A geometria szigorlat szóbeli tételei

A geometria szigorlat szóbeli tételei
2004
1. Az abszolút geometria
Illeszkedési axiómák. A vonalzó-axióma; fontosabb következmények és ráépülő
fogalmak. A félsík-axióma elemi alkalmazásai. A szögmérő-axióma
és a kongruencia-axióma. A külsőszög-egyenlőtlenség. A háromszögek
egybevágósága.
2. Párhuzamosság
Merőlegesség. A párhuzamosság elegendő feltételei abszolút síkon. Párhuzamosok
létezése. Párhuzamossági axiómák. Az euklidészi párhuzamossági
axióma néhány nevezetes ekvivalense.
3. Háromszögek, sokszögek
Az oldalak és szögek kapcsolata háromszögekben, a klasszikus háromszögegyenlőtlenség.
Legendre szögtételei. Nevezetes pontok, vonalak, körök.
Egyszerű sokszögek, egyszerű sokszögek szögösszege. Speciális sokszögek
és tulajdonságaik. (Paralelogramma, trapéz, rombusz, négyzet, téglalap.)
4. A körgeometria elemei
Alapfogalmak, érintő, érintőnégyszög, húrnégyszög. Pont körre vonatkozó
hatványa, hatványvonal, hatványpont.
5. Az euklidészi sík izometriái
Az izometriák fogalma és egyszerűbb tulajdonságai. Tengelyes tükrözések.
A síkizometriák fixponttétele és alaptétele. A tengelyes tükrözések kompozícióinak
vizsgálata. Az euklidészi sík izometriáinak osztályozási tétele.
6. Hasonlósági és affin transzformációk
A hasonlóságok és a középpontos hasonlóságok elemi tulajdonságai; fixponttétel
és osztályozási tétel. Alakzatok hasonlósága, a háromszögek hasonlóságának
alapesetei. Az affin transzformációk fogalma és jellemzése,
a csatolt lineáris izomorfizmus. Az osztóviszony. Az affin transzformációk
fixponttétele és alaptétele.
1

7. A mértékfogalom geometriai megalapozása
Területmérték az euklidészi sík sokszögeinek halmazán, nevezetes területképletek
levezetése. A Jordan-mérték bevezetése az euklidészi síkon. A
térfogatmérték vázlatos tárgyalása a klasszikus euklidészi térben.
8. A szabadvektorok vektortere
A szabadvektorok vektorterének konstrukciója. Skaláris-, vektoriális- és
vegyes-szorzás fogalma, tulajdonságai, kiszámítása, geometriai jelentése.
Egyenesek és síkok analitikus geometriája.
9. Mátrixok és lineáris egyenletrendszerek
Mátrixalgebra. Mátrixok invertálhatósága, rangja. A determinánsfüggvény
és tulajdonságai. Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága, a megoldás
szerkezete.
10. Vektorterek
Vektortér, altér. Példák. Lineáris függőség, függetlenség, generátorrendszer,
bázis, dimenzió. Alterek összege és direkt összege. Lineáris sokaságok.
11. Lineáris leképezések
A lineáris leképezések fogalma, rangja, defektusa, elemi tulajdonságai.
Példák. A lineáris leképezések vektortere. A homomorfiatétel, a
„nullitás+rang”-tétel. Lineáris leképezések mátrix-reprezentációja, a mátrix
transzformálódása báziscsere esetén.
Nyíregyháza, 2004. szeptember 12.
2