INT´EGRATION et applications

Proposition 8.1.3 (théorème d’échange)∀f, g ∈ L 1f ĝ, ˆf g ∈ L 1 et∫∫f ĝ dλ =ˆf g dλPreuve : les fonctions ˆf et ĝ étant continues bornées, f ĝ et ˆf g sont intégrables. Le théorème deFubini-Tonelli permet de justifier l’intégrabilité de (t, x) ↦→ f(t) g(x) e −2iπt·x et on a alors :∫f(t) ĝ(t) dt ===∫∫∫(∫f(t)(∫g(x)g(x) ˆf(x) dx.)g(x) e −2iπt·x dx)f(t) e −2iπt·x dtdtdxThéorème 8.1.1 (théorème d’inversion) ∫ Soit f ∈ L 1 telle que ˆf ∈ L 1 ; alors f = FFf p.p. oùF est définie sur L 1 par (Fg)(t) = g(x) e 2iπt·x dx. Autrement dit :∫f(t) =ˆf(x) e 2iπt·x dx = ̂ˆf(−t) p.p. .Preuve : voir exercices.Remarque 8.1.3 Un simple changement de variable permet de vérifier que l’on a aussi : ̂ˆf(−·) =̂ ˆf(−·).Remarque 8.1.4 Le théorème d’inversion entraine en particulier que sipossède un représentant dans C 0 .ˆf est intégrable alors fCorollaire 8.1.2 L’application F :{L 1 → C 0f ↦→ ˆfest injective.On verra en exercice que cette application n’est pas surjective.8.2 Différentiabilité.On utilise les notations suivantes : si α = (α 1 , · · · , α d ) ∈ IN d est un multi-indice et f une fonctionIR d → Cl , D α f :=∂ |α|∂x α 11 · · · ∂xα ddf et M α désigne la fonction définie sur IR d par M α (x) = x α 11 · · · xα dd .Proposition 8.2.1 Soient k ∈ IN ∗ et f une fonction de classe C k sur IR d telle que :∀α ∈ IN d |α| ≤ k =⇒ D α f ∈ L 1 ,alors :∀t ∈ IR d̂D α f(t) = (2iπ) |α| t α ˆf(t).93