1. Materialen Erresistentziaren Oinarrizko Printzipioak

INGENIERITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALEN SAILA 

© 2005 V. BADIOLA 

1. Materialen 

Erresistentziaren 

Oinarrizko 

Printzipioak 

1.1. OREKA ESTATIKOA 

Gorputzari kanpoko zenbait indar eta momentu aplikatuta, pausagunean 

edo mugimendu uniformearekin dirau. Hori gertatzen den baldintzari oreka 

estatikoa deritza. 

F 3 

M 1 

M 2 

F 1 

F 2 

∑ 

∑ 

F = 0 

1.2. EBAKIDURAREN PRINTZIPIOA 

M = 0 

(1) 

Orekan dagoen gorputzari edozein sekziotik ebakidura egiten bazaio, 

oraindik kanpoko indarrak eta momentuak pairatzen ditu. Orekan egoten 

jarraitzeko, sekzio ebakian indarren erresultantea eta momentuen erresultantea 

jarri beharko dugu. R eta M erabiliz adieraziko ditugu. Aipatu sekzioan tentsio 

batzuk (area-unitateko indarrak) eta R eta M erresultanteak ematen dituzte. Indar 

horiek barrukoak izan arren, sistema guztia kontuan hartuta, kanpokoak dira 

azpisistemaren gainean aplikatzen direnean. Solido librearen diagrama deritzo 

azpisistema isolatuari horren gainean jarduten duten kanpoko indarrak eta sistema 

guztiarekin elkarrekintzan egotearen ondorioz sortutako indar erresultanteak 

kontuan hartuta. 

MAKINAK DISEINATZEA I -5-



F 1 

F 2 

F 3 

M 

R 

M 2 F 2 

M 1 M 1 

Ebaki-sekzio bakoitzaren barruan kanpokoak orekatzeko esfortzuak eta 

momentuak izango dira. Honako esfortzu-motak aurkituko ditugu: 

z 

M z 

T 1 

T 2 

N 

M y 

M x 

x 

y 

• N sekzioarekiko esfortzu elkarzutak (trakzioa edo konpresioa) 

• Esfortzuak T sekzioan (ebakidura) 

• Momentuak 

1. z ardatzean Mz, flexioa 

2. y ardatzean My, flexioa 

3. x ardatzean Mx, tortsioa 

1.3. TENTSIO UNITARIOAREN KONTZEPTUA. ESFORTZUAREN 

OSAGAIAK 

Irudiko barra F N trakzio-esfortzua pairatzen ari da. Barra ardatzarekiko BB 

sekzio elkarzutaren arabera moztuz gero, ebakiaren sekzioaren gainean (A c area 

duena) diharduten tentsioen erresultantea F N izango da. Azalera guztian F N modu 

uniformean banatzen dela suposatuta, azalera-unitateko indarraren kontzeptua 

(σ a ) sar daiteke eta honakoa izango da: 




F 

N 

σ 

a 

= 

(2) 

A 

c 

1. irudia – Trakzio-esfortzuak jasotzen dituen barra 

(2) ekuaziotik abiatuta, tentsio unitarioaren kontzeptua definitzen da: 

σ = 

∆F 

N 

lim = 

∆r→0 

∆A 

c 

dF 

dA 

N 

c 

(3) 

Gorputzaren bi aldeen artean gauzatzen den area unitateko esfortzua, 

puntu baten inguruan tamaina infinitesimaleko BB azaleraren bidez idealki 

BB plano zehatza zatitu ostean. 

Tentsio unitarioa puntu bati eta plano bati (BB) dagokio. Indarra denez, 

tentsio unitarioa bektore bat da, beraz, oro har, 3 osagai kontuan hartuko ditugu: 

bat normala eta bi planoan kokatuak –tentsio normala eta tentsio tangentzialak– 

eta izendatzeko, hurrenez hurren, σ eta ح erabiltzen dira. 

Konbenioz, tentsioa identifikatzeko bi azpiindize erabiliko dira: lehenengoak 

tentsioa aplikatzen den planoa identifikatzen du (plano horrekiko normalari 

dagokio); bigarrenak, berriz, tentsioaren norabidea adierazten du (2. irudia). 

2. irudia – Notazio-hitzarmena tentsioentzat 




Konbentzio klasikoaren arabera, σ xx , σ yy eta σ zz esfortzu normalak 

positiboak dira elementuaren kanpoalderantz bideratuta baldin badaude (trakzioa). 

ح 

xy , ح yz , ح xz , ح zx , ح yx eta ح zy alde positiboetan diharduten esfortzu ebakitzaileak positiboak dira, erreferentzia-ardatzarekiko norabide positiboan egiten badira. 

Aurkezten den elementua oreka estatikoan dagoenez, elementuaren alde 

negatiboek kontrako norabidean diharduten esfortzu ebakitzaileak izango dituzte. 

Hala eta guztiz ere, positibotzat jotzen dira ere. 

Bestalde, elementuan indar-oreka planteatuz, tentsioen tentsorearen 

simetria ondoriozta daiteke: 

τ 

xy 

= τ yx 

τ 

xz 

= τ zx 

τ 

zy 

= τ yz 

Egin dezagun froga bi dimentsioko kasuan: 

Kontuan har dezagun elementua oreka estatikoan dagoela: 

∑ M A 

= 0 

τ 

( dydz) dx − τ ⋅( dxdz) dy 0 

xy 

⋅ 

yx 

= 

τ 

yx 

= τ xy 

1.4. ERRESISTENTZIAREN HIPOTESIAK 

□ Lehenengo hipotesia: elastikotasun perfektua. Elastikotasuna 

materialaren propietatea da eta zama kendu ostean, materialari jatorrizko itxura 

eta dimentsioak berreskuratzen ahalbidetzen dio. Elastikotasun perfektuan Hooken 

Legea betetzen da. Aipatu legeak tentsioen eta deformazioen artean 

proportzionaltasuna ezartzen du. E (Elastikotasunaren Modulua edo Youngen 

Modulua) da proportzionaltasunaren konstantea. 

σ = E ⋅ ε 

Material elastikoak ez du halabeharrez Hookeren Legea betetzen. Dena 

delakoa, lege hori betetzen duen material oro elastikoa da. 

Altzairuaren kasuan, E=210Gpa; kobrearen kasuan, E=105Gpa; eta 

aluminioaren kasuan, E=70Gpa. 




Lo luzera duen piezak trakzio-indarra jasanez gero, δ luzatuko da. Luzapen 

horri deformazioa deritza. Deformazio unitarioa luzera-unitateko deformazioa da: 

δ 

ε = 

Esperimentalki froga daiteke materialak trakzioa pairatzen duenean, 

deformazio axiala izateaz gainera, alboko uzkurdura gertatzen dela. Poissonek 

frogatu zuen deformazio horiek elastikotasun perfektuaren tartean proportzionalak 

zirela. ν da proportzionaltasunaren konstantea eta Poissonen Modulua deritza. 

Metalen kasuan balioa 0,3 da. 

lateral 

υ = − 

axial 

Ebakidura-tentsioetarako elastikotasun perfektuan proportzionaltasuna dago 

ح 

tentsioen eta γ deformazioaren angeluarraren artean: τ = G ⋅ γ 

E 

G 2 

G: Elastikotasunaren Modulua Ebakiduran 

L o 

= 

( 1+ υ ) 

□ Bigarren hipotesia: homogeneotasuna. Pieza guztiek hedadura osoan 

propietate berdinak dituzte. 

□ Hirugarren hipotesia: isotropia. Norabide guztietan pieza guztiek 

propietate berdinak dituzte. 

1.5. ESFORTZUAK 

1.5.1. TRAKZIOA 

Elementu baten gainean bi indar berdin baina kontrako noranzkoan jardun 

direnean eta materiala luzatzeko joera dutenean ageri da. Trakzioa besterik ez 

izateko, esfortzua sekzioaren grabitate-zentroan kokatu behar da. 

Tentsioak ebakiaren noranzkoan aztertzen dira. x distantzian esfortzuarekiko 

sekzio elkarzutean ebakita gainerakotik bereiziz gero, P esfortzuak σ tentsioak 

emango ditu. Demagun tentsioak uniformeak direla, hau da, sekzioaren puntu 

guztietan berdinak: 

P 

P 

x 

P 

σ 




3. irudia – Habea TRAKZIOAREKIN 

∫ σ ⋅ dA = σ ⋅ A = P , beraz 

P 

σ = (4) 

A 

Konbenioz trakzioa positibotzat jotzen da. 

Deformazioak hurrengo adierazpenetatik abiatuta ondorioztatzen dira: 

σ = E ⋅ε (5) 

δ 

ε = 

(6) 

1.5.2. KONPRESIOA 

Ondorioz, σ = 

P 

A 

L o 

= E⋅ 

δ 

L o 

P ⋅L 

→ δ = o 

(7) 

E⋅ 

A 

Pieza batean gainean bi indar berdin baina kontrako noranzkoan jardun 

direnean eta materiala txikiagotzeko joera dutenean ageri da. 

Demagun trakziorako azaldutako hipotesi eta garapen bera egiten dela, 

honakoa izan ezik: zeinuen konbenioz konpresioari balio negatiboa emango zaio. 

P σ = ( − ) (8) 

A 

P ⋅L 

δ = o ( − ) (9) 

E⋅ 

A 

1.5.3. FLEXIO PURUA 

Sekzio ebakian bakarrik flexioaren unean agertzen dira kanpoko esfortzu edo 

momentu batzuk eta horien ondorioz sortzen da flexio purua. 

Hurrengo lan-hipotesiak kontuan hartuko ditugu: 

• Jatorriz habea zuzena da eta habearen luzeran zeharkako sekzio 

konstantea ageri da. 

• Habearen flexio-planoan habeak simetri ardatza du. 

• Habearen proportzioengatik gilbordurarengatik eta abarrengatik baino 

lehenago flexioarengatik huts egiten du. 

• Deformazioaren ostean, zeharkako sekzioek lauak diraute 

Elementu diferentziala hartzen dugun habe deformatua kontuan har dezagun: 




4. irudia – Habea FLEXIO PURUAN 

Aurreko irudiari erreparatuz gero, habearen gainean M flexio-momentu 

positiboak dihardu. Y ardatza habearen simetri ardatza da. X ardatza habearen 

zuntz neutroarekin bat dator eta sekzio guztien ardatz neutroak (Z ardatzarekiko 

paraleloak) dituen XZ planoari “azalera neutroa” deritza. Azalera horren gainean 

dauden habearen elementuek deformazio nulua dute. 

M momentua aplikatzean habea kurbatu egiten da. Hala, AB sekzioak (jatorriz 

CDkiko paraleloa, habea zuzena baitzen) dΦ biratuko du A´B´ posizioraino. AB 

eta A´B´ trazuak zuzenak dira; beraz, flexioan sekzio lauek hala diraute eta 

hipotesia egiaztatzen da. ρ habearen ardatz neutroaren kurbaduraren erradioa 

bada, ds aipatu ardatzaren elementu diferentzialaren luzera bada eta dΦ CD eta 

A´B´ lerroen arteko angelua izanik, honakoa lortzen da: 

1 dφ 

= 

(10) 

ρ ds 

Ardatz neutrotik distantzia jakinean bereizitako zuntzaren luzera-aldaketa 

hurrengoa da: 

dx = −y 

⋅ dφ 

(11) 

Deformazioa aurkitzeko luzera-aldaketa hasierako luzerarekin zatitu beharko 

dugu: 

dx 

ε = 

(12) 

ds 

Eta (11) eta (12) adierazpenak ordezkatuz: 

y 

ε = − 

ρ 

Hala, deformazioa distantziarekiko proportzionala da eta ardatz neutrotik. 

Dena delakoa, σ = E · ε denez, honakoa lortzen da: 

E ⋅ y 

σ = − (14) 

ρ 

dA areako elementuaren gainean diharduen indarra σ · dA da eta elementua 

orekan dagoenez, indarren baturak nulua izan behar du. Ondorioz, 

(13) 




E 

∫ σ ⋅ dA = − y ⋅ dA = 0 

ρ ∫ 

(15) 

A 

A 

Aurreko ekuazioak sekzioaren ardatz neutroaren kokapena zehazten du. 

Bestalde, orekak eskatzen du σ esfortzuak eragindako barneko flexio- 

-momentua M kanpoko momentuaren berdina izatea. Hau da, 

E 2 E 

M = 

∫ 

y ⋅ σ ⋅ dA = y ⋅ dA = ⋅I 

ρ ∫ 

(16) 

ρ 

A 

I: zeharkako arearen inertzi momentua z ardatzarekiko (I z ). 

Aurreko ekuaziotik hurrengoa ateratzen da: 

M 

= 1 (17) 

EI ρ 

Azkenik, (14) adierazpenetik ρ askatuz eta (17) adierazpenean ordezkatuz 

hurrengoa lortzen da: 

M ⋅ y 

σ = − (18) 

I 

Aurreko ekuazioari erreparatuz, tentsioa ardatz neutrotik distantziarekiko 

zuzenean proportzionala da, baita M flexio-momentuarekiko ere. 

Compresión: konpresioa 

Eje neutro: ardatz neutroa 

Tensión: tentsioa 

A 

5. irudia –Tentsioen banaketa FLEXIO PURUAN 

c zuntz neutroaren gehieneko distantzia izanez gero, 

I 

w = , modulu erresistentea (19) 

c 

M ⋅ c M 

σ 

max 

= = (20) 

I w 

Deflexioa flexioarengatik 

(17) adierazpenaren bidez flexioan M flexio-momentua eta habearen 

kurbadura harremanetan jarri dira eta adierazpen hori garatu da. 

Azterketa matematikoetatik abiatuta, plano kurboaren kurbadura honako hau 

da: 

2 

d y 

1 

2 

dx 

= 

ρ 

2 

⎡ 

1 

dy 

⎢ + ⎜ 

⎛ 

dx 

⎟ 

⎞ 

⎣ ⎝ ⎠ 

3 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

/ 2 

(21) 




Adierazpen horretan, habearen malda edozein x puntutan hurrengo moduan 

adierazten da: 

dy 

θ = 

(22) 

dx 

Flexioen ariketa askotan, aldapa oso txikia denean, (21) adierazpenaren 

izendatzailea unitatetzat jo daiteke. Ondorioz, adierazpena hurrengo moduan 

idazten da: 

1 = 

d 

ρ 

2 

y 

dx 

Eta (17) adierazpena (23) adierazpenean ordezkatzen, honakoa lortzen da: 

2 

d y 

dx 

2 

2 

(23) 

M 

= (24) 

EI 

Adierazpen horri elastikoaren ekuazioa flexioan deritza. 

Y ardatza bertikalaren noranzko negatiboan doala kontuan hartzen denean, 

aurreko adierazpena hurrengo moduan idazten da: 

2 

d y 

dx 

2 

M 

= − (25) 

EI 

1.5.4. FLEXIO SINPLEA: EBAKIDURA ETA FLEXIOA 

Sekzio baten gainean nekea da. Aipatu sekzioan esfortzu ebakitzailea eta 

flexio-momentua konbinatzen dira. 

Flexio sinplearen adibideak honako hauek dira: 

⌦ 

Habe kargatuak zamak aldakorki banatuekin: 

( ) 

q (x) 

T M 

L 

x 

R 1 R 2 

➨ R 1 

⌦ Habe kargatuak zamak konstanteki banatuekin: 




q (x)=q 

T 

M 

L 

x 

R 1 R 2 

➨ 

R 1 = R 2 =q·L/2 

R 

M = 

L 

q 

2 

x − q 

x 

2 

x = q ⋅ 

x 

2 

⋅ 

( L − x) 

L L 

T = q ⋅ 

x 

2 ⎝ 2 

⎛ ⎞ 

( L − x) − q = q ⋅ ⎜ − ⎟ 

⎠ 

Alde positiboa: X ardatza aldetik ateratzen dena. Zeinuen hitzarmena 

momentu eta esfortzu ebakitzaileentzat. 

6. irudia – zeinuen konbentzioa flexioan eta ebakiduran 

Harremana dago esfortzu ebakitzaileen eta flexio-momentuen artean. 

Habea orekan dagoenez, hurrengoa frogatzen da: 

dT 

∑F v = 0 → −T 

+ T + dT + q ⋅ dx = 0 → = −q 

(26) 

dx 




dx 

dM 

M A = T (27) 

2 

dx 

∑ 0 → −( M + dM) + q ⋅ dx ⋅ + M + ( T + dT) 

⋅ dx = 0 → = 

Garapenetik honako hauek ondoriozta daitezke: 

■ Esfortzu ebakitzailea izanez gero, flexio-momentua aldatzen da. 

■ q=0 den puntuetan T esfortzu ebakitzailearen gehieneko edo gutxieneko 

balioa gertatzen da. 

■ T=0 den puntuetan M flexio-momentuaren gehieneko edo gutxieneko 

balioa gertatzen da. 




1.5.5. EBAKIDURA 

Esfortzu ebakitzailearen edo ebakidura-esfortzuen ondorioz ebakidura- 

-tentsioak agertzen dira sekzioaren barruan. 

Ebakidura-tentsioek hurrengo ezaugarriak dituzte: 

■ Ez dute bolumena aldatzen, bakarrik deformazio angeluarra eragiten 

dute. Angelu deformatuaren eta tentsioaren arteko proportzionaltasuna 

elastikotasunaren moduluak ebakiduran edo G ebakidura-moduluak 

E 

zehazten du: G‏=ح · γ non G = . 2 1+ υ 

( ) 

■ Binaka berdinak dira eta puntu berean elkartzen dira. 

Planoan: 

dx 

τ yx 

γ 

x 

dy 

τ xy 

τ xy 

Deformazio angeluarrari γ deritza. 

y 

τ yx 

Ebakidura-tentsioak habeetan kalkulatzea. Esfortzu tangentzial 

horizontala. 

Habe gehienek ebakidura-indarrak eta flexio-momentuak dituzte. Bakarrik 

batzuetan aurki ditzakegu flexio purua jasaten duten habeak. 

Flexioaren formula flexio purua onartuz garatzen da. Izan ere, hipotesi hori 

ebakidura-tentsioen ondorio zailak deuseztatzeko hautatu da. Ingeniaritzan 

flexioaren formula baliagarria da, alde batera utzita ebakidura-indarrak. Horregatik 

(18) ekuazioa erabiliko dugu ebakidura-indarrak ageri direnean. 

Demagun habeak ebakidura-indarrak eta flexio-momentuak jasaten dituela. 

Kontuan har dezagun habearen dx elementua. Suposa dezagun sekzioa 

arbitrarioa dela. Sekzioa ebakitzeko plano horizontala marrazten da eta, gainera, 

XY planoarekiko paraleloa da. Bereizi eta goiko aldearekin geldituko gara. 




y 

T+dT 

T 

x 

M+dM 

M 

z 

dx 

I 

N+dN 

N 

dR 

e 

dx 

■ T: esfortzu ebakitzailea 

7. irudia – Habearen elementua ebakiduran 

■ dR: esfortzu tangentzial horizontala, piezari emandako ebakiaren plano 

horizontalean dagoena. 

■ N: tentsioak flexioarengatik 

■ I z : inertzi momentua sekzio guztian 

■ S I : I. arearen momentu estatikoa 

■ Y: zuntz neutroaren distantzia 

Flexioarengatik tentsioak sortzen dira dA puntuetan. Horien ondorioz N 

esfortzua sortuko da alde batean eta N+dN kontrako aldean. Elementua orekan 

egoteko, plano horizontalean dR esfortzua beharrezkoa da eta esfortzu tangentzial 

horizontala jarriko diogu izena. 

I 

N − ( N + dN) + dR = 0 (28) 

( M + dM) ⋅ y ( M + dM) ( M + dM) 

N + dN = ∫ ⋅ dA = 

y ⋅ dA = 

I 

I 

∫ 

z 

z 

( M + dM) 

N + dN = ⋅S 

I 

(29) 

I 

z 

M y M 

M 

N = ⋅ 

∫ σ⋅ dA = ∫ ⋅ dA = y ⋅ dA = ⋅S 

I 

I 

I 

I z 

I 

∫ 

z 

I 

I 

z 

M 

N = ⋅ S 

I 

(30) 

I 

z 

I 

I 

z 

⋅ S 

I 




(28) adierazpenean (29) eta (30) adierazpenak ordezkatuta, hurrengoa 

lortzen da: 

dM 

dR = ⋅ SI 

(31) 

I 

Elastikotasunaren ekuaziotik hurrengo formula ondorioztatzen da: 

Formula 

, eta beraz: 

T ⋅ SI dR = ⋅ dx (32) 

I 

z 

z 

(32) adierazpenari esfortzu tangentzial horizontalaren formula deritza. 

dR lortu ostean, ebakidura-tentsioak ondoriozta daitezke. Horretarako, 

sekzioaren zabalera guztian uniformeki banatzen direla onartu behar da. 

8. irudia – Habearen elementua ebakiduran 

dR 

T ⋅ S ⋅ dx 

T ⋅ S 

I 

I 

τ xy = = = 

(33) 

e ⋅ dx e ⋅ dx ⋅Iz 

e ⋅Iz 

Tentsio uniformearen hipotesia bakarrik baliagarria da sekzio meheko eta 

irekiko piezetan. Ebakidura-tentsioek piezaren kanpoko itxuraren norabidea 

daramatela kontuan hartu behar da. 

Adibidea: ebakidura-tentsioak habe angeluzuzenetan kalkulatzea 

Deformazioak esfortzu ebakitzaileengatik 

Flexioak gezi izeneko deformazioak sortzen ditu eta elastikotasunaren bidez 

kalkulatzen dira. 




Esfortzu ebakitzaileek geziak sortzen dituzte ere. Kalkulatzeko habean 

eragindako deformazio-lana bider ebakiduran energia elastikoaren esfortzu 

ebakitzailearekin berdintzen da. 

Demagun hurrengo habe kargatua dugula: 

Habearen xerra bat hartzen da esfortzu ebakitzaileak sortutako 

mugimendua aztertzeko. 

A 

dx 

γ 

B 

B’ 

T 

x 

y 

Grabitate-zentroa Btik B´ra mugitzen da eta mugimendu hori dy deritza 

(BB´=dy). Hala, honakoa frogatzen da: 

dute: 

dy 

γ = 

(34) 

dx 

Esfortzu ebakitzaileak piezaren kontra hurrengo lana egiten du: 

1 1 

dW = ⋅ T ⋅ dy = ⋅ T ⋅ γ ⋅ dx 

2 2 

Deformazio-energia luzera-unitateko honako hau da: 

2 

1 T 

U = ⋅ 

2 G ⋅ℵ 

ebakiduran. sekzio baliokidea ‏:ﭏ 

Hala, dx elementuak xurgatutako energia elastikoa honako hau da: 

1 T 

dU = ⋅ ⋅ dx 

2 G ⋅ℵ 

Egindako lanak eta esfortzuaren energia elastikoak berdinak izan behar 

1 

1 T 

dW = ⋅ T ⋅ γ ⋅ dx = dU = ⋅ ⋅ dx 

2 

2 G ⋅ℵ 

Ondorioz, esfortzu ebakitzailearen ondorioz elastikotasunaren ekuazioa 

honako hau da: 

dy T 

= (35) 

dx ℵ⋅ G 

Adierazpen horri C 1 integrazio-konstantea erantsi behar zaio: 

2 

2 




dy 

dx 

T 

= + C 1 (36) 

ℵ⋅ G 

Sekzio baliokidea ebakiduran honako hau da: 

5 

■ A areako sekzio angeluzuzena: ℵ = A 

6 

A 

■ A areako sekzio zirkularra: ℵ = 

1.185 

■ 

1.5.6. TORTSIOA 

Orokorrean: ℵ = 

∫ 

∫ 

2 

z 

I 

S 

2 

I 

e 

⋅ dy 

⋅ dy 

Elementu mekaniko baten ardatz geometrikoa duen edozein bektore 

lerrokideri bihurdura deritza. 

Kontuan har ditzagun hurrengo hipotesiak: 

■ Zilindroaren gainean bihurdura puruak (bihurdura-momentu bera 

edozein sekziotan) dihardu eta aztertutako zeharkako sekzioak sekzioaldaketatik 

urrun daude, baita kargaren aplikazio-puntutik urrun ere. 

■ Bihurdura aplikatu baino lehen zeharkako sekzio laua eta paraleloak 

tortsioaren ondoren berdin diraute eta lerro zuzenek zuzenak diraute. 

■ Hookeren legea betetzen da. 

Demagun zilindro landatua dugula eta bihurdura-momentua jasaten ari dela. 

X ardatzaren ρ distantziara dagoen dx elementuaren gainean bihurdurak γ 

deformazio angeluarra eragiten du eta, beraz, ‏.‏G·γ‏=ح 

9. irudia –Barra zirkularra BIHURDURAN 

Bestalde, erregimen elastiko lineala onartuta, deformazioak txikiak dira eta, 

beraz: 

ρ ⋅ θ 

tan() 

γ = γ = 

(37) 

L 

Eta adierazpen hori elastikotasun perfektuaren ekuazioan ordezkatuz: 




ρ ⋅ θ 

τ = G ⋅ (38) 

L 

Zilindroaren edozein sekzio hartuta: 

dT = ρ ⋅ dF = ρ ⋅ τ ⋅ dA (39) 

Eta integratuta, 

T = ρ ⋅ θ θ 

∫ ρ ⋅ dF = ∫ ρ ⋅ τ ⋅ dA = ρ ⋅ G ⋅ ⋅ dA = G ⋅ ρ 

A ∫A 

L 

L 

∫ A 

A 

(40) 

2 

θ 

⋅ dA = G ⋅ ⋅I 

L 

p 

I p : inertziaren momentu polarra. 

Biraketa-angelua bakanduz: 

T ⋅L 

θ = 

(41) 

G ⋅ 

I p 

Beraz, (38) adierazpena hurrengo moduan idazten da: 

T ⋅ρ 

τ = 

(42) 

I p 

Nolanahi ere, honako ondorioak atera daitezke: 

■ Θ gehieneko biraketa-angelua (41. ekuazioa) zilindroaren muturrean 

gertatzen da eta sekzio landatuan biraketa-angelua nulua da 

(landatzearen definizioa). 

■ Gehieneko ebakiduran tentsioa zilindroaren periferian gertatzen da, ρ=R, 

‏.‏‎0)=0‎‏)ح beraz (formula). Zilindroaren ardatzean, ρ=0, beraz 

Ip: inertziaren momentu polarra: 

4 

π⋅ D 

■ Sekzio trinkoetan: Ip 

= 

32 

4 

π ⋅ Dext 

− D 

Ip 

= 

32 

4 

( 

int 

) 

■ Sekzio hutsetan: 

Barrak zirkularrak ez badira, zaila da tortsioa kalkulatzea, beraz, elementu 

finituen metodoa erabiltzen da. w zabalerako eta t lodierako sekzio 

angeluzuzenean –dimentsiorik motzena kontuan hartzen da– gehieneko 




ebakiduran tentsioa kalkulatzeko gutxi gorabeherako formula erabiltzen da 

eta ondorengoa da: 

Bihurdura-momentua kalkulatzea 

T ⎛ t ⎞ 

τmax = ⋅ ⎜3 

+ 1.8 ⋅ ⎟ (43) 

w ⋅ t ⎝ w ⎠ 

Potentzia transmititzen duten elementu birakariek tortsioa jasaten dute. 

Potencia = Par ⋅ ϖ 

H 

giro 

rad 

⎢ 

⎣ s 

⎡ ⎤ 

[ W] = T[ N·m ] ⋅ n ⎥ ⎦ 

2π ⋅ T Lb·in 

H[ hp] 

= 

33.000 ⋅12 

[ ] ⋅ n[ rpm] T[ Lb·in] ⋅ n[ rpm] 

= 

[ ] ⋅ V[ ft / min] 

63.000 

F Lb 

H[ hp] 

= 

33.000 

Aurreko adierazpenetan F elementuaren periferian aplikatutako indarra da; 

V, berriz, abiadura periferikoa da. 

1.6. HABEETAN DEFORMAZIOAK KALKULATZEA 

1.6.1. ELASTIKOTASUNAREN EKUAZIOA GARATZEA. INTEGRAZIO- 

-PROZEDURA. 

Elastikotasunaren ekuaziotik abiatzen da eta integrazioaren bidez (dy/dx) 

angeluak eta geziak (y) lortzen dira. (25) adierazpena. 

2 

M d y − = 

2 

EI dx 

Metodo hori ezin daiteke kasu guztietan aplika edo ez da kasu guztietan 

gomendagarria. Adibidez: sekzioa aldakorra denean edo xren arabera flexio- 

-momentuaren adierazpena aldakorra denean. 

1.6.3. MOHRREN TEOREMAK DEFORMAZIOENTZAT, GEZIENTZAT ETA 

ANGELUENTZAT PUNTU ZEHATZETAN 

Lehenengo teorema: biraketen metodoa. 

M dφ 

M 

− = → dφ 

= − ⋅ dx (44) 

EI dx EI 

denez, aurreko ekuazioa A eta B puntuen artean integratuz, 




φ 

B 

− φ 

A 

= 

B 

∫ 

A 

− 

M 

⋅ dx 

EI 

(45) 

Bi puntuen angeluen arteko diferentzia edo bi puntuen arteko guztizko 

biraketa bi puntu horien artean funtzioak jasotzen duen arearen berdina da. Hau 

da, flexio-momentuaren kurbaren azpian gelditzen den area zati EI, A eta B 

puntuen artean eta zeinu negatiboarekin. 

Bigarren teorema: geziak eta deformazioak kalkulatzea 

Teorema honen bidez A puntuko tangentearekiko B puntuan gezia 

kalkulatzen da eta gezi horri y B/A deituko diogu. 

B 

M 

y B / A = xB 

⋅∫ 

− ⋅ dx (46) 

EI 

X B : A eta B momentuen arearen grabitate-zentrotik B puntura distantzia da. 

y B/A positiboa izanez gero, beherantz da eta balio negatiboa Bko tangentetik 

gorantz neurtzen da. 

A 

9. irudia – Mohrren Bigarren Teorema 

Adibideak: habe landatua eta zama mutur batean; habe landatua eta 

momentua mutur batean; habea bi aldetatik eutsia eta momentua mutur 

batean. 

1.6.4. GASTIGLIANOREN METODOA 

Metodo hau flexioarengatik izandako deformazioak eta geziak lortzeko 

erabilgarria da, baita ariketa hiperestatikoak ebazteko ere. 

Metodoaren arabera, mugimendua esfortzuaren norabidean esfortzuarekiko 

guztizko energia elastikoaren deribatu partzialaren berdina da. 

∂U 

ξ F = 

(47) 

∂F 

Energia elastikoa barne-esfortzuek (trakzioa, konpresioa, flexioa, tortsioa…) 

sortutako lanaren ondorioa da. 




Energia elastikoa trakzioan eta konpresioan: 

1 1 P P 

dU = ⋅ σ ⋅ δ = ⋅ ⋅ ⋅ A ⋅ dx (48) 

2 2 A EA 

1 P 

U = 

∫ 

⋅ ⋅ dx 

2 EA 

s 

2 

1 M 

Energia elastikoa flexioan: U = 

∫ 

⋅ 

2 EI 

1 1 M 

dU = ⋅M⋅ 

dφ 

= ⋅M⋅ 

⋅ dx (49) 

2 2 EI 

s 

2 

⋅ dx 

Energia elastikoa ebakiduran: 

1 1 Q 

dU = ⋅ Q ⋅ dγ 

= ⋅ Q ⋅ ⋅ dx (50) 

2 2 Gℵ 

1 Q 

U = 

∫ 

⋅ ⋅ dx 

2 Gℵ 

1 T 

Energia elastikoa tortsioan: U = 

∫ 

⋅ 

2 GI 

1 1 T 

dU = ⋅ T ⋅ dθ 

= ⋅ T ⋅ ⋅ dx (51) 

2 2 GI 

p 

s 

Hori guztia kontuan hartuta, energia elastikoaren ekuazio orokorra honako 

hau da: 

2 

2 

2 

2 

1 P 1 M 1 Q 1 T 

U = ∫ 

⋅ ⋅ dx + dx 

dx 

dx 

2 EA ∫ 

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 

2 EI ∫ ∫ 

(52) 

2 Gℵ 

2 GI 

s 

s 

s 

s 

2 

p 

2 

⋅ dx 

Eta, beraz, Castiglianoren ekuazio orokorra hurrengoa da: 

∂U 

1 ∂P 

1 ∂M 

1 ∂Q 

1 

ξ y = = P ⋅ ⋅ dx + M ⋅ ⋅ dx + Q ⋅ ⋅ dx + 

∂y 

EA ∫ ∂y 

EI∫ 

∂y 

Gℵ∫ 

∂y 

GI 

(53) 

s 

s 

s 

s 

p 

p 

∫ 

s 

∂T 

T ⋅ ⋅ dx 

∂y 

Halaber, metodo honen bidez habearen puntuetan geziak edo deformazioak 

kalkula daitezke, bertan kargak aplikatua ez badaude. Horretarako, deformazioa 

kalkulatu nahi den puntuan fikziozko indarra jartzen da. 

⌦ Imajina dezagun A puntuan gezia kalkulatu nahi dugula: 

P 

F 

A 

F fikziozko indarra A puntuan jartzen da. 

Guztizko flexio-momentua egiazko kargen eta F karga birtualaren ondorioz 

sortzen da. 

I II 

M = M + F ⋅M 

(54) 

f 

f 

• M I f : egiazko kargen ondorioz flexio-momentua 

• M II f : fikziozko karga unitarioaren ondorioz flexio-momentua 




Hala, 

∂U 

1 ∂M 

ξ y = y A = = M⋅ 

⋅ dx 

∂F 

EI ∫ (55) 

∂F 

s 

Ondorioz, 

1 I II ∂M 

ξ y = y A = ( Mf 

+ F ⋅Mf 

) ⋅ ⋅ dx 

EI ∫ (56) 

∂F 

s 

F=0 eta ∂M/∂F= M II f denez, I sekzioan konstantea dela onartzen da, beraz: 

Gainjartzearen printzipioa 

1 I II 

ξ y = y A = Mf 

⋅Mf 

⋅ dx 

EI ∫ (57) 

s 

Sekzio batean trakzioa, tortsioa… dagoenean, sekzio horretan tentsioen 

guztizko efektua banan-banakako efektuen batura da. 

1.6.5. HABE KONJOKATUAREN METODOA 

Hainbat formularen artean parekotasun matematikoa erabiltzen saiatzen da. 

Egiazko habea flexio-momentuetako diagrama zati EIrekin kargatzean datza. 

Habe konjokatu honetan esfortzu ebakitzaileak egiazko habearen 

biraketekin bat datoz; flexio-momentuak, berriz, egiazko habearen geziekin edo 

deformazioekin bat datoz. 

Adibidea: bi puntuz eutsitako habea muturrean momentuarekin. 

1.7. ESTATIKOKI ZEHAZTU GABEKO ARAZOAK 

Kanpoko erreakzioen edo indarren kopurua estatikak planteatzen dituen 

ekuazioetakoa baino handiagoa da. 

Arazo-mota horiek ebazteko bi metodo daude: 

• Bateragarritasun geometrikoa: sistemaren desplazamendu bateragarria 

planteatzean datza. 

• Castiglianoren metodoa: ondorengoan datza: erreakzio erredundantea 

kanpoko indar modura kontuan hartzean eta Castiglianoren bidez 

erreakzio erredundanteak mugatzen duen askatasunaren maila 

kalkulatzean. Aipatu askatasun-maila nulua izango da, beraz, ekuazio 

bat lortzen da ezezagun bakarrarekin (erreakzio erredundantea). 

1.8. SEKZIOEN EZAUGARRIAK 

1.8.1. GRABITATE-ZENTROA. LEHENENGO MAILAKO MOMENTU 

ESTATIKOA 

y 

dA 

x 

MAKINAK DISEINATZEA I y -25- 

x



Edozein sekzioren grabitate-zentroa definitzeko x eta y koordenadak 

erabiltzen dira. Ildo horri jarraiki, hurrengo baldintzak betetzen dira: 

∫ 

A 

∫ 

A 

( y − y) 

dA = 0 

( x − x) dA = 0 

Hori grabitate-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko arearen momentu 

estatikoa da. 

Aurreko adierazpenetatik hurrengoa ondoriozta daiteke: 

∫ ydA 

∫ xdA 

A 

A 

y = (58) y x = (59) 

A 

A 

Arearen momentu estatikoa zero denean, ardatza sekzioaren grabitate- 

-ardatzetik pasatzen da, aurreko adierazpenetan area nulua ez denez, 

ordenatuaren balioak zero izan behar baitu. 

Adibidea: T itxurako habean grabitate-zentroa kalkulatzea 

1.8.2. INERTZI MOMENTUA. BIGARREN MAILAKO MOMENTU ESTATIKOA 

Distantzien karratua bider areak batuta definitzen da. 

Puntuarekiko inertzi momentua hurrengoa da: 

2 

I = r ⋅ dA (60) 

A 

o 

∫ 

Ardatzarekiko inertzi momentua honako hau da: 

2 

I = y ⋅ dA 

(61) 

A 

xx 

∫ 

∫ 

2 

I = x ⋅ dA (62) 

A 

yy 

Hurrengoa frogatzen da: 

I = I + I (63) 

o 

xx 

yy 

y 

x 

dA 

r 

y 

O 

x 

Grabitate-zentrotik pasatzen ez den ardatzarekiko inertzi momentua 

kalkulatzeko, Steinerren Teorema planteatzen da: 

I 

2 

= Icg 

+ A ⋅ d (64) 

Adibidea: U itxurako habean inertzi momentua kalkulatzea. 

1.9. TENTSIOEN EGOERA LAUA 




Izan bedi honako elemento 

diferentziala esfortzu egoera lauean (XY 

planoan), ondoko irudian ikusten den 

bezela. 

Honakoa ondorioztatzen da: 

σ z = τ xz = τ yz = 0 (65) 10. irudia – elementua esfortzu lauan 

Eta, beraz: τ zx = τ zy = 0 

Demagun (σ x , σ y , ح xy ) ezagunak direla eta (σ x1 , σ y1 , ح x1y1 ) kalkulatu nahi 

direla. (X 1 , y 1 ) ardatzak (x,y)tik abiatuta lortzen dira θ biratu ostean (11. irudian 

azaldutako noranzkoan). 

11. irudia – Elementuak esfortzu lauan 

(σ x , σ y , ح xy ) eta (σ x1 , σ y1 , ح x1y1 ) harremanetan jartzeko 12. irudira jotzea 

erabilgarria da. Irudi horri esker, falkaren gainean jarduten duten esfortzuak zehatz 

daitezke. 

12. irudia – falka moduan elementuak esfortzu lauan (esfortzuak eta 

indarrak) 

Elementu horren oreka aztertzean, hurrengo erlazioak ondorioztatzen dira: 

σx 

+ σy 

σx 

− σy 

σx 1 

= + cos2θ + τxy 

sen2θ 

(66) 

2 2 




σx 

+ σy 

σx 

− σy 

σy 1 

= − cos2θ − τxy 

sen2θ 

(67) 

2 2 

σx 

− σy 

τx y 

= − sen2θ + τxy 

cos2θ 

(68) 

1 1 

2 

Honakoa betetzen da: σ x1 + σ y1 = σ x + σ y 

Esfortzu lauaren kasurik orokorrenetan esfortzuak oso sinpleak dira eta 

baldintza berezietan gertatzen dira 13. irudiko eskeman agertzen den bezala. 

13. irudia – Tentsio lauaren kasu bereziak (biaxiala, uniaxiala, ebakitzaile purua) 

1.9.1. ESFORTZU NAGUSIAK ETA GEHIENEZKO ESFORTZU 

EBAKITZAILEAK 

Tentsioen egoera laua suposatuz eta, beraz, aurreko adierazpenak erabiliz, 

gehienezko σ x1 balioa kalkulatu nahi da. Zeren: 

σx 

+ σy 

σx 

− σy 

σx 1 

= + cos2θ + τxy 

sen2θ 

(69) 

2 2 

Gehienezkoa aurreko adierazpena deribatuz lortuko da: 

dσ 

x 1 

= 0 = −( 

σ 

x 

− σ 

y 

) sen 2θ + 2τ 

xy 

cos 2θ 

(70) 

dθ 

Askatuz θ p angelua lortzen da eta (71) ekuazioa betetzen du. 

2τxy 

tg( 2θ p 

) = 

(71) 

σ − σ 

x 

y 

θ p angeluak bi balio desberdin izango ditu eta (71) ekuazioa beteko dute. 

90º-ko diferentzia izango dute euren artean. θ p angeluak definitzen dituen ardatzei 

dagozkien esfortzuen balioei esfortzu (edo tentsio) nagusiak deituko diegu eta, 

beraz, elkarren artean elkarzut diren planoetan gertatuko dira. σ 1 eta σ 2 tentsio 

nagusien balioak θ p eta (θ p +90º)ren , hurrenez hurren, (69) ekuazioan ordezkatuz 

lor daitezke. 

σx 

+ σy 

⎛ σx 

− σy 

⎞ 2 

σ 

1 

= + 

+ τxy 

2 

⎜ 

2 

⎟ 

(72) 

⎝ ⎠ 

2 




σx 

+ σy 

⎛ σx 

− σy 

⎞ 2 

σ 

2 

= − 

+ τxy 

2 

⎜ 

2 

⎟ 

(73) 

⎝ ⎠ 

2 

Esfortzu ebakitzailea eskuratzen duen (68) ekuazioa orain kontuan hartuta: 

τ 

xy 

σ 

=− 

x 

1 1 

2 

− σ 

y 

sen2θ + τ cos 2θ 

(74) 

p xy p 

Ekuazio horretatik hurrengoa ondoriozta daiteke: (71) ekuazioak eskaintzen 

duen tg(2 θ p )ren balioa (74) ekuazioan ordezkatuz, ح x1y1 =0. Beraz, plano nagusien 

gainean esfortzu ebakitzaileak nuluak dira. 

σ x1 -ekin egin den modu berean, orain ح x1y1 -ren balioa gehienezkoa den θ- 

ren balioa kalkulatuko dugu. Gogoratu: 

σx 

− σy 

τ =− sen2θ+ τ cos 2θ 

(75) 

xy 

1 1 

2 

Deribatuz eta deribatua zeroarekin berdinduz, 

dτ 

xy 1 1 

= 0 = −( σx − σy)cos 2θ+ 

2τxysen2θ 

(76) 

dθ 

xy 

Askatuz θ s angelua lortzen da eta (77) ekuazioa betetzen du. 

σ 

x 

− σ 

y 

tg( 2θ s 

) = − 

(77) 

2τ 

xy 

Halaber, (77) ekuazioak θ s angeluaren bi balio eskaintzen ditu, elkarren 

artean 90º-ko desberdintasunarekin. θ s eta θ p erkatuz, hurrengo erlazioa lortzen 

da: 

− 1 

tg( 2θ s 

) = ⇒θ 

s 

= θp 

± 45° 

(78) 

tg 2θ 

( ) 

p 

(78) ekuaziotik gehienezko esfortzu ebakitzailearen planoak plano 

nagusiekiko 45º orientatuta daudela ondoriozta daiteke. 

(77) eta (74) ekuazioetatik abiatuta orain θ = θ s rentzat ح max kalkulatuz gero, 

hurrengo adierazpena lortzen da: 

⎛ σ 

x 

− σ 

y ⎞ 

2 

τ ⎟ 

max 

= ⎜ 

+ τ 

xy 

2 

(79) 

⎝ ⎠ 

2 

Eta σ 1 eta σ 2 nahiz (72) eta (73) adierazpenak gogoratuz: 

σ1 

− σ 

2 

τ 

max 

= 

(80) 

2 




1.9.2. MOHRREN ZIRKULUA 

σ x1 eta ح x1y1 σ x , σ y eta ح xy -ren arabera lortzen dira. Jada ezagunak ditugun 

ekuazio horietatik abiatuta: 

σ 

x 

+ σ 

y 

σ 

x 

− σ 

y 

σ 

x 1 

= + cos 2θ + τ 

xy 

sen 2θ 

2 2 

σ 

x 

− σ 

y 

τ 

x y 

= − sen 2θ + τ 

xy 

cos 2θ 

1 1 

2 

Aurreko bi ekuazioak berriz antola daitezke ber bi eginaz eta batuz honako 

adierazpena lortzeko: (σ x1 , ح x1y1 ) balioak θ aldatzen denean, zirkulua eratzen dute 

eta (σ x , ح xy -) ardatz batzuetan: 

• Zentrotzat hurrengo puntua du: 

• Hurrengo erradioa du: 

⎛ σ 

⎜ 

⎝ 

x 

− σ 

2 

Beraz, (σ x , σ y , ح xy ) ezagututa Mohrren zirkulua izeneko marrazkia (14. 

irudia) erabilgarria da. Bertan norabide nagusiak, tentsio nagusiak eta tentsioak 

bestelako edozein planotan ezagut ditzakegu modu xume eta grafikoan. 

Mohrren zirkulua egiteko erabiltzen den zeinuen konbentzioa hurrengoa da: 

esfortzu ebakitzaile positiboak ordulariaren orratzen biraketa-noranzkoarekin bat 

daudenak dira. Ondorioz, aipatu irudian ح yx positiboa da eta ح xy negatiboa. 

Esfortzu normalek konbentzio-irizpide klasikoari jarraitzen diote. 

Mohrren zirkulua hurrengoak kontuan hartuta egiten da: 

- θ = 0 ⇒ σ x1 = σ x τ x1y1 = τ xy 

- θ = 90º ⇒ σ y1 = σ y τ x1y1 = -τ xy 

Zirkuluan esfortzu normalak abszisetan irudikatzen dira; esfortzu 

ebakitzaileak, berriz, ordenatuetan. 

Esfortzu normal positiboak (trakzioa) O jatorriaren eskuinaldean adierazten 

dira eta negatiboak (konpresioa) O jatorriaren ezkerraldean. 

Esfortzu ebakitzaile positiboak (ordulariaren noranzkoa) ordenatu 

positiboetan marrazten dira eta esfortzu ebakitzaile negatiboak (ordulariaren 

kontrako noranzkoa) ordenatu negatiboetan marrazten dira. 

⎛ σ 

⎜ 

⎝ 

y 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

x 

+ σ 

2 

+ τ 

y 

2 

xy 

⎞ 

,0⎟ 

⎠ 




14. irudia – Mohrren zirkulua esfortzu lauarentzat 




Tentsio lauaren kasuan izan daitezkeen tentsio-egoera desberdinak 

kontuan hartzea komeni da: 

• 1. kasua: σ 1 > σ 2 > 0. Ebakiduraren gehieneko tentsioa honako hau da: 

σ1 

τ 

max 

= 

2 

• 2. kasua: 0 > σ 1 > σ 2 . Ebakiduraren gehieneko tentsioa honako hau da: 

σ2 

τ 

max 

= 

2 

• 3. kasua: σ 1 >0, σ 2 < 0. Ebakiduraren gehieneko tentsioa honako hau 

σ1 

− σ2 

da: τ 

max 

= 

2 

Aurreko garapenaren erabilgarritasuna hurrengo adibidean ikus daiteke. 

Demagun deformazio unitateak neurketa-elementuren batekin zehazteko gai 

izatea eta puntu jakinean materialak jasaten dituen tentsioak, baita norabide 

nagusiak eta tentsioak beste edozein norabidetan ere zehaztu nahi ditugula. 

Zenbat neurketa-elementu beharko lirateke? 

Suposa dezagun O puntuaren inguruan hiru 

elementu (A, B, C) (ikusi 15. irudia) eta ausaz 

hautatutako (x,y) erreferentziak jartzen direla. 

Orain (x 1 , y 1 ) ardatzak hartuz gero, deformazio 

lauturako eraldatze-ekuazioak hartuko ditugu eta θ=45º 

izango da. 

15. irudia – Erreferentzi ardatzen egoera (ε x = ε a eta ε y = ε c ) 

Tentsioentzat Mohrren zirkulua lortu den bezala, deformazioentzat ere 

antzeko garapena egin daiteke. Ildo horri jarraiki, 45º-ko deformazioarentzat 

hurrengo adierazpena plantea daiteke: 

ε 

a 

+ ε 

c 

ε 

a 

− ε γ 

c 

xy 

ε 

x 1 

= ε 

b 

= + cos 90º + sen 90º (81) 

2 2 

2 

Askatuz hurrengoa lortzen da: 

γ 

xy 

= 2ε 

b 

− ε 

a 

− ε 

c (82) 

Modu horretan, ε x , ε y , γ xy , lortuta, σ x , σ y eta ح xy aurki daitezke eta, ondoren, 

Moren zirkuluaren laguntzaz, tentsio nagusiak, norabide nagusiak eta tentsioak 

beste edozein ardatzaren arabera. 

Deformazio angeluarra aurkitzeko Mohrren zirkuluaren erlazioak erabiltzea 

beharrezkoa izan da. Errealitatean, deformazioak neurtzeko piezaren gainazalean 

itsatsitako tentsio-galgak erabiltzen dira. Pieza horren gainean neurtuko da 

deformazio puntuala. Neurketa-elementu horietan erresistentziaren aldaketa 

erlatiboa hari eroalean hori deformatzen denean, galga faktorearen bidez 




deformazioarekiko proportzionala da. Elementuek bakarrik deformazio linealak 

neurtzen dituzte, angeluarrak ez. Beraz, elementuaren tentsio-deformazio egoerak 

oso-osorik karakterizatzeko Mohrren zirkuluaren erlazioak erabili behar dira. 

1.10. ESFORTZU TRIAXIALAREN EGOERA 

Tentsio biaxialen egoerarako ikusitakoa orokortu egiten da. Esfortzu 

nagusiak ekuazio kubikoaren hiru erroak kalkulatzean lortzen dira: 

3 

2 

σ − σ + σ + σ ⋅ σ + 

( 

x 

y 

z 

) 

2 

2 

2 

( σ 

x 

σ 

y 

+ σ 

x 

σ 

z 

+ σ 

y 

σ 

z 

− τ 

xy 

− τ 

yz 

− τ 

zx 

) ⋅ σ − 

2 

2 

2 

( σ σ σ + 2τ 

τ τ − σ τ − σ τ − σ τ ) = 0 

x 

y 

z 

xy 

yz 

zx 

x 

yz 

y 

Esfortzu triaxialean Mohrren zirkuluak marraztean esfortzu nagusiak 

ordenatu egiten dira eta hurrengoa betetzen da: σ 1 > σ 2 > σ 3 . Kokapen arbitrarioko 

planoarentzat σ N , ح N esfortzuaren koordenatuak hurrengo irudiaren ilunean 

aurkituko dira: 

xz 

z 

yx 

da. 

16. irudia – 3D Mohrren zirkulua 

Esfortzu ebakitzaile nagusiak honako hauek dira: 

σ1 

− σ2 

τ 

1 / 2 

= 

(83) 

2 

σ2 

− σ3 

τ 

2 / 3 

= 

(84) 

2 

σ1 

− σ3 

τ 

1 / 3 

= 

(85) 

2 

Ildo horri jarraiki, σ 1 > σ 2 > σ 3 kasuan, gehieneko esfortzu ebakitzailea 

ح 1/3 1.11 ESFORTZU OKTAEDRIKOAK 

Demagun esfortzu-elementua dugula eta esfortzu nagusiak σ 1 , σ 2 , σ 3 direla. 

Elementu hori mozteko orduan, planoak angelu berdinak sortu behar ditu hiru 

esfortzu nagusiekin. Plano horri plano oktaedrikoa deritza. Aipatu planoan σ,ح-k 

esfortzu normal oktaedrikoa eta esfortzu ebakitzaile oktaedrikoa izena dute. 




17. irudia – Esfortzu Oktaedrikoak 

2 

2 

2 

2 

2 

( τ + τ + τ ) ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) 

2 ⋅ 

1 / 2 2 / 3 1 / 3 

1 2 

2 3 

3 1 

τ 

oct = 

= 

= 

3 

3 

(86) 

= 

2 

2 

2 

2 2 2 

( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + 6 ⋅ ( τ + τ + τ ) 

x 

y 

y 

( σ + σ + σ ) ( σx 

+ σy 

+ σz 

) 

z 

1 2 3 

σ 

oct 

= 

= 

(87) 

3 

3 

z 

3 

x 

xy 

xz 

yz 

2 




1.12. TENTSIOA-DEFORMAZIOA ERLAZIOA 

1.12.1. TENTSIO LAUA 

Suposa dezagun materialaren deformazioaren eta tentsioaren artean 

erlazio lineala dagoela. Adierazpenik errazena Hookeren Legea da. Horrek 

Youngen moduluaren (E) bidez tentsioa eta deformazioa erlazionatzen ditu. 

Esfortzu lauaren kasua (18. irudia) 

kontuan hartuz gero, x norabidearen arabera 

deformazio unitarioa –ε x – hurrengoek eragiten 

dute: σ x -k σ x /E kantitatean eta σ y -k –νσ y /E 

(Poissonen efektua) kantitatean. Beraz: 

1 

εx = ( σx −νσy) 

(88) 

E 

Eta (88) moduko adierazpenak aurki daitezke 

ε y eta ε z -ren kasuetan. 

18. irudia – Esfortzu laua, biaxiala 

Halaber, esfortzu ebakitzaileak elementuaren distortsio diferentziala 

eragiten du, γ xy deformazio angeluarraren moduan. ح xy -rekin G ebakidura- 

-moduluaren bidez erlazionatuta dago. Beraz, tentsioa/deformazioa erlazioak 

tentsio lauaren kasuan hurrengo moduan adieraz daiteke: 

1 

εx = ( σx −νσy) 

(89) 

E 

Edo: 

( ) 

1 

ε = σ −νσ 

E 

ε 

γ 

σ 

σ 

τ 

y y x 

( σ ) 

(90) 

ν 

=− σ + (91) 

E 

z x y 

xy 

τ 

= (92) 

xy 

G 

( ε νε ) 

E 

= + 

− 

2 

(93) 

1 ν 

x x y 

( ε νε ) 

E 

= 

− 

2 

1 ν 

+ 

(94) 

= Gγ 

(95) 

y y x 

xy 

xy 




1.12.2. OROKORTZEA 

Esfortzu-mota Deformazio nagusiak Esfortzu nagusiak 

Uniaxiala 

σ1 

ε1 

= 

σ1 

= E ⋅ ε1 

E 

σ2 

= 0 

ε2 

= −υ⋅ ε1 

σ3 

= 0 

ε = −υ⋅ ε 

Biaxiala 

Triaxiala 

ε 

ε 

ε 

1 

ε 

ε 

1 

2 

3 

3 

σ1 

σ2 

= − υ⋅ 

E E 

σ2 

σ1 

= − υ ⋅ 

E E 

σ1 

σ2 

= −υ ⋅ − υ⋅ 

E E 

1 

ε E ⋅ ( ε + υ⋅ ε ) 

2 

3 

σ1 

σ2 

σ3 

= − υ⋅ − υ ⋅ 

E E E 

σ2 

σ1 

σ3 

= − υ ⋅ − υ⋅ 

E E E 

σ3 

σ1 

σ2 

= − υ ⋅ − υ⋅ 

E E E 

1 

2 

3 

1 

σ1 

= 

2 

1− υ 

E ⋅ 

2 

σ2 

= 

2 

1− υ 

σ = 0 

3 

E ⋅ ε1 

⋅ 

σ = 

E ⋅ ε2 

⋅ 

σ = 

E ⋅ ε3 

⋅ 

σ = 

2 

( ε + υ⋅ ε ) 

( 1− υ) + υ ⋅ E ⋅ ( ε + ε ) 

1− υ − 2υ 

( 1− υ) + υ ⋅ E ⋅ ( ε + ε ) 

( 1− υ) + υ ⋅ E ⋅ ( ε + ε ) 

2 

1− υ − 2υ 

1− υ − 2υ 

2 

2 

1 

2 

1 

1 

3 

3 

2

1. Materialen Erresistentziaren Oinarrizko Printzipioak

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?