère (1)• Atmosphère statique V=0 et dV/dt=0=> P,T,ρ ne dépendent que de zdPdzEquilibre des forces de pressions et de= − ρg pesanteur=> Approximation hydrostatique– Atmosphère homogène( z) = P − ρ g zPsol 0ρ = ρ 0= Cste1– Atmosphère isothermeT = T 0=Cste2P⎛ z=solexp⎜−⎝ H⎞( z) P ⎟⎠avecH=RTgsol9

Modèles statiques de l’atmosphère (2)- Atmosphère à gradient constantTP( z) = T − Γ z( z)Γw = 6.5K/ kmsol- Atmosphère adiabatiqueEtat de référence Γ = ΓΓw _ ad= 10K/ kmw⎛ Γwz= Psol⎜1−⎝ TsolT sol= 273K( )ww_ad⎞⎟⎠T sol= 273Kg / RΓθ = θ 0w∂T∂z= Cste= −Γ w =ΓwCste= Γw_ad3=gCp4- Atmosphère standard : « superposition d’atmosphères àgradient constant »P sol =1013.25 hPa ; T sol =15°C ; ρ sol =1.225 kg/m 3Γw = 6.5pour 0 ≤ z ≤ 11kmΓ = 0 pour z > 11kmT = Cste = −56.5w°C10

La pression atmosphériqueProfil vertical de pression (atmosphère standard USA 1976) calculéeavec H=7.3 km (Tsol = 250K Psol = 1000 hPa)• Modèle statique : atmosphère isotherme (cas )⇒ A l’atmosphère réelle on peut associer l’atmosphère homogène «équivalente » d’épaisseur H ≃ 7.3 km appelée hauteur d’échelle• P(2 km)= 760 hPa, à la tropopause : P(16 km)= 110 hPa , à lastratopause P(50 km)= 1 hPa211

Transformation adiabatiqueet température potentielle (1)• Premier principe de la thermodynamiquedq = CpdT−rTpdp• Transformation adiabatique = aucun échange de chaleur ne seproduitrT0 = C pdT − dp ⇒p• Température potentielle = température qu’aurait au sol un gazramené de manière adiabatique au sol à partir d’un état (T, P)• La température potentielle est conservée lors d’un déplacementadiabatiquerT r p⎛ Cp ⎞ pln = ln ⇒ θ = Tθ Cpp⎜0p⎟⎝ 0 ⎠0 =dTT−rCpdpp12

Transformation adiabatiqueet température potentielle (2)• Gradient adiabatique de température T0=1 ∂Tr 1 ∂p−T ∂zCpp ∂z⇒Γad=⎛⎜⎝∂T∂z⎞⎟⎠ad=TrCp1p∂p∂z• Gradient de θ = écart à une situation adiabatique∂θ=∂zθ ⎛⎜T ⎝∂T∂z−⎛⎜⎝∂T∂z⎞⎟⎠ad⎞⎟⎠∂θ=∂zθT( Γ − Γ )ad13

Stabilité atmosphérique•∂θ> 0∂z=> Atmosphère stable∂T⎛ ∂T⎞> ⎜ ⎟∂z⎝ ∂z⎠∂θ• = 0 => Atmosphère neutre∂z∂T⎛ ∂T⎞= ⎜ ⎟∂z⎝ ∂z⎠adadProfil idéalisé de température et évolutionde la stabilité de la CLA au cours d’unejournée. La température au sol augmenteen cours de journée puis diminue au coursde la nuit∂θ• < 0 => Atmosphère instable∂z∂T⎛ ∂T⎞< ⎜ ⎟∂z⎝ ∂z⎠ad14

Couche limite atmosphérique : définitions[Stull, 1988]Couche limite nocturne ou couche stable(http://www.comet.ucar.edu/)• D’un point de vue dynamique, la CLA est définie comme étant la zone del’atmosphère où l’écoulement du fluide est influencé par l’interaction avec lasurface terrestre directement. Le temps de réponse à un forçage (rugosité,relief, couvert végétal, évaporation, transfert de chaleur, etc.) est court, del’ordre de l’heure• D’un point de vue thermique, la CLA est la zone de l’atmosphère auvoisinage de la surface terrestre dans laquelle la variation diurne durayonnement solaire est directement perceptible15

Profils de température potentielle et vent moyen horizontal enjournée – Expérience de Wangara d33h couche mélange (18h)~1300 mz (m)Vent moyen horizontal (m/s)Température potentielle (K)• En journée, le sol réchauffe la CLA par transfert turbulent : le flux de chaleurturbulent est positif - gradient de température est négatif• Apparition d’une couche de mélange ou convective caractérisée par uneturbulence très forte qui contribue à homogénéiser toutes grandeurs associéesau fluide (température, quantité de mouvement, polluants..)⇒L’atmosphère est en stratification instable• Au sommet de la CLA, une inversion thermique de stratification stable bloqueles acensions d’air qui replongent dans la couche de mélange provoquantl’entraînement des masses d’air de l’atmosphère libre dans la CLA. C’est la16couche d’entraînement

Profils de température potentielle et vent moyen horizontalnocturnes – Expérience de Wangara d33h couche limite stable (00h)~600 mz (m)Température potentielle (K)Vent moyen horizontal (m/s)• Le soir, le sol se refroidit : la température du sol est inférieure à la températuredu fluide. Le flux de chaleur turbulent est négatif, dirigé vers le sol (gradient detempérature positif) et il y a destruction de la turbulence d’origine dynamique• Le mélange est peu turbulent, la couche limite nocturne est mince (il y aaccumulation des polluants) => L’atmosphère est en stratification stable• Au-dessus, la couche de mélange de la journée précédente devient unecouche résiduelle, en général neutre (gradient de température nul)• Au-dessus, une couche d’inversion présente une augmentation du module duvent qui peut même dépasser en limite supérieure la valeur géostrophique (jet17de basse couche)

Évolution de la stabilité de la CLA (cycle diurne)[Stull, 1998]Atmosphère libreCouche demélange oucoucheconvectiveCouche résiduelleCouche limite nocturneMidiCouchéduSoleilMinuitLeverduSoleil18

Variabilité saisonnière de la CLAEtéHiver(http://www.comet.ucar.edu/)19

ATMOSPHÈRE LIBREStructure de la CLAÉquilibre des forces de•Pression• CoriolisThéorie géostrophiqueCOUCHE LIMITEDE TRANSITIONOu couche d’Ekman•PressionÉquilibre des forces de • Coriolis•ReynoldsThéorie Rossby etZilitinkevich - DeardorffCOUCHE LIMITESUPERFICIELLE (CLS)SCISCR' 'u wv'w'' 'Twh sτ0 2= − = −u*ρ= 0Q= = −uρ C0*T*pu *FluxConstants0.1 h CLAThéorie de Monin - Obukhovβ,u * ,T * 2u*L =MOκ β Τ*zξ =Q 0L MO2 h sh sz =01020

Caractéristique de la CLA• Formation micrométéorologique• Epaisseur identifiée lorsque les flux turbulents deviennentnégligeables• Rotation de la Terre => accélération de Coriolis (dansl'hémisphère Nord, les masses d'air sont déviées vers ladroite)• Turbulence• Influence des hétérogénéités dynamiques de la surfaceterrestre - rugosités, couverts végétaux, obstacles, reliefs• Influence directe du cycle diurne• Influence du flux de chaleur sensible et du flux d’humidité• Formation de nuages et de pluies21

Les phénomènes atmosphériquesEchelle planétaire :Circulation persistante qui occupe une bonnepartie du globe. Mise en évidence de ce typede circulation en « filtrant » les plus petiteséchelles par un traitement statistique adapté.Ex : circulation de Hadley, régime de temps,moussonÉchelle synoptique :Dépression et anticyclone des moyenneslatitudes, ondes d’Est tropicale et cyclonestropicauxMéso-échelle :Vent régionaux, brises, lignes de grains[Beau]Échelle aérologique :Orages isolés, tornades, thermiques puresDans la réalité, toutes ces échellessont étroitement imbriquéesMicro-échelle :Tourbillons de poussières, rafales,microphysique des nuages (formation degouttelettes par ex)22

Echelles atmosphériques[Oke, 1987]• Echelle globale~10000 km / semaine– mois• Echelle continentale~1000 km / jours -semaine• Echelle régionale~10-100 km / heures -jour• Echelle urbaine /locale~1km / minutes - heure23

Equations fondamentales de la mécanique des fluidesGaz parfait, Fluide newtonien, Atmosphère sèche• Lemme fondamental : équation de conservation de la masse localeou équation de continuité∂ρ∂ ρu+∂t∂ xjj= 0Dérivée particulairedρ∂ u+ ρdt ∂ xjj= 024

Equations fondamentalesde la mécanique des fluides (1)• Équation de conservation de la quantité de mouvement ou équation dumouvement1- Variation temporelle2- Transport par convection / advection3- Force de gravité4- Force de Pression∂ ui∂ ui∂ P ∂τijρ + ρuj= ρ gi− + −2ρεijk∂ t ∂ xj∂ xi∂ xj1 2 3 4 5 6Ωjuk5- Force de frottements fonction du tenseur descontraintes visqueuses pour un fluide newtonien6- Force de Coriolisτij=⎛⎜∂ u⎝∂ u⎞⎟⎠∂ ui jkµ + − µ δ⎜ij∂ xj∂ x ⎟i3 ∂ xk225

Equations fondamentalesde la mécanique des fluides (2)• Équation de la conservation de l’énergie (basée sur l’enthalpie)ρC1- Variation temporellep∂ T∂ t+ρC2- Transport par convection/advectionpuj∂ T∂ xj=∂ P∂ t∂ q−∂ xjj+ φ1 2 3 4 53- Echauffement par compression5- Fonction de dissipation des effets visqueux• Équation d’état des gaz parfaitsq∂φij=∂4- Flux de chaleur conductif décrit par la loi de FourierP =rρMairT = ρRTjuiτijxj∂ T= −λ∂ xj26

Exercice : équations de Navier-Stokes ?• On note u,v,w les composantes de la vitesse suivant x,y,z eten considérant que le vecteur de rotation de la terre etl’accélération de la pesanteur sont donnés par :0r rΩ Ω cosφ≈ 0rΩ sinφ0rg 0• On considère de plus que le fluide est incompressible, soit :div( Vr) = 0−g• Développer les équations de continuité et de conservation dela quantité de mouvement. Cette dernière définie l’équation deNavier-Stokes en coordonnées cartésiennes pour un fluideincompressible27

Equations de Navier-StokesVariationtemporelleAdvection Coriolis Pression Frottement Gravité28

Approximations de Boussinesq (1)Le système d’équations de la dynamique atmosphérique estextrêmement compliqué et peu utilisable : une des grandes difficultésde la météorologie consiste à le simplifier de façon adaptée auproblème traité• L’état thermodynamique réel de l’atmosphère s’écarte peu d’unhydrostatique et adiabatique (état de référence = état de repos)• Nombre de Mach petit (vitesse / vitesse du son)• Pas de trop hautes fréquences de mouvement dans l’écoulement• L’échelle verticale des mouvements est petite devant l’épaisseureffective de l’atmosphère (8 km)( x,y,z,t) = Pr ( z) + Pl( x,y,z,t)( x,y,z,t) = Tr ( z) + Tl( x,y,z,t)( x, y,z,t) = ρ ( z) ρ ( x,y,z t)PTρ +r l,29

Approximations de Boussinesq (2)• La variation de l’état de référence en z est faible, limitée à 10 %dans le premier kilomètre, soit dans la CLA :• L’approximation de Boussinesq permet une formulationincompressible des équations de Navier-Stokes en prenant encompte des forces de flottabilité (poussée d’Archimède enprésence de gravité) dues à la dilatation du fluide induite par unevariation de la températurerdiv( V) = 0Équations instantanées simplifiéesρ z ≅ ρr( )0Avec la valeur moyenne dans la CLA∆T r∆P

Etat de référence de l’atmosphère• Etat de repos (V=0), solution stationnaire des équationsgénérales• Etat d’équilibre hydrostatique ne dépendant que de lacoordonnée verticale z• Etat habituel de l’atmosphère (dont l’état réel s’écarte peu)• Cet état est entièrement déterminé4TrPρr( z) T ( h )r⎡ g⎢1−⎣ Tr/ Cp( ) ( ) ⎤z − h ⎥h ⎦=r solsolsol( z) = P ( h )rsol( z) = ρ ( h )rsol⎡ g⎢1−⎣ Tr⎡ g⎢1−⎣ Tr/ Cp( ) ( z − h ) Rsolhsol/ C⎥ ⎦⎤C pp( ) ( z − h ) Rsolhsol⎥ ⎦⎤C v31

Système de Boussinesq de la CLA• Équation instantanée de conservation de la masse• Équation instantanée de conservation de la quantité de mouvementduiP ⎡ ⎛lu u ⎞⎤i jρµρ ε Ω0=uijk j kdt− ρ gδ ∂ ∂⎢ ⎜∂ ∂− + + ⎟ −2l i3⎥ 0∂ xi∂ xj⎢xjx⎣ ⎝∂∂i ⎠⎥⎦• Équation instantanée de la conservation de l’énergiedT ⎛ ⎞l∂= ⎜∂ T⎛ ⎞lρ C⎟dθ∂0 pλρ C = ⎜∂ θ⎟dt ∂ x0 pλj ⎝ ∂ xj ⎠dt ∂xj ⎝ ∂ xj ⎠T l= θ −T r( h sol)ρlTlT• Équation d’état = −l− ρlgδi3= ρ0gδi3= ρ0βTlδi3ρ0 T 0T0r g r2 1β :coefficient de flottabilité m.s− . K − β = −[ ]T 0∂u∂xjj= 032

Turbulence dans la couche de surfaceVan GoghWallace and Hobbes (2006)Mejean (2005)33

Le régime turbulent d’écoulement fluide (1)L’observation des écoulements fluides montre qu’il estpossible de distinguer 2 grands régimes- Celui où la vitesse est une fonction régulière de xi et t, ou lecolorant diffuse peu et où les pertes de charge sont faibles⇒ régime d’écoulement non turbulent ou laminaire- Celui où la vitesse fluctue erratiquement en fonction de xi et t,où le colorant diffuse au point de disparaître et où les pertesde charges sont beaucoup plus élevées⇒ régime d’écoulement turbulent34

Expérience de Reynolds (2)• Les 2 régimes des écoulements fluides sont mis en évidence defaçon spectaculaire dans l’expérience de Reynolds (1884)http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/Physique/Tp-phys/Term/Reynolds/Reynolds3.htm35

Le régime turbulent d’écoulement fluide (3)• Le passage du régime laminaire au régime turbulent s’effectue demanière intermittente, mais brusque : c’est la transition• La turbulence résulte de l’instabilité des solutions régulières(laminaires) de ces équations lorsque des paramètres caractéristiques(nombres de Reynolds, Rayleigh, Rossby, Grashof) dépassentcertaines valeurs critiques– En dessous de ces valeurs, la solution est stable : les perturbations sontamorties– Au dessus, les perturbations subissent une amplification très rapide : lestaches ou bouffées de turbulence se développent dans le temps etl’espace à partir de sources correspondant aux perturbations aléatoiresinitiales pour remplir tout l’écoulement si les conditions si prêtent• La turbulence est une propriété des écoulements et non du fluide, dontle détail du mouvement continue à obéir aux équations de Naviers-Stokes36

• Couche limite dynamiqueLa CLA et la turbulence (1)– Paramètre de contrôle du régime des écoulements : Nombre deReynoldsForces d' inertie ULRe ==Forces de viscosité νReReReRecritiquecritique– Avec U une vitesse caractéristique de l’écoulement (vitessemoyenne, vitesse d’injection, etc.)– L une longueur caractéristique de l’écoulement– ν la viscosité cinématique du fluide⇒ L'écoulement est laminaire⇒ L'écoulement est turbulent• CLA : U≃15 m.s −1 , h CLA ≃1000 m, ν ≃1.45 10 −5 m 2 .s −1Re9= uh CLA = 10 >> R critiqueν≈300037

• Couche limite thermiqueLa CLA et la turbulence (2)–Paramètre de contrôle du régime des écoulements : Nombre deRayleigh3gL ∆T"facteurs déstabilisateurs"Ra = =T ν k "facteurs stabilisateurs"–Expérience de Rayleigh-Bénard0∆T> 0∆T< 0∆T +T 0∆T +T 0Flux moléculaire de chaleurrépartition des densités stables(fluide léger en paroi sup.)⇒Ecoulement stableT 0T 0Mouvements convectifsrépartition des densités instables(fluide léger en paroi inf.)⇒Ecoulement instable qui peutdevenir turbulent38

La CLA et la turbulence (3)[Serge et al.]• Vitesse verticale instantanée, Ra=2.10 7 , Pr=0.71, modèleLES (Large Eddy Simulations)• CLA : T 0 ≃300 K, h CLA ≃1000 m, g≃10 m 2 .s −1 k≃2.10 −5 m 2 .s −1 ,une variation de 1 degréRa= R a critique10 17 >> ≈ 5000039

Caractéristiques fondamentalesdu mouvement turbulent• Les variables (V, P, T…) présentent un caractère aléatoire en fonction dutemps et de l’espace• Les écoulements turbulents présentent un caractère rotationnel : on peut yobserver des tourbillons intenses possédant toute une gamme d’échelles :les plus gros ont des dimensions du même ordre que celles de l’écoulementet les plus petits correspondent à des nombres de Reynolds voisins del’unité• La turbulence est un phénomène fondamentalement non linéaire,intrinsèquement liées aux termes d’inertie dans les équations de NS.L’énergie cinétique du mouvement turbulent est produite aux grandeséchelles et dissipée en chaleur par viscosité aux petites échelles via unmécanisme de cascade, dont les termes d’inertie sont responsables• La turbulence est un phénomène dissipatif qui augmente le taux desprocessus irréversible comme la dissipation de l’énergie cinétique enchaleur par le travail des forces de viscosité• La propriété la plus importante du point de vue pratique est son aptitude àdiffuser toute grandeur associée au fluide (quantité de mouvement, chaleur,concentration…) avec une efficacité bien supérieure à celle de la diffusionmoléculaire40

Quelques approches pourla modélisation de la turbulencePas de théorie générale pour appréhender le mouvement turbulentDifférentes approches pour résoudre les équations présentées• La simulation numérique directe DNS utilise le système d’équations sanstraitement spécifique mais doit capter l’écoulement dans sa totalité. Cettesimulation déterministe doit résoudre toutes les échelles spatio-temporelles⇒ Maillage de l’ordre de Re 3/4 dans chaque direction⇒ Pour la CLA : 10 81/4 points de calcul pour Re=10 9• La simulation directe des grandes échelles LES permet grâce à unetechnique de filtrage spatio-temporelle de résoudre les grandes échelles de laturbulence et modélise les structures inférieures en extrayant artificiellement del'énergie pour les échelles dissipatives (modélisation semi-empirique)• La modélisation du mouvement turbulent par une approche statistique RANS(opérateur de Reynolds) qui semble adaptée pour les écoulementsatmosphériques à grands nombres de Reynolds, en turbulence pleinementdéveloppée41

Traitement statistique de Reynolds• Définition de l’opérateur moyenne temporelle- Postulat d’ergodicité : la moyenne dans le temps d’un paramètrequelconque est égale à la moyenne de ce paramètre prise sur un ensemblede système [Ngo 95]- Toute variable aléatoire admet une décomposition de Reynoldsf + g = f + g α f = α ffg= f g +f' g't'N1 1f = lim ∫ f ∑ =t'N0( t') dt'≡ f ( t) fN' = 0f = f +ix iLa conséquence inhérente à l’approche statistique est unaccroissement du nombres d’inconnus => modèles de fermeturef1f =∂∂Terme de corrélation (double)turbulente inconnu !ffx=∂∂ff'42

Décomposition de Reynolds d’une variableturbulente43

• En appliquant l’opérateur de Reynolds aux variablesturbulentes u,v,w,P,T vérifier que l’équation moyenne decontinuité et l’équation moyenne de conservation de quantitéde mouvements s’écrivent :∂u∂xρ0jjdudt= 0iExercice : équation de Reynolds ?∂P−∂x∂+∂x⎡⎢⎢⎣⎛⎜∂u⎝ ∂x∂u+∂x+ ρ0β Tδi3− 2ρ0u kijk jTenseur des contraintes deReynolds = frottements turbulents• Cette dernière équation définie l’équation de Reynolds pourun fluide incompressible⎞⎟ −⎠i j= µ ρ0u'iu'ji jj i⎤⎥⎥⎦εΩ44

Equations de ReynoldsU = U +'uV = V +'v''W = W + w P = P + p T = T + T 'Tenseur des contraintes deReynolds (frottements turbulents)+ β TNb : Ici U, V, P désignent bien les valeurs moyennes45

Concept de viscosité turbulente• Pour la quantité de mouvement1ρ− ρu− u'iu'i'ju'j=⎛ ∂ uµ ⎜t⎝ ∂ x⎛ ∂ u= ν ⎜t⎝ ∂ xijij∂ u+∂ x∂ u+∂ xijij⎞⎟ −⎠⎞⎟2− ρkδij⎠ 323kδij[Boussinesq 1877]ν tviscositéturbulente[m2.s-1]Contrairement à la viscosité cinématique qui est une propriétéintrinsèque du fluide, la viscosité turbulente est une propriétéde l'écoulement : elle doit être modélisée par des échellesreprésentatives du mouvement turbulentν t= u'l'47

Équations moyenne de la CLAÉquation de continuité∂uj= 0∂xjÉquation de conservation de la quantité de mouvementdu⎡⎤i ∂P∂ ⎛ ⎞⎢( ) ⎜∂ui∂ujρ⎟0= − + µ + µ + ⎥ + ρ0β Tδ − 2ρti3 0∂ ∂ ⎢εijkdt xixj ⎣ ⎝ ∂xj∂xi⎠⎥⎦ΩjukEquation de l’énergiedT ∂ ⎡ρ0Cp= ⎢ 0dt ∂xj ⎢⎣( λ + ρ C k )pt∂T∂xj⎤⎥⎥⎦kt=ρµtPrPr t : nombre de Prandtl turbulent ~1 => processus dynamique qui fixel’efficacité de la diffusivité thermiqueµ ν =ttµtρ, Inconnues !0t48

Fermeture à zéro équation de transport• Théorie de la longueur de mélange l mUne seule échelle de la turbulence : l’=lm[Prandtl]l' = l = κ z : longueur de mélange[m] et κ =m0.41u'=lm∂ u∂ xij∂ u+∂ xij2 ∂ ui∂ uυt= u'l'= l +m∂ x ∂ xjij⇒ Excellents résultats pour les écoulements cisaillés simples⇒ Mais manque d'universalité⇒ Développement de modèles à 1 ou 2 équations de transportu'=k49

Modèle de fermeture à 1 équation de transportModèle k-l : équation d’évolution de l’énergie cinétique' 'moyenne du mouvement turbulent k = 12u u i i3/ 2dk ∂ ⎡⎛µ ⎞t∂k⎤kρ0 = ⎢ µ + ρ0( Pk+ Ph) − ρ0Clεdt x⎜ + ⎥j ⎢⎣σ⎟∂ ⎝ k ⎠ ∂xj ⎥⎦lmTransport de k par diffusionturbulente, visqueuse etpar pression fluctuanteµt= ρ0Clµlmkκ zl m= : [Blackadar 62 ]κ z1+l00Productionsdynamique etthermiques dekTaux de dissipation εde l’énergie cinétiquemoyenne du mvtturbulent50

Modèle de fermeture à 2 équations de transportModèle k-e : équation de k + équation d’évolution du taux de' 'dissipation (pseudo-dissipation) ∂ui∂uiε = ν∂x∂xjjρ0dε=dt∂∂xj⎡⎛⎢⎜⎢⎣⎝µ+µσtε⎞⎟⎠∂ε⎤⎥∂xj ⎥⎦+ρ0Cε1εk( P + P )kh−ρ0Cε22εkTransport de ε par diffusionturbulente , visqueuse etpar pression fluctuanteProductions de εDissipation deε par action dela viscositéµt= ρ0Cµkε251

Turbulence et stabilitéProduction thermique' '' ' iPh = β T u iδ Pk= −uiuProductioni3j' '• P h> 0∂xdynamiqueT w > 0j– La turbulence est d’origine thermique et dynamique (amplifiée)– Régime de convection mixte– CLA en stratification instable (profil de T suradiabatique, jour)' '• P h= 0 T w = 0– La turbulence est uniquement d’origine dynamique– Régime quasi-neutre ou de convection forcée : la températureest un scalaire passif (couverture nuageuse importante)' '• P h < 0 T w < 0– La production gravitationnelle se comporte comme un termepuits vis-à-vis de la turbulence qui ne pourra se maintenir que siP k> - P h– CLA en stratification stable (profil en condition d’inversion, nuit)– Situation extrême, turbulence inhibée P k-->0 : régime deconvection libre, stratification très stable52∂u

Les différentes sous-couches de la CLAAtmosphère libreOke, 199753

Structure de la CLAATMOSPHÈRELIBREIÉquilibre des forces de•Pression• CoriolisThéorie géostrophiqueCOUCHE LIMITEDE TRANSITIONOu couche d’EkmanII•PressionÉquilibre des forces de • Coriolis•ReynoldsThéorie Rossby etZilitinkevich - DeardorffCOUCHE LIMITESUPERFICIELLE (CLS)SCISCR' 'u wv'w'' 'Twh sIIIτ0 2= − = −u*ρ= 0Q0 = = −u*T ρ CpIV*u *FluxConstants0.1 h CLAThéorie de Monin - Obukhovβ,u * ,T * 2u*L =MOκ β Τ*zξ =Q 0L MO2 h sh sz =01054

Atmosphère libre : vent géostrophique• Approximations du modèle– Hypothèse d’homogénéité horizontale (sauf pour P)∂– Ecoulement stationnaire ≈ 0∂t– Turbulence négligeable– Diffusion moléculaire négligeable– Adhérence à la surface• Equations de continuité w = 0• Equations du mouvement du vent géostrophique∂∂x=∂∂yI≈ 0gg55

• Approximations du modèleCouche d’Ekman (1)– Hypothèse d’homogénéité horizontale (sauf pour P)∂– Ecoulement stationnaire ≈ 0∂t– Vent géostrophique à la limite supérieure– Diffusion moléculaire négligeable– Adhérence à la surface∂u'w'− f∂z(v − vg) = 0∂∂x=∂∂yII≈ 0∂v'w'∂z+f( u− ug)=0K u: coefficient d’échange turbulentu'w'= −K∂uzu ∂v'w'= −K∂vzu ∂56

Couche d’Ekman (2)• Hypothèse supplémentaire : K u est pris constant• Spirale d’EkmanK2∂ U∂z− if( U−uU2gvz 1z 2U = u + iv Ug= ug+ ivg)=0u gu(z)v( z)kz n== U= Uf2K ugg(1 − eeh cla−kz−kzsin( kz)cos( kz))=> u ( h ) cla= ugUu g =10 m/s, V g =0πK u = 5 m 2 s -1 , f=7.29 10 -5αsol==> hcla=1050 m4Le modèle d’Ekman explique la rotation du vent avec l’altitude57

Couche de surface ou sous-couche inertielle• Hypothèses de la couche de la surface (~ 0.1 hcla)– Direction du vent constante, effet de Coriolis négligeable– Écoulement développé suivant xτ 0Q 0∂u∂Tµ − ρu'w'= τ0− λ + ρCpT ' w'= Q∂z∂z-1 -2:contrainte de cisaillement au sol[kg.m .s ]:densité de flux de chaleur sensible[W.m• Les transferts turbulents sont déterminés par l’interaction avec lasurface : les flux turbulents sont constants et égaux à leur valeur à lasurface terrestre considérée comme homogène => Définition de 2échelles caractéristiques constantes dans la CLAu2-1( τ / ) 1/: vitesse de frottement [m.s ]*=0ρ-2]0III( ρC) avec température de frottement [K]*θ*=0/pθ*u −Q58

Exercice : variation de la vitessedans la couche de surface neutre• En utilisant les relations de la couche de surface et en négligeant lesflux moléculaires, exprimer la loi de variation de u.• On définit par z0 la rugosité dynamique où la vitesse s’annule. Lalongueur de mélange est donnée par la loil= κ zIII∂uν∂zτ0− u'w'= = uρ∂u∂z∂u∂z∂u∂z22u'w'= −νt= −l'= −κ2*z2⎛ ∂u⎜⎝ ∂z∂ u u*=( ) u ⎛∂zκz⎟ ⎞= *zz u z ln ⎜κz⎝ z0 ⎠∫z 0⎞⎟⎠259

Couche de surface neutreIII• Variation logarithmique de la vitesse moyenne du ventz 0~ 0.05m z 0~ 0.5m z 0~ 1mh[Oke, 1987]uκ⎛( z) = ln⎜⎟u*u( z) = 0⎝z − d ⎞z 0⎠zz >2h hz = z 0+dParamètres macroscopiquesdes surfaces : hauteurs de- Rugosité- Déplacementhz0=10d = 0.7h60

Couche de surface non-neutre- Paroi rugueuse - Stratification quelconque -IIIProfil de vitesseu=u *⎛ln⎜κ ⎝z − dz0⎞⎟⎠Flux turbulent de quantité de mvt∂∂zu*=uκzProfil de températureFlux turbulent de chaleurT−Ts=Pθ *⎛ln⎜κ ⎝rtz − dz0h⎞⎟⎠∂∂zθκzT *=Théorie de Monin et Obukhov61

Théorie de similitude deMonin et Obukhov (1954)III• Longueur de Monin-Obukhov définie une échelle de longueurpour la flottabilité332u*u ⎛ ρC* p ⎞ u*L = − = − =κβT' w'κβ⎜Q⎟⎝ 0 ⎠ κβ θ*• Indice de Monin-Obukhov est une mesure des effets relatifsdu cisaillement et de la flottabilitéξ =zLξ > 0ξ = 0ξ < 0L > 0L→+∞LLes caractéristiques des processus turbulents ne dépendent que deLMM( z)*=fM( ξ )62 ξ

Corrections des flux et des profils turbulentsFlux turbulentsκz ∂u= φ m( ξ )u ∂*zProfil de vitesseuuκ⎛κzθProfil de températureT- Paroi rugueuse - Stratification quelconque -⎞∂T*∂z= φ− dLh( ξ )* ⎛ ⎞ ⎛ 0 ⎞( z) = ln⎜⎟ −ψψ ⎟ ⎠⎝z − dz0P θκ⎠⎛mz⎜⎝⎟ +⎠rt *⎛ ⎞ ⎛ 0h⎞( z) −Ts = ln⎜⎟ − ψ ψ ⎟ ⎠⎝z − dz0h⎞⎠hz⎜⎝m⎜⎝− dLEn stratification thermique, les profils verticaux sont représentéspar des expressions pseudo-logarithmiqueszL⎟ +⎠h⎜⎝zLIII63

Fonctions de similitudeexemple de Businger et DyerLes fonctions universelles sont les mêmes quelleque soit la couche limite de surfaceIII• Correction des flux turbulents- Stratification stable- Stratification instable( ξ ) = ( ξ ) = 1 + 5ξpour 0 ≤ ξ < 1φ mφh−1/2( ξ ) = ( ξ ) = ( 1−15ξ) pour − 5 < ξ < 02φmφ h• Correction des profils turbulentsψ( ξ )=z−dL∫z0L( 1−φ( ξ )) dξξ• Définition du nombre de Prandtl turbulentνtφh( ξ )Prt= =k φ ξtm( )64

Sous-couche rugueuseIIIIIIIVSous-coucherugueuse65

Différents régimes d’écoulementObstacles non poreux(a) écoulement à structures isoléesIV[Oke, 1988](b) écoulement à sillages perturbés(c) écoulement rasant• H / W < 0.15 − 0.2 : les zones de recirculation n’interagissent pas 2deux tourbillons co-rotatifs• 0.15 − 0.2 < H / W < 0.65 : les zones de recirculation interagissent,l’écoulement est complexe• H / W > 0.65 : un seul tourbillon. Ecoulement extérieur peu affectépar la rugosité => régime affleurant66

Altitude (m)C.L.SzSous-couche rugueuseCanopée végétaleSous - couche inertielleSous - couche rugueuseIV~2 h• Paramétrage du sol pardes lois de paroiVégétation = surface• Équations spécifiquesdans la végétationVégétation = volume67

Écoulement turbulentdans une canopée végétaleIVInteraction végétation-écoulement :• Flux qdm non conservatif absorbé par pressionet viscosité par les végétaux• Analogie avec la couche de mélange• Turbulence très intermittente• Génération de sillages turbulents68

Modélisation de l’écoulement turbulentdans un couvert végétal• Définition d’un opérateur moyenne spatio-temporelle• Moyenne temporellef = f +f'IV• Moyenne spatialef = f +f''• Problème de fermetureu u +'i'ju''iu''j• Flux turbulentsρru u'iFlux turbulents'j+ρru''iu''j=23Flux dispersifsρkδij+µt⎛ ∂ u⎜⎝∂xij+∂ u∂xij⎞⎟⎠• Modèle de type k-ε de canopéeEqu−ρ C ( z)a(z)Coefficient de traînéerd• Eq k + P −ε• Eq ε +wwujujuiDensité de surface foliaire frontalePεw−Force due à l’absorptionpar la végétationDεw69

Ecoulement dans un couvert végétalIV[Foudhil, 2002]U 0k 0ε 04.08 ma=10 m -1C d =1.35h=47 mmVitesse moyenne horizontale (ms -1 ) Flux turbulent (m 2 s -2 )70

Couche limite urbaine(a)V > 3 m/s[Mestayer, 1995]Urban "plume" modelUrban boundary layerUrban canopy or sub-layerRuralSuburbsCity centerSuburbsRural(b)V < 3 m/sUrban "dome" modelUrban dome[Mestayer, 1995]RuralSuburbsCity centerSuburbsRural• Existence d’un îlot de chaleur- Activité anthropique- Diminution des vents- Modification du bilan thermique71

La dispersion atmosphérique72

Transport de matièreconsidérations générales• On s’intéresse au transport d’une « entité » ou « grandeurphysique » dans le fluide par le fluide– Substance en suspension intrinsèque : certains polluants,colorant, vapeur d’eau (particules très fines non-décantantes)– Particules solides en suspension : pollen, sable, aérosols, métauxlourds (particules décantantes)– Mais également : chaleur, quantité de mouvement• On définit la concentration localemasse de la substanceC( x i, t)≡volume du fluide (mélange)• De nombreuses unités usitées– Particule/m 3 ; mol/m 3 ; µg/m 3 ; fraction massique m esp/m air; partiepar million ppm ; partie par billion ppb ; partie par trillion ppt– Exemples : particules biotiques en spore.10 3 /m 3 - O3 en µg/m 3CO2 en ppm et CFC en ppt73

Processus de transportconsidérations générales• Par diffusion moléculaire : processus irréversible– Loi de Fick : une substance dans un mélange a tendance àuniformiser sa répartition => il se forme un flux des zones deforte concentration vers les zones de faible concentration∂ Cqj= −kc≡ fluxsuivant j∂ xk c:diffusivité massique moléculairej[ 2 ]−1m . s• Par convection par l’écoulement : processus réversibleAprès 1/4de cercleChamp de vitesse tournantTVDUpwindQuick74

Concentrationconnue siQuantité déposée parunité de surface et detemps connue siDispersion atmosphériqueconsidérations généralesC( x , t) = Q( t) T ( x t)Fi i,( x , t) = v ( x , t) C( x t)d i d i i,Difficulté d'appréhender tous ces processus qui sont corrélés !!!Écoulement moyen - convectionStructure du paysage[Aylor, 1978]Transport dans l'atmosphèreQuantité émise par unité de tempsVitesse de dépôtConcentrationTurbulence - diffusionÉmissionTransportDépôt75

Distance parcourue parune particule (m)Dispersion atmosphériqueconsidérations généralesx =u Hv sVitesse de sédimentation (m/s)• u exprime le rôle majeur du vent dans le transportatmosphérique• H détermine la dispersion initiale d’un panache : une sourceélevée contribue à augmenter les distances de dispersion=> importance de la position de la surface émettrice• v s va caractériser le dépôt des particules par effet de gravité :le dépôt des particules lourdes a lieu plus rapidement à l’avald’une source alors qu’il est plus étalé pour les particules fines=> potentiel de dispersion d’une particule[McCartney, 1990]Vitesse caractéristique du vent (m/s)Hauteur de la source (m)76

Modélisation de la dispersion atmosphérique• La dispersion atmosphérique comporte 3 évènementsimportants– Émission : rejet artificiel, libération « naturelle » (active),mise en suspension (passive)– Transport par le vent dans l’atmosphère– Dépôt au sol : sec ou humide• Paramètres influençant ces processus– Conditions météorologiques : vitesse du vent, stabilitéatmosphérique, turbulence, pluie– Structure du paysage : obstacles, relief, occupation du sol(rugosités, couverts végétaux, surfaces humides)– Types de particules : lourde, légère, réactive…• Outils mathématiques : modèles de transport77

• Les modèles empiriques– Observations expérimentales• In situ• Soufflerie, canal hydraulique• Modèles physiques– Analytiques• Gaussien de panache (plume)• Modèle Gaussien à bouffées (puff)– Modèles numériques tridimensionnels• Modèle Lagrangien stochastique• Modèle Eulérien diffusif– Avantages et inconvénientsPlan– Exemples de simulations avec des codes CFD78

Turbulence atmosphérique et dispersion• Petits tourbillons : accroissementrégulier de la section du panache• Contribution des tourbillons dedifférentes tailles• Grands tourbillons : oscillationsdu panache79

Effet de relief en atmosphère stableVUE EN COUPEVUE EN PLANContournement des obstacles80

Effet de relief en atmosphère instableVUE EN COUPEVUE EN PLANFranchissement des obstacles81

Exercice : effet de relief sur la météorologie et ladispersion de polluants• Expliquer les phénomènes de brise de mer et de brise de terre• Prévoir la dispersion d’un panache de cheminéeContre courant en altitudeCouche limiteMERLimite du courantde surface Brise de merFront de briseTERREContre courant en altitudeCouche limiteMERBrise de terreFront de briseTERRE82

Brise de mer – Brise de Terre• La journée, la terre se réchauffe plus vite que la mer• Au-dessus de la terre, le flux de chaleur turbulent (positif) donnenaissance à des courants ascendants• L’air qui s’élève est remplacé par de l’air plus froid provenant de lamer : c’est la brise de mer• La nuit, le phénomène s’inverse car la terre se refroidit plus vite quela mer : c’est la brise de terre• Les phénomènes de brise sont limités dans l’espace et le courant desurface est compensé par un contre-courant en altitude• Les caractères de la brise dépendent de nombreux facteurs– La différence de température entre l’eau et la terre– La force et la direction du vent géostrophique– Le temps : le front de brise s’éloigne progressivement à l’intérieur desterres au cours de la journée– La rugosité du terrain, les pentes et la rugosité de l’eau, la courbure de lacôte– Les conditions d’humidité au-dessus des terres83

Effet de relief et dispersion atmosphérique[Arya, 1988]Brise de mer – Brise de terre84

Effet de relief et dispersion atmosphérique[Arya, 1988]Brise de vallée : les pentes seréchauffent plus vite que les zonesplatesBrise de montagne : L’air froids’écoule du sommetAccélération de l’écoulement ausommet et sur les côtés.Zone tourbillonnaire à l’aval : vent desens opposé à celui du vent incidentÉcoulement sansdécollement85

Influence de la stabilité atmosphériquesur la dispersion d’un panacheNuit claire vent faibleRi>0Les polluants stagnent près du solEn général, la stabilitéthermique varie avec l’altitudeLa couche d’inversion bloqueles phénomènes d’ascendanceJournée ensoleilléeRi

Plan• Les modèles empiriques• Modèles physiques– Analytiques• Gaussien de panache (plume)• Modèle Gaussien à bouffées (puff)– Modèles numériques tridimensionnels• Modèle Lagrangien stochastique• Modèle Eulérien diffusif– Avantages et inconvénients– Exemples de simulations avec des codes CFD87

Modèles Gaussiens : point de départ (1)• Source ponctuelle de masse totale M introduite instantanément(M 1 est la masse injectée M par unité de surface)• Diffusion pure unidimensionnelle selon x dans un milieu infini etau repos : la solution exacte estc(x,t)=2M ⎛1xexp⎜−2π× 2kt ⎝ 2×2kc• Cette relation décrit la diffusion de matière Mo qui s’étale selonune courbe gaussienne. La concentration maximale qui restetoujours à l’origine en x=0 décroît avec le tempsc⎞⎟t ⎠• L’écart type σx( t)= 2kctde la distribution gaussiennecorrespond à une échelle d’étalement de la matière : c’est unindicateur de la dispersion => coefficient de dispersion (m)88

Modèles Gaussiens : point de départ (2)c(x,t)⎛2M1⎜xexp −4πσ x ⎝2σx=2⎞⎟⎠Evolution de la répartition de la concentration c(x,t) pour unemasse injectée instantanément en x=0 dans un milieu au repos• Une source ponctuelle d’une grandeur extensive croit enformant un nuage toujours croissant dont la densité estdécroissante• Lorsque la concentration vaut 10 % de la concentrationmaximale => la largeur du nuage D ≈ 4× σ89x

c(x,y,z,t)Modèle gaussien rectiligneou modèle de panache gaussien (1)• Source ponctuelle continue de débit massique constant Q [kg/s]• Turbulence homogène dans l’espace et stationnaire dans letemps avec un champs de vent moyen uniforme• Diffusivité turbulente dans la direction du vent (ici x) 0σ α( x x )2Kα−0=uCoefficient dedispersionDiffusivitéturbulente90

Modèle gaussien rectiligneou modèle de panache gaussien (2)2Q ⎛ ( ) ⎞⎜y − y0c(x,y,z,t)= exp − ⎟×22πu σ⎝ 2yσσzy ⎠x22⎛ ⎛ ( ) ⎞ ⎛ ( ) ⎞⎞⎜z − z+⎜0z z⎟ + ⎜0KKKKK exp⎟⎟−exp−22⎝ ⎝ 2σz ⎠ ⎝ 2σz ⎠⎠–z 0• Réflexion parfaite au sol (pas de perte) : source virtuelle placéeen –z 0> x0 u > 0• La concentration combinée de plusieurs sources est la sommedes solutions : c’est le principe de superposition• On procède de manière similaire pour les réflexions sur lacouche d’inversion qui se comporte comme un « plafond »91

Modèle gaussien rectiligneou modèle de panache gaussien (3)• Réflexion parfaite sur la couche d’inversion (pas de perte) :source virtuelle placée en z 0 +2z 192

Traitement de la dispersionpour des sources surfaciques• Les modèles de panache de sources ponctuelles peuventsimuler la dispersion des émissions de sources surfaciques– Discrétisation de la source surfacique en N sources ponctuelles– En plaçant une source ponctuelle virtuelle en amont de la sourcesurfacique telle que la dimension horizontale du panache audessusde la source surfacique soit égale à la largeur de cettedernièreSourceponctuellevirtuelleDiscrétisation en N sourcesponctuelles93

Modèle de panache : exemple de calculModèle de panache (plume) dans le plan xy94

Classes de stabilité atmosphériqueExemple de la classification de Pasquill• La stabilité atmosphérique intervient dans les processus turbulents• Nécessité d’utiliser des tables• Classes de Pasquill : méthode indirecte à partir des valeurs devitesse du vent, du rayonnement solaire et de la nébulositéClasses de stabilité de PasquillA : très instable B : instable C : peu instable D : neutre E : stable F : très stable95

Classes de stabilité atmosphériqueExemple de la classification de Turner• Classes de Turner : méthode indirecte à partir des valeurs de vitessedu vent, de l’index de radiation net NRI, variable avec l’altitude,l’azimuth et le taux d’ensoleillement (tabulation)Classes de stabilité de Turner1 : très instable 2 : instable 3 : peu instable 4 : neutre 5 : peu stable 6 : stable 7 : très stable96

Coefficients de dispersion empiriquesde Briggs (1973) (1)Briggs a synthétisé plusieurs expressions empiriques de coefficients dedispersion (Pasquill-Guifford et Brookhaven National Laboratory)=> Les coefficients de dispersion de Briggs sont applicables à une grandeplage de distance et pour un nombre varié de type de sourcesCoefficients de dispersion de Briggs pour le milieu ruralA : très instableB : instableC : peu instableD : neutreE : stableF : très stableCoefficients de dispersion de Briggs pour le milieu urbain97

Coefficients de dispersion empiriquesde Briggs (1973) (2)Abaques des coefficients de dispersion de Briggs en milieu urbainA : très instable B : instable C : peu instable D : neutre E : stable F : très stable98

Dispersion de panachesdans un écoulement stratifié cisailléDispersion de panaches de cheminées avec différentes hauteurs de cheminéesaffectés par un cisaillement de ventDispersion de panaches de cheminées au-dessus du port de Beverly-Salem, Massachusetts(Ralph Turcotte, Beverly Times)99

Sur-hauteur d’un panache chaud (1)• On a vu l’importance de la hauteur de la source• Dans le cas d’un rejet de cheminée, il apparaît une surhauteurqui résulte des forces de flottabilité dues à la chaleurdu panacheHauteureffective=Sur-hauteur+Hauteur sourceH = ∆H+effectiveH s100

Sur-hauteur d’un panache chaud (2)Exemple de formules de Briggs (1972)• Classes de bonne diffusion A,B,C,D∆H=∆H : sur - hauteur [m]38.71d : diamètre de la cheminée [m]( 4T)(2g wd ∆T/ )US3/5A : très instableB : instableC : peu instableD : neutreE : stableF : très stablew :vitesse de sortie des gaz[m.s−1]Ts : température des gaz à la sortie de la cheminée [K]∆T : écart de température entre l'air et Ts [K]U:vitesse du vent àlahauteur de la cheminée[m.s−1]g=9.81[m.s−2]101

Sur-hauteur d’un panache chaud (3)Exemple de formules de Briggs (1972)• Classes stables : E et F=> Le panache est gêné dans son élévation∆H=2.6( 4T)(2g wd ∆T/ )S1/3A : très instableB : instableC : peu instableD : neutresUE : stableF : très stable∂θ∂θg= 0.02 K / m pour la classe Es = ∂z∂zT air∂θ= 0.035 K / m pour la classe F∂z• Exemple de sur-hauteur en fonction du vent et de la stabilitépour une cheminée ICM2 : d=2.7 m ; w=10.1 m/s Ts=353KTair=298KA-DEFU=1.5191 m79 m66 mU=2143 m72 m60 mU=471 m57 m-U=647 m--U=9.530 m--U=1519 m--102

Modèle gaussien de panacheexemple• Paramètres de dispersions de Briggs• Réflexions au sol et sur la couche d’inversion• Prise en compte de la surhauteur• Différentes situations météorologiques103

Modèle à bouffées• Une bouffée ponctuelle est émise dans N puffsuccessifs de durée et contient Mintervalles de temps• Chaque bouffée évolue de manière indépendante selon un modèlegaussien• La concentration en un point est calculée en sommant sur l’ensembledes bouffées ic( x,y,z,t)=i 2σα= 2Kα0( t − t ) dépendent de l'age de la boufféexic,yic, ziccoordonnées du centre de la bouffée i émise( t) = x + u( t − t )iiiSi u stationnaire x0 i; y = y0; z z0=c ccau tempsti=i∆tpuff• Un modèle à bouffées (Gaussian puff model) permet de représenter lavariation des émissions et des champs météorologiques au cours dutemps104

Modèle à boufféesexemple : champs météorologiques variables en t105

Plan• Les modèles empiriques• Modèles physiques– Analytiques– Modèles numériques tridimensionnels• Modèle Lagrangien stochastique• Modèle Eulérien diffusif– Avantages et inconvénients– Exemples de simulations avec des codes CFD106

• Il ne s'agit plus de considérer un nuage de particules dans sonensemble mais chaque particule individuellement• Cette approche consiste à suivre, au sens lagrangien, uneparticule individuelle dans son mouvement et à reconstituer satrajectoire en tenant compte de l'interaction avec l'écoulementdu fluide• Phase fluide– Modèle dynamique, modèle de turbulence• Phase particulaireModèle Lagrangien StochastiquePrincipe général (1)– La trajectoire d’une particule est calculée par la résolutionde son équation dynamique• Le mouvement du fluide ayant une certaine mémoire oupersistance, la trajectoire est simulée par une marche pseudoaléatoire107

Modèle Lagrangien StochastiquePrincipe général (2)• Equation du mouvement d’une particule solideGravitéVecteur vitessede la particulesolideVitesse instantanée du fluideporteur vue par la particulesolide le long de sa trajectoireTemps de relaxationde la particule(effets d’inertie de laparticule)• La position de la particule n'est fonction que de t dont lavaleur est reliée à sa vitesse parBesoin :Champs des vitessesinstantanéesReconstruction de la vitesseinstantanée du fluide porteurpar des méthodes statistiques108

Modèle Lagrangien StochastiquePrincipe général (3)• Modèle basé sur l’équation de Langevin : la vitesse d'un élémentfluide porteur est la somme– d'un terme qui exprime la mémoire ou persistance dumouvement– et d'un terme d'accélération aléatoire pour rendre comptede la fluctuation turbulenteFonction d’autocorrélation Lagrangiennedépend de l’échelle de temps intégraleLagrangienne T L qui est une mesure de temps dela persistance des structures tourbillonnairesNombre aléatoire issud’un tirage Gaussien• Enfin, un traitement statistique d'un grand nombre de trajectoirespermet d'obtenir des informations sur la diffusion, laconcentration moyenne, etc.109

Modèle Lagrangien Stochastiqueexemple : échelle européenne• Modèle basé sur une marche aléatoire• Nuage de particules110

Modèle Lagrangien Stochastiqueexemple : échelle européenne• Modèle basé sur une marche aléatoire• Concentration111

• HypothèsesModèle Eulérien diffusif (1)⎛ N V⎝ V– Écoulement dilué R = ⎜p p⎟ ≤ 0.001 , fluide incompressible– Pas d’interaction fluide/particules, turbulence/particules⎞⎠– Pour les particules pesantes 0.1µm < dp≤ 100 µm– c variable turbulente qui admet une décomposition de Reynolds• Équation turbulente de convection-diffusion-réaction∂ c ∂c∂c∂ ⎡ ∂c⎤'+ u j − vsδj3= ⎢kc− c'uj ⎥ + S − D + R∂t∂xj∂xj∂xj ⎢⎣∂xj ⎥⎦1 2 3 4 51- Variation temporelle2- Transport par convection : c est transportée par le fluide en mvt à la même vitesse3- Vitesse de sédimentation : glissement des particules pesantes / particules fluides4- Transport par diffusion moléculaire et diffusion turbulente5- Sources + pertes par dépôt sec et humide + formations / pertes chimiques112

• Flux turbulent de masseModèle Eulérien diffusif (2)Analogie entre les transferts de types diffusifs par agitationturbulentes et par agitations moléculairesktσ cc=' ' ∂cυt∂cc uj= −kc= −t∂xjσc∂xju'l': diffusivité turbulente de la grandeur: nombre de Prandtl −Schmidt• Diffusivité turbulente (k ct =K)c [m– K peut être un tenseur diagonal où seul K zzest modélisé à partirde considérations physique et K xx=K yy=K zzau mieux– Modèles de turbulence isotrope (l m, k-l, k-e), K est un scalaire etle nombre de Schmidt est pris à 1 (diffusion turbulente de laquantité de mvt == diffusion turbulente de la masse)2.s-1]113

Modèles 3-D de chimie transport (CTM)• Ces modèles simulent le transport et la chimie pour un grandnombre de sources à des échelles allant de la ville au globe• La pollution de proximité est mal simulée114

Modèles 3-D de chimie transport (CTM)exemple de calcul off-line[Foudhil, 2004]• Concentrations en PM10 (µg.m −3 ) sur Lille dans le cadre d’unplan de déplacement urbain115

Plan• Les modèles empiriques• Modèles physiques– Avantages et inconvénients– Exemples de simulations avec des codes CFD116

Avantages et inconvénientsModèle Gaussien de panacheAvantagesExpressions analytiquesSimplicité de programmationInconvénientsSource continuePas d’obstacles, pas de reliefChamps de vent uniforme (envitesse et direction)Temps de calcul faibleLittérature abondante pourles paramétrisationsLa qualité des résultatsdépend des paramétrisations117

Avantages et inconvénientsModèle à boufféesAvantagesEmissions qui varient dans letempsRelative facilitéd’implémentation dans desoutils opérationnelsLes champs météorologiquesvarient d’une bouffées àl’autre et dans le tempsPossibilité de rajouter desprocessus spécifiques(dépôt, décroissance)InconvénientsNombre de sources limitéChamps météorologiquesuniformes dans une mêmeboufféePas d’obstacles, pas de reliefMais de manière approximative118

Avantages et inconvénientsModèle Eulérien- Lagrangien Stochastique (CFD)AvantagesRésolution des équations dela mécanique des fluides :prise en compte de champsde vents 3D, de terrainscomplexesSources continues etinstantanéesInconvénientsComplexité des modèlesmathématiquesTemps de calcul élevéFaible diffusion numériqueSimule la dispersion enchamps procheDifficultés de coupler desmodèles de chimie pour lesparticules réactives119

Avantages et inconvénientsModèle Eulerien-Eulérien (CFD)AvantagesRésolution des équations dela mécanique des fluidesPrise en compte del’ensemble des processusinfluençant la dispersion :écoulement, turbulence,obstacles, reliefPossibilités de coupler desmodèles : chimie, aérosolsCeci est vrai pourtous les modèles !!!!InconvénientsComplexité des modèlesnumériquesTemps de calcul élevéInfluence du maillagePrécision dépendant de laméthode de résolution, du choixdes modèlesLa modélisation de la turbulenceest fondamentale mais restedifficile120

CFD - Applications.Ces processus s’exercent à l’échelle sub-méso :ensemble hétérogène de surfaces121

Exemple de simulation d’écoulement en terraincomplexe avec un code CFDCode Mercure-Saturne (CEREA -EdF r&d)122

Modélisation 3D de panaches humides• Champs dynamiques et turbulents issus du code de calcul• Physique sophistiquée de la micro-physique nuageuse[Bouzereau, 2004]123

Simulations 3D de la place Gambetta (Bx)[Glockner, 2003]124

Simulation de la dispersion de pollen[AGPM, 1998]Parcelle émettricede maïs bleu :• Pollen maïs : v s =20 cms -120 m X 20 m125

Dépôts à la Lisière - Comparaison qualitative[Foudhil, 2002](Klein, 2000)126

Études numériquesde dispositifs discontinus[Foudhil, 2002](AGPM, 1998 )127

Énergie cinétique moyenne du mvt turbulent k[Foudhil, 2002](a)(b)(c)(d)128

Influence de la structure de la canopée végétalesur les dépôts[Foudhil, 2002]Évolution du flux de particules déposées (%m -1 )129

Une panoplie de modèles pour fairequoi au juste?Modèles numériques utilisés en qualité de l’air, échelles d’étude et application courante130

Principales notations (1)u j[ ]: composante de laP:pression instantanéefg :accélération de la pesanteurvitesse instantanée suivant[ 1 ]2kg.m− . s −: paramètre de Coriolis = 2 Ω sinφs[ ]−2m.s[ ]−1j[ ]−1m.sx j[ ]: coordonnée cartésienne suivant ladirectionjm.s−1t : tempssρ : masse volumiqueµ : viscosité dynamique[ ]−3kg.m[ 1 ]1kg.s− . m −131

Principales notations (2)T : température instantanée[ K ]C p:capacité calorifique massique à P cste[ ][ ]2 2 1m . s− . K −λ :conductivité thermiquekg.m.s−3 1. K −M air1: masse molaire= 28 kg.mol−1r:constanteuniverselle des GP−1−= 8.314 J.mol Kε ijk: symbole d' Einstein vaut 1ou -1si i,j,k = 1,2,3 sinon 0δ ij: symbole de Kronecker vaut 1si i = j et 0 sinonddt=∂∂t+ uj∂∂ xj: dérivée particulaire132

• LivresBibliographie indicative (1)–B. Sportisse. Pollution Atmosphérique, des processus à la modélisation.Springer-Verlag France, 2008–G. DeMoor. Les théories de la turbulence dans la couche limiteatmosphérique. Direction de la Météorologie, Boulogne (F.), 1983–S. Malardel. Fondamentaux de Météorologie. Cépaduès, 2009–G. Guyot. Climatologie de l'environnement. De la plante auxécosysthèmes. Masson, Paris (F.), 1997–P. Chassaing. Turbulence en mécanique des fuides : analyse duphénomène en vue de sa modélisation à l'usage de l'ingénieur, Cépaduès-Édition, INP Toulouse (F.), 2000–G. Coantic. La turbulence dans la couche limite atmosphérique : Laturbulence en mécanique des fluides, Chap. IV. Bordas, Paris (F.), 1976.–Arya S.P.S., Introduction to Micrometeorology. Academic Press, N Y–Kaimal, J.C. and Finnigan, J.J, 1994: Atmospheric Boundary Layer Flows:their structure and measurement, Oxford University Press–Oke, T.R., 1987: Boundary Layer Climates, Routledge, New York133

• ThèsesBibliographie indicative (2)– Représentation des nuages chauds dans le modèle météorologique «Mercure » : application aux panaches d'aéroréfrigérants et auxprécipitations orographiques, E. Bouzereau 2004– Développement d’un modèle numérique de dispersion atmosphérique departicules à l’échelle d’un paysage hétérogène, H. Foudhil 2002• Simulations numériques et animations– Merci à C. Lebot du laboratoire TreFle pour les 4 simulations del’expérience de Rayleigh-Bénard– Merci à S. Glockner du laboratoire TreFle pour la simulation 3D del’écoulement sur la place Gambetta• Supports de cours et illustrations– Qualité de l’air et santé - Volet 3 - Notions de météorologie et dispersionde polluants, S. Lacours– Merci à D. Vendum, M. Milliez, Y. Roustan, L. Musson-Genon, C.Seigneur et I. Bourdin-Korsakissok du laboratoire CEREA134

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