Probabilités et Applications

3.2. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES À DENSITÉ 31On en déduit que (3.1) est équivalente à∀a < b ∈ ¯R, P(a < X < b) =⇐⇒ ∀a < b ∈ ¯R, P(a ≤ X < b) =⇐⇒ ∀a < b ∈ ¯R, P(a ≤ X ≤ b) =∫ ba∫ ba∫ bap(x)dxp(x)dxp(x)dx.Le fait que ∀x ∈ R, P(X = x) = 0 entraîne aussi par σ-additivité que pour tout sousensembleF de R dénombrable, P(X ∈ F ) = ∑ x∈FP(X = x) = 0, ce qui montrela différence de nature entre variables aléatoires discrètes et variables aléatoires àdensité.– D’un point de vue infinitésimal, on a P(X ∈ [x, x + dx]) ≃ p(x)dx.3.2.2 Densités réelles usuellesOn dit que X suit la• loi uniforme sur [a, b] où a < b et on note X ∼ U[a, b], si X possède la densité1b − a 1 [a,b](x).• loi exponentielle de paramètre λ > 0 et on note X ∼ E(λ) si X possède ladensitéλe −λx 1 {x>0} .• loi gaussienne (ou normale) de paramètres m ∈ R et σ 2X ∼ N 1 (m, σ 2 ) si X possède la densité( )1√ exp (x − m)2− .2πσ2 2σ 2> 0 et on noteDans le cas où m = 0 et σ 2 = 1, on dit aussi que X suit la loi normale centréeréduite.• loi de Cauchy de paramètre a > 0 et on note X ∼ C(a) si X possède la densité3.2.3 Espérance, varianceaπ1x 2 + a 2 .Définition 3.2.3. La variable aléatoire X : Ω → R qui possède la densité p est dite– intégrable si ∫ |x|p(x)dx < +∞ et alors on définit son espérance par∫E(X) = x p(x) dx.