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Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineExercice :Trois charges ponctuelles sont apportés de l'infini aux positions suivantes sur l'axe des abscisses: Q1 =5,2.10 -6 C à x = -1 m, Q2 = 2,6.10 -6 C à x = 0 m, et Q3 = 5,2.10 -6 C à x = 1 m. Quelle est l'énergiepotentielle de cette configuration de charges?Exercice :Deux charges Q 1 = 1 C et Q 2 = -1 C sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral, de 4 cm decôté.1. Calculer le potentiel au point P.2. Quelle est la direction du champ électrique au point P?Exercice :Aux sommets d’un carré ABCD de coté 2m sont placées lesYQ 1 Qcharges suivantes :2MQ 1 = 2.10 -8 C ; Q 2 = -8.10 -8 C ; Q 3 = 2.10 -8 C ; Q 4 = 4.10 -8 C ;1. Calculer le champ et le potentiel électriques au centreOO du carré.2. Calculer le potentiel au point M milieu de AB.Q 4VII. RELATION ENTRE E et VPour placer une charge q en un point où règne un potentiel V, il faut fournir un travail W :W = −∫F.drCe travail est emmagasiné par la charge q sous forme d’énergie potentielle E p :Ep= qVW = E p ⇒ dW = dEp⇒−F.dr=qdV ⇒−qE.dr=qdV ⇒dV= −E.dr1D’autre part, on peut poser que :dV = ∂Vdx+ V dy V dz V u Vx u Vy uz( dxuxdyuydzuz) gradV.drx∂ + =⎛ ∂⎞+ + =y z⎜ + +∂∂∂ x∂y∂z⎟2∂⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠D’après les équations 1 et 2, on obtient:E =−gradVConclusions:1) E= −gradV =− ∂ V u Vx− u Vy− uz∂x∂∂y∂E∂zLe champ électrostatique a le sens des potentiels décroissants.Suivant l’axe des x, nous avons : E= − ∂ V ux.V∂x1 > VV 21V 2Le champ électrique est toujours dirigé du potentiel le plusélevé au potentiel le plus bas.2) rotE = rot( −gradV ) = 0ED’après cette relation mathématique, on déduit que le champ électrostatique est non Figure rotationnel. C’est-àdireque la ligne de champ électrique ne se referme jamais sur elle même. Les lignes de champélectrique ne se referment que sur des charges électriques.Q 3FigureX+ Oui_3) ∫E. dl=0FigureEn effet, nous avons : rot E = 0⇒∫rotE.dS=0⇒∫E.dl=0Le long d’un contour fermé quelconque, dans le quel on définit deuxpoints A et B :BA∫E. dl= ∫ E.dl+∫ E.dl=( VA−VB) + ( VB−VA) = 0AFigureBNonAdldlFigure 34B10
Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineVIII. SURFACE EQUIPOTENTIELLEDéfinition :C’est une surface où le potentiel est constant et partout le même.Exemple: charge ponctuelle qqV =4πε 0 rLe potentiel est constant si on pose r = R = constante ;Chaque sphère de rayon R constant (R 1 , R 2 , R 3 ) représente donc unesurface équipotentielle.Sens de parcours de la boucle = sens de dlEER 2R 3R1ERègle de base : le champ électrique est toujours perpendiculaire à lasurface équipotentielle.Exercice :Montrer que le champ électrique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.Solution :Soit OPQR un plan uniformément chargé, c’est doncYune surface équipotentielle située dans le plan XOYFigureE= −gradV =− ∂ V u Vx− u Vy− uz∂x∂∂y∂∂zRComme ∂ = ∂ = 0∂V Vx ∂ydonc E=− ∂ V u∂zzLe champ électrostatique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.V constant∂V= 0 ; ∂V= 0∂x∂yQLigne équipotentielle :OFigurePXligne équipotentielleZEFigureIX. THEOREME DE GAUSS1. Flux électriqueFlux électrique : Φ e = E. dsFlux magnétique : Φ m= B. ds∫∫(S)θBdSSurface non ferméeE.ds = Edscosθ∫∫Surface ferméeSurface globale = surface S 1 (base supérieure) + surface S 2 (base inférieure) + surface latérale S 3 .Φ e=∫ E . dS1 + ∫E.dS2+∫E.dS3S1 S2S3dS 1EdS 3dS 2Figure : Surface ferméeFigure : Surface non fermée11
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