EXERCICES ET QUESTIONS DE COURS

708 AnnexeTableau 8. Rendements du portefeuille de marché et d’un actift 1 2 3 4 5 6R M,t −0.26 −0.09 −0.10 −0.10 0.16 0.14R i,t −0.22 −0.11 −0.10 −0.08 0.13 0.11t 7 8 9 10 11 12R M,t 0.14 0.15 −0.22 −0.07 −0.11 0.02R i,t 0.21 0.13 −0.30 −0.06 −0.05 −0.05t 13 14 15 16 17 18R M,t 0.15 −0.15 −0.01 −0.23 0.15 −0.06R i,t 0.19 −0.17 0.02 −0.24 0.25 −0.0728. Le ratio de Sharpe1. On considère deux actifs dont les rendements annuels sont notés R 1et R 2 . On suppose que :( ) (( ) ( ))R1µ1 σ2R = ∼ N , 1 ρσ 1 σ 2R 2 µ 2 ρσ 1 σ 2 σ22(a) Soit r le rendement annuel sans risque. Définissez le ratio deSharpe sh i pour l’actif i.(b) Soit un portefeuille composé des deux actifs et dont les poidssont respectivement w 1 et w 2 . Donnez l’expression du ratio deSharpe du portefeuille.(c) On suppose que w 1 + w 2 = 1 et que le deuxième actif est l’actifsans risque. Montrez que l’on a :{ − sh1 si wsh =1 < 0sh 1 si w 1 > 02. On considère un portefeuille équipondéré de n actifs (les poids w isatisfont w i = n −1 ). Soit R = (R 1 , . . . , R n ) le vecteur des rendementsannuels. On suppose que R ∼ N (µ, Σ) avec µ = (µ 1 , . . . , µ n ),Σ = (Σ i,j ) et 7 Σ i,j = ρ i,j σ i σ j . On étudie le cas lorsque les rendementsdes actifs ne sont pas corrélés (ρ i,j = 0 si i ≠ j).(a) Donnez l’expression du ratio de Sharpe du portefeuille.(b) Montrez alors que le ratio de Sharpe du portefeuille est unecombinaison linéaire des ratios de Sharpe des actifs :sh =n∑p i · sh ii=1(c) Vérifiez alors que :0 < p i < 17. On a bien sûr ρ i,i = 1.