MECANIQUE DES FLUIDES La calculatrice et le formulaire sont ...

PROBLEME 3 : CINEMATIQUE(barème indicatif : 8 pts)Dans tout le problème, le fluide pourra être considéré comme parfait et incompressible. Lesécoulements seront considérés stationnaires et plans (perpendiculaires à l'axe Oz).1. Exprimer le potentiel complexe résultant de la superposition d'un écoulement uniforme dep 1la forme f ( z)= U z et d'un dipôle de la forme f ( z)= 2πz, où U et p sont des constantesréelles positives. En déduire la fonction de courant ψ ainsi que le champ de vitesses dansle plan xOy.2. Déterminer le (ou les) point(s) d'arrêt, et donner l'équation de la ligne de courant passantpar ce(s) point(s) d'arrêt. Tracer cette ligne de courant. Expliquer pourquoi, si l'onremplace la surface délimitée par cette ligne de courant par un corps solide, l'écoulementn'est pas modifié. A quel système concret peut correspondre cette modélisation ?3. Soit p = 2πUR2le moment dipolaire du dipôle modélisant la présence d'un cylindre dehauteur h, de rayon R, dont l'axe de symétrie est Oz, placé au sein d'un écoulementuniforme de vitesse vr = U e rx . On se propose d'étudier l'écoulement résultant lorsque cercylindre est en rotation à la vitesse angulaire ω ωe r = z autour de son axe de symétrie. Larotation de ce cylindre peut se modéliser au moyen d'un vortex de circulation Γ . Exprimerla vitesse générée par ce vortex à la distance R de l'origine. En déduire l'expression de Γen fonction de R et ω.4. Pour étudier l'écoulement du vent autour d'un mât de hauteur h, de rayon R, en rotation àrla vitesse angulaire ω ωe r = z , on superpose les écoulements précédents : l'écoulementuniforme de vitesse vr = U e rx modélisant le vent, le dipôle de moment p modélisant lemât, et le vortex de circulation Γ modélisant sa rotation. Exprimer le potentiel complexetotal en fonction de U, R et ω.5. Calculer la vitesse en tout point de la surface du mât. En déduire que le cercle centré àl'origine et de rayon R constitue une ligne de courant. A quelles conditions portant sur ωexiste-t-il un (ou des) point(s) d'arrêt à la surface du mât ?6. On règle la vitesse de rotation du cylindre de sorte à avoir ω = U R . Dans ces conditions,localiser les deux points d’arrêt à la surface du mât. Quelles sont les accélérations normaleet tangentielle en ces deux points ?- 2/2 -