2. Cinématique - cours de mecanique des fluides - Université d'Angers

Université d’AngersUFR SciencesL3 - Licence mention Physique-ChimieS. ChaussedentMécanique des FluidesTD2. CinématiqueEx. 2.11. Ecrire l'équation de continuité en symétrie sphériquepour l'écoulement stationnaire et conservatif d'unfluide incompressible. En déduire l'expression de lavitesse en un point quelconque lorsque cet écoulementest radial, dirigé vers l'origine.2. On suppose que de l'eau coule en régime permanent àtravers l'entonnoir représenté sur la figure 2.1.L'écoulement étant considéré comme radial, centré enO, l'expression de la vitesse est celle établie dans laquestion précédente. Déterminer l'accélération auxpoints A et B sachant que la vitesse en A est de0,6 m.s -1 .Ex. 2.2O0,12 mVAr B- figure 2.1 -0,1 m0,2 mOn considère l'écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide incompressible à l'intérieurde la buse représentée figure 2.2. La vitesse du fluide le long de l'axe est donnée par :rrV = v e ( 1 + x L) e xoù v e est la vitesse à l'entrée de la buseet L sa longueur.1. Déterminer l'accélération d'une particulefluide traversant la buse ler rlong de l'axe.V ( 0) = v e e x2. Déterminer, en fonction du temps,V r (L)la position d'une particule initialementsituée à l'entrée de la buse. Endéduire son accélération.0 L3. Les deux accélérations calculéessont-elles différentes ? Pourquoi ?- figure 2.2 -xEx. 2.3Un modèle d’écoulement stationnaire autour d’un cylindre(voir figure 2.3) a permis de formuler l’expression de lavitesse du fluide en tout point M de la surface :r rv = 2V0 sinθ e θ .Déterminer l’accélération normale et tangentielle en fonctionde a, θ et V 0 .Mθa- figure 2.3 -V 0

Université d’AngersUFR SciencesL3 - Licence mention Physique-ChimieS. ChaussedentMécanique des FluidesTDEx. 2.4L'écoulement d'eau à travers les orifices de la rampe d'arrosage représentée figure 2.4 génèrerr run champ de vecteurs vitesse tel que V = u0 sin [ ω ( t − y v0)] ex+ v0ey , où u 0 , v 0 et ω sontdes constantes. Ainsi, la composante de la vitesse selon l'axe y reste constante : v ( x, y;t) = v0et celle selon l'axe x coïncide, en y = 0 , avec la vitessede déplacement de la rampe d'arrosage :yu x y = 0; t = u sin ω t .( ) ( ), 01. Déterminer la ligne de courant passant par l'origineà t = 0 ; à t = π 2ω.2. Déterminer la trajectoire de la particule émise àl'origine à t = 0 ; à t = π 2ω.3. Déterminer l'allure de la ligne d'émission relativeà l'origine, à un instant t quelconque.OxEx. 2.5La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide incompressibleest donnée par l'équation :2 3Ψ = 3xy − y ,où Ψ est en m 3 .s -1 et x, y sont en m.1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine.2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB dela figure 2.5.Ex. 2.6- figure 2.4 -yB(0;1)A(1;0)- figure 2.5 -xL'écoulement plan de la figure 2.6 correspond au potentieldes vitesses suivant :ϕ = A ln r + Brcosθ ,où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminerla fonction de courant Ψ associée et localiser d'éventuelspoints d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement ens'aidant de la représentation qui en est donnée.- figure 2.6 -

Université d’AngersUFR SciencesL3 - Licence mention Physique-ChimieS. ChaussedentMécanique des FluidesTDEx. 2.7On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants,avec un vortex centré sur l'origine. En supposant que la ligne de courant Ψ = 0 passe par lepoint de coordonnées (2;0), déterminer son équation.Ex. 2.8De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s -1 (voir la figure2.8). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débitvolumique de 4 l.s -1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible, l'écoulementpeut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits.1. Localiser l'endroit où la vitesse del'eau est nulle et déterminer l'équationde la ligne de courant passantpar ce point.2. A quelle hauteur H par rapport à lasurface doit se situer une particulefluide pour ne pas être aspirée parla pompe ?Ex. 2.9On peut modéliser l'écoulement plan d'un tourbillon par superposition des deux écoulementsplans suivants : un puits de débit -q v