Modul Statistika 1.pdf - iLab - Universitas Gunadarma
Modul Statistika 1.pdf - iLab - Universitas Gunadarma
Modul Statistika 1.pdf - iLab - Universitas Gunadarma
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
LAB MANAJEMEN DASAR<br />
MODUL STATISTIKA 1<br />
Nama :<br />
NPM :<br />
Kelas :<br />
Fakultas Ekonomi<br />
<strong>Universitas</strong> <strong>Gunadarma</strong><br />
Kelapa Dua<br />
1
UKURAN STATISTIK<br />
Pendahuluan<br />
Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan<br />
menyebar. Di dalam ukuran statistik ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu : ukuran pusat data,<br />
ukuran variabilitas data dan ukuran bentuk distribusi data. Ukuran pusat data yang banyak digunakan<br />
untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median dan modus.<br />
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau variasi atau<br />
keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan<br />
standar deviasi.<br />
UKURAN PEMUSATAN<br />
1. MEAN (rata-rata hitung)<br />
Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan<br />
banyaknya (jumlah) data. Jumlah data untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang<br />
disimbolkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbolkan<br />
dengan N.<br />
Untuk rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dihitung dengan menggunakan rumus<br />
berikut :<br />
Rata-rata (X¯) = ∑(Xi) / N<br />
Dimana : Xi = nilai dari observasi yang ke-i<br />
N = banyaknya observasi ukuran sample.<br />
2. MEDIAN<br />
Median adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian<br />
yang sama besar.<br />
Letak median = (n+1)/2<br />
Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi empat<br />
bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3.<br />
Nilai kuartil 2 suatu gugus data sama dengan nilai median tersebut.<br />
3. MODUS<br />
Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi.<br />
UKURAN PENYEBARAN<br />
1. Jangkauan (range)<br />
Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai<br />
minimum.<br />
2. Variansi<br />
Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap<br />
rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s 2 . sedangkan untuk populasi<br />
dilambangkan dengan σ 2<br />
Variansi (s) 2 = [∑(Xi-X)] / (n-1)<br />
3. Standar Deviasi<br />
Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut<br />
simpangan baku.<br />
2
Contoh :<br />
Diketahui data umur pegawai PT DOFI yaitu 19 40 38 31 42 20 27 22 37 42<br />
Untuk mencari nilai-nilai ukuran statistik data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah<br />
langkah-langkah berikut :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah umur, lalu tekan tombol OK.<br />
3. Masukkan data umur pegawai PT. DOFI. Jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan<br />
menekan RGui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam<br />
pengisian data tekan tombol Close.<br />
Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double click pada variable<br />
yang ingin di setting<br />
3
4. Untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol View data set maka akan<br />
muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Jika ada data yang salah, tekan tombol edit data<br />
set, lalu perbaiki data yang salah.<br />
5. Jika data sudah benar, pilih menu Statistic, Summaries, Active data set.<br />
4
6. Akan muncul tampilan :<br />
Maka kita bisa mengetahui bahwa dari data umur pegawai PT. DOFI, memiliki nilai :<br />
Minimum : 19.00<br />
Kuartil 1 : 23.25<br />
Median : 34.00<br />
Mean : 31.80<br />
Kuartil 3 : 39.50<br />
Maximum : 42.00<br />
5
Untuk mengetahui standar deviasi, lakukan langkah berikut :<br />
1. Tekan Statistic, Summaries, Numerical Summeries.<br />
2. Maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini, kemudian tekan tombol OK.<br />
Mean sd 0% 25% 50% 75% 100% n<br />
31.80 9.2111 19 23.25 34.00 39.50 42 10<br />
6
Dari tampilan ini, anda bisa mendapatkan tambahan informasi numeric, yaitu standar deviasi :<br />
9.2111. Perhatikan perbandingan tampilan pertama dan kedua. Terlihat bahwa nilai minimum<br />
pada tampilan pertama sama dengan nilai kuartil 0% pada tampilan kedua. Nilai median sama<br />
dengan quartile 50% dan seterusnya. Nilai n menunjukkan banyaknya data.<br />
Untuk melihat bentuk histogram dari data umur pegawai PT DOFI, lakukan langkah berikut :<br />
1. Tekan R Commander, Graphs, Histogram kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih Frequency Counts, OK.<br />
3. Akan terlihat bahwa kelas modus adalah antara 40-42 dengan frekuensi 3. Jika histogram tidak<br />
aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di Taskbar windows pada bagian bawah layar<br />
monitor.<br />
7
Untuk membersihkan script window pada R Commander, lakukan langkah berikut :<br />
1. Letakkan kursor pada script window<br />
2. Kilik Kanan<br />
3. Klik kiri pada clear window<br />
Untuk membersihkan output window pada R commander, lakukan langkah berikut :<br />
1. Letakkan kursor pada output window<br />
2. Kilik kanan<br />
3. Klik kiri pada clear window<br />
8
Untuk melakukan perhitungan, misalnya mencari nilai :<br />
Jangkauan (r) = nilai maksimum–nilai minimum, maka lakukan langkah sebagai berikut :<br />
1. Aktifkan R Commander kemudian tuliskan pada script window, misalkan a=26. lalu tekan tombol<br />
submit<br />
2. Tuliskan pada script window, misalkan b=19. lalu tekan tombol submit<br />
3. Tuliskan pada script window, c=a-b. lalu tekan tombol submit<br />
4. Tuliskan pada script window, c lalu tekan tombol submit<br />
5. Maka hasilnya akan muncul pada output window<br />
9
DISTRIBUSI BINOMIAL<br />
Pendahuluan<br />
Distribusi binomial merupakan suatu proses distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila<br />
suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah<br />
suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali.<br />
Misalnya :<br />
Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap pelemparan uang logam<br />
tersebut hanya mungkin muncul sisi gambar atau angka saja.<br />
Dalam pengambilan kartu yang dilakukan secara berturut-turut, kemungkinan yang muncul hanya<br />
kartu merah atau kartu hitam saja.<br />
Dari contoh di atas dapat diberikan suatu label “berhasil” untuk sisi gambar dan label “gagal” untuk<br />
sisi angka ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan pengambilan kartu, kita dapat memberi label<br />
“berhasil” untuk pengambilan kartu warna merah dan label “gagal” untuk pengambilan kartu warna<br />
hitam ataupun sebaliknya. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal<br />
setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½.<br />
Sebenarnya ada sedikit persamaan antara distribusi binomial dengan distribusi poisson. Keduanya<br />
berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada. Namun ada<br />
beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut yaitu:<br />
Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai<br />
peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05<br />
Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20)<br />
dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤ 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan<br />
0.05)<br />
Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial antara lain :<br />
a. Percobaan diulang sebanyak n kali<br />
b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas<br />
Misal :<br />
“berhasil” atau “gagal”<br />
“ya” atau “tidak”<br />
“success” atau “failed”<br />
c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap,<br />
dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 - p<br />
d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x<br />
e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.<br />
Catatan<br />
Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu<br />
harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “sukses<br />
atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “gagal”. Perlu diingat<br />
bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa<br />
dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang<br />
menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.<br />
Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :<br />
Kurang dari disimbolkan dengan <<br />
Lebih dari disimbolkan dengan ><br />
Paling banyak disimbolkan dengan ≤<br />
10
Paling sedikit disimbolkan dengan ≥<br />
Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ≤<br />
Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ≥<br />
Tujuan Praktikum Binomial<br />
Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam<br />
mempelajari dan memahami bagaimana cara mencari nilai probabilitas (kemungkinan) dari suatu<br />
kejadian binomial (kejadian dengan jumlah sampel < 20 dan nilai peluang berhasil > 0.05) dengan<br />
menggunakan program R.<br />
Rumus umum binomial<br />
b (x;n,p) = C x n p x q n-x<br />
Keterangan :<br />
n = banyaknya kejadian berulang<br />
x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x<br />
p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q<br />
q = peluang gagal dimana q = 1 - p<br />
Langkah-langkah mengoperasikan program R untuk distribusi binomial :<br />
a. Apabila diketahui x = …<br />
Tekan R Commander<br />
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window atau dbinom (x,n,p), maka<br />
tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.<br />
kemudian tekan Submit<br />
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.<br />
b. Apabila diketahui nilai …≤…x…≤……<br />
Atau nilai x = sampai …<br />
Tekan R Commander<br />
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window adalah sum (dbinom<br />
(x,n,p)),maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.<br />
kemudian tekan Submit<br />
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.<br />
c. Apabila diketahui kata-kata paling banyak … atau x ≤<br />
Tekan R Commander<br />
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail<br />
probabilities.<br />
Input variabel value (s) = nilai x<br />
Contoh :<br />
Paling banyak 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.<br />
Maka nilai x ≤ 5, jadi input var value (s) =5<br />
Input binomial trial = nilai n<br />
Input probability of success = (nilai p)<br />
Lalu pilih lower tail (karena ditanyakan probabilitas paling banyak )<br />
Tekan ok<br />
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.<br />
d. Apabila diketahui kata-kata paling sedikit … atau x≥<br />
Tekan R Commander<br />
11
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail<br />
probabilities<br />
Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah paling sedikit, maka x ≥ atau x >….<br />
Contoh :<br />
Paling sedikit 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.<br />
Maka nilai x ≥ 5 atau x > 4<br />
Input variabel value (s) = 4<br />
Input binomial trial s = nilai n<br />
Input probability of success = (nilai p)<br />
lalu pilih upper tail (karena yamg ditanyakan probabilitas paling sedikit atau lebih dari ).<br />
Tekan ok<br />
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.<br />
KASUS<br />
Berdasarkan data BPS mengenai warga yang menerima BLT, 40 % warga miskin menyatakan<br />
menerima BLT dan sisanya tidak menerima BLT. Apabila ditanyakan pada 5 orang warga miskin di<br />
Indonesia, berapakah probabilitas:<br />
a. Paling sedikit 4 orang diantaranya menerima BLT<br />
b. 3 orang diantaranya menerima BLT<br />
c. Paling banyak 2 orang tidak menerima BLT<br />
d. Ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT<br />
JAWAB<br />
a. x ≥ 4 atau x > 3<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop,<br />
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail<br />
probabilities<br />
3. Masukkan variabel value (s) = 3, input binomial trial = 5, input probabilities of success =<br />
0.4 serta pilih upper tail kemudian tekan tombol OK<br />
12
4. Maka nilai probabilitas paling sedikit 4 orang menerima BLT adalah 0.08704 atau jika<br />
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 87.04%<br />
b. X = 3<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop,<br />
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah dbinom (x,n,p), , maka<br />
tuliskan pada script window dbinom (3,5,0.4) kemudian tekan tombol Submit<br />
3. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika<br />
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %<br />
13
Atau<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop,<br />
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial<br />
probabilities<br />
3. Isi nilai n pada kotak binomial trials = 5 , kemudian input probabilities of success dengan nilai<br />
probabilitas berhasil ( probabilities of success = 0.4 ) kemudian tekan tombol OK<br />
4. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika<br />
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %<br />
14
c. x ≤ 2<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop,<br />
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail<br />
probabilities.<br />
3. Input nilai variabel value (s) = 2, input binomial trial = 5, input probabilities of success =<br />
0.6 (karena yang ditanyakan yang tidak menerima BLT), kemudian pilih lower tail (karena<br />
yang ditanyakan paling banyak ) dan tekan tombol OK<br />
4. Maka nilai probabilitas paling banyak 2 orang tidak menerima BLT adalah 0.31744 atau jika<br />
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 31.744 %<br />
15
d. 2 ≤ x ≤ 4<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop,<br />
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom (x,n,p)), ,<br />
maka tuliskan pada script window sum(dbinom (2:4 ,5,0.6))<br />
3. Tekan submit<br />
4. Maka output window muncul probabilitas ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT<br />
adalah 0.8352 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 83.52<br />
16
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK<br />
PENDAHULUAN<br />
Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari populasi<br />
dengan kejadian-kejadian terbatas, proses Bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan<br />
secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian-kejadian yang diambil dari populasi. Jika<br />
pengambilan sampling tanpa pengembalian digunakan dalam situasi sebaliknya dan memenuhi syarat<br />
proses Bernouli, distribusi hipergeomentrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat.<br />
RUMUS DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK<br />
P (X | N, X T , n) = ( N-XT C n-X.XT C X ) / N C n<br />
Ket : X = Jumlah sukses dalam sampel, untuk X = 0,1,2,3, .....n<br />
(nilai yang ditanyakan dalam probabilitas)<br />
N = Jumlah kejadian dalam populasi<br />
X T = Jumlah sukses dalam populasi<br />
n = Jumlah kejadian dalam sampel<br />
Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa<br />
pengembalian menimbulkan efek teradap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk<br />
mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat<br />
n ≤ 0,05 N. Banyaknya keberhasilan X dalam suatu percobaan hipergeometrik disebut peubah acak<br />
hipergeometrik.<br />
Percobaan hipergeometrik bercirikan dua sifat berikut:<br />
1. Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N.<br />
2. n dari N benda diklasifiksikan sebagai berhasil dan N – n benda diklasifikasikan sebagai gagal.<br />
CONTOH SOAL<br />
Dari enam kontraktor jalan, tiga diantaranya telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih. Jika<br />
empat kontraktor dipanggil secara random dari enam kontraktor tersebut, berapakah probabilitas<br />
bahwa dua kontraktor telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih ?<br />
Penyelesaian<br />
Diketahui : X = 2, N = 6, X T = 3, n = 4<br />
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi Hipergeometrik, dapat digunakan program R. Langkahlangkahnya<br />
sebagai berikut :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian pilih menu Distributions, Discrete distributions,<br />
Hypergeometrik distribution, Hypergeometrik probabilities<br />
17
2. Masukkan nilai m (the number of white balls in the urn – jumlah sukses dalam populasi = nilai X T<br />
dalam soal) = 3<br />
Masukkan nilai n (the number of black balls in the urn - jumlah gagal dalam populasi atau = lawan<br />
dari nilai m) = 3<br />
Masukkan nilai k (the number of balls drawn from the urn - Jumlah kejadian dalam sampel ) = 4,<br />
karena banyaknya nilai yang diambil dari percobaan adalah 4, kemudian tekan tombol OK<br />
3. Maka akan tampil seperti berikut :<br />
4. Karena yang ditanya adalah nilai X = 2, maka lihat output Pr yang 2, yaitu 0,6.<br />
18
DISTRIBUSI POISSON<br />
Pendahuluan<br />
Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini<br />
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan<br />
seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang<br />
binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.<br />
Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya :<br />
probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini<br />
digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.<br />
Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial<br />
Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas<br />
probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan<br />
probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah<br />
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau<br />
kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan<br />
rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan<br />
rumus sebagai berikut<br />
P ( x ; µ ) = (e – µ . µ X ) / X !<br />
Dimana : e = 2.71828<br />
µ = rata – rata keberhasilan = n . p<br />
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel<br />
n = Jumlah / ukuran populasi<br />
p = probabilitas kelas sukses<br />
Rumus Proses Poisson<br />
Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi,<br />
misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh<br />
jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita<br />
sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses<br />
kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :<br />
1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant.<br />
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam<br />
adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada<br />
jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½<br />
jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.<br />
2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu<br />
yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan<br />
di menit berikutnya adalah sama.<br />
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin<br />
pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan.<br />
Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang<br />
dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.<br />
Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus<br />
sebagai berikut :<br />
P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!<br />
Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu<br />
t = Jumlah unit waktu<br />
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu<br />
19
Contoh :<br />
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.<br />
Perusahaan memperkirakan 3 % diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka<br />
berapakah probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar ?<br />
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya<br />
adalah sebagai berikut :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Tuliskan pada Script window dpois(2,3).<br />
Angka 2 menunjukkan nilai X dan angka 3 menunjukkan nilai µ yang didapat dari perkalian n * p<br />
(100 * 3%). Kemudian tekan tombol Submit.<br />
3. Maka probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar adalah = 0.2240418 jika ditanyakan dalam<br />
bentuk prosentase ( % ) maka jawabannya adalah 22.40418% ( atau 0.2240418 * 100 )<br />
20
Atau cara lain tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discreate distribution, poisson<br />
distribution, poisson probabilities<br />
Kemudian masukan mean = 3 ( didapat dari n * p ) = 100 * 3%<br />
Lihat di kolom paling kiri x = 2 yaitu 0.2240 atau 22.40%<br />
21
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.<br />
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka<br />
berapakah probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?<br />
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka<br />
langkah penyelesaiannya adalah :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.<br />
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3<br />
(didapat dari n*p yaitu 100 * 3%) lalu pilih Upper tail (karena yang ditanyakan probabilitas lebih<br />
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK<br />
22
4. Maka probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.5768099 atau<br />
57.68099%<br />
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.<br />
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka<br />
berapakah probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?<br />
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar.<br />
Maka langkah penyelesaiannya adalah :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.<br />
23
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3<br />
(didapat dari n*p yaitu 100*3%) lalu pilih Lower tail (karena yang ditanyakan probabilitas kurang<br />
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK<br />
4. Maka probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.4231901 atau<br />
42.31901%<br />
24
DISTRIBUSI NORMAL<br />
Pendahuluan<br />
Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah<br />
diketahui rata-rata ( µ ) dan standar deviasinya ( σ ). Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal,<br />
tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan
P( z ≤ a )= nilai tabel a + 0.5<br />
P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai table a2 - nilai tabel a1<br />
P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai tabel a2 + nilai tabel a1<br />
CONTOH KASUS<br />
Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan<br />
standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa<br />
probabilitas dari tiap kedatangan bus kurang dari 300 bus per jam ?<br />
Langkah-langkah penyelesaian kasus<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
26
2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities.<br />
a. Muncul Kotak dialog Normal probabilities. Input variabel Value(s) = 300<br />
b. Input nilai mu (mean) = 250<br />
c. Input nilai sigma (standar deviation) = 15<br />
d. Pilih lower tail p(x < 300 ) tekan ok.<br />
e. Maka pada output window akan diperoleh p (x
Gambar kurvanya adalah….<br />
Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan<br />
standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa<br />
probabilitas dari kedatangan bus kurang dari 225 bus per jam ?<br />
Langkah–langkah penyelesaian kasus<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities.<br />
28
3. Input variabel Value(s) = 225<br />
4. Input nilai mu (mean) = 250<br />
5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15<br />
6. Pilih lower tail p(x < 225 ) tekan ok.<br />
7. Maka akan diperoleh p (x
Maka dengan menggunakan kalkulator akan diperoleh hasil 0.999571 - 0.04779035 =<br />
0.95178065<br />
2. Atau jika menggunakan program R dapat mengikuti langkah berikut :<br />
Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
<br />
<br />
<br />
Klik kursor pada script window<br />
Tulis 0.999571 - 0.04779035. lalu tekan submit<br />
Maka akan tampil hasilnya yaitu 0.9517807 pada output window.<br />
30
Gambar kurvanya adalah..<br />
Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan<br />
standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal berapa<br />
probabilitas dari kedatangan bus lebih dari 300 bus per jam ?<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities.<br />
31
3. Input variabel Value(s) = 300<br />
4. Input nilai mu (mean) = 250<br />
5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15<br />
6. Pilih Upper tail p(x > 300) tekan ok.<br />
7. Maka akan diperoleh p (x > 300) = 0.0004290603<br />
Gambar kurvanya adalah…..<br />
32
Untuk membersihkan Script Windows :<br />
- Klik kiri pada Script Window<br />
- Klik kanan lalu pilih Clear window<br />
Untuk membersihkan Output Windows :<br />
- Klik kiri pada Output window<br />
- Klik kanan kemudian pilih Clear window<br />
33
DISTRIBUSI t<br />
PENDAHULUAN<br />
Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t<br />
sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan<br />
pada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada<br />
perusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkan<br />
larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama ‘Student’. Karena itulah<br />
Distribusi t biasanya disebut Distribusi Student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan<br />
nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang<br />
dikemukakan.<br />
Ciri–ciri Distribusi t<br />
a. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ).<br />
b. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan () dan besarnya derajat bebas (db).<br />
Fungsi Pengujian Distribusi t<br />
a. Untuk memperkirakan interval rata–rata.<br />
b. Untuk menguji hipotesis tentang rata–rata suatu sampel.<br />
c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.<br />
d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya.<br />
BEBERAPA MACAM PENGGUNAAN HIPOTESA<br />
Pengujian sampel dalam distribusi t dibedakan menjadi 2 jenis hipotesa, yaitu :<br />
Satu Rata - Rata<br />
Rumus :<br />
to =<br />
Ket :<br />
Db = n- 1<br />
(x - ) / (s / ( n))<br />
to = t hitung<br />
x = rata–rata sampel<br />
= rata–rata populasi<br />
s = standar deviasi<br />
n = jumlah sampel<br />
CONTOH SOAL :<br />
Sebuah Perusahaan minuman meramalkan bahwa minuman hasil produksinya mempunyai<br />
kandungan alkohol sebesar 1,85 % per botol. Untuk menguji apakah hipotesa tersebut benar, maka<br />
Perusahaan melakukan pengujian terhadap 10 kaleng minuman dan diketahui rata–rata sampel (ratarata<br />
kandungan alkohol) 1,95 % dengan simpangan baku 0,25 %. Apakah hasil penelitian tersebut<br />
sesuai dengan hipotesa awal Perusahaan ? (selang kepercayaan 95 %)<br />
Jawab :<br />
Dik : = 1,85 x = 1,95 = 5% = 0,05<br />
n = 10 s = 0,25<br />
Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah<br />
berikut :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
34
2. Pilih menu Distribution, continuous distributions, t distribution, t quantiles<br />
3. Maka pada tampilan window R-commander akan muncul tampilan t Quantiles. Kemudian<br />
masukkan nilai probabillitas(nilai alfa) dan masukkan nilai derajat bebasnya (hasil dari Db = n - 1).<br />
= 0.025<br />
Db = n – 1 = 10 – 1 = 9<br />
4. Maka pada output window akan terlihat hasil nilainya.<br />
35
5. Untuk mencari nilai t hitung, maka kita tuliskan script rumus t hitung tersebut. Kemudian tekan<br />
tombol SUBMIT untuk mendapatkan hasilnya pada output window R.<br />
Catatan : Pada setiap akhir baris pengetikan di script windows diselingi dengan penekanan<br />
tombol SUBMIT<br />
36
Dua Rata - Rata<br />
Rumus :<br />
to = (X 1 – X 2 ) – do / ( (S1 2 / n1) + (S2 2 / n2))<br />
syarat : S1 S2<br />
do = selisih 1 dengan 2 ( 1 – 2 )<br />
Db = (n1 + n2) – 2<br />
Berikut ini adalah data rata–rata berapa kali film yang dibintangi oleh Steven Chauw dan Jet Li<br />
ditonton / disaksikan:<br />
Mean Standar Deviasi Sampel<br />
Steven Chauw 15 7 17<br />
Jet Li 12 8 15<br />
Dengan taraf nyata 1 % ujilah apakah perbedaan rata–rata berapa kali film yang dibintangi oleh<br />
Steven chauw dan Jet Li lebih dari sama dengan 6 !<br />
Jawab :<br />
Dik : x 1 = 15 s 1 = 7 n 1 = 17 = 1% = 0,01<br />
x 2 = 12 s 2 = 8 n 2 = 15 d o = 6<br />
Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah<br />
berikut :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih menu Distribution, continuous distributions, t distribution, t quantiles<br />
37
3. Kemudian masukkan nilai probabillitas (nilai alfa) dan masukkan nilai derajat bebasnya (hasil dari<br />
Db= (n1 + n2 - 2).<br />
= 0.01<br />
Db = n1+n2 – 2<br />
= 17+15-2<br />
= 30<br />
4. Maka akan tampil inputan seperti ini.<br />
5. Maka pada output window akan terlihat hasil nilainya<br />
38
6. Untuk mencari nilai t hitung, maka kita tuliskan script rumus t hitung tersebut. Kemudian tekan<br />
tombol SUBMIT untuk mendapatkan hasilnya pada output window R.<br />
39
ANALISIS DERET BERKALA<br />
PENDAHULUAN<br />
Analisis deret berkala merupakan prosedur analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui gerak<br />
perubahan nilai suatu variabel sebagai akibat dari perubahan waktu. Dalam analisis ekonomi dan<br />
lingkungan bisnis biasanya analisis deret berkala digunakan untuk meramal (forecasting) nilai suatu<br />
variabel pada masa lalu dan masa yang akan datang dengan berdasarkan pada kecenderungan dari<br />
perubahan nilai variabel tersebut.<br />
Analisis deret berkala bertujuan untuk:<br />
a. Mengetahui kecenderungan nilai suatu variabel dari waktu ke waktu.<br />
b. Meramal (forecast) nilai suatu variabel pada suatu waktu tertentu.<br />
KOMPONEN<br />
Terdapat empat komponen yang dapat mempengaruhi nilai suatu variabel dari waktu ke waktu.<br />
Komponen-komponen tersebut adalah trend sekuler (secular trend), fluktuasi siklis, variasi musiman,<br />
dan gerak tak beraturan.<br />
TREND SEKULER<br />
Trend sekuler merupakan perubahan nilai variabel yang relatif stabil dari waktu ke waktu. Model yang<br />
digunakan dalam analisis deret berkala dibuat berdasarkan asumsi bahwa antara nilai variabel dan<br />
waktu mempunyai hubungan linear, sehingga dalam menentukan suatu model akan sangat baik<br />
dengan menggunakan analisis trend.<br />
Y = a + bx<br />
Dimana: Y : nilai variable Y pada suatu waktu tertentu<br />
a : perpotongan antara garis trend dengan sumbu tegak (Y)<br />
b : kemiringan (slope) garis trend<br />
x : periode waktu deret berkala<br />
Metode Persamaan Garis<br />
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang menunjukkan<br />
hubungan antara nilai variable dengan waktu, yaitu metode bebas (free hand method), metode semi<br />
rata-rata (semi average method), dan metode kuadrat terkecil (least square method).<br />
Metode Semi Rata-rata (Semi Average Method)<br />
Persamaan trend yang diperoleh dengan menggunakan metode ini, selain dapat digunakan untuk<br />
mengetahui kecenderungan nilai suatu variabel dari waktu ke waktu, juga dapat digunakan untuk<br />
meramal nilai suatu variable tersebut pada suatu waktu tertentu.<br />
Persamaannya adalah sebagai berikut :<br />
∆ = A 2 - A 1 / n<br />
Keterangan : ∆ : perubahan nilai variabel setiap tahun<br />
A 1 : rata-rata kelompok pertama<br />
A 2 : rata-rata kelompok ke dua<br />
n : periode tahun antara tahun A 1 s.d. A 2<br />
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)<br />
Dalam analisis deret berkala, metode yang paling sering digunakan untuk menentukan persamaan<br />
trend adalah metode kuadrat terkecil.<br />
Persamaan garis trend linearnya adalah :<br />
Y = a + bx<br />
Dimana: Y : nilai variable yang akan ditentukan<br />
a : nilai Y apabila X sama dengan nol<br />
b : kemiringan (slope) garis trend<br />
x : periode waktu dan tahun dasar<br />
40
Trend tahunan, Kuartalan, dan Trend Bulanan<br />
Persamaan trend yang diperoleh dari hasil perhitungan pada bagian terdahulu adalah persamaan<br />
trend tahunan yang dapat diubah menjadi persamaan trend kuartalan. Ada dua macam persamaan<br />
trend kuartalan yang dapat diperoleh dari persamaan trend tahunan, yaitu persamaan trend kuartalan<br />
dimana nilai kode waktu X menunjukkan waktu tahunan dan nilai kode waktu menunjukkan waktu<br />
kuartalan.<br />
CONTOH KASUS :<br />
PT. Alamanda Coorporation adalah sebuah perusahaan yang bergerak dalam bidang telekomunikasi.<br />
Manajer perusahaan tersebut ingin mengetahui penjualan ponsel merek NEO MADAS selama 5 tahun<br />
terakhir yaitu dari tahun 2003 s/d 2007. Berikut ini adalah data penjualannya :<br />
Tahun 2003 2004 2005 2006 2007<br />
Penjualan 3242 4245 4542 5035 5325<br />
Tentukan garis persamaan trend linier dari data penjualan perusahaan tersebut selama 5 tahun<br />
terakhir !<br />
Jawab :<br />
Untuk menjawab kasus di atas dapat menggunakan program R. Berikut ini adalah langkah-langkah<br />
pengerjaannya :<br />
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di<br />
bawah ini.<br />
2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah Dataset, lalu tekan tombol<br />
OK<br />
41
3. Ubah nama variable var1 menjadi Y dan tipe variable menjadi numeric, dapat dilakukan dengan<br />
cara double click pada var1 pada data editor<br />
4. Lakukan langkah di atas untuk mengubah variabel var2 menjadi X dan tipe variabel menjadi<br />
numeric<br />
5. Masukkan data Penjualan (seperti pada tabel soal) pada kolom Y<br />
6. Masukkan data Kode_waktu yaitu (-2, -1, 0, 1, dan 2 ) pada kolom X<br />
Kode waktu dalam analisis deret berkala besarnya tergantung dari banyaknya waktu yang<br />
digunakan. Penentuan kode waktu ini dilakukan dengan terlebih dahulu membagi banyaknya<br />
waktu yang digunakan menjadi dua bagian. Periode waktu yang berada ditengah-tengah dari<br />
semua waktu yang digunakan mempunyai kode 0. Selisih antara tahun yang satu dengan tahun<br />
berikutnya pada periode waktu analisis deret berkala yang menunjukkan bilangan ganjil adalah<br />
satu.<br />
Contoh data ganjil:<br />
Tahun 2001 2002 2003 2004 2005<br />
Kode waktu ( X ) -2 -1 0 1 2<br />
Penjualan ( Y ) 100 200 300 400 500<br />
Contoh data genap:<br />
Tahun 2001 2002 2003 2004<br />
Kode waktu ( X ) -2 -1 0 1 2<br />
Penjualan ( Y ) 100 200 300 400<br />
42
7. Setelah semua data terisi maka data editor di close, maka akan tampil inputan seperti berikut ini :<br />
8. Pada tampilan R Commander pilih menu Statistics, Fit models, Linear regression… maka akan<br />
muncul menu seperti gambar di bawah ini<br />
9. Pada Response Variable pilih variabel Penjualan (Y) dan pada Explanatory Variable pilih variabel<br />
Kode_waktu (X), kemudian tekan tombol OK<br />
43
10. Maka akan muncul hasil pada output window sebagai berikut :<br />
Catatan : yang dilihat hanya pada bagian estimate saja<br />
Maka didapat fungsi persamaan trend linier (y = a+bx) dari penjualan ponsel tersebut adalah<br />
Y = 4477.80 + 495.60x<br />
44