INTÂ´EGRATION et applications

More documents

Recommendations

Info

AVANT PROPOSCe polycopié contient l’intégralité du cours d’intégration de Licence de Mathématiques enseigné àl’Université de Savoie entre septembre 1996 et juin 2000, ainsi que quelques compléments. La partieréellement enseignée, correspondant à un volume horaire de 35h, est constituée des chapitres 1 (suivantles connaissances des étudiants), 2 (seulement les idées), 3 à 8, 9 sauf le paragraphe 9.6 sur la compacitédans les espaces L p . Les deux chapitres de probabilités donnés en annexe ne sont plus enseignés depuisla création du module optionnel de probas-stats. L’essentiel des TD se trouve à la fin de chaquechapitre, tous les sujets d’examen sont en annexe.Pour rédiger (par approximations successives) ce document, je me suis inspiré des ouvrages suivants :1. le cours de Mesure et Intégration de Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin (Université de Provence),téléchargeable sur le site du groupe GM3 (Groupe de Recherche en Mathématique etMécanique) :http ://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/index.html2. le livre de Daniel Revuz “Mesure et intégration” publié chez Hermann (coll. Méthodes),3. le livre de Marc Briane et Gilles Pagès “Théorie de l’intégration” publié chez Vuibert,4. dans une moindre mesure, le livre de Walter Rudin “Analyse réelle et complexe” publié chezMasson,5. le livre de Joël Benoist et Alain Salinier “Exercices de calcul intégral” publié chez Masson,ainsi que de notes personnelles, essentiellement issues du cours d’ Intégration d’André Gramain (Universitéde Tours), publié chez Hermann.2
Table des matières1 Préliminaires 71.1 Droite achevée IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Valeurs d’adhérence d’une suite à valeurs dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Fonctions définies sur un ensemble E, à valeurs dans IR ou IR . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Opérations ensemblistes, fonctions indicatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Cardinaux, dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Intégrale de Riemann 152.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Critères d’intégrabilité. Classes de fonctions R-intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Autres approches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Insuffisance de l’intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Démarche pour définir l’intégrale de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Tribus et mesures 233.1 Tribus de parties d’un ensemble. Espaces mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Mesures positives, espaces mesurés : définitions et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Propriétés des mesures positives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.1 Ensembles négligeables, complété d’un espace mesuré. . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Mesures signées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.3 Théorème de la classe monotone, application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.4 Théorèmes d’existence des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Mesure de Lebesgue sur (IR d ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Applications mesurables 394.1 Mesurabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Mesurabilité des fonctions à valeurs dans IR , IR ou IR + . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Page 1: INTÉGRATIONet applicationsChristia
Page 5: B Probabilités (I) 117B.1 Introduc
Page 8 and 9: (−∞) + (−∞) = (−∞), (
Page 10 and 11: 1.4 Opérations ensemblistes, fonct
Page 12 and 13: - IN × IN est ⎧ dénombrable : o
Page 15 and 16: Chapitre 2Intégrale de RiemannObje
Page 17 and 18: de sorte que :∆(f, τ) = ∑j∈J
Page 19 and 20: Si ]t i−1 , t i [ contient un poi
Page 21: 2.6 Démarche pour définir l’int
Page 24 and 25: Remarque 3.1.2 C’est leur borne i
Page 26 and 27: Exemple : on vérifiera à titre d
Page 28 and 29: (e) Remarquons que ⋂ A n =⋂A n
Page 30 and 31: Théorème 3.4.1 (de la classe mono
Page 32 and 33: gauche. F est croissante et majoré
Page 34 and 35: (b) Montrer que si T est une tribu
Page 36 and 37: 1. Montrer que tous les éléments
Page 39 and 40: Chapitre 4Applications mesurables4.
Page 41 and 42: Définition 4.1.2 Si (E ′ , T ′
Page 43 and 44: Proposition 4.2.6 L’ensemble E de
Page 45 and 46: 4.4 ExercicesExercice 4.4.11. Soien
Page 47 and 48: 2. Montrer que si (f n ) n≥0 ⊂
Page 49 and 50: Chapitre 5IntégrationDans toute la
Page 51 and 52: ∫∫1. ∀f ∈ M + ∀k ∈ IR +
Page 53 and 54:
Notation : l’ensemble des fonctio
Page 55 and 56:
Corollaire 5.4.2∫∀f, g ∈ L 1
Page 57 and 58:
- g n = f n , g = f,- (g n ) ↑ g
Page 59 and 60:
Preuve : (f n ) est une suite de Ca
Page 61 and 62:
Preuve : en exercice.Proposition 5.
Page 63 and 64:
Exemple 5.7.1 La fonction x → sin
Page 65 and 66:
Proposition 5.8.2 f, g ∈ L 2 =⇒
Page 67 and 68:
Exercice 5.9.9On considère l’esp
Page 69:
2. On pose, pour tout borélien A d
Page 72 and 73:
Proposition 6.1.2 Soit (E i , T i )
Page 74 and 75:
- Si A, B ∈ M sont tels que A ⊂
Page 76 and 77:
intégrable sur (E 2 , T 2 , m 2 )
Page 78 and 79:
Corollaire 6.3.1 Soit α un réel.
Page 80 and 81:
1. On suppose dans cette question q
Page 83 and 84:
Chapitre 7Convolution7.1 Convolutio
Page 85 and 86:
7.3 Régularisation par convolution
Page 87 and 88:
Remarque 7.3.2 On déduit facilemen
Page 89:
1- ϕ t (x) =(t √ ‖x‖2e− 2t
Page 92 and 93:
2. L’application F :{(L 1 , ‖ .
Page 94 and 95:
Preuve : par récurrence sur | α |
Page 96 and 97:
Preuve : soient f, g ∈ S, alors f
Page 98 and 99:
5. On admettra le résultat suivant
Page 100 and 101:
- si 0 < A, B < +∞ l’inégalit
Page 102 and 103:
Proposition 9.3.2 Pour p ∈ [1, +
Page 104 and 105:
d’où l’on déduit que∫ (∫
Page 106 and 107:
Théorème 9.5.1 (Lebesgue-Radon-Ni
Page 108 and 109:
cas 1 < p < ∞ : il suffit de mont
Page 110 and 111:
Exercice 9.7.5Soient (E, T , m) un
Page 112 and 113:
1. Pourquoi (1) définit-elle effec
Page 114 and 115:
Preuve : proposée en exercice, en
Page 116 and 117:
116
Page 118 and 119:
Description mathématique : par la
Page 120 and 121:
Définition B.2.3 On appelle combin
Page 122 and 123:
2. n événements A 1 , · · · ,
Page 124 and 125:
2. (réciproque admise) Soit F : IR
Page 126 and 127:
Remarque B.4.2 σ(X), qui est une m
Page 128 and 129:
Exercice B.5.5 Soient (Ω, T , p) u
Page 130 and 131:
130
Page 132 and 133:
Théorème C.1.1 (de la loi image)S
Page 134 and 135:
Corollaire C.3.2 Soient X 1 , · ·
Page 136 and 137:
Preuve : ˆµ est bornée car |ˆµ
Page 138 and 139:
Nous allons introduire pour finir l
Page 140 and 141:
convergence presque uniformeconverg
Page 142 and 143:
d’autre part :∫Sn 2 =E k=∫(S
Page 144 and 145:
[ ( )] t nψσ √ → e − t2 2 =
Page 146 and 147:
146
Page 148 and 149:
1. Montrer que ϕ ′ , dérivée d
Page 150 and 151:
(c) On suppose enfin f ∈ L p (IR
Page 152 and 153:
3. Montrer que Ψ A est une applica
Page 154 and 155:
Exercice D.4.4 Soit m une mesure fi
Page 156 and 157:
1. Dans cette question on prend (E,
Page 158 and 159:
D.7 Partiel, janvier 98Exercice D.7
Page 160 and 161:
3. On considère l’application F
Page 162 and 163:
∫ x(a) Montrer que la convolée d
Page 164 and 165:
D.11 Examen I, janvier 1999Exercice
Page 166 and 167:
D.12 Partiel, mars 99Exercice D.12.
Page 168 and 169:
(c) En déduire que f est solution
Page 170 and 171:
D.15 Examen II, septembre 99Exercic
Page 172 and 173:
D.17 Examen I, janvier 2000Exercice
Page 174 and 175:
D.18 Partiel, avril 99Exercice D.18
Page 176 and 177:
(b) Montrer, par récurrence sur n,
Page 178:
D.21 Examen II, septembre 2000Exerc
show all

INTÂ´EGRATION et applications

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?