Probabilités et Applications

2.2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 15Loi binômiale de paramètres n ∈ N ∗ et p ∈ [0, 1]C’est la loi de la somme S = X 1 + . . . + X n de n variables de Bernoulli de paramètrep indépendantes X 1 , . . . , X n . On a alors pour k ∈ F = {0, . . . , n},P(S = k) = P(X 1 + . . . + X n = k) = P ⎜⎝===∑x i ∈{0,1}x 1 +...+x n=k∑x i ∈{0,1}x 1 +...+x n=k∑x i ∈{0,1}x 1 +...+x n=k⎛⋃x i ∈{0,1}x 1 +...+x n=k⎞{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } ⎟⎠P(X 1 = x 1 , . . . , X n = x n ) par σ-additivité,P(X 1 = x 1 ) . . . P(X n = x n ) par indépendance des X i ,p x 1+...+x n(1 − p) n−x 1−...−x nd’après (2.2),= p k (1 − p) n−k Card ({(x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, 1} n : x 1 + . . . + x n = k})= C k n pk (1 − p) n−k .Si ∀0 ≤ k ≤ n, P(S = k) = C k n pk (1 − p) n−k , on note S ∼ B(n, p).Loi de Poisson de paramètre λ > 0On dit que N suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et on note N ∼ P(λ) si∀n ∈ N, P(N = n) = exp(−λ) λnn! .Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1]C’est la loi du temps de premier succès dans une suite d’expériences aléatoiresindépendantes où la probabilité de succès est p.Une telle suite se modélise à l’aide d’une suite (X i ) i≥1 de variables indépendantes et identiquementdistribuées (abréviation : I.I.D.) suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.L’événement “la ième expérience est un succès” s’écrit alors {X i = 1} et le temps T depremier succès est donné parT = inf{i ≥ 1 : X i = 1}.Pour k ≥ 1, en utilisant l’indépendance des X i on obtientP(T = k) = P(X 1 = 0, . . . , X k−1 = 0, X k = 1)= P(X 1 = 0) . . . P(X k−1 = 0)P(X k = 1) = (1 − p) k−1 p.Si ∀k ∈ N ∗ , P(T = k) = p(1 − p) k−1 , on note T ∼ Geo(p).