SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT

TKE 2403
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Kuliah 8 – Analisis Wavelet : Wavelet Kontinyu
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
2009

KULIAH 8
Pendahuluan
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Analisis Wavelet : Wavelet Kontinyu
Sebagaimana telah diuraikan pada bab sebelumnya, sebuah alihragam
dapat dipandang sebagai suatu pemetaan kembali suatu sinyal tertentu sehingga
dapat memperlihatkan lebih banyak informasi daripada sinyal aslinya. Alihragam
Fourier memberikan informasi mengenai konten frekuensi yang sebelumnya
tidak tampak jika sinyal disajikan dalam domain waktu (sinyal asli). Namun
alihragam Fourier tidak mampu mendiskripsikan karakteristik waktu dan
frekuensi secara bersamaan. Alihragam wavelet dapat digunakan untuk
mendiskripsikan suatu sinyal yang ubah waktu; sinyal tidak dibagi menjadi
bagian-bagian menurut waktu namun dibagi menjadi segmen-segmen menurut
suatu skala.
Alihragam Fourier dinyatakan sebagai
∞
− jωm
t
= ∫ x(
t e dt
−∞
X ( ω m ) )
(1)
Sinyal sinusoidal biasanya digunakan dalam aliragam Fourier karena sifat
frekuensinya yang unik yaitu energinya terkandung pada satu frekuensi tertentu.
Sebenarnya sebarang fungsi (selain sinusoidal) dapat digunakan. Jika fungsi
tersebut mempunyai durasi yang terhingga saja, maka akan dapat digeser-geser
sepanjang sinyal x(t) (seperti dilakukan pada proses konvolusi) dan dihasilkan
alihragam Fourier yang sifatnya short-term atau STFT (short-term Fourier
transform).
STFT(
t,
f )
∞
− j2π
f τ
= ∫ x(
τ ) ( w(
t −τ
) e ) dτ
−∞
(2)

Dengan f adalah frekuensi yang juga mengindikasikan keanggotaan, w(t - τ)
adalah fungsi jendela dengan t berlaku sebagai penggeser jendela sepanjang x.
Secara umum persamaan (2) dapat ditulis kembali sebagai persamaan berikut.
X t m
∞
∫ x
−∞
f t −τ
m ) ( ) ( ) ,
= τ dτ
( (3)
Dengan f(t)m adalah fungsi keanggotaan dan m menspesifikasikan nomor
keanggotaan.
Alihragam Wavelet Kontinyu
Alihragam wavelet mempergunakan konsep yang dinyatakan pada
persamaan (3). Dalam analisis wavelet, ada sejumlah fungsi yang dapat
digunakan, namun keanggotaannya selalu terdiri atas versi-versi yang
diregangkan atau dimampatkan dari fungsi basisnya, sebagaimana halnya
pergeseran. Konsep ini mengarah pada definisi persamaan untuk alihragam
wavelet kontinyu (CWT: Continuous Wavelet Transform),
∞
∫
−∞
1 * ⎛ t − b ⎞
W ( a,
b)
= x(
) ψ ⎜ ⎟dt
| a | ⎝ a ⎠
τ (4)
Dengan b berlaku sebagai penggeser fungsi sepanjang x(t) dan a berlaku
sebagai penskala waktu pada fungsi ψ. Jika a lebih besar daripada 1, fungsi
wavelet ψ menjadi terregang sepanjang sumbu waktu dan jika a kurang daripada
1 (dan masih bernilai positif), maka ψ akan termampatkan. Jika nilai a negatif
maka akan membuat fungsi wavelet ψ menjadi terbalik pada arah sumbu waktu.
Tanda * menunjukkan operasi konjugat kompleks, dan normalisasi
memastikan bahwa energinya sama untuk semau nilai a (dan juga untuk semua
nilai b). Jika b = 0 dan a = 1, maka wavelet berada dalam bentuk naturalnya dan
disebut dengan istilah the mother wavelet yaitu ψ1,0(t) = ψ(t). Gambar 1
memperlihatkan hal ini (dan beberapa anggotanya yang dihasilkan oleh
1
| a |

eberapa pergeseran yaitu dilasi dan kontraksi). Pada gambar tersebut
digunakan wavelet Morlet yang dinyatakan dengan
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
2
t 2
ψ ( t)
e cos π t
(5)
ln 2
Gambar 1. Mother wavelet (a=1) dengan dua dilasi (a = 2 dan 4) dan satu
kontraksi (a = 0,5)
Koefisien wavelet, W(a, b), menggambarkan korelasi antara sinyal dengan
wavelet pada berbagai pergeseran dan skala: kemiripan antara sinyal dan
wavelet pada suatu kombinasi skala dan posisi yaitu a,b. Dengan kata lain,
koefisien wavelet menentukan amplitude deret wavelet pada jangkauan skala
dan pergeseran yang harus dijumlahkan untuk merekontruksi kembali sinyal.
Jika fungsi wavelet ψ(t) dapat dipilih dengan tepat, maka dimungkinkan untuk
merekontruksi sinyal aslinya dari koefisien wavelet (seperti yang dilakukan pada
alihragam Fourier). Oleh karena CWT mendekomposisi sinyal menjadi koefisien-

koefisien dari dua variabel yaitu a dan b, maka dibutuhkan penjumlahan (atau
integrasi) ganda untuk memperoleh kembali sinyal asli dari koefisien-koefisien
tersebut. Hal ini dinyatakan pada persamaan berikut.
Dengan
C = ∫
∞
∞
1
x ( t)
= ∫ ∫ W ( a,
b)
a,
b ( t)
da db
C
∞
−∞
| ψ ( ω)
|
| ω |
2
a=
−∞ b=
−∞
dω
ψ (6)
dan 0 < C < ∞ (disebut kondisi yang diijinkan atau admissibility condition).
Biasanya jika dikehendaki untuk memperoleh kembali sinyal asli maka akan
digunakan alihragam wavelet diskret (karena lebih mudah dan perhitungan yang
harus dilakukan juga lebih sedikit).
Karakteristik Waktu – Frekuensi Wavelet
Wavelet seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 tidak berada pada satu
waktu atau frekuensi yang spesifik. Kenyataannya wavelet menawarkan
kompromi antara letak waktu dan frekuensi: wavelet terlokalisir dalam waktu dan
frekuensi (namun tidak untuk salah satunya). Ukuran jangkauan waktu untuk
suatu wavelet tertentu, yaitu Δtψ, dapat ditentukan oleh akar kuadrat momen
kedua (second moment) wavelet tersebut terhadap pusat waktunya (yaitu
momen pertama),
Dengan t0 adalah waktu pusat atau momen pertama dari wavelet dan ditentukan
dengan persamaan berikut.
(7)

Dengan cara yang sama maka jangkauan frekuensi suatu wavelet, yaitu Δωψ,
dapat ditentukan dengan
Dengan ψ(ω) adalah representasi domain frekuensi (yaitu alihragam Fourier) dari
ψ(t/a) dan ω0 adalah frekuensi pusat dari ψ(ω). Frekuensi pusat ditentukan
dengan persamaan yang serupa dengan persamaan (8), yaitu
(8)
(9)
(10)
Jangkauan waktu dan frekuensi dari keanggotaan dapat diperoleh dari
mother wavelet menggunakan persamaan (7) dan (9). Dilasi oleh variabel a
mengubah jangkauan waktu dengan cara mengalikan Δtψ dengan a. Dengan
demikian, jangkauan waktu dari ψa,0 didefinisikan sebagai Δtψ (a) = |a| Δtψ.
Hubungan terbalik antara waktu dan frekuensi diperlihatkan pada Gambar 2
yang diperoleh dengan menerapkan persamaan (7 – 10) pada wavelet Mexican
Hat. Wavelet Mexican Hat dinyatakan dengan persamaan berikut.
(11)

Gambar 2. Batas-batas waktu-frekuensi dari wavelet Mexican Hat untuk berbagai
nilai a
Jangkauan frekuensi, atau bandwidth, akan sama dengan jangkauan
mother wavelet dibagi a; yaitu Δωψ (a) = Δωψ / |a|. Jika jangkauan frekuensi
dikalikan dengan a, maka akan dihasilkan sebuah konstanta yaitu hasil kali
konstanta yang dihasilkan oleh persamaan (7) dan (9),
(12)
Persamaan (12) menunjukkan bahwa hasil kali tersebut invarian terhadap
dilasi dan bahwa jangkauan terhubung terbalik: kenaikan pada jangkauan
frekuensi, Δωψ (a) akan menurunkan jangkauan waktu Δtψ (a). Jangkauan-
jangkauan ini berhubungan dengan resolusi waktu dan frekuensi dari CWT.
Dengan menurunkan jangkauan waktu wavelet (yaitu dengan menurunkan a)
akan menghasilkan karakteristik waktu yang lebih akurat namun dengan
mengorbankan resolusi frekuensi. Demikian juga jika sebaliknya.

Oleh karena resolusi waktu dan frekuensi mempunyai hubungan terbalik,
maka CWT akan menawarkan resolusi yang lebih baik jika a besar dan panjang
wavelet (dan jendela waktu efektifnya) panjang. Sebaliknya, jika a kecil, wavelet-
nya pendek dan resolusi waktu-nya maksimum namun wavelet hanya merespon
komponen frekuensi tinggi saja. Karena a bervariasi, maka dapat dilakukan tade-
off antara resolusi waktu dan frekuensi, dan ini merupakan kunci CWT.
Contoh 1
Tulis program dalam Matlab untuk membentuk CWT dari sebuah sinyal yang
terdiri atas dua sinyal sinus yang berturutan dengan frekuensi 10 dan 40 Hz
(seperti terlihat pada Gambar 3). Plot koefisien wavelet sebagai fungsi a dan b.
Gunakan wavelet Morlet.
amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Sinyal Sinus 10 dan 40 Hz
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
waktu, detik
Gambar 3. Dua sinyal sinus berbeda frekuensi (10 dan 40 Hz) dengan
perubahan frekuensi secara mendadak (step)

% Contoh 1 dan Gambar 3 dan Gambar 4
% Membangkitkan dua sinusoaida yang berubah frekuensi secara step
% Menerapkan alihragam wavelet kontinyu dan menggambar hasilnya
clear all; close all;
% Setting konstanta
fs = 500; % frekuensi sampling
N = 1024; % panjang sinyal
N1 = 512; % jumlah titik wavelet
f1 = 10; % frekuensi sinusoida pertama dalam
Hz
f2 = 40; % frekuensi sinusoida kedua dalam
Hz
resol_level = 128; % jumlah nilai a
decr_a = .5; % penurunan a
a_init = 4; % nilai awal a
wo = pi*sqrt(2/log2(2)); % faktor skala frekuensi wavelet
% Membangkitkan dua gelombang sinus pada Gambar 3
tn = (1:N/4)/fs; % vektor waktu utk membangkitkan sinus
b = (1:N)/fs; % vektor waktu untuk plotting
x = [zeros(N/4,1);sin(2*pi*f1*tn)';sin(2*pi*f2*tn)';zeros(N/4,1)];
plot (b,x)
xlabel('waktu, detik')
ylabel('amplitude')
title('Sinyal Sinus 10 dan 40 Hz')
ti = ((1:N1/2)/fs)*10; % vektor waktu untuk membangun wavelet
% Menghitung alihragam wavelet kontinyu (wavelet morlet)
for i = 1:resol_level
a(i) = a_init/(1+i*decr_a); % set skala
t = abs(ti/a(i)); % vektor skala untuk wavelet
mor = (exp(-t.^2).*cos(wo*t))/sqrt(a(i));
wavelet = [fliplr(mor) mor] % membuat simetri terhadap nol
ip = conv(x, wavelet); % konvolusi wavelet dan sinyal
ex = fix((length(ip)-N)/2); % menghitung titik tambahan/2
CW_Trans(:,i) = ip(ex+1:N+ex,1);
end
% Plot dalam 3 dimensi
figure
d = fliplr(CW_Trans);
mesh(a,b,CW_Trans)
xlabel('skala a')
ylabel('b (detik)')
zlabel('CWT')
title('CWT Sinyal Sinus 10 dan 40 Hz')
rotate3d on
% view(130,50)
Ket:
Nama file SPI_wavelet_1.m

Gambar 4a. Koefisien wavelet dari CWT sinyal yang terdiri atas dua sinyal sinus
sekuensial dengan frekuensi 10 dan 40 Hz menggunakan wavelet Morlet
Gambar 4b. Gambar 4a yang pada sudut azimuth (az) 130 dan elevasi (el) 50

Contoh 2
Tentukan batas-batas waktu – frekuensi dari wavelet Mexican Hat dengan
menerapkan persamaan (7 – 10).
Untuk setiap nilai a, wavelet yang terskala dibentuk menggunakan pendekatan
yang sama dengan yang digunakan pada contoh 1. Magnitude kuadrat dari
tanggapan frekuensi dihitung menggunakan FFT. Waktu pusat, t0, dan frekuensi
pusat, w0, dibentuk dengan menggunakan persamaan (8) dan (10) secara
langsung. Perlu dicatat bahwa karena wavelet dibentuk simetris terhadap t = 0
maka waktu pusat t0 akan selalu nol dan waktu offset t1 ditambahkan untuk
kepentingan plotting. Batas-batas waktu dan frekuensi dihitung menggunakan
persamaan (7) dan (9), hasilnya digambar sebagai sebuah persegipanjang yang
bersesuaian dengan waktu pusat dan frekuensi pusat masing-masing.
% Contoh 2 dan Gambar 5
% Menggambar batas-batas wavelet untuk berbagai nilai 'a'
% Menentukan jangkauan waktu dan frekuensi dari wavelet Mexican Hat
% Menggunakan persamaan (7 - 10)
clear all; close all;
N = 1000; % Panjang data
fs = 1000; % Frekuensi pencuplikan
(asumsi)
wo1 = pi*sqrt(2/log2(2)); % Konstanta utk skala waktu
wavelet
a = [.5 1.0 2.0 3.0]; % Nilai-nilai a
x1 = ((1:N/2)/fs)*10; % Wavelet selama +/- 10 detik
t = (1:N)/fs; % Skala waktu
omega = (1:N/2)*fs/N; % Skala frekuensi
for i = 1:length(a)
t1 = x1./a(i) % Vektor waktu utk wavelet
mex = exp(-t1.^2).*(1-2*t1.^2); % Wavelet Mexican Hat
w = [fliplr(mex) mex]; % Simetri terhadap nol
wsq = abs(w).^2 % Kuadrat dari wavelet
W = fft(w); % Mencari representasi
frekuensi dan
Wsq = abs(W(1:N/2)).^2; % kuadratnya. Jangkauan yg
digunakan
% hanya fs/2
t0 = sum(t.*wsq)/sum(wsq); % Menghitung waktu pusat
d_t = sqrt(sum((t-t0).^2.*wsq)/sum(wsq));
% Menghitung sebaran waktu
w0 = sum(omega.*Wsq)/sum(Wsq); % Menghitung frekuensi pusat
d_w0 = sqrt(sum((omega-w0).^2.*Wsq)/sum(Wsq));

t1 = t0*a(i); % Mengatur posisi waktu
hold on;
% Menggambar batas-batas waktu - frekuensi
plot([t1-d_t t1-d_t], [w0-d_w0 w0+d_w0],'m');
plot([t1+d_t t1+d_t], [w0-d_w0 w0+d_w0],'m');
plot([t1-d_t t1+d_t], [w0-d_w0 w0-d_w0],'m');
plot([t1-d_t t1+d_t], [w0+d_w0 w0+d_w0],'m');
title('Batas-batas waktu-frekuensi wavelet Mexican Hat')
xlabel('waktu (detik)')
ylabel('frekuensi (rad/det)')
end
Ket:
Nama file SPI_wavelet_2.m
frekuensi (rad/det)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Batas-batas waktu-frekuensi wavelet Mexican Hat
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
waktu (detik)
1.2 1.4 1.6 1.8
Gambar 5. Batas-batas waktu-frekuensi dari wavelet Mexican Hat untuk berbagai
nilai a (bandingkan dengan yang diperlihatkan pada Gambar 2).