Probabilités et Applications

3.5. EXERCICES 39Exercice résolu 3.4.5. On appelle loi du khi 2 à n degrés de liberté et on note χ 2 (n) la loide X 2 1 +. . .+X2 n où X 1, . . . , X n sont n variables normales centrées réduites indépendantes.Quelle est la densité de cette loi ?On commence par traiter le cas n = 1. Pour f : R → R bornée,∫E(f(X1 2 )) ==e−x22f(x 2 ) √ dx = 2 2π∫ +∞0∫ +∞0e−x22f(x 2 ) √ dx 2πf(y) e− y 2√ 2πydy, en posant y = x 2 .Ainsi χ 2 (1) ≡ Γ ( 1, 1 2 2).Avec la proposition 3.4.4, on conclut par récurrence que χ 2 (n) ≡ Γ ( n, 1 2 2)est la loi dedensité12 n/2 Γ( n 2 ) x n 2 −1 e − x 2 1{x>0} .3.5 ExercicesExercice 3.5.1. Une cerise est placée sur la circonférence d’un gateau rond que l’onpartage en 2 au hasard en pratiquant deux découpes suivant des rayons.Si on prend la position de la cerise comme origine des angles, les positions U et V desdeux coups de couteau sont des variables uniformément réparties sur [0, 2π] indépendantes.Exprimer la taille T de la part contenant la cerise, calculer son espérance puis déterminerla probabilité pour cette part soit plus grosse que l’autre. Quelle doit être la décision d’ungourmand qui doit choisir entre la part avec la cerise et la part sans la cerise avant ledécoupage ?Exercice 3.5.2. On suppose que la durée de vie d’un équipement A est une variablealéatoire réelle S possédant la densité αe −αs 1 {s≥0} , que celle de l’équipement B est une variableT possédant la densité β 2 te −βt 1 {t≥0} avec α, β > 0 et que S et T sont indépendantes.1. Que vaut P (S ≥ t+s | S ≥ t) pour s, t ≥ 0 ? Est-il judicieux de changer l’équipementA au temps t s’il fonctionne toujours ?2. Quelle est la probabilité pour que l’équipement A tombe en panne avantl’équipement B ?Exercice 3.5.3. Soit X une variable qui suit la loi de Cauchy de paramètre a > 0. Quelleest la loi de Y = 1/X ?Exercice 3.5.4. Soit (X, Y ) un couple de variables normales centrées réduitesindépendantes. Déterminer la loi de (Z, W ) = (X/Y, X + Y ) et en déduire la loi de Z.Exercice 3.5.5. Soit X et Y deux variables aléatoires réelles exponentielles de paramètreλ (λ > 0) indépendantes.1. Quelle est la loi de X 2 ?2. Quelle est celle deV ={X si 0 ≤ X ≤ 12X si X > 1