Penggenerasian Ciri I : Transformasi Linier - Teknik Elektro UGM

di mana “H” menyatakan suatu opersi Hermitian, yaitu konjugasi komplek dan transposisi. Dari (6.1) dan
definisi matrik unitary diperoleh :
N
x = Ay = ∑ −
1
i=
0
y(
i)
a i (6.2)
Kolom-kolom pada A, a i , i = 0, 1, 2, …, (N-1), disebut vector-vektor basis dari suatu transformasi. Elemenelemen
y(i) dari y bukan sesuatu tetapi yang penting adalah proyeksi-proyeksi x pada vector-vektor basis
tersebut. Pengambilan inner-product dari x dengan a j diperoleh :
〈 a j , x 〉 ≡ a H N
j x = ∑ −
1
i=
0
N
y ( i)
〈 a j , a i 〉 = ∑ −
1
i=
0
y(
i)
δ
ij
= y(j) (6.3)
Hal ini terkait dengan sifat unitary dari A, yaitu A H A = I atau 〈 a j , a i 〉 = a H i a j = δ
ij
.
Dalam banyak persoalan, seperti pada analisis citra, sekumpulan cuplikan masukan merupakan runtun
(sequence) dua dimensi X (i,j); i, j = 0, 1, 2, ..., (N-1), pendefinisian NxN matrik X alih-alih sebuah vektor.
Pada kasus tersebut dapat ditentukan suatu ekivalensi N 2 vektor x, sebagai contoh dengan urutan baris
matrik satu sesudah yang lain (urutan lexicographic)
x T = [X(0,0), ..., X(0, N-1), ..., X(N-1, 0), ..., X(N-1, N-1)]
dan kemudian mentransformasikan vektor ekivalen ini. Tetapi hal ini bukan cara kerja yang paling efisien.
Jumlah operasi yang diperlukan untuk N 2 x N 2 kwadrat matrik (A) dengan N 2 x1 vector x adalah dalam orde
O(N 4 ) yang menjadi penghalang pada banyak aplikasi. Kemungkinan alternatif adalah mentransformasikan
matrik X melalui sekelompok matrik basis atau citra basis. Misalkan U dan V adalah matrik unitary NxN.
Menentukan matrik tertransformasi Y dari X sebagai
Y = U H X V (6.4)
atau X = U Y V H (6.5)
Jumlah operasinya sekarang berkurang menjadi O(N 3 ). Persamaan (6.5) secara alternatif dapat dituliskan
sebagai :
N
X = ∑ −
1
i=
0
N
∑ − 1
j=
0
H
Y(
i,
j)
u i v j
(6.6)
di mana u i merupaka vector kolom dari U dan v j adalah vektor kolom dari V. Setiap outer product u i v j
H
merupakan sebuah matrik NxN