INT´EGRATION et applications

D.15 Examen II, septembre 99Exercice D.15.1 Soit f ∈ L 1 loc (IRd ) une fonction vérifiant la propriété suivante :∀ϕ ∈ C ∞ c (IR d )∫f(t) ϕ(t) dt = 0.Soit (ρ n ) n≥1 une suite régularisante : on rappelle que ρ n (x) = n d ρ(nx) où ρ ∈ C ∞ c (IR d , IR) vérifie :ρ ≥ 0, supp(ρ) ⊂ B(0, 1),1. Montrer que : ∀n ≥ 1 f ⋆ ρ n = 0.∫ρ(x) dx = 1.d IR2. Soient a > 0 et b = a + 1. Montrer que : ∀x ∈ B(0, a) (f ⋆ ρ n )(x) =∫3. En déduire que : | f(t) | dt ≤‖ f 1I B(0,b) − (f 1I B(0,b) ) ⋆ ρ n ‖ 1 .B(0,a)((f 1I B(0,b) ) ⋆ ρ n)(x) = 0.4. Montrer finalement que f = 0 p.p. sur IR d .∫Exercice D.15.2 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = e −π x2 . On rappelle que√ π.1. Ecrire une équation différentielle du premier ordre vérifiée par f.IRe −u2 du =2. Montrer que f admet une transformée de Fourier ˆf qui vérifie la même équation différentielleque f.3. Calculer ˆf(0) et en déduire que ˆf = f. Quelle est, plus généralement, la transformée de Fourierde la fonction F définie sur IR n par F (x) = e −π ‖x‖2 ?4. Ecrire le développement de f en série entière. En déduire une expression ∫ de f (2k) (0) pour k ∈ INpuis, à l’aide du résultat de la question précédente, le calcul de x 2k f(x) dx.IR170