SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT Kuliah 5 – Transformasi Fourier

TKE 2403
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Kuliah 5 – Transformasi Fourier
(Bagian II)
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
2009
1

KULIAH 5
Teori Konvolusi
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
TRANSFORMASI FOURIER
(Bagian II)
Misalkan ada suatu hasil kali dari 2 sinyal, kira-kira seperti apakah
transformasi Fourier-nya?
F
∞
− jω t
[ y1
( t)
y2
( t)]
= ∫ y1(
t)
y2
( t)
e dt
−∞
(86)
Pertama, yi(t) dituliskan sebagai inverse transformasi Fourier dari Yi(ω) sebagai
berikut.
∞
∫
−∞
1
jω
t
yi
( t)
= Yi
( ω)
e dω
(87)
2π
Maka substitusi persamaan (87) ke persamaan (86) menjadi,
F
∞ ∞
∞
α t
jΩ
t
y t y t
Y α e dα
Y e d e
π
π
−∞
−∞ −∞
⎭ ⎬⎫
⎧ 1
⎫⎧
1
1 ( ) 2 ( )] = ∫⎨∫ 1(
) ⎬⎨
∫ ( Ω)
Ω
⎩2
⎭⎩2
j − jω
t
[ 2
Dengan cara mengubah urutan pengintegralan, maka pernyataan di atas dapat
dinyatakan kembali sebagai,
1
2π
∞
∞
⎧ 1
⎨
⎩2π
∫∫ ∫
−∞
−∞
∞
−∞
e
j(
Ω+
α −ω)
t
⎫
dt⎬Y1
( α)
Y
⎭
2
( Ω)
dα
dΩ
Dan suku yang berada di dalam kurung adalah merupakan fungsi delta,
sehingga,
2
dt

atau
∞
∞
1
F[ y ( t)
y2
( t)]
= ∫∫δ(
Ω + α − ω)
Y1
( α)
Y2
( Ω)
dα
dΩ
2π
1 (88)
−∞
−∞
∞ ∞
1 ⎧
⎫
F [ y1(
t)
y2
( t)]
= ∫ ⎨∫δ(
Ω + α − ω)
Y1
( α)
dα
⎬Y2
( Ω)
dΩ
2π
−∞
⎩−∞
⎭
Dan dengan menggunakan sifat proyeksi fungsi delta, persamaan tersebut dapat
ditulis kembali menjadi,
∞
1
F [ y1(
t)
y2
( t)]
= ∫ Y1
( ω − Ω)
Y2
( Ω)
dΩ
2π
−∞
Pernyataan di sebelah kanan tanda sama dengan disebut konvolusi
(convolution) dari dua fungsi Y1(ω) dan Y2(ω) dan sering dituliskan dengan
notasi sebagai berikut.
∞
1
Y 1(
) ∗Y2 ( ω)
= ∫ Y1
( ω − Ω)
Y2
( Ω)
dΩ
2π
−∞
(89)
ω (90)
Hasil yang sama juga diperoleh jika digunakan
∞
1
Y 1(
ω) ∗Y2 ( ω)
= Y1
( α)
Y2
( ω − α)
dα
2π
∫
Persamaan (89) seringkali disebut dengan teori konvolusi.
−∞
Dengan cara analisis yang sejenis, dapat diperlihatkan bahwa
F
−1
[ Y ( ω)
Y ( ω)]
=
1
2
=
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
y ( t −τ
) y ( τ ) dτ
1
y ( τ ) y ( t −τ
) dτ
1
2
3
2
(91)
(92)

Teori Parseval
Misalkan konvolusi dari fungsi Y(ω) dengan dirinya sendiri sebagai berikut.
1
Y(
ω)
∗Y
( ω)
=
2π
=
Jika ω = 0 maka
Dan jika
Maka
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
= F[
y(
t)
y(
t)]
[ y(
t)]
1
2π
∞
∫
−∞
Y(
ω − Ω)
Y(
Ω)
dΩ
2
e
− jωt
dt
2
Y ( −Ω) Y(
Ω)
dΩ
= [ y(
t)]
dt
∞
∫
−∞
∞
∞ ⎛
⎞
− jΩt
− jΩt
Y(
−Ω)
= ∫[
y(
t)]
e dt = ⎜ [ ( )] ⎟
⎜ ∫ y t e dt
⎟
= Y(
Ω)
−∞
⎝ −∞
⎠
1
2π
Atau dinyatakan
∞
∫
−∞
Y(
∞
∗
2
Ω) Y(
Ω)
dΩ
= [ y(
t)]
dt
1
2π
∞
∫
−∞
2
∫
−∞
2
Y(
Ω) dΩ
= [ y(
t)]
dt
Persamaan ini disebut teori Parseval yang menyatakan bahwa jika didefinisikan
daya dari sebuah fungsi z(.) sebagai
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
2
P [ z(.)]
= z(.)
d.
Maka dayanya dipertahankan (preserved) oleh transformasi Fourier.
4
∗
*
(93)
(94)

Pengaruh Ukuran Sampel Berhingga
Dalan kenyataan yang sebenarnya, sinyal tidak pernah diukur dari t = −∞
sampai t = ∞. Apa pengaruhnya pada transformasi Fourier jika hanya mengambil
suatu bagian waktu tertentu saja dari sebuah sinyal?
Dengan menggeser titik asal pada koordinat waktu, dapat diasumsikan
bahwa sinyal diukur dari t = −τ / 2 hingga t = τ / 2. Dengan demikian integral
Fourier-nya menjadi,
X (
τ
2
− jω
t
ω) = x(
t)
e dt
∫
τ
−
2
Atau dapat dinyatakan dengan cara berikut.
∞
− jω t
= ∫ w(
t)
x(
t e dt
−∞
(95)
X ( ω ) )
(96)
Dengan w(t) adalah fungsi jendela (window function), yang dalam hal ini
berbentuk kotak (rectangular). Perhatikan Gambar 34.
Gambar 34. Fungsi jendela kotak
5

Persamaan (96) merupakan transformasi sebuah hasil kali, sehingga
menurut teori konvolusi maka
∞
1
F [ w(
t)
x(
t)]
= ∫ W ( Ω)
X ( ω − Ω)
dΩ
2π
−∞
Pada pembahasan terdahulu telah ditemukan transformasi Fourier untuk fungsi
yang berbentuk seperti pada Gambar 34 yaitu,
Sehingga
(97)
⎛ Ωτ
⎞
sin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
W ( Ω)
=
Ω
2
(98)
Ωτ
( )
∞
1 sin
2 F [ w(
t)
x(
t)]
= ∫ Ω X ( ω − Ω)
dΩ
2π
−∞
Ini merupakan rumus umum, untuk melihat bagaimana pengaruhnya maka
misalkan x(t) adalah gelombang sinus
dengan spektrum
x(t) = sin (αt)
π
X ( ω ) = + α
j
[ δ ( ω − α)
− δ ( ω ) ]
atau secara grafis digambarkan pada Gambar 35.
Persamaan (99) memberikan
Ωτ
( )
∞
1 sin
2 π
F [ w(
t)
x(
t)]
= ∫ Ω
α)
2π
j
−∞
Integral suku yang pertama menghasilkan
2
2
[ δ ( ω − Ω −α
) −δ
( ω − Ω + ] dΩ
6
(99)
(100)

1
2 j
sin
Ωτ
( )
∞
2 π
1
∫ Ω [ δ ( ω − Ω −α
) ] dΩ
=
j
2 j
−∞
2
Integral suku yang kedua menghasilkan
1
2 j
sin
Ωτ
( )
∞
2 π
1
∫ Ω [ δ ( ω − Ω + α)
] dΩ
=
j
2 j
−∞
2
Sehingga hasil akhirnya dapat dinyatakan
( ω −α
) τ
( ω+
α ) τ
( ) sin(
)
1 ⎪⎧
sin
2
2
[ w(
t)
sin( αt)]
= ⎨ −
( ω −α
)
( ω + α )
2 j ⎪⎩ 2
2
⎪⎫
⎬
⎪⎭
sin
sin
( ω−α
) τ ( )
2
( ω−α
)
2
( ω+
α ) τ ( )
2
( ω+
α )
F (101)
Secara grafis persamaan (101) diperlihatkan pada Gambar 36.
Gambar 35. Spektrum fungsi sinus
7
2

magnitude
Gambar 36. Spektrum gelombang sinus dikonvolusikan dengan jendela kotak
Puncak-puncak pada spektrum mempunyai lebar 4π / τ , dan akan semakin lebar
saat τ semakin kecil. Sehingga pengaruh jendela kotak terletak pada lebar
puncak-puncak pada spektrum yang dihasilkan. Saat τ ∞ maka akan diperoleh
karakterisasi frekuensi yang tajam.
Diferensiasi dan Integrasi
•
dx
Misalkan transformasi Fourier sebuah turunan sebagai berikut,
dt
∞
dx − jω t
= ∫ e dt
dt −∞
F[
x(
t)]
(102)
Untuk menyelesaikan persamaan (102) dibutuhkan rumus integrasi bagian per
bagian yaitu:
∫
{ u(
t)
dt}
− { u(
t dt}
dv
u ( t)
v(
t)
dt = v(
t)
∫ ∫∫ ) dt
dt
Dengan menggunakan integral bagian per bagian ini pada persamaan (102) dan
memisalkan
dx
− jω
t
u ( t)
= dan v(
t)
= e maka diperoleh
dt
8

•
F[
x(
t)]
=
=
=
∞
∫
−∞
dx
dt
e
− jω
t
− jω
t [ e x(
t)
]
dt
∞
−∞
−
x(
t)(
− jω)
e
− jω
t ∞ [ e x(
t)
] + ( jω)
X ( ω)
−∞
∞
∫
−∞
− jω
t
dt
(103)
Catatan : Sebuah sinyal x(t) akan mempunyai transformasi Fourier jika sinyal
tersebut mempunyai daya yang besarnya berhingga, yaitu
∞
∫
−∞
2
x(
t)
dt = C < ∞
(104)
Jika x(t) adalah fungsi sinus maka sinyal sinus merupakan sinyal yang dayanya
tak berhingga, namun di pembahasan yang lalu diketahui bahwa transformasi
Fourier-nya adalah fungsi delta (yang merupakan fungsi yang sebenarnya bukan
fungsi). Dengan demikian maka suku pertama pada persamaan (103) akan
menjadi nol sehingga,
∞
= ∫
−∞
• dx − jω
t
F[
x(
t)]
e dt = ( jω)
X ( ω)
dt
(105)
Dari persamaan (105) diketahui bahwa diferensiasi atau penurunan pada domain
waktu ekivalen atau sama dengan perkalian dengan faktor jω dalam domain
frekuensi. Dalam hal ini juga berlaku bahwa,
Misalkan,
F[
x
( n)
n ⎡⎛
d x ⎞⎤
n
( t]
= F ⎢ ⎜ = ( jω)
X ( ω)
n ⎥
⎣ dt
⎟
(106)
⎝ ⎠⎦
t
∫ ∞
−
z( t)
= x(
τ ) dτ
•
sedemikian sehingga z ( t)
= x(
t)
, maka ini berarti bahwa dari persamaan (105),
9

Atau
•
t ⎡ ⎤
F( z)
= X ( ω ) = ( jω)
F[
z(
t)]
= ( jω)
F ⎢ ∫ x(
τ ) dτ
⎥
⎣−∞
⎦
⎡
F ⎢
⎣
t
∫
−∞
⎤ X ( ω)
x(
τ ) dτ
⎥ =
⎦ jω
(107)
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa integrasi dalam domain waktu
ekivalen dengan pembagian oleh jω dalam domain frekuensi.
Tanggapan Frekuensi dan Tanggapan Impuls
• •
Tinjau sistem berikut,
m y c y + k y =
+ •
x(t)
(108)
Persamaan di atas dicirikan dalam domain waktu oleh fungsi diferensial orde dua
yang bergantung pada x(t) – menjadikannya cukup sulit untuk diselesaikan.
Bagaimana jika diselesaikan dalam domain frekuensi?
Dengan mengambil transformasi Fourier pada kedua sisi pada persamaan
(108) maka diperoleh,
⎡
⎤
F
⎢
m y + c y + k y
⎥
= F[
x(t)
⎣
⎦
• • •
] (109)
Transformasi Fourier merupakan operator linier yaitu memiliki sifat yang
dinyatakan pada persamaan berikut.
F[
ax ( t)
+ bx ( t)]
= aF[
x ( t)]
+ bF[
x ( t)]
1
2
1
1
= aX ( ω) + bX ( ω)
Aplikasi persamaan (110) pada persamaan (109) menghasilkan
••
• ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
mF
⎢
y
⎥
+ c F
⎢
y
⎥
+ k F =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
[ y]
F[
x(t)
]
10
2
(110)
(111)

Dan dengan menggunakan persamaan (106) diperoleh
atau
Jika didefinisikan
maka diperoleh
m (jω) 2 Y(ω) + c (jω) Y(ω) + k Y(ω) = X(ω)
(−m ω 2 + j c ω + k) Y(ω) = X(ω) (112)
1
H ( ω) =
(113)
2
− mω
+ jcω
+ k
Y(ω) = H(ω) X(ω) (114)
Fungsi H(ω) sering disebut dengan istilah tanggapan frekuensi atau frequency
response.
Misalkan dicari inverse transformasi Fourier dari persamaan (114), maka
diperoleh
dalam hal ini
∞
∫
−∞
y ( t)
= h(
τ ) x(
t −τ
) dt
[ H(
ω)
]
Apakah h(t) mempunyai arti yang penting?
(115)
−1
h(
t)
= F
(116)
Misalkan x(t) = δ(t) maka dari persamaan (115),
∞
= ∫
−∞
y ( t)
h(
τ ) δ ( t − τ ) dt = h(
t)
Maka dengan demikian h(t) adalah penyelesaian dari
• •
m h c h + k h = δ (t)
+ •
(117)
Fungsi h(t) sering disebut dengan istilah tanggapan impuls atau impulse
response.
11

Misalkan bahwa x(t) = e jωt , maka substitusi pada persamaan (115)
menghasilkan
y(
t)
=
=
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
= e
h(
τ ) x(
t −τ
) dt
h(
τ ) e
∞
jω
t
∫
−∞
= H ( ω)
e
jω
( t−τ
)
h(
τ ) e
jω
t
dt
jωτ
dt
(118)
Dengan demikian jika x(t) merupakan suatu fungsi harmonik e jωt , maka
keluarannya adalah e jωt dikalikan dengan tanggapan frekuensinya.
12