Esercizi e quesiti di esame degli anni precedenti - laboratorio di ...

Raccolta di Esercizi e quesiti d’esame dei corsi di RES e SEGNALI
ES. 1
Ricavare i coefficienti di Fourier del segnale periodico mostrato in figura.
x ( t )
ES. 2
−
T
T
−
2
ττ
−
2
ττ
2
0
Considerato un sistema LTI tempo-discreto con risposta impulsiva: hn [ ] = [ 12 3 21]
:
Ricavare la funzione di trasferimento H( z ) . Determinare poli e zeri di H( z ) . Ricavare la risposta
in frequenza. Determinare la banda a − 6dBper
T = 1 ms.
ES.3
n
⎛1⎞ Data la sequenza x[ n] = ⎜ ⎟ u[ n]
⎝a⎠ maggiore di 1, calcolare la funzione autocorrelazione.
ττ
2
T
2
dove un [ ] rappresenta il gradino unitario e a è una costante
ES. 4
⎛2πt⎞ ⎛2πt ⎞
Dato il segnale: x () t = 2cos⎜ ⎟+ 3sin⎜ + 45°
⎟,
con T = 1 ms.
⎝ T ⎠ ⎝ 3T ⎠
a) Indicare il tipo di segnale.
b) Se periodico fornire il periodo ed i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier sia nella forma
seno/coseno che nella forma esponenziale.
sin α+β = sin αcosβ+ sinβcos α]
[Utilizzare la relazione ( )
ES. 5
Dato il filtro in figura, dove l’elemento T rappresenta il ritardo unitario, a1, a2 e b1 sono coefficienti
reali e Σ è l’elemento sommatore,
x[n] T
b 1
a 1
a 2
T
Σ
y[n]
a) Indicare la tipologia del filtro e ricavare l’equazione alle differenze che lo descrive.
b) Determinare l’espressione della risposta in frequenza in funzione di a1, a2 e b1.
c) Indicare una terna di valori per a1, a2 e b1 che rende nulla la risposta alla frequenza zero.
ES. 6
Data la sequenza: [ ]
x n = 0 per n < 0 e per n > 5
x[ 0] = 1 , x[ 1] = 3 , x[ 2] = 4 , x[ 3] = 1 , x[ 4] = 5 , x[ 5] = 2
se ne calcoli la trasformata Z, si moltiplichi X ( z ) per
3
z − e si determini l’antitrasformata.
T
t
1

ES. 7
Dato il segnale x () t = exp⎡⎣−( t−t0) ⎤⎦
U( t−t0) , dove ( )
costante positiva, ricavare:
a) La trasformata di Fourier di x() t .
b) Lo spettro di ampiezza e di fase di x( t ) .
ES. 8
Date due sequenze: x1 [ n] = [ 1 1 1 1]
e x2 [ n] [ 1 0.5 0 0.5]
a) Ricavare la convoluzione lineare tra x1 [ n ] e x2 [ n ] .
U t è la funzione gradino unitario e t 0 è una
= − definite per n= 0,1,2,3:
b) Impostare il problema per il calcolo della convoluzione lineare mediante l’impiego della
Trasformata di Fourier Discreta (DFT).
ES. 9
Dato il sistema LTI tempo-discreto rappresentato dall’equazione alle differenze:
1 1
y[ n] = y[ n− 1] + x[ n] − x[ n− 1]
4 2
H z .
a) Ricavare la funzione di trasferimento del filtro, ( )
b) Ricavare poli, zeri, studiare la regione di convergenza e la stabilità del filtro.
c) Calcolare la risposta impulsiva hn. [ ]
ES. 10
Fornire le definizioni di:
a) Segnale di energia e segnale di potenza, fornire alcuni esempi.
b) Correlazione tra due segnali di energia.
c) Autocorrelazione con relative proprietà.
⎛2πt ⎞
d) Ricavare l’autocorrelazione di x() t = A⋅rectT() t ⋅ sin
1 ⎜ +α⎟
con A costante positiva, T
⎝ T ⎠
periodo, α fase della sinusoide, e rectT ( t ) funzione che vale 1 per 0 ≤ t ≤ T
1
1 ed è nulla
altrove, T1>> T .
ES. 11
Calcolare i coefficienti a k dello sviluppo in serie di Fourier per il segnale x () t periodico di
periodo T.
x(t)
ES. 12
Dato il segnale x () t exp{ a t }
A
-T/2 T/2
-A
= − , con a costante positiva:
a) Determinare X ( f ) , la trasformata di Fourier di x ( t ) .
b) Disegnare un grafico qualitativo di X ( f ) .
c) Ricavare la larghezza di banda a –6 dB di X ( f ) .
t
2

ES. 13
Dato il sistema LTI tempo-discreto rappresentato dall’equazione alle differenze:
1 1
y [ n] = y[ n− 1] + x[ n] − x[ n− 1]
3 2
H z .
a) Ricavare la funzione di trasferimento del filtro, ( )
b) Ricavare poli, zeri, studiare la regione di convergenza e la stabilità del filtro.
c) Calcolare la risposta impulsiva hn. [ ]
ES. 14
Calcolare i coefficienti a k dello sviluppo in serie di Fourier per il segnale x () t periodico di
periodo T.
x(t)
ES. 15
A
-T/2 T/2
-A
Considerate le sequenze x [ n] = [ 212]
e hn [ ] = [ 1− 1 0]
per n = 0,1,2,
dove hn [ ] è la risposta
impulsiva di un filtro FIR (in particolare, un differenziatore):
a) Ricavare l’uscita, y [ n ] , dal filtro quando in ingresso è presente x[ n ] .
b) Impostare il problema per il calcolo di y [ n ] mediante l’impiego delle trasformate di Fourier
discrete (DFT).
ES. 16
Dato il sistema LTI tempo-discreto rappresentato dall’equazione alle differenze:
1 1
y[ n] = y[ n− 1] + x[ n] − x[ n− 1]
2 3
H z .
a) Ricavare la funzione di trasferimento del filtro, ( )
b) Ricavare poli, zeri, studiare la regione di convergenza e la stabilità del filtro.
c) Calcolare la risposta impulsiva hn. [ ]
ES. 17
Dato il segnale non periodico, tempo continuo, definito su tutto l’asse reale x () t exp ( a t )
parametro reale positivo:
1
a) Se ne disegni un grafico qualitativo per a 0.2 s −
= , con t da − 10 s a
b) Si calcoli la sua trasformata di Fourier, X ( f ) .
1
c) Si disegni un grafico qualitativo dello spettro per a 0.2 s −
= .
1
d) Si determini la larghezza di banda a –6 dB per a 0.2 s −
= .
t
+ 10 s .
ES. 18
⎧1
− T < t < + T
Dato il segnale non periodico, tempo continuo: x() t = ⎨
⎩0
fuori dell'intervallo − T, + T
secondi, calcolare:
= − con a
[ ]
con T = 4
3

a) L’autocorrelazione e fare un grafico indicativo.
b) La correlazione col segnale y ( t) = x( t− t1)
, essendo t1= 9 secondi; fare un grafico
indicativo.
ES. 19
Si consideri una sinusoide di frequenza 200 Hz.
a) Se essa viene campionata con frequenza di campionamento di 500 Hz, è possibile ricostruire
la sinusoide dai campioni e come?
b) Se essa viene campionata con frequenza di campionamento di 250 Hz, e si applica la
procedura di ricostruzione indicata nel precedente punto (a), cosa si ottiene?
ES. 20
Si supponga la serie di due sistemi LTI con le seguenti risposte impulsive:
1
[ ]
h n
⎧0
per n< 0 e per n> 3
= ⎨
⎩1
per 0≤n≤3 , h [ n]
2
⎧0
per n< 0 e per n> 2
= ⎨
⎩1
per 0≤n≤ 2
a) Calcolare H( z ) del sistema serie mediante le funzioni di trasferimento di ciascuno di essi,
cioè H1( z ) e H2( z ) .
b) Calcolare la risposta impulsiva hn [ ] della serie mediante inversione di H( z ) .
ES. 21
Riguardo alla trasformata di Hilbert:
a) Darne la definizione e mostrare la risposta in frequenza in modulo e fase del relativo filtro
che la implementa.
b) Ricavare la risposta impulsiva del filtro di Hilbert.
cos 2π f t .
c) Determinare la trasformata di Hilbert del ( )
ES. 22
Date le sequenze x[ n ] e y[ n ] , dove quest’ultima è l’uscita di un sistema LTI (avente risposta
impulsiva hn) [ ] quando in ingresso è presente x[ n ] , mostrare che:
a) Rxy [ n] = h[ n] ∗ Rx[ n]
;
b) Ry[ n] = Rx[ n] ∗ Rh[ n]
.
Dove Rx [ n ] , Ry [ n ] e Rh [ n ] indicano le funzioni di autocorrelazione di x[ n ] , y[ n ] e hn, [ ]
mentre Rxy [ n ] è la funzione di mutua correlazione tra x[ n ] e y[ n ] .
ES. 23
Date le sequenze x[ n] = [ 1, 2, 3, 1]
e h[ n] [ 1, 3, 3, 1]
a)
b)
c)
Rx [ n ]
Rh [ n ]
y[ n ]
d) Ry [ n ]
e) Rxy [ n ] .
0
= − − con n = 0,1,2,3,
calcolare:
4

ES. 24
Dato il segnale riportato in figura:
− T
T
−
2
a) Scrivere l’espressione di x() t ed indicare il tipo di segnale.
b) Ricavare la rappresentazione di nel dominio della frequenza di x( t ) .
ES. 25
Dato il sistema LTI:
ττ
−
2
Z-1 Z-1 Z-1 ττ
2
0
( )
x t
x [ n ]
a
yn [ ]
a) Scrivere l’equazione alle differenze che lega l’ingresso x[ n ] con l’uscita y[ n ] ed indicare il
tipo di filtro.
b) Ricavare la funzione di trasferimento H( z ) e la risposta impulsiva hn [ ] del filtro.
c) Per
1
2
a= b=
, avendo in ingresso la sequenza x[ n] = [ 2 1 2 1]
, determinare [ ]
c1) mediante antitrasformazione di Y( z ) ;
b
ττ
2
T
2
Sommatore
T
t
y n :
c2) mediante convoluzione lineare con la risposta impulsiva.
d) Ripetere il punto c2) calcolando la convoluzione lineare attraverso la Trasformata di Fourier
Discreta (DFT).
e) Determinare la risposta in frequenza del filtro e la banda a − 6dBper
T = 1 ms.
ES. 26
Dato il sistema LTI:
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 c
x [ n ]
Sommatore
y [ n ]
a) Scrivere l’equazione alle differenze e specificare il tipo di filtro.
b) Ricavare la funzione di trasferimento H( z ) del filtro e determinare poli e zeri.
a
Z-1 Z-1 Z-1 c) Per a =− 2,
b = 2 e c=− 1:
c1) Calcolare, antitrasformando H( z ) , la risposta impulsiva del sistema causale.
c2) Calcolare la risposta impulsiva causale direttamente dall’equazione alle differenze.
c3) Studiare la stabilità del filtro.
1 1 1
d) Nel caso a =− , b = , c =− ripetere i punti (b), (c1), (c3) e determinare il modulo
4 2 16
della risposta in frequenza del filtro.
b
5

ES. 27
Considerato il segnale periodico di periodo unitario, definito in [ , ]
x t
2
=π
2
4t − 4t+ 1 t∈ [ 0, 1]
() ( )
01 dalla relazione:
a) Calcolare la componente continua del segnale.
b) Indicare le proprietà dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del segnale x( t ) .
c) Calcolare i coefficienti c k dello sviluppo in serie di Fourier di x( t ) .
(Suggerimento: calcolare i coefficienti del segnale derivato ed utilizzare il legame con c k )
ES. 28
Date le sequenze: x[ n] = [ 2, 1, 2, 1]
(input di un sistema LTI), hn [ ] [ 11 , , 12 , ]
del sistema LTI), indicando con y[ n ] la sequenza di output dal sistema, calcolare:
a) La sequenza yn. [ ]
b) Le funzioni di autocorrelazione R l , R [ l ] e R [ l ] .
[ ] xx
c) La funzione di cross-correlazione R [ ] xy l .
ES. 29
Dato il sistema LTI:
hh
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 c
x [ n ]
Sommatore
yn [ ]
a
Z-1 Z-1 Z-1 b
yy
= − (risposta impulsiva
a) Scrivere l’equazione alle differenze e specificare il tipo di filtro.
b) Ricavare la funzione di trasferimento H( z ) del filtro e determinare poli e zeri.
c) Per a =− 4,
b= 4 e c=− 4:
c1) Calcolare, antitrasformando H( z ) , la risposta impulsiva del sistema causale.
c2) Calcolare la risposta impulsiva causale direttamente dall’equazione alle differenze.
c3) Studiare la stabilità del filtro.
1 2 1
d) Nel caso a =− , b = , c =− ripetere i punti (b), (c1), (c3) e determinare il modulo della
3 3 9
risposta in frequenza del filtro.
ES. 30
Considerato il segnale periodico di periodo unitario, definito in [ 01 , ] dalla relazione:
2 2 1
x() ⎛ ⎞
t =π ⎜2t − 2t + ⎟ [ ]
⎝ 2 ⎠ , t 0 1 ∈
a) Calcolare la componente continua del segnale.
b) Indicare le proprietà dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del segnale x( t ) .
c) Calcolare i coefficienti c k dello sviluppo in serie di Fourier di x( t ) .
(Suggerimento: calcolare i coefficienti del segnale derivato ed utilizzare il legame con c k )
6

ES. 31
Date le sequenze: x[ n] = [ 1232 , , , ] (input di un sistema LTI), hn [ ] [ 1, 212 , , ]
del sistema LTI), indicando con y[ n ] la sequenza di output dal sistema, calcolare:
a) La sequenza yn. [ ]
b) Le funzioni di autocorrelazione
R [ ] xx l , [ ] hh
c) La funzione di cross-correlazione Rxy [ l ] .
ES. 32
Dato il segnale: x() t mostrato in figura:
x () t
a) Indicare il tipo di segnale.
b) Calcolare la trasformata di Fourier di x( t ) .
3
2
1
0
R l e R [ l ] .
yy
T 2T 3T
ES. 33
Un sistema LTI causale è descritto dall’equazione alle differenze:
yn= yn− 1+ yn− 2+ xn− 1
= − (risposta impulsiva
[ ] [ ] [ ] [ ]
a) Indicare la tipologia del filtro e ricavare la sua funzione di trasferimento H( z ) .
b) Rappresentare i poli e gli zeri di H( z ) ed indicare la regione di convergenza.
c) Determinare la risposta impulsiva del sistema e dire se il sistema è stabile o meno.
ES. 34
Date le due sequenze x1 [ n ] e 2 [ ]
1
[ ]
x n
1
x n :
0 1 2 3 4 n
2
[ ]
x n
1
0 1
-0.5
2
t
3 4 n
a) Fornire la definizione di convoluzione lineare e circolare tra x1 [ n ] e 2 [ ]
x n , indicandone le
differenze.
x n .
c) Mostrare come è possibile calcolare la convoluzione lineare attraverso la DFT.
b) Calcolare la convoluzione lineare tra x1 [ n ] e 2 [ ]
ES. 35
⎛ π ⎞
Dato il segnale periodico: xt () = cos4t ( π ) + 2sin8t ⎜ π + ⎟
⎝ 6 ⎠
a) Determinare il periodo del segnale e calcolare i coefficienti di Fourier nella forma reale
a,b e complessa c k .
( )
k k
7

) Disegnare lo spettro di ampiezza e di fase di x( t ) .
c) Calcolare la potenza media di x( t ) .
ES. 36
Dato il filtro che effettua la media mobile su N campioni (cioè la media aritmetica degli ultimi N
campioni della sequenza di ingresso x[ n ] ):
n
1
=
N ∑ k= n− N+ 1
[ ] [ ]
yn xk
a) Verificare che il sistema è lineare e tempo-invariante.
b) Ricavare e disegnare la risposta impulsiva del filtro.
c) Determinare la risposta in frequenza indicando la tipologia del filtro ed eventuali suoi
impieghi.
ES. 37
Date le due sequenze x[ n ] e hn, [ ] rappresentative rispettivamente dell’ingresso e della risposta
impulsiva di un sistema LTI, indicando con yn [ ] l’uscita dal sistema:
Calcolare :
[ ]
x n
1
0 1 2 3 4 n
(a) Le auto-correlazioni: Rx [ n ] , Rh [ n ] e Ry [ n ]
(b) La mutua-correlazione Rxy [ n ] .
[ ]
hn
1
0 1
-0.5
2
3 4 n
ES. 38
Disegnare lo schema blocchi di un sistema di elaborazione del segnale, descrivendo le funzionalità
di ciascun blocco.
ES. 39
Descrivere i parametri che caratterizzano un filtro analogico nel dominio del tempo e in quello della
frequenza.
ES. 40
Fornire la definizione di:
a) Immagine digitale monocromatica.
b) Dinamica di un’immagine.
c) Risoluzione spaziale di un’immagine.
ES. 41
Date due sequenze x[ n ] e hn [ ] entrambe di lunghezza finita (in generale diversa):
a) Fornire la definizione di convoluzione lineare e circolare tra x[ n ] e hn, [ ] indicandone le
differenze.
b) Se x[ n ] è l’ingresso ad un filtro FIR di risposta impulsiva hn, [ ] mostrare l’impiego della
DFT per il calcolo dell’uscita yn. [ ]
c) Fornire un semplice esempio del punto b).
8

ES. 42
Data un’immagine monocromatica descrivere:
a) il concetto di trasformata di Fourier bidimensionale dell’immagine.
b) le principali tecniche di trattamento delle immagini volte a ridurre il rumore, evidenziandone
i limiti.
c) le tecniche per estrarre i contorni da un’immagine.
ES. 43
Ricavare la condizione di stabilità per un sistema LTI tempo-discreto.
ES. 44
Nell’ambito della rappresentazione complessa di un segnale reale dare la definizione di:
a) Segnale analitico nel dominio del tempo e in quello della frequenza.
b) Segnale reale a “banda stretta”.
c) Inviluppo complesso.
ES. 45
Confronto tra filtri IIR e filtri FIR: illustrare vantaggi e svantaggi relativi all’impiego dei due tipi di
filtro.
ES. 46
Illustrare l’effetto della moltiplicazione di un segnale tempo-continuo x () t per una finestra
temporale rettangolare di durata NT, dove N è il numero di campioni ottenuti campionando x ( t )
con una frequenza di campionamento
1
F = , relativamente allo spettro del segnale così ottenuto.
T
ES. 47
Dimostrare che un sistema tempo-discreto stabile e causale ha il cerchio unitario nelle sua regione
di convergenza.
ES. 48
Illustrare:
a) Il concetto di trasformata di Fourier bidimensionale.
b) Le principali tecniche di trattamento delle immagini volte a ridurre il rumore,
evidenziandone i limiti (perdita di risoluzione).
c) Le tecniche per estrarre i contorni da un’immagine.
ES. 49
Descrivere il principio di funzionamento di un ecografo basato sull’effetto Doppler.
ES. 50
Fornire la definizione di:
a) Immagine digitale monocromatica.
b) Dinamica di un’immagine.
c) Risoluzione spaziale di un’immagine.
ES. 51
Relativamente alla rappresentazione complessa di un segnale:
a) Fornire la definizione di segnale analitico nel dominio del tempo e della frequenza.
b) Dare la definizione di filtro di Hilbert e ricavare la risposta impulsiva del filtro.
c) Dato il segnale x( t) = sin ( 2π f0t) ricavare l’espressione del segnale analitico x+ () t .
9

ES. 52
Dato un sistema con ingresso x() t e uscita y( t ) , fornire:
a) Il concetto di linearità, di tempo invarianza e di causalità del sistema.
b) La condizione di stabilità del sistema.
ES. 53
Mostrare, nel dominio del tempo, come ottenere il segnale tempo-continuo originale – avente banda
limitata – dati i suoi campioni (presi in modo da evitare l’aliasing) tramite l’interpolatore ideale.
10