slides - Dipartimento di Economia Politica

Estensioni al modello di Black e Scholes
Roberto Renò
reno@unisi.it
Dipartimento di Economia Politica, Università di Siena
I tassi di interesse sono costanti?
I tassi di interesse variano sensibilmente nel tempo:
E 2 c, Marzo, 2004 – p.1/19
E 2 c, Marzo, 2004 – p.3/19
Il modello di Black e Scholes funziona?
Il modello di Black e Scholes ha avuto un incredibile successo fin dalla
sua nascita (1973). Esso è il punto di partenza naturale di qualsiasi
analisi di consistenza fra i prezzi dei derivati e del loro titolo sottostnate.
È inoltre un modello molto semplice, in cui i rendimenti sono normali.
A questo punto è opportuno chiedersi se le ipotesi del modello di Black
e Scholes sono verificate oppure no.
I rendimenti sono normali?
La serie storica dei rendimenti non sembra normale:
E 2 c, Marzo, 2004 – p.2/19
E 2 c, Marzo, 2004 – p.4/19

I rendimenti sono normali?
Infatti non lo sono, la distribuzione è leptocurtica (fat tails):
I rendimenti sono indipendenti?
La funzione di autocorrelazione del valore assoluto dei rendimenti
rimane positiva per 1-2 mesi!
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E 2 c, Marzo, 2004 – p.7/19
I rendimenti sono indipendenti?
La funzione di autocorrelazione è nulla dopo un giorno... ciò è
compatibile con l’ipotesi di indipendenza ma....
La volatilità è costante?
Chiaramente no.
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E 2 c, Marzo, 2004 – p.8/19

L’effetto smile
La formula di Black e Scholes mostra che la volatilità implicita non
dipende dal rapporto S K, detto moneyness.
Pertanto la volatilità implicita dovrebbe essere la stessa per opzioni Call
at the money (S K
K
(S K
£ 1).
¡ 1), in the money (S
¢ 1), out of the money
Se confermato empiricamente, questo risultato renderebbe il modello di
Black e Scholes affidabile, nonostante le varie violazioni fin qui
riscontrate.
Come spiegare l’effetto smile?
E 2 c, Marzo, 2004 – p.9/19
L’inconsistenza empirica più rilevante del modello di Black e Scholes è
la volatilità costante.
Occorrono modelli in cui la volatilità è essa stessa stocastica
(stochastic volatility).
La necessità di introdurre la volatilità stocastica è ormai riconosciuta
nella letteratura finanziaria.
E 2 c, Marzo, 2004 – p.11/19
Effetto smile
La volatilità implicita dipende dalla moneyness
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.9 1 1.1 1.2 0.9 1 1.1 1.2
K/F
Il modello di Hull e White
44 days
20 days
K/F
62 days
107 days
Il modello di Hull e White (1987) parte dal modello di Black e Scholes:
W1
¤ t
¥ e W2
¤ t
¥ sono indipendenti.
dS
¤ t
¥
dV
¦ µS
¤ t
¥ dt
µ ©ϕ ©ξ sono funzioni di t ©S ©V .
¤ t
¥
¦ ϕV
¤ t
¥ dt
§
¨ V
¤ t
¥ S
¤ t
¥ dW1
¤ t
¥
§ ξV
¤ t
¥ dW2
¤ t
¥
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
E 2 c, Marzo, 2004 – p.10/19
E 2 c, Marzo, 2004 – p.12/19

Il modello di Hull e White
Gli investitori, che sono avversi al rischio, richiederanno un premio al
rischio aggiuntivo per la presenza di un moto Browniano in più. Hull e
White mostrano che se il premio al rischio legato alla volatilità è nullo, e
se ϕ ©ξ non dipendono da S
Black e Scholes:
Ct
¤ t
¥ ,
possiamo ancora usare la formula di
¦ BS
dove la volatilità implicita va rimpiazzata da:
V
t ¦
¥
¤
1
T £ t
Nota che l’ipotesi di premio al rischio nullo per la volatilità è stata
ampiamente confutata dall’analisi dei dati (Lamoreux e Lastrapes,
1993).
Smile e smirk
t
¡ V
¤ t
¤ T
V
¥
¤ s
¥ ds
¢
E 2 c, Marzo, 2004 – p.13/19
Tuttavia la faccenda è più complicata. All’aumentare della maturità, più
che uno smile si osserva uno smirk.
E 2 c, Marzo, 2004 – p.15/19
L’effetto smile
In ogni caso, un modello alla Hull e White può spiegare lo smile:
L’effetto del venerdì nero 1987
Prima del 1987, gli smile venivano osservati per ogni maturità.
Dopo il 1987, si osservano smile a maturità brevi e smirk a maturità
lunghe.
Qualcosa ha cambiato l’avversione al rischio degli agenti del mercato.
È aumentata l’avversione al rischio contro improvvisi cali del mercato
azionario.
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E 2 c, Marzo, 2004 – p.16/19

I salti
Occorre quindi modellizzare i salti, tramite i processi di Poisson.
Per un processo di Poisson con intensità λ, la probabilità di saltare fra 0
e T è data da 1
λ e
λT
.
La probabilità di saltare n volte è data dalla statistica di Poisson.
Conclusioni
¡
¡
¡
Le caratteristiche dei movimenti dei prezzi rendono necessario
l’utilizzo di strumenti stocastici.
I prezzi sono contraddistinti da volatilità stocastica e repentini e
rari cambiamenti, in genere negativi (salti).
Questi due ingredienti sono necessari per la teoria della
valutazione delle opzioni.
E 2 c, Marzo, 2004 – p.17/19
E 2 c, Marzo, 2004 – p.19/19
Salti nella SDE
Aggiungiamo i salti nell’equaione differenziale stocastica:
dS
¤ t
¥
¦ µ
¤ t ©S
¥ dt
§ σ
¤ t ©S
¥ dW
Occorre anche specificare la distribuzione dei salti, in genere
asimmetrica con la coda negativa più probabile, in quanto i salti verso il
basso sono più importanti di quelli verso l’alto.
L’evidenza empirica di salti nelle serie storiche dei prezzi è ormai
ampiamente diffusa.
¤ t
¥
§ λ
¤ t
¥ dJ
¤ t
¥
E 2 c, Marzo, 2004 – p.18/19