MECANIQUE DES FLUIDES La calculatrice et le formulaire sont ...

UNIVERSITE D'ANGERS Epreuve deAnnée 2002-2003MECANIQUE DES FLUIDESCONTROLE CONTINUMardi 19 novembre 2002Durée : 2h30Licence de Physique et ApplicationsS. ChaussedentLa calculatrice et le formulaire sont autorisésPROBLEME 1 : HYDROSTATIQUE(barème indicatif : 7 pts)On se propose de dimensionner un barrage prévu pour retenir une hauteur d’eau H e .Constitué d’un matériau de densité d, de hauteur H et de largeur l, le barrage doit tenir au solsous la seule action de son propre poids (voir figure 1). Par ailleurs, on suppose connu lecoefficient de frottement statique µ s entre le sol et le matériau.1. Exprimer la force hydrostatique s’exerçant sur ce barrage.2. Localiser le point d’application de cette force hydrostatique.3. Exprimer en fonction de d, H e , H et µ s la largeur l minimale du barrage pour qu’il neglisse pas.4. En comparant le moment de la force hydrostatique avec celui du poids par rapport à unaxe que l’on précisera, exprimer la condition sur l pour que le barrage ne bascule pas.5. En se plaçant dans les conditions extrêmes où H e =H, quelle doit être la valeur minimaledu rapport l/H permettant d’éviter tout risque de basculement et de glissement ? Onprendra : d = 2,0 et µ s = 0,30. Commenter.lH eH- figure 1 -- 1/2 -

PROBLEME 2 : CINEMATIQUE(barème indicatif : 9 pts)1. Formuler l’équation de continuité dans le cadre le plus général qui soit. Qu’advient-il decette équation lorsque : (i) l’écoulement est stationnaire, (ii) le fluide est incompressible et(iii) le fluide est incompressible et l’écoulement conservatif ?2. Donner une définition de la ligne de courant.3. On considère l’écoulement plan décrit par le potentiel f 1 (z) = -i B/z où B est une constanteréelle positive.a) Exprimer son potentiel des vitesses ϕ 1 et sa fonction de courant ψ 1 .b) En déduire le champ de vecteurs vitesse. Existe-t-il des points d’arrêt ? Justifier.c) Montrer que les lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axe x passant tous parl’origine. De quel écoulement élémentaire s’agit-il ?4. A l’écoulement décrit par f 1 (z), on superpose un écoulement dont le potentiel complexe estf 2 (z) = Cz 2 , où C est une constante réelle positive.a) Quel écoulement élémentaire décrit f 2 ?b) Formuler le potentiel complexe résultant de la superposition de f 1 et f 2 . En déduire lepotentiel des vitesses ϕ et la fonction de courant ψ.c) Déterminer le champ de vecteurs vitesse.d) Montrer qu’il n’existe qu’un point d’arrêt et donner ses coordonnées.e) Déterminer l’équation de la ligne de courant passant par ce point d’arrêt. Etudier cetteéquation afin d’en faire une représentation schématique.f) Quelle situation réelle peut modéliser cette superposition ?PROBLEME 3 : PRESSION DE L’ATMOSPHERE(barème indicatif : 4 pts)On souhaite caractériser la loi de variation de pression de l’atmosphère terrestre enfonction de l’altitude. Pour cela, on considérera l’air comme un gaz parfait vérifiantl’équation d’état : PV = nRT.1. Montrer que dans ces conditions, la masse volumique est fonction de la pression etMs’exprime comme : ρ = p , où M est la masse molaire du gaz.RT2. En supposant que l’atmosphère est adiabatique, on peut montrer que la température est(γ−1)γégalement fonction de la pression et en dépend selon la loi : T = α p , où γ = 1,4 estle coefficient polytropique de l’air, et α une constante que l’on peut déterminer enconsidérant qu’à l’altitude z = 0, la pression vaut p 0 pour une température T 0 . Poserl’équation fondamentale de la statique des fluides et en déduire la loi de variation de lapression p en fonction de l’altitude z.3. En déduire qu’il existe une altitude maximale au-delà de laquelle il n’y a plus d’air.Exprimer cette altitude maximale en fonction de γ, R, M, de l’accélération de la pesanteurg et de la température T 0 à l’altitude z = 0. Application numérique : R = 8,31 J.K -1 .mol -1 ,M = 30 g.mol -1 , g = 9,8 m.s -2 et T 0 = 300 K.4. Quelle est la loi de variation de la température en fonction de l’altitude ? Que vaut latempérature à 10 000 m d’altitude ?- 2/2 -