Penggenerasian Ciri I : Transformasi Linier - Teknik Elektro UGM

⎡ ui0v
⎢
u i v H j = ⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣
u v
*
j0
*
iN −1
j0
.
.
.
.
.
.
.
.
u
u
i0
v
iN −1
*
jN −1
.
.
v
*
jN −1
⎤
⎥
⎥ ≡ А
⎥ ij
⎥
⎥⎦
dan (6.6) merupakan ekspansi dari matrik X dalam suku-suku N 2 citra basis (matrik basisi). Tanda *
menyatakan konjugasi komplek. Jika Y menghasilkan diagonal, maka (6.6) menjadi :
N
X = ∑ − 1
H
Y ( i,
i)
u i v i
i=
0
dan jumlah citra basis direduksi menjadi N. Interpretasi yang sama terhadap (6.3) juga mungkin. Terhadap
yang terakhir tersebut, selanjutnya mendefinisikan inner product antara dua matrik sebagai :
Dapat ditunjukkan bahwa
N 1
〈 A, B 〉 ≡ ∑ −
m=
0
N
∑ − 1
n=
0
A * (m,n) B(m,n) . (6.7)
Y(i,j) = 〈 А ij , X 〉. (6.8)
Sebenarnya elemen (i,j) dari matrik tertransformasi dihasilkan dari perkalian setiap elemen X dengan
konjugasi dari elemen A ij yang bersesuaian dan menjumlahkannya untuk semua produk.
Transformasi-transformasi jenis (6.4) juga dikenal sebagai separable. Alasannya adalah bahwa itu dapat
dicari dari mereka sebagai rangkaian transformasi satu dimensi, pertama dioperasikan pada vektor kolom
dan kemudian pada vektor-vektor baris. Sebagai contoh hasil perantara pada (6.4), Z = U H X, adalah
ekivalen dengan N transformasi yang dikenakan pada vektor-vektor kolom dari X, dan (U H X)V = (V H Z H ) H
adalah ekivalen dengan urutan ke dua dari N transformasi yang bekerja pada baris-baris Z.
Contoh 6.1.
Diberikan citra X dan matrik tansformasi ortogonal U sebagai
X =
⎡1
⎢
⎣2
2⎤
3
⎥ , U =
⎦
1
2
⎡1
⎢
⎣1
1 ⎤
−1
⎥
⎦
citra tertransformasi Y = U T XU adalah
Y = 2
1
⎡1
⎢
⎣1
1 ⎤
−1
⎥
⎦
⎡1
⎢
⎣2
2⎤
⎡1
3
⎥ ⎢
⎦ ⎣1
1 ⎤
−1
⎥
⎦
⎡ 4 −1⎤
= ⎢ ⎥ .
⎣−1
0 ⎦
Citra basis yang bersesuaian adalah :
A 00 =
1
2
1 [ 1]
⎡ ⎤ 1
⎢ ⎥ 1 =
⎣1⎦
2
⎡1
⎢
⎣1
1⎤
1
⎥ .
⎦