elaboration des materiaux non organiques - Mécanique Matériaux ...

38 Matériaux pour l’ingénieur
Joints de grains : on remplace généralement le coefficient de diffusion « en volume » D V par un coefficient de
diffusion « dans le joint » D J et la diffusivité fait intervenir la « largeur efficace » du joint, notée δ, sous la forme
du produit D J .δ, où δ vaut entre 2 et 5 fois la distance interatomique. Un exemple est la diffusion du gallium
liquide (30°C) dans les joints de grains de l’aluminium, qu’il fragilise.
Dislocations : le long des dislocations, la vitesse de diffusion dans la région perturbée du cœur de la dislocation
(« pipe diffusion ») est multipliée par un facteur 10 à 10 5
par rapport à la diffusion dans le réseau
cristallin.
La diffusion dans le liquide est rapide (10 -4
à 10 -5
cm² s -1
soit 10 4
fois la valeur du coefficient de diffusion à l’état
solide près de la température de fusion). On utilise notamment cette propriété pour le frittage en favorisant la
présence d’une faible fraction de phase liquide.
4.2 LOIS MACROSCOPIQUES REGISSANT LA DIFFUSION
On donne dans ce paragraphe les lois qui permettent de décrire les phénomènes de diffusion à l’échelle
macroscopique, sans se préoccuper des mécanismes à l’échelle atomique.
Première loi de Fick
On considère une espèce B qui diffuse dans un solvant A. Si les sauts des atomes B sont aléatoires dans l’espace,
on montre la relation suivante (première loi de Fick) :
& &
- = − ' ⋅ ∇&
[24]
�
& est le flux d’atomes de B, CB la concentration en élément B.
-�
�
�
Pour des problèmes à une dimension (x) on peut écrire :
∂
= [25]
∂ �
- � − ' ⋅
&
[
D est le coefficient de diffusion (ou diffusivité), exprimé en m B 2
.s -1
. Il n’est pas nécessairement isotrope. Il peut
dépendre de la concentration en atomes de soluté B. C’est notamment le cas du carbone dans le réseau cubique à
faces centrées du fer à 1000°C : plus il y a de carbone, plus le carbone diffuse vite dans le réseau du fer. Quelques
valeurs typiques sont données dans le Tableau 2.
�
Deuxième loi de Fick
La conservation de la matière à travers une section conduit à la deuxième loi de Fick :
∂
∂W
&
∂-
= −
∂[
∂
en 1 dimension, soit avec la première loi :
∂W
= '
2
∂ &
⋅
2
∂[
∂
� � &
) � �
&
( -
& &
= −∇
⋅
&
GLY
- �
∂
W
= −
� � &
en 3 � �
dimensions, �
� soit �
∂& ∂W
= '
&
2
⋅ ∇ & = ' ⋅ Δ&
Les solutions de cette équation dépendent des conditions aux limites et des conditions initiales. Dans les deux
exemples donnés ci-dessous, D� est supposé indépendant de la composition chimique.
Accolement de deux blocs (couple de diffusion)
On accole à t = 0 deux blocs semi-infinis dans lesquels la concentration initiale en B est C 0 pour le premier bloc
(x < 0) et zéro pour le second bloc (x > 0). Le profil de concentration en B au cours du temps est alors décrit par
l’équation suivante :
( [ , W)
⎡
⎢1
−
⎢
⎣
⎛
⎜
⎜
⎝ 2
& �
&
=
2
HUI
[
'
�
0
W
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
�
[26]
[27]
[28]