MECANIQUE DES FLUIDES La calculatrice et le formulaire sont ...

PROBLEME 2 : CINEMATIQUE(barème indicatif : 9 pts)1. Formuler l’équation de continuité dans le cadre le plus général qui soit. Qu’advient-il decette équation lorsque : (i) l’écoulement est stationnaire, (ii) le fluide est incompressible et(iii) le fluide est incompressible et l’écoulement conservatif ?2. Donner une définition de la ligne de courant.3. On considère l’écoulement plan décrit par le potentiel f 1 (z) = -i B/z où B est une constanteréelle positive.a) Exprimer son potentiel des vitesses ϕ 1 et sa fonction de courant ψ 1 .b) En déduire le champ de vecteurs vitesse. Existe-t-il des points d’arrêt ? Justifier.c) Montrer que les lignes de courant sont des cercles centrés sur l’axe x passant tous parl’origine. De quel écoulement élémentaire s’agit-il ?4. A l’écoulement décrit par f 1 (z), on superpose un écoulement dont le potentiel complexe estf 2 (z) = Cz 2 , où C est une constante réelle positive.a) Quel écoulement élémentaire décrit f 2 ?b) Formuler le potentiel complexe résultant de la superposition de f 1 et f 2 . En déduire lepotentiel des vitesses ϕ et la fonction de courant ψ.c) Déterminer le champ de vecteurs vitesse.d) Montrer qu’il n’existe qu’un point d’arrêt et donner ses coordonnées.e) Déterminer l’équation de la ligne de courant passant par ce point d’arrêt. Etudier cetteéquation afin d’en faire une représentation schématique.f) Quelle situation réelle peut modéliser cette superposition ?PROBLEME 3 : PRESSION DE L’ATMOSPHERE(barème indicatif : 4 pts)On souhaite caractériser la loi de variation de pression de l’atmosphère terrestre enfonction de l’altitude. Pour cela, on considérera l’air comme un gaz parfait vérifiantl’équation d’état : PV = nRT.1. Montrer que dans ces conditions, la masse volumique est fonction de la pression etMs’exprime comme : ρ = p , où M est la masse molaire du gaz.RT2. En supposant que l’atmosphère est adiabatique, on peut montrer que la température est(γ−1)γégalement fonction de la pression et en dépend selon la loi : T = α p , où γ = 1,4 estle coefficient polytropique de l’air, et α une constante que l’on peut déterminer enconsidérant qu’à l’altitude z = 0, la pression vaut p 0 pour une température T 0 . Poserl’équation fondamentale de la statique des fluides et en déduire la loi de variation de lapression p en fonction de l’altitude z.3. En déduire qu’il existe une altitude maximale au-delà de laquelle il n’y a plus d’air.Exprimer cette altitude maximale en fonction de γ, R, M, de l’accélération de la pesanteurg et de la température T 0 à l’altitude z = 0. Application numérique : R = 8,31 J.K -1 .mol -1 ,M = 30 g.mol -1 , g = 9,8 m.s -2 et T 0 = 300 K.4. Quelle est la loi de variation de la température en fonction de l’altitude ? Que vaut latempérature à 10 000 m d’altitude ?- 2/2 -