MECANIQUE DES FLUIDES La calculatrice et le formulaire sont ...

UNIVERSITE D'ANGERS Epreuve deAnnée 2003-2004MECANIQUE DES FLUIDESCONTROLE CONTINUJeudi 13 novembre 2003Durée : 2h30Licence de Physique et ApplicationsS. ChaussedentLa calculatrice et le formulaire sont autorisésPROBLEME 1 : VANNE REGULATRICE DE NIVEAU(barème indicatif : 6 pts)Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée dans la paroi verticale d'un réservoircontenant de l'eau (voir figure 1). On souhaite que cette porte s'ouvre automatiquement quandle niveau d'eau par rapport au bord supérieur de la porte dépasse 10 m.1. Etablir l'expression littérale de la force exercée sur la porte en fonction du niveau d'eau.2. Localiser le point d’application de cette force.3. Evaluer numériquement la distance d à laquelle l'axe de rotation de la porte doit être situépour qu'il y ait ouverture automatique quand le niveau d'eau dépasse 10 m ?PROBLEME 2 : CUL DE BOUTEILLE(barème indicatif : 6 pts)Une bouteille de rayon R contient une hauteur H de liquide (voir figure 2). Le fond est deforme hémisphérique. Déterminer la direction et l'intensité de la résultante des forces depression qu'exercent le fluide sur les parois de cette bouteille. Comparer ce résultat avec celuiqui aurait été obtenu avec une bouteille à fond plat. Conclure.10 m4 mdHR- figure 1 -- figure 2 -- 1/2 -

PROBLEME 3 : CINEMATIQUE(barème indicatif : 8 pts)Dans tout le problème, le fluide pourra être considéré comme parfait et incompressible. Lesécoulements seront considérés stationnaires et plans (perpendiculaires à l'axe Oz).1. Exprimer le potentiel complexe résultant de la superposition d'un écoulement uniforme dep 1la forme f ( z)= U z et d'un dipôle de la forme f ( z)= 2πz, où U et p sont des constantesréelles positives. En déduire la fonction de courant ψ ainsi que le champ de vitesses dansle plan xOy.2. Déterminer le (ou les) point(s) d'arrêt, et donner l'équation de la ligne de courant passantpar ce(s) point(s) d'arrêt. Tracer cette ligne de courant. Expliquer pourquoi, si l'onremplace la surface délimitée par cette ligne de courant par un corps solide, l'écoulementn'est pas modifié. A quel système concret peut correspondre cette modélisation ?3. Soit p = 2πUR2le moment dipolaire du dipôle modélisant la présence d'un cylindre dehauteur h, de rayon R, dont l'axe de symétrie est Oz, placé au sein d'un écoulementuniforme de vitesse vr = U e rx . On se propose d'étudier l'écoulement résultant lorsque cercylindre est en rotation à la vitesse angulaire ω ωe r = z autour de son axe de symétrie. Larotation de ce cylindre peut se modéliser au moyen d'un vortex de circulation Γ . Exprimerla vitesse générée par ce vortex à la distance R de l'origine. En déduire l'expression de Γen fonction de R et ω.4. Pour étudier l'écoulement du vent autour d'un mât de hauteur h, de rayon R, en rotation àrla vitesse angulaire ω ωe r = z , on superpose les écoulements précédents : l'écoulementuniforme de vitesse vr = U e rx modélisant le vent, le dipôle de moment p modélisant lemât, et le vortex de circulation Γ modélisant sa rotation. Exprimer le potentiel complexetotal en fonction de U, R et ω.5. Calculer la vitesse en tout point de la surface du mât. En déduire que le cercle centré àl'origine et de rayon R constitue une ligne de courant. A quelles conditions portant sur ωexiste-t-il un (ou des) point(s) d'arrêt à la surface du mât ?6. On règle la vitesse de rotation du cylindre de sorte à avoir ω = U R . Dans ces conditions,localiser les deux points d’arrêt à la surface du mât. Quelles sont les accélérations normaleet tangentielle en ces deux points ?- 2/2 -