Impostazione alla Dirac – La proposta di Udine - Dipartimento di Fisica

Università di Udine - Unità di Ricerca in Didattica della Fisica 

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Impostazione alla Dirac. La proposta di Udine per la fisica quantistica. 

Impostazione alla Dirac – La proposta di Udine 1 

La proposta didattica che viene qui sintetizzata fa riferimento all'inquadramento 

organico, che Dirac ha fornito della meccanica quantistica (1958), e che è stato ripreso e 

attualizzato da diversi autori (Sakurai 1985; Levi Leblond, Balibar 1990; Townsend 

1992; Gottfried 1996). Punta a discutere fin dall'inizio i concetti fondanti, la loro 

rappresentazione formale, il significato fisico di tale rappresentazione, anche alla luce 

del lavoro di rianalisi critica dei fondamenti teorici sviluppatosi nella seconda metà del 

secolo scorso (Baym 1969; D‟Espagnat 1976; Bell 1987; Ghirardi et al. 1986; Sonego 

1992; Ghirardi 1997) e degli esiti di esperimenti che mettono in luce le correlazioni 

quantistiche e il carattere non locale dei fenomeni microscopici (Aspect 1982; Go 

2003). Si avvale della strada tracciata da altri autori, che hanno sviluppato proposte 

didattiche introduttive alla MQ con taglio analogo (Feynman, Leighton, Sands, 1965; 

French, 1975; Ghirardi, Grassi, Michelini 1995, 1996, 1997; Pospiech 1999, 2000a). 

Essa mira a far acquisire un quadro sufficientemente organico degli aspetti che 

caratterizzano la teoria quantistica, come il principio di sovrapposizione e l‟esistenza di 

osservabili incompatibili, il suo modo peculiare di correlare le evidenze sperimentali al 

quadro concettuale, ovvero di costruire conoscenza, le profonde modifiche che impone 

alla descrizione e alla interpretazione del mondo microscopico. 

Le motivazioni di seguito discusse stanno alla base delle scelte fatte per costruire la 

proposta presentata. 

1.1 Motivazioni di fondo per insegnare la meccanica quantistica nella scuola 

La meccanica quantistica costituisce la teoria di riferimento per l‟attuale descrizione 

fisica del mondo microscopico. Il suo peculiare carattere lineare unifica la grande parte 

della moderna fisica atomica, della chimica-fisica, della fisica della materia e dei nuovi 

materiali in genere. Governa, inoltre, la fisica delle particelle elementari, secondo la 

moderna teoria dei campi, come pure fornisce gli strumenti per affrontare lo studio 

dell‟evoluzione dei corpi stellari. È presumibile che acquisti, in breve, rilevanza anche 

nell‟ambito delle nanotecnologie, che oltre ad avere risvolti applicativi e sociali 

notevoli, coinvolgono sempre di più temi di frontiera tra discipline diverse (fisica, 

1 Questo documento è estrapolato dalla tesi di dottorato: A. Stefanel, Apprendere e Insegnare le idee della Meccanica 

quantistica nella scuola secondaria, Udine, 2006.


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chimica, scienza dei materiali, biologia). Costituisce uno dei principali contributi alla 

conoscenza scientifica del XX secolo, perché ha reso possibile l‟esplorazione di nuovi 

fenomeni, la creazione di nuovi campi del sapere, la realizzazione di nuove tecnologie 

(nel campo dell‟elettronica e dell‟ottica fisica per esempio) i cui prodotti pervadono 

oramai la vita quotidiana (le applicazioni delle tecnologie dei semiconduttori e del laser 

in primis). Il ruolo paradigmatico che la MQ riveste nella attuale descrizione del mondo 

microscopico, enfatizza, quindi, l‟importanza del modo in cui essa: costruisce 

conoscenza sul mondo, interpreta i fenomeni, indirizza alla costruzione di modelli. 

Avere esperienza del modo di pensare quantistico, dei suoi caratteri metodologici ed 

epistemici peculiari, ancor più che di specifiche esemplicazioni nella descrizione di 

sistemi come l‟atomo o applicazioni come il laser, è pertanto irrinunciabile nella 

formazione di un cittadino di media cultura (Ghirardi 1996, Pospiech 1999; Hadzidaki 

et al. 2000, Zollman 1999). Cimentarsi, seppure in ambiti fenomenologici limitati, con i 

concetti fondanti della teoria quantistica, può giocare, un ruolo importante nella 

costruzione del pensiero teoretico. Offre, inoltre, interessanti spunti per esplorare in 

modo semplice i contesti problematici in cui essa si è sviluppata ed è emersa come 

sintesi di uno dei dibattiti più profondi e scientificamente significativi della storia della 

scienza. Fornisce quindi spunti per una riflessione metodologica, storica, 

epistemologica, che consente numerosi agganci interdisciplinari. 

1.2 Le scelte sui contenuti 

Per capire come la meccanica quantistica raccorda la conoscenza fenomenica con la 

teoria e in particolare come questa modalità differisca profondamente da quella classica 

bisogna rivolgere l‟attenzione agli aspetti che la fondano. 

La MQ si caratterizza come teoria compatta, che si discosta in modo drastico dalla 

fisica classica per molti aspetti: i principi, i concetti su cui si fonda e di conseguenza il 

modo di descrivere e interpretare i fenomeni, la logica sottesa, il formalismo messo in 

gioco ed il ruolo ad esso attribuito, le grandezze fisiche coinvolte (Dirac 1958; 

D‟Espagnat 1976, Sakurai 1985; Ghirardi 1997). La meccanica quantistica fonda un 

nuovo modo di pensare organico, che parte da presupposti concettuali profondamente 

diversi anche dalla “fisica dei quanti”, sviluppata nei primi venti anni del „900, di cui 

pure ingloba e riottiene i risultati (Bellone 1990; Fishler 1999; Pospiech 2000a). 

Gli elementi di continuità tra fisica classica e fisica quantistica, che pure esistono e 

trovano sintesi formale nel principio di corrispondenza e nel teorema di Ehrenferst per i


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valori medi, non hanno valore fondate, ma solo quello di principi euristici. Si possono 

riguardare come sistemi di controllo: garanzie e vincoli a cui deve soddisfare la teoria 

quantistica per fornire risposte analoghe a quelle della fisica classica in ben definiti 

contesti. 

Sono piuttosto alcune osservabili, che non hanno una corrispondente classica, come ad 

esempio lo spin, che permettono di evidenziare le caratteristiche concettuali della teoria, 

il suo modo di modellizzare i fenomeni, do esplorare conseguenze e principali 

distinzioni dalla meccanica classica (Baym 1969, Feynman 1985, Sakurai 1985, Bell 

1987, Levi Leblond, Balibar 1990). 

È a tali aspetti che si può rivolgere l‟attenzione per costruire una proposta didattica, 

come nel caso della presente proposta in cui è stato scelto il contesto della 

polarizzazione. 

1.3 Le scelte metodologiche 

Le ricerche sui processi di apprendimento in fisica e in particolare quelle relative 

all‟apprendimento della MQ evidenziano il nodo particolarmente problematico del 

passaggio dalla descrizione macroscopica, a quella microscopica del mondo (Arons 

1990; Greca, Moreira, 2001; Duit 2006). Tale passaggio risulta particolarmente 

problematico nel caso della MQ, perché accanto alle note difficoltà a concettualizzare la 

fenomenologia di sistemi non percepibili sensorialmente, come ad esempio sono gli 

atomi, viene accompagnato da un cambiamento profondo nel quadro teorico di 

riferimento, che non è esso stesso privo di intrinseche difficoltà concettuali. Alla luce di 

questo, anche nell‟insegnamento della MQ, acquista dunque importanza individuare 

contesti, che possono essere esplorati direttamente e che, essendo relativamente facili da 

interpretare, fungano da ancore cognitive per la riduzione immaginativa dei concetti. 

Contesti in cui i ragazzi siano personalmente coinvolti operativamente sul piano pratico 

e su quello concettuale, nel: riconoscimento della fenomenologia e sua caratterizzazione 

per mezzo di leggi fenomenologiche; esplorazione di ipotesi attraverso argomentazioni 

basate sul confronto rigoroso con gli esiti sperimentali; costruzione dei concetti che 

servano da organizzatori cognitivi della fenomenologia; formalizzazione matematica di 

tali concetti. 

La richiesta di rigore indirizza a enfatizzare il significato fisico della modelizzazione, 

basata sulla selezione degli aspetti da guardare, piuttosto che sulla approssimazione e


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semplificazione dei sistemi fisici. Indirizza alla precisazione delle regole del gioco per 

costruire coerenza argomentativa. Indica l‟importanza di costruire il passaggio dal 

macromondo al micromondo, rendendo conto di come le leggi macroscopiche possano 

essere l‟esito di molti processi microscopici. Il contesto della polarizzazione offre 

queste possibilità potendo essere epslorata in un laboratorio didattico con semplici 

esperimenti, che possono essere posti su basi quantitrative ottenendo buoni risultati e 

consnetendo quindi rigore nelle conclusioni tratte. 

Un appoccio costruttivista in MQ significa che è necessario partire dalle idee dei 

ragazzi. Esse sono le idee che sono implicite nel pensiero classico e sintetizzabili, per 

quanto si sta discutendo, nei seguenti assunti: i sistemi possiedono definite proprietà 

indipenedentemete dal fatto che sia stata effettuata o meno una misura per determinarle; 

gli esiti delle misure devono essere determinate dalle proprietà che il sistema possiede 

prima della misura; gli esiti delle misure sono sempre concepibili come rilevazione delle 

proprietà oggettive del sistema. 

Nella prospettiva dell‟apprendimento della MQ, tali idee costituiscono la premessa 

logica per una teoria a variabili nascoste. Esse devono pertanto essere discusse in una 

proposta didattica, qualora siano gli studenti a metterle in campo. Esse devono poi 

essere portate alle estreme conseguenze per capirne le implicazioni che essenzialmente 

sono legate all‟evidente non –località e contestualità. 

1.4. La presentazione della proposta didattica 

La proposta didattica prevede un approccio operativo, come discusso nel paragrafo 2, 

impiegando le strategie illustrate nel paragrafo 3. 

L‟impostazione della proposta didattica progettata, illustrata nel paragrafo 5, esplicita in 

che modo, nel semplice contesto fenomenologico della polarizzazione, si affronta il 

significato fisico del principio di sovrapposizione, le conseguenze, che da esso 

derivano, la costruzione dei primi livelli di formalizzazione (Stefanel 2001; Michelini et 

al. 2000, 2001; URDF 2002; Stefanel et al. 2003; Michelini et al. 2003; Michelini, 

Stefanel 2004). Per semplificare sia l‟analisi fenomenologia sia poi la successiva 

formulazione matematica ci si limita al solo caso della polarizzazione lineare, i cui stati 

e operatori possono essere descrivibili formalmente in uno spazio vettoriale 

bidimensionale su campo reale. 

Tale impostazione viene tradotta nel percorso didattico che viene presentato nel


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paragrafo 6, in 13 moduli. Ciascun modulo ha una sua autonomia e completezza, 

essendo ben definiti i prerequisiti che richiede, gli obiettivi che persegue e quindi gli 

apprendimenti degli studenti. 

Si avvia con l‟esplorazione del contesto fenomenologico della polarizzazione 

(modulo1), le cui leggi empiriche vengono interpretate in termini di interazioni a 

singolo fotone (modulo 2). Tre sono gli ingredienti metodologici su cui vengono 

sviluppati i successivi moduli della proposta didattica qui presentata: a) falsificazione di 

ipotesi; b) riconoscimento delle conseguenze implicite in tali ipotesi; c) costruzione 

delle idee fondanti della MQ. 

In particolare gli ingredienti a) e b) entrano in gioco nei moduli 3-4-5-6 del percorso 

presentato. Il terzo elemento caratterizza i moduli 7-10. I moduli 11-13 esplorano le 

conseguenze dell‟impianto concettuale e avviano alla generalizzazione dei risultati. 

Anche se i moduli sono presentati in forma di percorso sequenziale, si possono 

facilmente individuare alcuni percorsi alternativi nella rete dei collegamenti fra i 

moduli, come illustrato nel seguito. Essi si differenziano essenzialmente per i tempi di 

lavoro, gli obiettivi specifici a cui si mira prioritariamente, la collocazione nella 

programmazione annuale. 

2 L’approccio 

L'approccio seguito propone un‟analisi di contesti reali, prioritariamente scelti tra quelli 

offerti dall‟ottica fisica, per ricavare leggi empiriche che li descrivono. Per successivi 

livelli di formalizzazione si interpretano tali leggi considerando da subito la natura 

fotonica della luce in un quadro concettuale direttamente quantistico, evitando quindi 

qualsiasi ricorso alla interpretazione della fenomenologia nel contesto 

dell‟elettromagnetismo classico. Si affronta il nucleo della teoria a partire dal principio 

di sovrapposizione. La polarizzazione come proprietà quantistica della luce, 

riconosciuta fenomenologicamente mediante semplici esperimenti reali di interazione 

dei singoli fotoni con polaroid e materiali birifrangenti, viene quindi identificata come 

proprietà che caratterizza lo stato di un fotone, in una palestra concettuale di esperimenti 

ideali. 

3 La strategia 

La esplorazione dei contesti fenomenologici indagati e la costruzione delle leggi che li


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descrivono, vengono effettuata in base al ciclo PEC (Previsione, Esperimento, 

Controllo) (Thornton, Sokoloff 1999; Corni et al 2004; Michelini et al 2004b; 

Sperandeo 2004). Il primo passo prevede che gli studenti formulino ed esplicitino delle 

previsioni sull‟aspetto in osservazione, ovvero sulla grandezza rilevata sia 

qualitativamente, sia quantitativamente (ad esempio l‟intensità della luce rilevata da un 

sensore). Le richieste sono sempre mirate, non generiche e riguardano aspetti su cui i 

ragazzi possono formulare previsioni razionali da porre a confronto con l‟esperimento, 

nel secondo passo del ciclo. L‟obiettivo è quello di far emergere analogie e differenze e 

quindi i punti critici della ipotesi sulla base della quale è stata effettivamente formulata 

la previsione. Conclude il ciclo il riepilogo dei risultati ottenuti sperimentalmente e la 

formulazione di una nuova ipotesi da porre a confronto con l‟esito di un nuovo 

esperimento. 

Un ciclo analogo viene proposto per costruire l‟interpretazione. Si basa sulla 

formulazione delle diverse ipotesi con cui gli studenti interpretano uno specifico aspetto 

(ad esempio la natura della sovrapposizione di due stati di polarizzazione). Ciascuna di 

esse viene discussa in una o più situazioni sperimentali specifiche, con l‟intento di: 

verificarla o falsificarla; riconoscere le conseguenze concettuali che derivano da tale 

test. Gli studenti formulano previsioni su specifiche situazioni, che mirano a mettere in 

crisi l‟ipotesi scelta, e le confrontano con gli esiti sperimentali. Poiché si tratta di 

esperimenti ideali, l‟operatività viene garantita impiegando simulazioni e tools 

informatici sviluppati in precedenti ricerche (URDF 2002; Michelini et al 2002; Cobal 

et al 2002). Il terzo passaggio del ciclo ha una doppia uscita: a) confermare o rigettare 

l‟ipotesi sulla base del confronto con l‟esperimento, ovvero individuare nuove situazioni 

in cui fare tale test di falsificazione/verifica; b) esplorare ed esplicitare le implicazioni 

concettuali, che derivano dell‟esito positivo o negativo del test di validità dell‟ipotesi 

teorica considerata. 

In questo senso, a parte le prime e più ingenue ipotesi di interpretazione realistica dei 

fenomeni quantistici, nessuna ipotesi viene di fatto scartata. Ciascuna ipotesi infatti può 

essere ricondotta (se sviluppata coerentemente) a una delle diverse interpretazioni della 

teoria, in genere o quella standard o una a variabili nascoste. La strategia da adottare 

quindi non è quella di indirizzare i ragazzi verso una ipotesi piuttosto, che verso 

un‟altra, ma di spingerli ad esplorare con rigore argomentativo e logica sequenzialità 

ogni possibilità interpretativa e le conseguenze che ne derivano. Alle diverse ipotesi si


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assegna a priori uguale dignità, fornendo nel contempo motivazione ai ragazzi nel 

costruirle, gratificazione nel mostrare loro come sottoporle al vaglio sperimentale e 

come da ciascuna di esse, giusta o sbagliata che sia, può emergere la comprensione di 

un pezzo di realtà, per esempio riconoscendo implicazioni e conseguenze di ciascuna 

ipotesi. La formulazione standard della teoria o la sua formulazione statistica emergono 

alla fine del percorso come sbocco più semplice e lineare tra le diverse ipotesi 

formulate. 

4 L'impostazione 

L'esplorazione della fenomenologia della polarizzazione della luce (modulo 1) fa 

rivisitare la legge di Malus in termini di legge probabilistica, che descrive l‟interazione 

di fotoni con polaroid e cristalli birifrangenti (modulo 2). Il filtraggio di fotoni da 

polaroid viene letto nella prospettiva di preparazione ovvero di misura di una certa 

proprietà di un sistema fisico (la polarizzazione come proprietà della luce). Tale 

proprietà viene identificata con un simbolo per far emergere la differenza tra lo stato di 

un sistema, che viene descritto poi con un vettore (autostato), e le proprietà attribuibili 

al sistema quando si trova in detto stato, ossia i valori assunti dalle osservabili 

(autovalori) (modulo 3). Il riconoscimento di uno stato associato ad una proprietà fisica 

della luce (la polarizzazione) è il preludio all'individuazione di proprietà mutuamente 

esclusive, ciascuna delle quali risulta incompatibile con qualsiasi altra proprietà (di 

polarizzazione) (modulo 4). L'indeterminismo quantistico e l‟identicità dei sistemi 

quantistici vengono riconosciuti dal comportamento di fotoni polarizzati linearmente 

nell'interazione con polaroid. L‟impossibilità di associare una traiettoria ad un sistema 

quantistico, nel quadro della formulazione standard della teoria, viene discusso nel 

contesto della interazione di fotoni con due cristalli birifrangenti allineati uno diretto e 

l‟altro inverso (modulo 5). 

Mediante l'analisi del comportamento di fotoni quando interagiscono con cristalli 

birifrangenti, si riconosce che lo stato di polarizzazione secondo una certa direzione non 

possa essere considerato una miscela statistica di due stati di polarizzazione ortogonale, 

né i risultati sperimentali possano essere previsti sulla base di informazioni definite a 

priori e trasportate dai fotoni stessi. Emerge inoltre la necessità di dare una descrizione 

contestuale dei fenomeni, qualora si tenti di descrivere in senso deterministico la 

fenomenologia secondo un approccio tipico delle teorie deterministiche a variabili


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nascoste. Se ne conclude quindi, che anche secondo interpretazioni alternative i sistemi 

microscopici hanno comportamento essenzialmente non-classico (modulo 6). 

Lo stesso contesto, può essere l‟occasione per discutere il problema della teoria 

quantistica della misura e della difficoltà, che essa incontra nella descrizione dei sistemi 

macroscopici (Ghirardi, Grassi, Michelini 1995, 1996, 1997). 

La fenomenologia della polarizzazione è così semplice, che consente anche lo sviluppo 

del formalismo in modo accessibile a studenti di scuola superiore. Risulta infatti 

immediato mostrare come lo stato di un fotone polarizzato linearmente possa essere 

descritto da un vettore appartenente ad uno spazio vettoriale astratto bidimensionale su 

campo reale. Tale descrizione acquista valore interpretativo riconoscendo che essa è 

sufficiente a caratterizzare il comportamento statistico dei fotoni nell‟interazione con 

polaroid e cristalli birifrangenti (Ragazzon 2000). In altre parole consente, a partire da 

principi primi, di effettuare previsioni che sono consistenti con gli esiti sperimentali 

(modulo 7). 

Il carattere peculiare del principio di sovrapposizione emerge nel momento in cui si 

discutono i processi di interferenza quantistica. Da essi emerge il carattere non classico 

della logica sottesa alla interpretazione quantistica dei fenomeni (modulo 8) 

Si pone il problema della rappresentazione formale delle osservabili fisiche, 

riconoscendo l‟analogia tra come i polaroid operano sui fotoni selezionandone lo stato 

di polarizzazione e gli operatori di proiezione operano sui vettori di stato (modulo 9). Si 

motiva quindi alla esplorazione di come operatori lineari più generali operano sui vettori 

di stato, a partire dal caso più semplice delle combinazioni lineari di proiettori. Si 

costruisce l‟associazione operatori lineari-osservabili fisiche calcolando il valore di 

aspettazione dell‟osservabile polarizzazione in una definita direzione. Si riconosce che 

tale associazione fornisce una descrizione completa dell‟osservabile fisica considerata e 

in particolare i suoi autovalori e autovettori sono rispettivamente i possibili esiti delle 

misure di detta osservabile e i corrispondenti stati in cui si può trovare il sistema dopo la 

misura. (Michelini et al. 2000, 2001, 2003) (modulo 10) 

Si riepilogano i risultati ottenuti nel caso della polarizzazione facendo emergere le 

regole che consentono di generalizzare la descrizione quantistica fornita per la 

polarizzazione a sistemi qualsiasi, ossia di “quantizzare” i sistemi (modulo 11) 

Il concetto di incompatibilità, che organizza cognitivamente i diversi aspetti considerati 

trova esplicita formalizzazione nella non commutatività degli operatori lineari. È


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relativamente semplice allora mostrare che a variabili incompatibili vengono associati 

operatori non commutanti e che gli autovettori di uno di tali operatori sono esprimibili 

come combinazione lineare degli autovettori dell‟altro osservabile. Si ritrova quindi nel 

formalismo, il fatto che gli autostati di una delle osservabili considerate sono 

sovrapposizioni degli autostati dell‟altra osservabile. È molto semplice anche ottenere 

le relazioni di indeterminazione di Heisenberg, mostrando come esse siano implicite nel 

formalismo e siano una espressione dell‟esistenza di osservabili incompatibili (Onofri, 

Destri 1996, p.204). 

L'entanglement di sistemi quantistici correlati viene proposto con un'analisi 

fenomenologia, del tipo di quelle proposte da Mermin (1981, 1985), in particolare 

prendendo in esame l'esperimento tipo EPR a tre particelle correlate (Mermin 1990). 

Pur senza l'utilizzo del formalismo emergono la potenza predittiva del principio di 

sovrapposizione e il carattere non locale della teoria quantistica. (Michelini et al. 

2004b) (Modulo 13). 

5 Il percorso 

Si presenta qui il percorso didattico che ha costituito la base formativa e al tempo stesso 

è il frutto degli studi sul campo condotti con gli studenti e gli insegnanti in prima 

formazione (Stefanel 2001; Michelini et al. 2000, 2001, 2002; URDF 2002;). I diversi 

segmenti del percorso sono stati organizzati in moduli di attività omogenee come esito 

delle ricerche svolte in contesto nell‟ambito della presente tesi (Michelini et al. 2003; 

Michelini Stefanel 2004). 

5.1 Modulo 1 – La fenomenologia. 

Si osserva la luce di una lavagna luminosa trasmessa da uno, due o più polaroid, per 

riconoscere le caratteristiche della polarizzazione operativamente e in particolare la sua 

natura di proprietà trasversale della luce. 

La costanza dell‟intensità della luce trasmessa da un solo polaroid è evidente facendolo 

ruotare intorno a un asse verticale. Quando si sovrappongono due polaroid di forma 

rettangolare, si riconosce che l‟intensità della luce trasmessa dipende dal numero di 

polaroid sovrapposti e dall‟orientazione relativa dei due polaroid. La variazione


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dell‟intensità della luce trasmessa da un massimo, con i polaroid sovrapposti paralleli 2 , 

a un minimo, quando si ruota uno due polaroid di 90° (polaroid incrociati). Queste 

semplici osservazioni portano a riconoscere che: la luce emessa da sorgenti ordinarie 

non è polarizzata; la luce trasmessa da un filtro polarizzatore presenta una proprietà 

(polarizzazione) e che viene evidenziata quando essa passa attraverso un secondo filtro; 

il primo filtro quindi polarizza la luce, il secondo funge da analizzatore della 

polarizzazione della luce trasmessa dal primo filtro. Il fatto che con due polaroid 

incrociati si abbia un minimo di trasmissione, fa riconoscere che la polarizzazione è una 

proprietà trasversale rispetto alla direzione di propagazione della luce. 

D‟ora in poi per indicare l‟orientazione nello spazio dei polaroid si farà riferimento alla 

direzione che il suo lato più lungo (come si è detto si opera con polaroid di forma 

rettangolare) assume intorno alla direzione di propagazione del fascio di luce incidente. 

Per esempio un polaroid con il lato più lungo verticale (orizzontale) si indicherà come 

“polaroid verticale” (“orizzontale”). 

Il ruolo attivo dei polaroid nella interazione con la luce emerge dalla osservazione che 

l‟intensità della luce trasmessa da tre polaroid dipende in modo cruciale dall‟ordine di 

successione dei polaroid: se due polaroid successivi sono incrociati si ha un minimo di 

trasmissione indipendentemente dall‟orientazione del terzo filtro; quando tra due 

polaroid incrociati si interpone un filtro obliquo, la luce trasmessa ha intensità 

intermedia. 

Le leggi fenomenologiche (Malus, trasmittività), che descrivono quantitativamente la 

principale fenomenologia della polarizzazione, vengono poste su basi quantitative 

attraverso misure di intensità luminosa effettuate con sensori on-line (5). In particolare 

se si opera con luce laser, si ottiene che la fenomenologia viene ben sintetizzata dalla 

relazione: 

It = Io T cos 2 

con It e Io intensità della luce incidente e trasmessa, T= Itmax/Io coefficiente di 

trasmissione del polaroid e angolo formato dai due polaroid, partendo da = 0° per 

trasmissione massima. 

La stessa legge fenomenologia descrive un‟altra fenomenologia in cui la polarizzazione 

ha un ruolo determinante: quella della birifrangenza. Essa è tipica di tutti i mezzi 

anisotropi come ad esempio i cristalli non a reticolo cubico. Si manifesta 

2 I polaroid sono ritagliati in forma rettangolare per farne riconoscere l‟anisotropia strutturale.


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macroscopicamente in cristalli di calcite tipo spato d‟Islanda, come doppia rifrazione di: 

un fascio, che viene rifratto secondo la legge ordinaria della rifrazione e viene pertanto 

chiamato fascio ordinario; un fascio, che viene rifratto in modo anomalo e viene 

chiamato straordinario. Tale fenomeno è immediatamente evidente collocando un 

cristallo sopra alla pagina di un libro o utilizzando anche in questo caso, come con i 

polaroid, una lavagna luminosa sulla quale si è posto un foglio di triacetato con 

disegnata una lettera o un semplicemente un puntino. 

Con un polaroid analizzatore si riconosce che i due fasci trasmessi nel cristallo hanno 

sempre polarizzazioni ortogonali. 

Se si appoggia il cristallo sopra ad un polaroid e lo si ruota intorno ad un asse verticale, 

si riconoscono due posizioni in cui si ha uno solo dei due fasci trasmessi (o solo il fascio 

straordinario o solo quello ordinario). Si passa da una posizione all‟altra ruotando di 90° 

il cristallo. In tali situazioni estreme in cui si propaga un solo fascio nel cristallo, si 

riconosce che la luce trasmessa ha la stessa polarizzazione della luce indicente. Si 

conclude, che quando sul cristallo incide luce che ha la stessa polarizzazione del fascio 

ordinario (straordinario), solo quest‟ultimo si propaga. Analoghe osservazioni si 

possono ripetere utilizzando come sorgente un laser. 

Anche in base a una semplice osservazione qualitativa, si può riconoscere che se la 

polarizzazione della luce incidente è intermedia nel cristallo si propagano due fasci la 

cui intensità relativa rispetto alla intensità incidente è data dalla legge di Malus. Quando 

in particolare la luce indicente ha polarizzazione a 45°, i due fasci trasmessi hanno la 

stessa intensità. 

Nel caso in cui si utilizzino cristalli birifrangenti commerciali le misure quantitative 

sono più complesse da effettuare, a causa di processi di diffusione difficilmente 

eliminabili e controllabili (un minimo cambiamento nella punto di incidenza del fascio 

laser può portare al fatto che i fasci trasmessi nel cristallo intercettino dislocazioni e 

impurezze del cristallo). Se l‟esplorazione qualitativa è ampia e ripetuta, prima per 

osservazione diretta sulla lavagna luminosa e poi con il laser, non è cruciale l‟assenza di 

misure quantitative. 

5.2 Modulo 2 – Dalla fenomenologia alla interpretazione probabilistica 

La natura fotonica della luce e i risultati che si ottengono operando a basse intensità, 

pongono il problema di come rendere conto della fenomenologica della polarizzazione


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come esito dell‟interazione di singoli fotoni con i polaroid. Con simulazioni 

(PERGKSU 2004 ) si ricostruiscono gli esiti dei processi a singolo fotone, per far avere 

esperienza di come sia possibile che la stessa legge fenomenologica osservata in 

laboratorio facendo incidere su un polaroid un fascio intenso di N fotoni, venga 

riottenuta facendo incide sui polaroid singoli fotoni e reiterando N volte il processo. 

Si riformula allora la legge fenomenologica di trasmissione di luce che incide su un 

polaroid, in termini di probabilità di trasmissione Pt dei singoli fotoni del fascio: 

P 

t 

I 

I 

t 

o 

N 

N 

t 

o 

2 

T cos 

Per far riconoscere il significato probabilistico delle leggi sperimentali è stata messa a 

punto la strategia di ridurre progressivamente l‟intensità dei fasci utilizzati negli 

esperimenti simulati. Con fasci intensi il confronto tra il dato sperimentale e l‟esito della 

simulazione è immediato. La stocasticità dell‟interazione tra fotoni e polaroid emerge 

riconoscendo gli esiti, profondamente diversi fra loro, di esperimenti effettuati con 

pochi fotoni alla volta. L‟indeterminismo quantistico viene riconosciuto operativamente 

come problema a cui dare risposta interpretativa, attraverso la descrizione probabilistica 

dei fenomeni. 

Per focalizzare l‟attenzione sulla sola polarizzazione, si passa dal caso reale, in cui il 

coefficiente di trasmissione dei polaroid è T 1, a quello ideale, in cui T=1. Il passaggio 

viene costruito considerando luce che incide su: due polaroid (paralleli; a 45°; 

incrociati) o tre polaroid (paralleli; a 45° uno rispetto al seguente). Le previsioni su 

ciascuna situazione, per T 1 e per T=1, vengono confrontate con gli esiti degli 

esperimenti, in situazione rispettivamente reale e ideale. Le differenze quantitative 

permettono di riconoscere operativamente il significato di porre T=1, ossia di operare in 

contesto ideale come viene proposto nel seguito, in cui si assume che non vi siano tutti i 

fenomeni che caratterizzano l‟interazione della luce con un normale filtro rifrangente. 

5.3 Modulo 3 – Proprietà dei fotoni e loro rappresentazione iconografica. 

Fotoni preparati filtrandoli con un polaroid verticale (orizzontale) incidono su un 

secondo polaroid verticale. La probabilità di trasmissione dei fotoni dal secondo 

polaroid è unitaria. L‟esito certo di questo esperimento porta ad attribuire, almeno 

operativamente, una proprietà V (H) ai fotoni trasmessi dal primo polaroid 

,


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(polarizzazione verticale (orizzontale)). Tale proprietà viene indicata d‟ora in poi con 

con il simbolo (*). 

In modo analogo si può operativamente attribuire una specifica proprietà a un fotone 

trasmesso da un filtro orientato di un angolo rispetto alla direzione verticale. Nel caso 

particolare in cui = 45°, la proprietà che può essere attribuita al fotone si indicherà nel 

seguito con il simbolo . Per = 135°, si utilizzerà il simbolo . 

Proprio per come viene attribuita la proprietà di polarizzazione, il sapere che un fotone 

possiede una specifica proprietà, per esempio la proprietà , consente di prevedere con 

certezza che il fotone verrà trasmesso da un polaroid verticale. Il problema che si pone 

ora è se tale conoscenza consente in ogni caso di effettuare previsioni certe. 

5.4 Modulo 4. Proprietà mutuamente esclusive e proprietà incompatibili. 

Si considera allora l‟interazione di fotoni preparati filtrandoli con un polaroid orientato 

secondo una definita direzione, a cui quindi è stata attribuita una definita proprietà, con 

polaroid orientato secondo un‟altra direzione. 

a) Fotoni con proprietà (cioè polarizzati verticalmente) che incidono su un polaroid 

orizzontale verranno sicuramente assorbiti (Pt =0). Analogamente fotoni con proprietà * 

(cioè polarizzati orizzontalmente) verranno sicuramente assorbiti da un polaroid 

verticale (Pt =0). L‟attribuzione della proprietà (*), quindi, esclude la possibilità che il 

fotone possieda anche la proprietà * ( ). Per questo motivo le proprietà e * si dicono 

mutuamente esclusive. 

Un ragionamento analogo potrebbe essere fatto con fotoni polarizzati a 45° e a 135°. In 

questo caso si concluderebbe che sono mutuamente esclusive le proprietà: e . 

In altri termini, a qualsiasi coppia di polarizzazioni ortogonali si associano proprietà 

mutuamente esclusive. 

B) Fotoni con proprietà , che incidono su un polaroid orizzontale FH oppure verticale 

FV hanno probabilità ½ di venire trasmessi. Se, con un altro polaroid, si analizza la 

polarizzazione dei fotoni trasmessi da FH o FV, si trova che essi hanno rispettivamente 

polarizzazione orizzontale oppure verticale, ovvero proprietà * o . 

Dati gli esiti di questo esperimento, si può fare la seguente ipotesi A: 

Ipotesi A { } ¿ = ? { } {**}


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Un fascio di fotoni polarizzati a 45°, cioè con proprietà , è formato per 

metà da fotoni con polarizzazione verticale, cioè con proprietà , e per 

metà da fotoni con polarizzazione orizzontale, cioè con proprietà *. 

L‟ipotesi A rende conto dell‟interazione di fotoni con proprietà con un polaroid 

orizzontale o verticale (viene trasmessa la metà dei fotoni che ha proprietà * o quella 

che ha proprietà ), con due polaroid incrociati il primo verticale e il secondo 

orizzontale (non viene trasmesso alcun fotone in quanto la metà dei fotoni con proprietà 

* viene assorbita dal primo polaroid, e la metà dei fotoni con proprietà dal secondo 

polaroid). 

Può essere allora sottoposta alla prova sperimentale considerando situazioni in cui un 

fascio di N fotoni polarizzati a 45° incidono su due polaroid incrociati o paralleli tra i 

quali è stato inserito un terzo polaroid a 45°. Nella figura seguente viene riepilogato tale 

confronto. In entrambi i casi, sperimentalmente dal terzo polaroid vengono trasmessi in 

media 1/8 dei fotoni incidenti. In base alla ipotesi A si dovrebbero ottenere 

rispettivamente 0 e N/4 fotoni trasmessi. 

Previsioni in base a ipotesi A Esperimento 

= 

**** 

L‟inconsistenza delle previsioni basate sull‟ipotesi A con i dati sperimentali è evidente. 

È, quindi, necessario concludere che: 

un insieme di N fotoni 

con proprietà 

Ossia in simboli: 

0 

Nt/N 1 ½ ¼ 0 1 ½ ¼ 1 / 8 

= 

**** 

Nt/N 1 ½ ¼ ¼ 1 ½ ¼ 1 / 8 

Figura 5.1. Previsioni in base all‟ipotesi A 

si comporta statisticamente 

in modo diverso da 

un insieme formato da 

N/2 fotoni con proprietà 

N/2 fotoni con proprietà * 

*


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**** 

Questo significa che la proprietà è incompatibile sia con la proprietà , sia con la 

proprietà *. 

Tale risultato non è limitato a queste sole coppie di proprietà. È immediato riconoscere 

che anche la proprietà è incompatibile sia con la proprietà , sia con la proprietà *. 

5.5 Modulo 5. Identicità e indeterminismo quantistico 

Si possono esaminare ora le conseguenze che derivano dalla conclusione raggiunta. 

A) Identicità delle particelle quantistiche. 

L‟esclusione della ipotesi A, ovvero la conseguente conclusione della incompatibilità tra 

le proprietà e o tra le proprietà e * comportano, che tutti i fotoni polarizzati a 45° 

sono identici. Ciascun fotone possiede la sola proprietà , che lo caratterizza rispetto a 

fotoni con altre polarizzazioni, ma al tempo stesso lo rende del tutto identico a fotoni 

che hanno la stessa polarizzazione 3 . 

B) Indeterminismo nei fenomeni quantistici. 

Fotoni polarizzati a 45°, che interagiscono con un polaroid verticale o orizzontale, 

possono essere assorbiti o trasmessi, nel caso specifico con uguale probabilità. Si 

osserva quindi che fotoni con proprietà , ossia fotoni identici fra loro, interagiscono 

con uno stesso apparato (lo stesso polaroid) con esiti drasticamente diversi 

(assorbimento o trasmissione). È questo un esempio di quello, che prende il nome di 

indeterminismo quantistico, che è non epistemico, ossia non legato a una limitata 

conoscenza sul fenomeno. Esso esprime il fatto che sistemi identici, quindi preparati 

nello stesso stato iniziale, evolvono in modo indeterministico quando interagiscono con 

uno stesso apparato di misura. 

L‟indeterminismo quantistico è una conseguenza diretta della esistenza di proprietà 

incompatibili. 

Il fatto che non si possano attribuire simultaneamente ad un sistema tutte le proprietà 

che ad esso possono essere associate (osservabili), è un modo di esprimere il principio 

3 Alcuni studenti sostengono che i fotoni potrebbero non essere identici in quanto pur possedendo tutti la stessa 

polarizzazione, potrebbero manifestarla con “intensità diversa”. Tale ipotesi non è coerente con l‟ipotesi A e va discussa 

a parte. Essa infatti è concettualmente uguale alla ipotesi B presentata nel paragrafo successivo e si differenzia da 

quest‟ultima solo per la formulazione.


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d’indeterminazione in fisica quantistica, il cui significato è l‟'impossibilità di osservare 

contemporaneamente due proprietà incompatibili. 

C) Il processo di misura 

Il fatto che sistemi preparati nello stesso stato iniziale interagiscano con lo stesso 

apparato di misura (il polaroid) in modo profondamente diverso 

(assorbimento/trasmissione) evidenzia che il processo di misura influenza in modo 

irreversibile lo stato del sistema stesso facendolo collassate in modo genuinamente 

stocastico in uno dei possibili stati finali. 

D) Traiettorie e particelle quantistiche. 

Come è stato visto nel primo modulo, quando un fascio di luce polarizzata 

verticalmente incide su un cristallo birifrangente, in esso si propagano due fasci, uno 

ordinario e l‟altro straordinario, che hanno la stessa intensità e polarizzazioni 

mutuamente perpendicolari (a 45° e a 135° rispettivamente). Vi è quindi una stretta 

correlazione tra polarizzazione e cammino seguito dal fascio di luce. Data l‟unitarietà di 

ciascun fotone, sorge immediatamente l‟esigenza di capire su quale cammino si 

trasmettano nel cristallo i singoli fotoni, ovvero di capire se sia possibile attribuire una 

traiettoria a ciascun fotone. 

Se il fascio incidente è molto debole e si pongono due rivelatori, R1 all‟uscita del fascio 

ordinario e R2 all‟uscita del fascio straordinario, si osserva che: 

- per ciascun fotone incidente sempre uno e uno solo dei due rivelatori scatta 

- in media, nel 50% dei casi scatta il rivelatore R1 e nel 50% scatta il rivelatore R2 

- se si interpone uno schermo a coprire entrambi i fasci, nessun rivelatore scatta 

- se la luce incidente ha polarizzazione a 45° (o a 135°), ossia quella del fascio 

ordinario (straordinario), si osserverebbe che scatta il solo rivelatore R1 (R2) nel 

100% dei casi. 

Gli esiti sperimentali porterebbero immediatamente all‟idea (ipotesi A‟) che quando sul 

cristallo incidano dei fotoni con polarizzazione verticale (con proprietà ), 50% di essi 

in media segua il cammino del fascio ordinario (quindi abbia polarizzazione a 45° ossia 

la proprietà ) e 50% di essi segua quello del fascio straordinario (quindi abbia 

polarizzazione a 135° ossia la proprietà ). 

L‟ipotesi A‟ prevede, che il fascio, di fotoni con proprietà , si scinda in due fasci 

distinti: ciascuno dei quali formato da fotoni con una ben definita proprietà, o o , 

incompatibile con la proprietà . Quindi l‟ipotesi A‟ prevede a posteriori, cioè dopo che


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i fotoni hanno interagito con il cristallo birifrangente, ciò che l‟ipotesi A prevedeva a 

priori, ossia prima dell‟interazione con il polaroid. 

Questa sottile differenza, spinge a esplorare un caso più complesso, per mettere alla 

prova diretta con l‟esperimento l‟ipotesi A‟. Si considera la seguente situazione. 

Si dispongono due cristalli di calcite uno inversamente all‟altro (uno è l‟immagine 

speculare dell‟altro), in modo che i fasci che si trasmettono nel primo cristallo si 

ricompongano nel secondo cristallo. Si usano due polaroid per analizzare la 

polarizzazione del fascio incidente sul primo cristallo e di quello emergente dal secondo 

cristallo. Almeno in situazione ideale, si ha che la polarizzazione del fascio trasmesso 

dai due cristalli risulta uguale a quella della luce incidente, qualunque essa sia 4 . Quindi 

in particolare se sul primo dei due cristalli incide un fascio di luce polarizzato 45°, 

quindi con proprietà (135° con proprietà ) dal secondo cristallo emerge il solo fascio 

ordinario (straordinario). 

Si potrebbe pensare di applicare l‟ipotesi A‟ supponendo che il secondo cristallo 

ricombini i fasci operando in modo inverso a come opera il cristallo diretto. Questo 

porterebbe però immediatamente a contraddire l‟osservazione che un fascio con 

polarizzazione a 45° (o a 135°) emergerebbe sempre come unico fascio con 

polarizzazione a 45° (135°). 

Bisogna dunque ritenere che: se il primo cristallo separa il fascio incidente, formato da 

fotoni tutti uguali con proprietà , in due fasci con proprietà e rispettivamente ; allora 

il fascio di fotoni che emerge dal secondo cristallo è formato da due sottofasci di fotoni 

ciascuno con proprietà e rispettivamente . 

Il secondo cristallo quindi sovrappone i due fasci, mescolando i fotoni dei due fasci, ma 

non facendoli ritornare identici (sarebbero distinguibili in linea di principio per la 

diversa proprietà che trasportano). 

Come si vede nella figura 5.2. le previsioni basate sull‟ipotesi A‟ risultano inconsistenti 

con i risultati sperimentali esattamente per lo stesso motivo per cui, l‟ipotesi A 

configgeva con l‟esperimento: la proprietà è incompatibile sia con la proprietà , sia 

con la proprietà . Bisogna dunque rigettare l‟ipotesi A‟ e tutte le conseguenze che ne 

derivano. Data la corrispondenza tra cammino dei fotoni e polarizzazione, tali 

conseguenze coinvolgono proprio l‟attribuzione di una traiettoria al fotone 

4 Questo è un risultato che si ottiene in condizioni accidentali particolarmente favorevoli. L‟effetto di ricombinazione 

della polarizzazione è inoltre minimo essendo mascherato dalla presenza dei fasci non completamente ricombinati.


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In base all‟ipotesi A‟ la presenza dello schermo su uno dei due cammini non dovrebbe 

influenzare ciò che accade sull‟altro cammino. Si potrebbe, quindi, in linea di principio 

riconoscere quale cammino viene percorso da ciascun fotone. Come si vede in figura 

seguente, se si interpone lo schermo su uno dei cammini si ottiene che solo ¼ dei fotoni 

incidenti viene effettivamente trasmesso dal secondo polaroid. La previsione basata 

sull‟ipotesi A‟ (½ dei fotoni viene trasmesso) corrisponde alla somma degli esiti ottenuti 

schermando alternativamente uno dei due cammini. 

Si giunge allora alle seguenti conclusioni. 

? 

Conclusione D1. In assenza di uno schermo tra i due cristalli, i fotoni trasmessi da essi: 

non seguono il cammino del fascio ordinario (emergerebbero con polarizzazione 

45° e solo in metà dei casi supererebbero il test del polaroid V) 

non seguono il cammino del fascio ordinario (emergerebbero con polarizzazione 

135° e solo in metà dei casi supererebbero il test del polaroid V) 

Esperimento 

Ipotesi A’ 

Figura 5.2 Fotoni a 45 incidono sul sistema dei due cristalli inversi. 

Le previsione in base all‟ipotesi A‟ sono state fatte ipotizzando che il cristallo non ricombini i 

sistemi.


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non seguono entrambi i cammini (un fotone è un ente unitario e non se ne osserva 

mai ½ - se si intercetta uno dei fasci con lo schermo si rivela o 1 fotone o 0 fotoni) 

non seguono altri cammini (se si schremano entrambi i cammini non si osserva 

alcun fotone oltre il secondo polaroid). 

Non è dunque possibile attribuire una specifica traiettoria ai fotoni. Si osserva che tale 

impossibilità è riferita a traiettorie macroscopicamente distinguibili. Non si tratta quindi 

di un problema di bassa risoluzione o di disturbo microscopico del sistema, ma di un 

aspetto intrinseco. L‟impossibilità di attribuire una traiettoria ai fotoni, non è dovuta 

alla impossibilità a conoscerla, ma piuttosto alla impossibilità a concepire una tale 

attribuzione. 

Conclusione D2. Dalla discussione fatta potrebbe sembrare che quando si interpone lo 

schermo sul cammino di uno dei due fasci, si possa affermare che un fotone segua una 

traiettoria. In realtà ciascuno dei due cammini non può essere considerato come una 

vera e propria traiettoria. Esso va considerato, piuttosto, come un canale di trasmissione, 

che prevede comunque multiple alternative microscopiche. Proprio sulla base della 

conclusione precedente, bisogna concludere che non è possibile attribuire una traiettoria 

al fotone, neppure quando uno solo dei fasci si propaga nel cristallo. 

Esperimento 

Esperimento 

Esperimento 

Figura 5.3.Fotoni verticali 

Le previsione in base all‟ipotesi A‟ sono state fatte ipotizzando che il cristallo non ricombini i fasci 

Conclusione D3. La presenza dello schermo su uno dei cammini modifica 

profondamente non solo ciò che accade ai fotoni che impattano su di esso, ma anche a


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quelli che vengono trasmessi seguendo l‟altro cammino. Il contesto dell‟esperimento, 

modifica quindi lo stato del sistema non solo nel momento in cui interagisce 

direttamente attraverso un potenziale, con esso, ma anche quando non vi è interazione 

diretta. 

L‟evidenza sperimentale quindi spinge proprio a ritenere che una modifica del contesto 

comporti una alterazione non-locale dello stato di un sistema. 

5.6 Modulo 6 – Esplorazione di ipotesi alternative 

Nel formulare l‟ipotesi A sono state fatte le seguenti assunzioni, la prima esplicita, la 

seconda implicita: A) si può associare una ben precisa proprietà ai fotoni, solo dopo 

averli sottoposti a un processo di preparazione (una misura); B) ritenere che il polaroid 

sia un filtro passivo, ossia operi sui fotoni assorbendoli o trasmettendoli a seconda della 

proprietà che essi possiedono, ma senza modificarne le proprietà. Si esplora qui quali 

conseguenze derivano dal formulare ipotesi alternative alla ipotesi A. 

Formulazione e esplorazione dell’ipotesi B 

Ipotesi B 

Quando si prepara un fascio di fotoni filtrandoli con un polaroid, per esempio, a 

45°, tutti i fotoni possiedono la stessa proprietà , che caratterizza i fotoni con 

polarizzazione a 45°, ma possiedono anche o la proprietà * o la proprietà , che 

caratterizzano fotoni con polarizzazione orizzontale e rispettivamente verticale 

In base a questa ipotesi tale ulteriore proprietà è quella che determina il modo in cui i 

fotoni interagiscono con polaroid verticali o orizzontali. Si suppone inoltre che i 

polaroid operino come filtri passivi. 

In base a questa ipotesi le proprietà e , ossia e *, non sono incompatibili, perché 

l‟attribuzione viene fatta a priori, ossia non in seguito a una misura. 

Per mostrare che questa ipotesi non può essere in accordo con i risultati sperimentali 

basta riconsiderare le situazioni già viste in precedenza: un fascio di fotoni polarizzati a 

45° incide su tre polaroid sovrapposti: il primo V, il secondo a 45°, il terzo H; il primo 

V, il secondo a 45°, il terzo V. 

? = ? 

In figura viene sintetizzato il confronto tra le previsioni basate sull‟ipotesi B1 e l‟esito 

* * 

sperimentale, da cui emerge immediatamente il disaccordo tra essi.


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Si potrebbe cercare di modificare l‟ipotesi supponendo di aumentare il numero di 

proprietà possedute a priori dai fotoni, per tener conto della presenza degli ulteriori 

polaroid inseriti. In questo caso si dovrebbe ipotizzare che alcuni fotoni possiedano 

contemporaneamente oltre alla proprietà anche le proprietà e *. Si dovrebbe cioè 

ipotizzare che vi siano alcuni fotoni che possano venir trasmessi indifferentemente da 

Previsioni in base alla ipotesi B1 Esperimento 

= 

* * * * 

un polaroid V e da un polaroid H. Questo però è in evidente contrasto con i più semplici 

esperimenti considerati. 

L‟ipotesi B potrebbe essere ulteriormente modificata, ipotizzando che le proprietà 

attribuite ai fotoni non siano in realtà proprietà dei fotoni, ma siano la manifestazione 

dell‟interazione dei fotoni con i polaroid. In questo senso si potrebbero sempre rileggere 

i risultati sperimentali attribuendo ai fotoni le opportune proprietà. Poiché tali proprietà 

non avrebbero senso in assoluto, ma solo in relazione all‟apparato di misura (il 

contesto), non avrebbe più senso parlare né di proprietà incompatibili, né di proprietà 

mutuamente esclusive, in quanto a fotoni filtrati con un polaroid per esempio a 45° 

dovrebbero essere assegnate proprietà diverse a seconda del dispositivo di polaroid con 

cui verrebbero fatti intergire (il contesto). 

0 

Nt/N 1 ½ ½ 0 1 ½ ¼ 1 / 8 

= 

* * * * 

Nt/N 1 ½ ½ ½ 1 ½ ¼ 1 / 8 

Figura 5.4 Ipotesi a confronto 

Il carattere contestuale di questa ipotesi, ossia il fatto che le proprietà attribuite ai fotoni 

dipendano dall‟apparato usato comporta che tale dipendenza non debba solo riferirsi al 

contesto attuale, ma addirittura al contesto futuro. Per esempio si potrebbe pensare che 

un fotone, una volta preparato filtrandolo con un primo polaroid V venga fatto interagire 

con un secondo polaroid, la cui orientazione venga fissata a caso sulla base dell‟esito 

del lancio di un dado secondo una di 6 possibili orientazioni diverse. L‟esito 

dell‟esperimento potrebbe ancora venire interpretato sulla base di proprietà possedute 

dai fotoni quando vengono emessi dalla sorgente (a priori), ma tali proprietà dovrebbero 

essere determinate dalla orientazione assunta dal polaroid successivamente (a 

*


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posteriori). Una situazione più complicata e un maggiore insieme di proprietà, 

evidentemente, non cambierebbe le cose. 

Percorrere sino in fondo la strada dell‟ipotesi B, cercando di giustificare i risultati 

sperimentali sulla base di proprietà possedute a priori dai fotoni, comporta 

automaticamente arrivare a una teoria contestuale. In tale teoria le proprietà di cui si 

parla non sono proprietà dei fotoni, ma sono semplicemente la manifestazione del modo 

cui i fotoni interagiscono con gli apparati di misura. 

Formulazione e esplorazione dell’ipotesi B’. 

L‟ipotesi B‟ è uguale all‟ipotesi B, con la semplice differenza che i polaroid svolgono 

ora un ruolo attivo. 

Se si usano polaroid, per esplorare questa ipotesi, ci sarebbe sempre il modo di 

ipotizzare qualche effetto ad hoc che permetta di rendere conto dei fenomeni. Si può 

allora impiegare soltanto i cristalli birifrangenti, per mostrare che di fatto l‟ipotesi B‟ 

non comporta differenze sostanziali dalla ipotesi B. 

Si considera il caso di un fascio di fotoni che incide su un primo cristallo diretto. In 

corrispondenza all‟uscita del fascio ordinario e di quello straordinario si pongono due 

rivelatori ciascuno dei due quali scatterà in media, per ciascuno dei fotoni incidenti, il 

50% delle volte. 

In base alla ipotesi B‟ si può ipotizzare che 50% dei fotoni segua il percorso del fascio 

ordinario e 50% dei fotoni seguano il percorso del fascio straordinario. Si deve cioè 

ritenere che il fascio di luce incidente sia composto per metà da fotoni con entrambe le 

proprietà e e per l‟altra metà da fotoni con entrambe le proprietà e . 

Previsioni in base alla ipotesi B1 Esperimento 

Nt/N 1 R1: ½ R2: ½ 1 R1: ½ R2: ½ 


R2 

R1 

50% 

delle volte 

50% 

Non vi sono differenze tra i due esiti. Secondo l‟ipotesi B‟ si può pensare ancora di 

attribuire un cammino a ciascun fotone, a seconda della proprietà che esso ha. Tale 

traiettoria non è conoscibile a priori, in quanto il processo di preparazione dei fotoni 

consente solo di sapere che essi hanno tutti proprietà , ma non di sapere quali di essi 

hanno proprietà o . Pertanto si deve comunque descrivere probabilisticamente il 

R1 

R2 

50% 

50%


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fenomeno. In questo caso però si tratta di indeterminismo epistemico, ossia dovuto a 

una non completa conoscenza sul sistema 5 . 

Si può sottoporre la ipotesi B‟ a ulteriore test. I fotoni trasmessi dal primo cristallo 

vengono fatti incidere su un secondo cristallo birifrangente diretto, ma ruotato intorno 

alla direzione del fascio incidente di 45° (Pospiech 2000a) 

I due fasci che emergono dal primo cristallo, hanno polarizzazione 45° e 135°, ossia 

proprietà e . In base all‟ipotesi B‟ devono anche mantenere la proprietà . 

In base all‟ipotesi B‟ entrambi i fasci dovrebbero seguire o il cammino di un fascio 

ordinario o quello di un fascio straordinario. La polarizzazione V, infatti, corrisponde a 

quella di uno dei due fasci che si possono propagare nel secondo cristallo. 

Sperimentalmente si osservano invece quattro fasci: due hanno polarizzazione V e due 

hanno polarizzazione H. Le due coppie di fasci, uno con polarizzazione H e l‟altro con 

polarizzazione V, sono generate da ognuno dei due fasci emergenti dal primo cristallo. 

Il quadro, quindi, è esattamente lo stesso di quello discusso per la ipotesi B. L‟unica 

possibilità di preservare una descrizione deterministica dei fenomeni descritti, in cui il 

concetto di traiettoria ha un senso è sviluppare una teoria contestuale. 

5 Questo è ovviamente in contrasto con la conclusione D1 ottenuta discutendo l‟ipotesi A (modulo 5), 

secondo cui è impossibile attribuire una traiettoria a un fotone. Secondo quella conclusione, pur senza 

poter dire che il fotone ha percorso uno dei due cammini, dovrebbe essere l‟interazione con i rivelatori a 

determinare l‟esito finale dell‟esperimento (scatta R1, scatta R2). 

???? 

Figura 5.6 La luce incide su una coppia di cristalli di cui uno ruotato 

di 45°. Quante immagini si formano?


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Formulazione dell‟ipotesi C. 

Resta ancora da esplorare la seguente ulteriore ipotesi: 

Ipotesi C ????? 

I polaroid agiscono attivamente sui fotoni modificando la proprietà che ad essi può 

essere attribuita, ovvero agiscono modificandone lo stato, indipendentemente dal fatto 

che il fotone venga assorbito a trasmesso. Le proprietà attribuite ai fotoni dopo la misura 

sono incompatibili con le proprietà del sistema prima della misura. 

In base a questa ipotesi un cristallo birifrangente non modifica lo stato del fotone. È 

l‟interazione con il rivelatore che determina tale modifica. 

In particolare nel caso della propagazione tra i due cristalli inversi discussa nel modulo 

5, non vi è modifica nello stato dei fotoni trasmessi. Essi si propagano in una in uno 

stato di sovrapposizione di due stati. Tale sovrapposizione comporta l‟impossibilità di 

attribuire uno dei due possibili cammini macroscopici della luce. 

Lo sviluppare l‟ipotesi C apre la strada a un modo tutto nuovo di descrivere, 

interpretare e formalizzare i fenomeni come discusso nei moduli successivi. 

Al termine di questo modulo si possono riepilogare le tre principli ipotesi, che sono 

state denotate con A, B e C, e le rispettive implicazioni concettuali: 

A) Comporre gli stati equivale a comporre le proprietrà che li definiscono. È la più 

immediata e traduce gli impliciti della fisica classica (visti nel paragrafo 2.2). La sua 

palese inconsistenza comporta già il riconoscere che gli impliciti della fisica classica 

e le modalità tipiche di descrizione classica devono essere abbandonate 

nell‟analizzare i fenomeni microscopici 

B) Gli esiti di misure sono sempre il risultato di proprietà preesistenti del sistema. 

Traduce la linea di pensiero dei tentativi di descrivere in modo deterministico i 

processi microscopici 6 . quella che avvia a una teoria a variabili nascoste. Ricalca da 

vicino le idee di Einstein sulla MQ. Trova espressione formale (anche se non gradita 

ad Einstien) nella teoria a variabili nascoste di De Broglie-Bohm. Mette in evidenza 

che anche in approcci alternativi, bisogna ammettere che i sistemi microscopici si 

comportino in modo essenzialemnte non-classico. Viene discussa fino a far 

emergere la contestualità (e non località implicita) delle variabili come la 

polarizzaizione. 

C) L‟interazione di un sistema quantistico con un apparato di misura comporta una 

transizione dallo stato iniziale, allo stato finale genuinamente stocastica. È quella 

6 Viene sempre intrapresa dagli studenti.


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che porta alla MQ standard. Diventa la soluzione più lineare alla problematica, per 

quanto quella apparentemente più lontana dall‟intuito. Apre la strada alla 

costruzione del formalismo. 

5.7 Modulo 7. Lo stato quantistico e la sua rappresentazione formale. 

Nel presente paragrafo si costruisce 

una descrizione formale della 

fenomenologia avendo come guida 

l‟ipotesi C. L‟interazione di fotoni, 

preparati con un primo polaroid F1, 

che incidono su un secondo polaroid 

F2 (ideale), viene descritta in termini 

di probabilità di trasmissione Pt 

secondo la legge fenomenologica di 

Malus: 

Pt = Nt/N = cos 2 , 

con N numero di fotoni incidenti, Nt numero di fotoni trasmessi, angolo formato da 

due direzioni fissate sui 

polaroid che risultano 

parallele quando si ha un 

massimo di trasmissione. 

Se U e W sono i versori 

delle direzioni sui polaroid, 

in modo che essi siano 

paralleli quando si ha un 

massimo di trasmissione, la 

legge di Malus viene 

Fotoni 

non 

polarizzati 

Fotoni 

non 

polarizzati 

Polaroid F1 

espressa sinteticamente. Pt = cos 2 = (U · V) 2 , ossia dal quadrato del prodotto scalare 

tra i versori U e V. Tale relazione, per quanto consenta di descrivere tutta la 

fenomenologia, non dice nulla sulla natura dello stato dei fotoni. 

Polaroid F2 

Figura 5.7 La legge di Malus è data dal prodotto 

scalare dei due versori che individuano 

l‟orientazione dei polaroid 

Si può osservare allora che quando è stata associata una definita proprietà ai fotoni, si è 

considerata la situazione in cui dopo un primo polaroid se ne poneva un altro parallelo. 

L‟assegnazione della proprietà ai fotoni filtrati dal primo polaroid ha senso in quanto 

W 

U 

Polaroid 1 Polaroid 2 

=0 

U 

Fotoni 

incidenti 

N 

U 

U 

Fotoni con la stessa 

proprietà 

Figura 5.8 Fotoni con la stessa proprietà 

W 

Fotoni 

Trasmessi 

Nt =N


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l‟interazione con un secondo polaroid parallelo al primo (U//V) è un evento certo, ossia 

tutti i fotoni vengono sicuramente trasmessi. Questo fatto consente di affermare che il 

fotone ha una polarizzazione ben definita e si trova in un ben definito stato. La 

geometria dei polaroid suggerisce allora di associare allo stato del fotone un versore u 

parallelo al versore U. 

Se un fascio di fotoni trasmesso da 

un primo polaroid orientato 

secondo il versore U incide su un 

polaroid orientato secondo W, la 

legge di Malus può essere espressa 

attraverso il prodotto scalare dei 

versori u e w, con w//W, che rappresentano lo stato iniziale e lo stato finale dei fotoni: 

Pt = (w u) 2 = cos 2 

Pt può anche essere interpretata come probabilità di transizione P(u w) del fotone 

dallo stato u, rappresentato dal vettore u, allo stato w, rappresentato da w. In modo 

analogo se il secondo polaroid è orientato secondo V o H, le probabilità di transizione 

P(u v) e P(u h) saranno date da: 

P(u v) = (v u) 2 = cos 2 

e P(u h) = (h v) 2 = sen 2 

1- cos 2 

dove si è usata la convenzione di indicare con la stessa lettera: maiuscola grassetto il 

versore del polaroid; minuscola grassetto il versore che rappresenta lo stato dei fotoni 

trasmessi da quel polaroid; minuscola normale lo stato in cui si trovano i fotoni 

trasmessi. 

L‟associazione tra stato e versore dunque consente di caratterizzare il comportamento 

statistico del fotone nell‟interazione con il 

secondo polaroid, indipendentemente dalla 

orientazione di quest‟ultimo. Essa traduce 

formalmente la ipotesi C. Poiché permette 

di determinare a priori la probabilità di 

transizione, fornisce oltre che una 

descrizione dello stato, anche la possibilità 

di prevedere i fenomeni e interpretarli non 

senso che possono essere dedotti da principi 

U 

u 

N 

V 

v N 

Polaroid 1 

W 

Figura 5.9 Associazione stato, vettore di stato 

Figura 5.8 Stati ortogonali 

w 

H 

Nt 

Nt =0 

Polaroid 2

primi. 


Master IDIFO 


È importante rilevare che aver scelto di rappresentare gli stati u, w, v, h con i versori 

u//U, v //V, h//H, w//W è conveniente, ma totalmente arbitrario. Si sarebbero ottenuti 

gli stessi risultati per esempio scegliendo u U, v V, h H, w W, o effettuando 

qualsiasi altra scelta che mantenga gli stessi angoli tra ciascuna coppia di versori. 

Questo fa capire che il versore con cui si rappresenta lo stato è definito in uno spazio 

astratto e solo accidentalmente può essere messo in corrispondenza con dei vettori dello 

spazio reale, ossia con le direzioni dei versori dei polaroid. 

Poiché si rappresenterà sempre lo stato con un versore d‟ora in poi si parlerà 

indifferentemente di versore o di vettore di stato, sottintendendo in questo caso che ha 

modulo unitario. 

Dall‟analisi delle diverse ipotesi, svolta nei 

moduli 5 4 6, si è visto che un ruolo 

particolare giocano le proprietà mutuamente 

esclusive. Poiché la probabilità di transizione 

tra stati caratterizzati da proprietà 

mutuamente esclusive (ad esempio 

polarizzazione verticale e polarizzazione 

orizzontale) è zero, a tali stati saranno 

associati vettori di stato mutuamente 

ortogonali: 

P(hv) = (h · v) 2 = 0 h v. 

Se fotoni, inizialmente preparati 

nello stato rappresentato u, incidono su 

polaroid verticali o orizzontali si deve avere: 

P(uv) = (u v) 2 = ( 2) 2 

e P(uh) = (u h) 2 = ( 1) 2 

dove se u è ruotato di rispetto a v, allora 2=cos e 2=sen . Si dovrà quindi avere: 

u = 1 h + 2 v, con ( 2) 2 + ( 1) 2 =1 

Nt =0 

Il generico vettore di stato u di un fotone può essere quindi scritto come combinazione 

lineare dei vettori h e v che rappresentano gli stati h e v. Tale combinazione lineare 

esprime il fatto che u può essere visto come sovrapposizione degli stati h e v. Tali stati, 

per lo specifico processo esaminato, sono gli stati in cui potranno trovarsi i fotoni in 

U 

Polaroid 1 

U45° 

Polaroid 1 

N 

= 90° 

U135° 

Polaroid 2 

Fotoni con proprietà 

mutuamente esclusive 

N 

= 90° 


Nt =0 

U 

Polaroid 2


Master IDIFO 


seguito all‟interazione con un polaroid verticale (orizzontale): se lo stato finale del 

processo è v, il fotone viene trasmesso; se lo stato finale del processo è h, il fotone viene 

assorbito. Il primo evento, transizione tra u e v, ha probabilità ( 2) 2 , il secondo evento, 

transizione tra u e h, ha probabilità ( 1) 2 . I coefficienti 1 e 2 della combinazione 

lineare con cui è stato espresso u, prendono il nome di ampiezze di probabilità. Essi non 

vanno immediatamente identificati con le probabilità di transizione, in quanto queste 

sono date da ( 2) 2 e ( 1) 2 , ossia dai loro quadrati. 

Il procedimento che ha portato ad esprimere u come combinazione lineare di h e v, 

potrebbe essere ripetuto nel caso in cui i polaroid si orientano con inclinazione a 45° o 

135° rispetto alla direzione orizzontale. In questo caso lo stato iniziale dei fotoni u può 

essere espresso come sovrapposizione degli stati u45° e u135°. Il vettore di stato u è 

dunque esprimibile come combinazione lineare di u45° e u135°: 

u = ‟1 u45° + ‟2 u135°, 

dove ancora ( ‟2) 2 + ( ‟1) 2 =1, e inoltre: 

e 

P(u u45°) = (u u45°) 2 = ( ‟1) 2 

P(u u135°) = (u u135°) 2 = ( ‟2) 2 

Si può quindi in generale esprimere u come combinazione lineare di una coppia 

qualsiasi di vettori ortogonali. Questo consente di prevedere correttamente la probabilità 

di trasmissione di fotoni che interagiscono con polaroid orientati secondo un angolo 

qualsiasi, senza bisogno di conoscere a priori questo angolo. 

Il formalismo introdotto consente quindi di evitare la contestualità implicita nell‟ipotesi 

B. Chiarisce inoltre il particolare significato della sovrapposizione lineare in meccanica 

quantistica: si sovrappongono gli stati di un sistema e non le proprietà che vengono ad 

esso associate quando si trova in detti stati. La proprietà che può essere attribuita al 

sistema che si trova nello stato di sovrapposizione u, risulta essere incompatibile con 

quelle che gli possono essere attribuite rispettivamente negli stati h e v. 

Il fatto di poter esprimere u come combinazione lineare di una qualsiasi coppia di vettori 

ortogonali, u = 1 h + 2 v, comporta una conseguenza notevole, che prende il nome di 

principio di sovrapposizione:


Master IDIFO 


principio di sovrapposizione 

u = 1 w + 2 w’ 

con 

( 2) 2 + ( 1) 2 =1 

Una combinazione lineare u di vettori di stato w e w’ (qualsiasi) 

di un sistema rappresenta ancora un possibile stato u del sistema. 

Per determinare la probabilità di transizione dallo stato rappresentato dal vettore u a un 

generico altro stato rappresentato dal vettore w, è sufficiente calcolare il quadrato del 

prodotto scalare tra i vettori che descrivono lo stato del sistema prima e dopo la misura. 

Il fatto di potere esprimere la probabilità di transizione, unicamente utilizzando il vettore 

di stato significa, che esso codifica in termini probabilistici tutta l‟informazione 

accessibile sul sistema. Tale informazione è accessibile in quanto è l‟unica definita, 

ossia è l‟informazione associata alle proprietà del sistema che hanno un ben definito 

valore. Per esempio nel caso di fotoni trasmessi da un polaroid verticale è ben definita la 

componente verticale della polarizzazione, mentre non è possibile attribuire neppure in 

linea di principio un preciso valore alla polarizzazione a 45°. 

L‟espressione formale del principio di sovrapposizione, permette di mostrare che la 

rappresentazione vettoriale dello stato di un sistema quantistico non è la sola possibile. 

Si possono infatti esprimere w e u come sovrapposizione di due vettori ortogonali per 

esempio h e v: 

La probabilità di transizione è allora data da: 

u = 1 h + 2 v w = ‟1 h + ‟2 v 

Pt = (w u) 2 = ( 1 '1+ 2 '2) 2 

La probabilità di transizione può essere dunque espressa utilizzando solo le ampiezze di 

probabilità. Questo risultato mostra che è possibile passare dalla descrizione vettoriale 

degli stati, alla loro rappresentazione in termini di ampiezze: ogni stato fisico viene 

individuato da un insieme di ampiezze (due nel caso della polarizzazione) e la 

conoscenza delle stesse è sufficiente per determinare tutte le probabilità di transizione cui 

può essere soggetto il nostro sistema. 

Lo stato di un sistema quindi si può rappresentare indifferentemente con il vettore u o 

con le ampiezze: i . 

Tale rappresentazione è particolarmente utile per generalizzare i risultati ottenuti con la 

polarizzazione al caso di osservabili che possono assumere più di due valori. Per esempio 

la probabilità di transizione da uno stato u all‟altro w di un sistema sarà data da:


Master IDIFO 


Pt = (w u) 2 = ( i=1;n i 'i) 2 

dove la somma corre su tutti gli n possibili stati utilizzati come base. 

5.8 Modulo 8 – Interferenza quantistica 

Per riconoscere il significato fisico del principio di sovrapposizione, si confronta la 

descrizione di uno stesso fenomeno, che fornisce la meccanica quantistica, con la 

corrispondete descrizione classica. 

Si considera il caso di fotoni, preparati nello stato descritto dal vettore u, che incidono su 

due cristalli birifrangenti inversi. All‟uscita del secondo cristallo si dispone un polaroid 

Pa orientato lungo W e con un rivelatore R si misura il numero di fotoni trasmessi da Pa. 

Le uniche previsioni che si possono fare sulla attivazione o meno del rivelatore R, ovvero 

sulla trasmissione di ciascun fotone attraverso il polaroid Pa sono di tipo probabilistico. Si 

deve quindi valutare la probabilità P(R) che il rivelatore si attivi. Classicamente si 

analizzerebbe il fenomeno utilizzando i concetti della logica e della probabilità classica e 

si valuterebbe Pc(R) utilizzando la formula di Bayes: 

Pc (R) = P(w 45°) P(45° u) + P(w 135°) P(135° u) 

ossia dalla somma delle probabilità corrispondenti ai due possibili eventi classici: 

a) i fotoni hanno polarizzazione a 45°, seguono il cammino del fascio straordinario, 

vengono trasmessi dal polaroid Pa (la probabilità di questo evento è data dal prodotto 

della probabilità P(45° u) che il fotone nello stato u abbia polarizzazione a 45° e della 

probabilità P(w 45°) di trasmissione da Pa, condizionata dal fatto di possedere 

polarizzazione a 45° 

b) i fotoni hanno polarizzazione a 135°, seguono quindi il cammino del fascio ordinario, 

vengono trasmessi dal polaroid Pa, la cui probabilità è data dal prodotto della probabilità 

P(135° u) che il fotone nello stato u abbia polarizzazione a 135° e della probabilità di 

P(w 135°) trasmissione da Pa condizionata dal fatto di possedere polarizzazione 135°. 

Questa descrizione è basata sugli stessi presupposti della ipotesi A precedentemente 

formulata ed esplorata. 

In termini quantistici il processo si descrive in termini di probabilità di transizione u w, 

data da: P(u w) =( u ·w) 2 . 

Il principio di sovrapposizione permette di scrivere i vettori di stato iniziale u come 

combinazione lineare dei vettori u45° e u135° : 

u = 1 u45° + 2 u135° 

La probabilità di transizione viene allora espressa da: 

P(u w) =( u ·w) 2 = [ 1 u45° w + 2 u135° w] 2 

= ( 1 u45° w ) 2 + ( 2 u135° w) 2 +2 1 2 (u45° w) (u135° w) 

I primi due termini di questa espressione descrivono i corrispondenti termini quantistici 

della probabilità classica, nel senso che sarebbero i soli termini presenti qualora il fascio


Master IDIFO 


di fotoni incidenti fosse composto da due sottoinsiemi di fotoni, il primo con 

polarizzazione a 45° e il secondo con polarizzazione a 135°. 

Il terzo termine non ha corrispondente classico e viene generalmente indicato come 

termine di "interferenza quantistica". La sua presenza nella formula della probabilità 

mette in evidenza che i sistemi quantistici che si trovano in una sovrapposizione di stati, 

non possono essere, neppure in linea di principio, ripartiti in due sottoinsiemi, uno 

caratterizzato dalla polarizzazione a 45° e l‟altro dalla polarizzazione a 135°. 

I fenomeni fisici esplicitamente legati all‟interferenza quantistica non hanno corrispettivo 

classico e sono pertanto peculiarmente quantistici. 

5.9 Modulo 9 – Misure selettive e proiettori di stato 

Fino ad ora ci si è limitati a costruire una rappresentazione formale degli stati di un 

sistema. Bisogna ora completare il processo di formalizzazione fornendo una 

rappresentazione delle osservabili di un sistema. Poiché il valore delle osservabili viene 

definito attraverso un processo di misura, che consiste essenzialmente in una transizione 

del sistema da uno stato iniziale ad uno finale, si può cercare di trovare un oggetto 

matematico che operi sui vettori di stato in modo analogo a come un apparto di misura 

opera sul sistema. 

Si considera il processo, in cui un fotone inizialmente preparato in uno stato u viene 

trasmesso da un polaroid orientato secondo W, ossia che viene sottoposto alla 

transizione dallo stato iniziale u, rappresentato dal vettore u, allo stato finale 

rappresentato dal vettore w. 

La probabilità di tale transizione, che è data da: P(u w) = (u ·w) 2 , può essere riscritta 

nel modo seguente: 

P(u w) = ( u ·w) (w ·u)= u ·[w w ·] u 

In parentesi quadra è stato costruito l‟oggetto matematico: w w ·, in cui viene accostato 

a se stesso il vettore di stato finale w seguito dal segno di prodotto scalare. Per capirne 

la natura, si può applicare tale oggetto a un generico vettore di stato u. Si ottiene allora: 

[w w ·] u = w (w ·u) = cos w. 

Il vettore cos w è il vettore proiezione di u nella direzione di w. Pw ˆ = w w · è quindi 

l‟operatore 7 di proiezione (proiettore) lungo w. È un operatore lineare, che trasforma 

qualsiasi vettore di stato u nella sua proiezione lungo w, che è un vettore proporzionale 

a w: 

7 D‟ora in avanti si indicherà con una lettera con il simbolo ^ , tutti gli operatori lineari come ad esempio i proiettori, 

che trasformano linearmente i vettori di stato.


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Pw ˆ u = Pw ˆ ( 1 h + 2 v)= 1 Pw ˆ h + 2 Pw ˆ v = 

= cos 1 ‟1 w + cos 2 ‟2 w = ( cos 1 ‟1 + cos 2 ‟2)w. 

In base a quanto ricavato, si può formulare la seguente analogia: 

Azione dei polaroid sui fotoni 

trasmessi 

Azione di Pw ˆ sui vettori di stato dei 

fotoni trasmessi 

u w u w 

Il proiettore Pw ˆ = w w · opera sui vettori di stato, in modo analogo a come un polaroid 

agisce sullo stato dei fotoni trasmessi. Fornisce quindi una descrizione formale 

dell‟azione del polaroid sui fotoni trasmessi, ossia della osservabile fisica che esso 

misura, cioè della polarizzazione in direzione W. 

L‟analogia tra polaroid/polarizzazione lungo W e proiettore Pw ˆ , suggerisce che si possa 

costruire una simile associazione anche ad altre osservabili fisiche. Il procedimento 

seguito, però, si basa sul fatto che i polaroid operano come selettori di stato e traduce 

un‟analogia funzionale il cui significato fisico non è completamente definito. Si deve 

allora formulare il problema in termini più generali considerando operatori di forma più 

complessa e apparati di misura non selettivi come i polaroid. 

5.10 Modulo 10 - Osservabili e operatori. 

Per costruire una rappresentazione formale delle osservabili fisiche si può considerare 

un apparato di misura non selettivo come quello costituito da un cristallo birifrangente 

con due rivelatori posti in corrispondenza dell‟uscita dei fasci di luce trasmessi: il fascio 

ordinario la cui polarizzazione è V e il fascio straordinario la cui polarizzazione è H 8 . 

Quando uno dei due rivelatoti scatta, l‟indice di uno strumento di misura ad essi 

collegato si porta o sul numero 1 = 1, se scatta il rivelatore posto all‟uscita del fascio 

straordinario, o sul numero 2 =-1, se scatta il rivelatore posto all‟uscita del fascio 

ordinario. Questo apparato misura in sostanza la osservabile polarizzazione. 

L‟esito dell‟interazione di fotoni preparati nello stato u, con detto apparato non è un 

evento certo, infatti si ottiene il risultato: 1 = 1 con probabilità P1; 1 = -1 con 

probabilità P2. Ci si può chiedere allora qual è il valore d‟aspettazione della osservabile 

8 Un cristallo reale dovrebbe essere inclinato di 45° sul piano orizzontale per avere tali polarizzazioni dei fasci. Si è 

scelta una tale situazione per semplificare la notazione.


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fisica misurata, ossia nel caso specifico della polarizzazione. Essa viene data dalla media 

pesata dei possibili valori della polarizzazione: 1 e 2: 

p = ( 1 P1 + 2 P2 ) = ( 1 (u h) 2 + 2 (u v) 2 ) 

Tale espressione può essere facilmente trasformata nel seguente modo: 

p = [ 1 (hh ) (h u) + 2 (v v) (v u)) = u [ 1 hh + 2 vv ] u 

In parentesi quadra compare l‟oggetto matematico: 

Ô = 1 hh + 2 vv 

Esso è espresso per mezzo dei possibili valori misurati della polarizzazione p e permette 

di determinarne il valore di aspettazione. Può, quindi, essere assunto come il descrittore 

di tale osservabile. Per riconoscere completamente il significato di tale descrizione è 

necessario riconoscere in che modo Ô opera sui vettori di stato. 

Le coppie ordinate di vettori seguiti dal segno di prodotto scalare: hh e vv , operano su 

un generico vettore c nel seguente modo: 

e 

con angolo tra h e v. 

(hh ) c = h (h c) = cos h 

(vv ) c = v(v c) = sen v, 

Essi sono quindi i proiettori Ph ˆ e Pv ˆ lungo h e v rispettivamente. 

Riguardo ad Ô, tenuto conto che si ha: (h v) = (v h) = 0 e (h h) = (v v) =1, esso opera 

sui vettori di stato h, v nel seguente modo: 

Ô h = 1 h (h h) + 2 v (v h) = 1 h 

Ô v = 1 h (h v) + 2 v (v v) = 2 v . 

ossia semplicemente moltiplicandoli per 1 o 2. 

L‟operatore Ô opera sul generico vettore di stato trasformandolo nel seguente modo: 

Ô c = [ 1 hh + 2 vv ] c = 1 h (h c) + 2 v (v c) 

I vettori h e v hanno dunque un ruolo particolare per l‟operatore Ô. Per questo ad essi 

viene attribuito il nome particolare di autovettori e ai due corrispondenti numeri 1 e 2 

il nome di autovalori. 

L‟operatore Ô dunque fornisce una descrizione compatta e completa dell'apparato di 

misura illustrato in figura (2) e descrive quindi l‟osservabile p che esso misura in 

quanto:


Master IDIFO 


a) consente di determinare il valore medio di p 

b) i suoi autovettori rappresentano i possibili stati finali del sistema quando viene 

sottoposto a un processo di misura di p 

c) i suoi autovalori sono i possibili valori delle misure di p. 

Prima di chiedere questo paragrafo si può considerare il significato fisico di un 

operatore del tipo: 

con k reale opportuna. 

Û1 = k hv 

L‟azione di Û sui vettori h e v è la seguente: 

Û1h = (k hv )h=0 e Û1v = (k hv )v=k h (v v)= k h 

L‟azione dell‟operatore Û1 è pertanto quella di trasformare il vettore h nel vettore nullo 

e il vettore v in un vettore parallelo a h. Esso quindi agisce in modo analogo all‟azione 

di un apparato che produce la transizione v h. Agisce su ogni vettore c, non 

collineare a h, trasformandolo in un vettore parallelo ad h. 

Non va confuso con un operatore di proiezione Ph ˆ su h, in quanto un tale operatore 

applicato a v darebbe 0. Esso trasforma il vettore di stato iniziale in un altro stato finale. 

Un tale operatore potrebbe costituire una buona descrizione per esempio di una 

soluzione zuccherina che ruoti di 90° il vettore di polarizzazione dei fotoni che 

interagiscono con essa. Da un altro punto di vista, un operatore Û1 consente di dare una 

buona descrizione di un potenziale di interazione. Esso può essere combinato con un 

operatore Û2 =k vh , che evidentemente trasforma tutti i vettori di stato in vettori 

paralleli a v. 

In generale quindi l‟operatore lineare: 

Û = k (hv + hv ) 

Descrive un apparato che interagisce in modo non distruttivo con il sistema facendo 

avvenire la transizione v h o h v. 

5.11 Modulo 11 Generalizzare i risultati 

Per quanto sia stato analizzato il solo contesto della polarizzazione, le sequenze che 

hanno portato dalla fenomenologia al formalismo sono state costruite in modo del tutto 

generale. In altre parole è possibile ripercorrere passi analoghi per ottenere una 

descrizione formale di altri sistemi, apparati, osservabili fisiche, coerente con le idee 

quantistiche esplorate a fondo nel caso particolarmente semplice della polarizzazione.


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Li si ripercorre facendo riferimento a una osservabile fisica generica A di un sistema. 

A) I diversi risultati di misure a1, a2, …..an di A sono mutuamente esclusivi. Ad essi 

vengono associati stati mutuamente ortogonali e quindi rappresentati da vettori 

ortogonali: u1, u2 ……un, con ui uj i,j. 

B) Lo stato fisico generico del sistema, a cui in generale corrisponderà un valore 

dell‟osservabile A incompatibile con i valori a1, a2, …..an, viene descritto da un 

vettore di stato w, esprimibile come combinazione lineare dei vettori u1, u2 ……un: 

w = 1u1 + 2u2 +……+ nun = i=0,n iui con 1 2 + 2 2 +……+ n 2 =1 

C) La probabilità di transizione w ui è data dal quadrato del prodotto scalare tra i 

corrispondenti vettori di stato: 

P(w ui) = (w ui) 2 = i 2 

ossia il quadrato dell‟ampiezza i-esima che rappresenta la funzione d‟onda. 

D) L‟osservabile A è rappresentato dall‟operatore lineare: 

Â= i=0,n ai ui ui 

In modo che i suoi autovalori ai corrispondano ai possibili risultati della misura di 

A, i possibili stati finali del sistema coincidano con gli autovettori dell‟osservabile 

ui, il valore di aspettazione dell‟osservabile A, se w è il vettore di stato iniziale, è 

dato da: 

A = w Â w = w ( i=0,n ai ui ui ) w 

Un processo di misura pertanto può essere visto come una processo di produzione di 

autovettori che fornisce come esito i corrispondenti autovalori. 

Nel caso in cui w = uj, si ha A = aj, ossia il valore di aspettazione coincide con 

l‟unico risultato possibile che è aj. 

In senso ancora più generale, Il vettore di stato deve descrivere il comportamento 

statistico del sistema, ossia consentire di riprodurre i risultati sperimentali in modo 

analogo a come la rappresentazione dello stato di polarizzazione ha consentito di 

riprodurre la legge di Malus. Tale vettore di stato deve contenere l‟informazione 

massimale, che è accessibile sul sistema, quindi in generale deve codificare 

l‟informazione associata agli autovalori delle osservabili che forniscono una descrizione 

completa del sistema (insieme massimale di osservabili). 

L‟associazione osservabile operatore lineare è particolarmente importante, perché è con 

tale associazione che si costruisce la quantizzazione di un sistema. Il fatto che tale


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operatore entri in gioco nel calcolo del valore di aspettazione è fondamentale per poter 

mettere in corrispondenza le osservabili quantistiche di un sistema, con le corrispondenti 

osservabili classiche, laddove esistano. I valori di aspettazione delle osservabili devono 

infatti soddisfare alle stesse relazioni funzionali delle grandezze classiche, in modo che 

le previsioni classiche e quelle quantistiche forniscano le stesse previsioni almeno nei 

particolari casi limite dove gli effetti tipicamente quantistici non si manifestano. 

Usualmente, queste relazioni sono sufficienti per caratterizzare gli operatori e 

determinarne autovalori ed autovettori. 

5.12 Modulo 12 Incompatibilità e non commutatività 

Costruito il formalismo di base per il caso della polarizzazione e indicate le regole per 

avviare alla generalizzazione dei risultati si possono ricavare alcune semplici 

conseguenze. 

A) Incompatibilità fra osservabili e non commutatività tra operatori lineari. 

Nei paragrafi precedenti si è visto che il concetto di incompatibilità gioca un ruolo 

centrale nella descrizione quantomeccanica dei sistemi microscopici. Come esempio 

specifico si è visto che fotoni filtrati da un primo polaroid a 45° possiedono una 

proprietà che è incompatibile con la proprietà che essi acquisterebbero venendo filtrati 

da un secondo polaroid verticale (orizzontale). Analogamente si può concludere che 

fotoni filtrati da un primo polaroid verticale (orizzontale) possiedono una proprietà che 

è incompatibile con la proprietà, che essi acquisterebbero venendo filtrati da un secondo 

polaroid a 45°. Ciò è espressione del fatto che una misura di polarizzazione a 45° è 

incompatibile con una contemporanea misura di polarizzazione verticale, ovvero che 

l‟apparato formato da un polaroid verticale e uno a 45° opera in modo diverso 

dell‟apparato formato da un polaroid a 45° e un polaroid verticale. 

Poiché i polaroid operano sui fotoni come i proiettori operano sui vettori di stato, ci si 

può chiedere se l‟applicazione su un generico vettore di stato u in successione dei 

proiettori Pv ˆ e P45 ˆ è diversa dall‟applicazione sul vettore u: prima del proiettore P45 ˆ e 

successivamente del proiettore Pv ˆ . Questo equivale a chiedersi se per il prodotto di 

proiettori vale la proprietà commutativa. 

Consideriamo allora il caso delle osservabili polarizzazione verticale e polarizzazione a 

45°, rappresentati rispettivamente dagli operatori: 

Pv = v v· e P45° = u 45 u 45 ·


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Poiché u 45 = ( ½) 0.5 (v + h), si può esprimere l‟operatore P45° nel modo seguente: 

u 45 u 45 · = 1/2 (v v· + hh· + vh· + hv·) 

dove si tiene conto del fatto che l‟operatore vh· e hv· sono diversi, in quanto l‟ordine di 

applicazione non è indifferente. 

Se u= a v + b h è un vettore di stato generico, si ha: 

Pv ˆ P45 ˆ u= [(vv·) (u45 u45 ·)] u = ½ [(vv·)(vv· +hh· +vh· +hv· )] (a v + b h) = 

= ½ (a v + b v) = [½ (a+b)] v 

che è in ogni caso un vettore parallelo a v; 

P45 ˆ Pv ˆ u = [ (u45 u45 ·) (vv·)] u = ½ [ (vv· +hh· +vh· +hv·)(vv·)] (a v + b h) = 

= a/2 (v + h) 

che è in ogni caso un vettore parallelo u 45 . 

L‟operatore: P45 ˆ = u45 u45 · non commuta quindi con l‟operatore Pv ˆ = vv·, ossia la sua 

applicazione di Pv ˆ P45 ˆ a un generico vettore di stato u, porta a risultati diversi 

dell‟applicazione di P45 ˆ Pv ˆ allo stesso vettore u. 

Nello specifico di trova che: 

( Pv ˆ P45 ˆ - P45 ˆ Pv ˆ ) u = [½ (a+b)] v - a/2 (v + h)= ½ (b v – a h) ≠0 

Questo è un esempio di come il formalismo della meccanica quantistica incorpori i 

concetti nella sua struttura lineare: l‟incompatibilità tra osservabili, che esprime 

l‟incompatibilità degli apparati che le misurano, si traduce formalmente nella non 

commutatività degli operatori lineari che li rappresentano. 

B) Relazioni di indeterminazione di Heisenberg 

Come già osservato, una conseguenza dell‟esistenza di osservabili incompatibili è che i 

processi quantistici risultano, in generale, intrinsecamente probabilistici. Ci si può 

chiedere allora che tipo di dispersione rispetto al valore di aspettazione hanno misure 

effettuate su osservabili incompatibili A e C di un sistema. 

Se Â e Ĉ sono i due operatori che le rappresentano si ha, per quanto visto in precedenza: 

[Â;Ĉ]≠0. In base alla procedura per valutare il valore di aspettazione di una osservabile, 

si può valutare lo scarto quadratico medio sul valore di aspettazione di una misura di A, 

quando il sistema è stato preparato in uno stato u: 

(∆A) 2 =〈(Â - 〈Â〉) 2 〉= [u·{Â - Î (u·Â · u)} 2 u] =〈â 2 〉,


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In modo analogo si può scrivere per l‟indeterminazione su C, come segue: 

(∆C) 2 =〈(Ĉ - 〈Ĉ〉) 2 〉= [u·{ Ĉ - Î (u· Ĉ · u)} 2 u] =〈ĉ 2 〉 

Il prodotto delle indeterminazioni porta allora alla seguente relazione: 

(∆A) 2 (∆C) 2 =〈â 2 〉〈ĉ 2 〉〈â 2 ĉ 2 〉 

dove è stata usata la disuguaglianza di Swartz [ 9 ] . 

Si esprime ora il prodotto â ĉ nel modo seguente: 

â ĉ = ½ [â;ĉ] + ½ (â ĉ + ĉ â ), 

dove in parentesi quadra è stato indicato il commutatore degli operatori â ĉ: 

[â;ĉ] = â ĉ - ĉ â = [Â;Ĉ]. 

Se lo si sostituisce nella espressione per il prodotto delle indeterminazioni, si ottiene: 

(∆A) 2 (∆C) 2 〈â 2 ĉ 2 〉= 〈{½ [â;ĉ] + ½ (â ĉ + ĉ â )} 2 〉〈{½ [â;ĉ]} 2 〉[ 10 ] 

In definitiva per il prodotto delle indeterminazioni di A e C si ottiene il risultato: 

(∆A) (∆C) ½〈[Â;Ĉ]〉 

Questa è la forma più generale delle relazioni di indeterminazione di Heisenberg e come 

si vede e implicita nel formalismo lineare introdotto. 

Il significato di tali relazioni è il seguente. Se si prepara un insieme di sistemi quantistici in un 

ben definito stato iniziale u, e si effettua per metà di esso una misura dell‟osservabile A e per 

l‟altra metà una misura dell‟osservabile C, si ottiene che il prodotto delle ∆A e ∆C sui valori 

di aspettazione di A e C è sempre maggiore o uguale a ½〈[Â;Ĉ] 〉. 

Correlano dunque, due grandezze rappresentate da operatori non commutanti al prodotto delle 

indeterminazioni sui loro valori di aspettazione. Il fatto che due osservabili siano non 

commutanti comporta una correlazione nelle indeterminazioni sui valori rilevati in misure 

ripetute delle osservabili considerate (Onofri p. 183). 

Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg esplicitano dunque il legame tra non 

commutatività degli operatori e incompatibilità delle proprietà che si possono attribuire al 

sistema, ossia delle corrispondenti osservabili. Si può dire anche che se gli operatori Â e Ĉ 

non commutano, significa che gli autovettori di Â sono diversi da quelli di Ĉ, ovvero che 

9 Osserviamo che: il passaggio è solo un po‟ semplificato rispetto a quello che si avrebbe nel caso in cui si considerasse 

che gli operatori siano definiti su C, anziché su R; l‟uguale vale se ĉ 2 commuta con uu·, ossia solo se u· è autovetture di 

ĉ 2 . 

10 L‟uguale vale solo se 〈{â ĉ + ĉ â } 2 〉=0.


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questi ultimi sono esprimibili come combinazione lineare (non banale) di autovettori di Â. Gli 

autostati di C, quindi sono sovrapposizioni di autostati dell‟osservabile A. 

Non si devono confondere le indeterminazioni su A e C con le indeterminazione sui valori di 

A e C quando si tenta di eseguire una loro misura contemporanea. Solo in casi particolari, è 

possibile mettere in relazione le indeterminazioni ∆A e ∆C, con le indeterminazioni delle 

misure delle variabili. È il caso, per esempio, del processo di diffrazione illustrato in figura, e 

proposto da Heisenberg come esperimento ideale in cui si localizza una particella. 

Per le osservabili posizione e quantità di moto, sia per via formale, sia con l‟esperimento 

ideale sopra illustrato si ottengono le relazioni: 

∆x ∆px ħ/2, ∆y ∆py ħ/2, ∆z ∆pz ħ/2 , (bbb) 

che sono le note relazioni di Heisenberg. Ad esse viene spesso aggiunta la relazione di 

indeterminazione Energia-tempo: ∆E ∆t ħ/2, che tuttavia ha un‟altra origine (v. 

appendice..) e ha carattere diverso 11 (Onofri, Destri 1996). 

5.13 Modulo 13. Non località 

Si è riconosciuto che il formalismo include aspetti concettuali peculiari della MQ come 

la incompatibilità e le relazioni di indeterminazione di Heisenberg. 

Si può qui esplorare un contesto opportuno in cui fare emergere il particolare carattere 

delle correlazioni quantistiche e di come una misura perturbi un sistema quantistico. 

A. La situazione 

Fascio incidente 

di elettroni 

a 

Fig. 5.10. Derivazione elementare della relazione di indeterminazione energia impulso. Un fascio di 

elettroni incide su uno schermo su cui è praticata una fenditura di larghezza y = a. Gli elettroni 

trasmessi vengono diffratti e vengono rivelati sullo schermo S prevalentemente in una posizione 

centrale corrispondente a una larghezza angolare pari a 2 . Dalle neggi della diffrazione e dalla 

relazione di De Broglie si ottiene: py py ( /a) (ħ/ ) = ħ/a. Il prodotto delle indeterminazioni è 

allora pari a: y py ħ. 

11 Si richiamano le principali differenze: la variabile t non è un‟osservabile del sistema che si considera e quindi non è 

rappresentabile con un operatore; ∆t viene associato al più piccolo tempo che caratterizza l‟evoluzione del sistema. 

y 

N


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Una sorgente S genera contemporaneamente tre particelle, che interagiscono 

significativamente solo per distanze dell‟ordine di un raggio atomico. Ciascuna delle 

particelle viene rivelata da uno dei rivelatori: A, B, C. I rivelatori e la sorgente sono contenuti 

nello stesso piano. 

Ogni rivelatore è dotato di un interruttore con due posizioni (1 e 2) e due spie luminose, 

una verde e una rossa, una e una sola delle quali si accende quando viene rivelata la 

particella 

Per ogni particella si assume come asse z la retta congiungente la sorgente S e il 

corrispondente rivelatore. 

G 

B. Esiti sperimentali 

Per ogni ciclo di misura, accadono i seguenti fatti: 

a) la sorgente emette contemporaneamente una terna di particelle; 

b) ogni rivelatore segnala l‟arrivo di una particella; 

c) una sola delle due spie, rossa o verde, di ciascun rivelatore si accende in modo 

genuinamente casuale. 

R 

d) Se si rilevano i risultati per tutti e tre i rivelatori, si osservano gli esiti riepilogati nella 

seguente tabella: 

1 

2 

R 

G 

1 

2 

A 

C 

S 

1 

Figura 5.11 L‟apparato per la produzione e 

la rivelazione di stati entangled 

2 

B 

R 

G


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Misure con 

interruttori 

Misure con 

interruttori: 

122; 212; 221 numero pari di spie verdi accese, 

numero dispari di luci rosse accese 

(sempre numero dispari luci rosse). 

1,1,1 mai un numero dispari di flash rossi. 

Questo comporta che quando uno solo degli interruttori è posto su 1 e gli altri due sul 2 

(interruttori: 122, 212, 221), si osserva sempre uno dei seguenti possibili esiti: 

RRR, RGG, GRG, GGR (esiti osservabili - possibili) 

non si osserva in alcun caso uno dei seguenti esiti: 

C. Conseguenze 

GRR, RGR, RRG, GGG (esiti mai osservati - impossibili) 

Emerge immediatamente che gli esiti dei tre rivelatori sono correlati fra loro, infatti si 

può predire con certezza, che cosa segnalerà un rivelatore una volta note che siano le 

segnalazioni fornite dagli altri due rivelatori. 

Ad esempio per il caso in cui i rivelatori siano predisposti nella configurazione 122, una 

volta che sono noti gli esiti per i rivelatori A e B, si può stabilire con certezza il colore 

della spia che si accenderà nel rivelatore C, come illustrato nella seguente tabella: 

Rivelatori A B C 

Luce accese R R R 

D. Ipotesi 

G G R 

R G G 

G R G 

Si può ipotizzare che gli esiti degli esperimenti siano conseguenti a istruzioni trasportate 

da ciascuna particella, in modo tale che, a priori, possano essere determinati i risultati. In 

altre parole le istruzioni trasportate dalle particelle devono garantire che vengano 

comunque riprodotti i risultati sperimentali a seconda di come sono stati posti gli 

interruttori dei tre rivelatori. Si può anche pensare che a priori non si sappia quali 

interruttori sono posti su 1 e quali su 2 o che venga selezionata la posizione 

dell‟interruttore subito prima dell‟arrivo della particella.


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Poiché non c‟è diretta connessione tra i rivelatori, il loro comportamento può essere 

correlato solo perché tutti e tre sono attivati dalle particelle che provengono da una 

sorgente comune (in altre parole hanno interagito nel momento in cui sono state create). 

Questo fatto e questo fatto soltanto deve contenere la spiegazione del perché possiamo 

sapere in anticipo quale colore si accenderà su uno dei rivelatori una volta note le misure 

fatte separatamente con gli altri due rivelatori. 

L‟informazione fornita dal rivelatore in A (ossia il colore della spia che si deve 

accendere) deve in qualche modo essere codificata nella particella che attiva A, affinché 

si mantenga la consistenza con le spie che si sono accesi in B e C. 

In ogni ciclo dell‟esperimento ogni particella deve dare istruzioni al suo rivelatore su 

quale spia deve accendere, in modo tale che un numero dispari di particelle deve far 

accendere le spie rosse. 

Si possono rappresentare le istruzioni trasportate da ciascuna particella con coppie 

ordinate di lettere R o G. Tutte le possibili istruzioni trasportate dalle particelle sono: 

se l’interruttore è posto su 1 R R G G 

se l’interruttore è posto su 2 R G R G 

E. Previsioni basate sull‟ipotesi 

Si può considerare il caso in cui gli interruttori siano disposti in uno dei seguenti modi: 122, 

212, 221 

Se le istruzioni trasportate dalle tre particelle sono: 

R G G (istruzioni che fanno scattare il rivelatore posto sull‟1) 

G R R (istruzioni che fanno scattare il rivelatore posto sul 2) 

In modo che risulterà: 

RRR con gli interruttori 122 

GGR con gli interruttori 212 

GRG con gli interruttori 221 

Si riproducono quindi i risultati quando gli interruttori sono in una delle configurazioni 

indicate. 

Esistono insiemi di istruzioni, che forniscono un numero pari di luci rosse e quindi 

sono non-permessi: RRG GRR RGR RRG GGG 

Su 64 possibili istruzioni, esistono 8 insiemi di istruzioni permesse, ossia che permettono 

di riprodurre i dati sperimentali. Esse possono essere costruite a partire dalla base 

riportata in tabella: 

rivelatori A B C A B C A B C A B C


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interruttori 

1a R _ _ R _ _ G _ _ G _ _ 

2a _ R R _ G G _ R G R _ G 

1b R _ _ R _ _ G _ _ G _ _ 

2b _ R R _ G G _ R G - G R 

Si ottengono allora le seguenti 8 istruzioni permesse: 

rivelatori 

interruttori 

A B C A B C A B C A B C 

1a R R R R G G G R G G G R 

2a R R R R G G G R G G G R 

1b R G G R R R G G R G R G 

2b G R R G G G R R G R G R 

Si può considerare ora il quarto tipo di ciclo, in cui tutti gli interruttori sono disposti su 1 

(111). In tale caso si accende sempre un numero pari di spie rosse. 

Se è corretta l‟ipotesi fatta, gli 8 insiemi di istruzioni riportati in tabella, devono determinare 

anche gli esiti di cicli con questo assetto degli interruttori. 

È immediato concludere che ciò non è possibile. Basta per esempio osservare il primo insieme 

di istruzioni. Esso determinerebbe l‟accensione di tre spie rosse quando gli interruttori 

vengono disposti su 111. In modo analogo si può riconoscere che anche le altre istruzioni non 

permettono di riprodurre i risultati sperimentali quando tutti gli interruttori sono disposti su 1. 

F. Procedura alternativa 

Prima di trarre le conclusioni di può riottenere lo stesso risultato seguendo una procedura 

leggermente diversa (Sen 1991). 

Può illustrata a partire dalla seguente tabella. 

interruttori Rivelatori P1 P2 P3 

1 a b c 

2 d e f 

dove ogni lettera sta per 1 quando si accende la luce R, 0 quando si accende la luce G. 

A) Con gli interruttori: 111, poiché si ha numero pari luci rosse, il numero di R nella riga 

superiore è pari, quindi a+b+c è un numero pari.


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B) Con gli interruttori 122, 212, 221, poiché si ha un numero dispari di luci rosse, le tre 

somme: a+e+f, d+b+f, d+e+c, sono numeri dispari, in quanto uguali al numero di luci rosse 

accese nel tre casi che si ottengono sperimentalmente. La loro somma, dunque è un numero 

dispari. 

Si ha in definitiva: 

da A) a+b+c= np, con np pari 

da B) a+b+c+2(d+e+f)= nd, con nd dispari. 

I due risultati non sono compatibili, perché se valesse il primo risultato, la somma 

a+b+c+2(d+e+f) dovrebbe essere pari e non dispari come invece emerge dal caso B). 

G. Conclusioni. 

Si possono quindi trarre le seguenti conclusioni: 

a) è impossibile che le particelle trasportino delle istruzioni, attribuibili a priori alle 

particelle, in grado di attivare i rivelatori con l‟accensione del corretto numero di luci 

rosse/verdi; 

b) le particelle restano correlate nonostante non interagiscono attraverso un potenziale, 

ovvero quando sono a distanze macroscopiche fra esse; 

c) deve attivarsi una azione a distanza che istantaneamente produca la correlazione dei 

dati. 

Il particolare stato in cui le particelle si trovano dopo aver intergito inizialmente e che 

determina il fatto che le particelle restino correlate fra loro prende il nome di stato 

entangled. Il fenomeno corrispondente prende il nome di entanglement ed è stato 

osservato in esperimenti con fotoni. Questo dimostra inequivocabilmente la natura non 

locale dei processi microscopici. 

5.6 Ruolo dei moduli e proposte di sequenze alternative 

Nel paragrafo precedente è stato presentato il percorso didattico nella sua interezza. 

Esso è stato sperimentato, su tutti i tredici moduli con un ristretto gruppo di studenti in 

un‟attività extrascolastica della durata complessiva di 12 ore (Michelini et al. 2004b). 

Una sua attuazione in classe richiede dalle 12 alle 14 ore, tenuto conto che spesso nel 

lavoro ordinario in classe i tempi sono più rigidi e non sempre è possibile completare un 

argomento in un definito segmento orario. La necessità di riprenedere il tema il girno


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successivo o peggio qualche giorno dopo richiede di dover avviare la nuova attività con 

riepiloghi altrimenti non necessari. 

È importante allora qui discutere il ruolo di ciascun modulo, per far emergere poi alcune 

alternative al percorso proposto. 

6.1 Obbiettivi e ruolo didattico dei moduli 

Modulo 1. 

Il primo modulo di esplorazione della fenomenologia gioca un ruolo essenziale per 

fornire agli studenti un aggancio concreto su cui costruire la concettualizzazione. 

L‟esperimento o semplicemente la situazione concreta fungono da ancora cognitiva, per 

la costruzione delle idee. Il coinvolgimento diretto dei ragazzi nella esplorazione 

personale è quasi insostituibile, per costruire un approccio operativo alle idee 

quantistiche. 

Questo modulo costituisce quindi un caposaldo di qualsiasi lettura didattica si voglia 

dare del materiale qui presentato. 

Ciononostante può essere proposto in parti separate: M1.1) l‟esplorazione qualitativa 

dell‟interazione di luce e polaroid; M1.2) l‟esplorazione qualitativa di luce e cristalli 

birifrangenti; M1.3) le misure quantitative per caratterizzare la fenomelogia con la legge 

empirica di Malus, nel caso di polaroid reali. 

Tali diverse parti possono essere inserite in momenti diversi del percorso, tenendo conto 

che in tutti i primi 6 moduli, non si usa di fatto la legge di Malus: M1.1 come avvio del 

percorso; M1.2 all‟interno del modulo 5, nella parte D in cui si discute l‟impossibilità 

di attribuire una traiettoria a un sistema quantistico: M1.3 in avvio del modulo 7, come 

preludio alla costruzione della rappresentazione vettoriale dello stato. 

Modulo 2 

Il secondo modulo ha come obiettivi: 

a) la costruzione del passaggio dai fenomeni macroscopici a quelli microscopici 

b) il riconoscimento che gli esiti degli esperimenti con fasci intensi, sono niente altro 

che la iterazione di processi a singolo fotone 

c) la costruzione dell‟interpretazione probabilistica dei risultati sperimentali 

d) la costruzione del passaggio da situazioni reali a situazioni ideali.


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Riveste pertanto un ruolo ineliminabile nel raccordare la situazione realmente esplorata 

in laboratorio, con quella poi analizzata degli esperimenti ideali che costituisce la 

palestra concettuale in cui si va a costruire i concetti. 

Affronta in modo operativo il nodo della interpretazione probabilistica dei fenomeni, 

che non si è mai rivelata problematica. 

Modulo 3 

Il modulo 3 ha come obiettivi: 

a) riconoscere come si può attribuire operativamente una proprietà a un sistema 

b) distinguere tra proprietà attribuita a un sistema e stato in cui si trova il sistema 

stesso, per avviare alla diversa rappresentazione che se ne dà in MQ. 

Questo e i successivi moduli 4-5-6, potrebbero apparire superflui o ridondanti. Si 

potrebbe infatti passare direttamente alla costruzione del formalismo nel modulo 7, 

apportando solo poche modificeh a quest‟ultimo. Così facendo, come anche è emerso 

nel corso di uno studio condotto in una classe, si cortocircuiterebbe immediatamente la 

costruzione dei concetti da parte della maggioranza (se non della totalità) degli studenti. 

Questi acquisirebbero il formalismo, senza sapere tuttavia associare ad esso un effettivo 

significato fisico, non avendo negoziato il significato dei concetti quantistici, rispetto a 

quelli classici. 

Il modulo 3, ha quindi il ruolo di fornire ai ragazzi gli strumenti (la rappresentazione 

iconografica) con cui possono poi costruire ed esplorare ipotesi, mettendole a confronto 

con gli esiti sperimentali. Ha cioè il ruolo di ponte tra la fenomenologia, seppure 

esplorata nel contesto dell‟interazione di fotoni e polaroid ideali, e la formazione delle 

idee. 

Per questo motivo il modulo 3, per quanto si possa anche pensare di riformularlo, 

trattandone gli obiettivi nel modulo 7, viene proposto all‟avvio del processo di 

costruzione dei concetti quantistici. 

Esso è strettamente connesso al successivo modulo 4. 

Modulo 4 

In questo modulo sono centrali gli obiettivi: 

c) Riconoscere l‟esistenza di proprietà mutuamente esclusive 

d) Riconoscere l‟esistenza di proprietà incompatibili.


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Si fondano cioè gli elementi che consentono di costruire il formalismo: le proprietà 

mutuamente esclusive, che successivamente si assoceranno agli autovalori 

dell‟operatore che rappresenta l‟osservabile misurata; il concetto di incompatibilità che 

costituisce il concetto centrale intorno a cui si incentra tutta la proposta. 

Tel concetto viene proposto facendo riconoscere che a un sistema in una 

sovrapposizione di stati si attribuisce una proprietà che è incompatibile con quella 

attribuibile al sistema quando si trova negli stati componenti. Si comincia cioè a 

introdurre in forma operativa l‟idea che in Mq esistono insiemi ciascuno dei quali è 

formato da osservabili che sono incompatibili con le osservabili dell‟altro insieme. 

É questo il nodo più difficile da affrontare nella MQ e nel contesto specifico il maggiore 

ostacolo all‟apprendimento del concetto di stato quantistico. 

Vale per il presente modulo quanto detto per il modulo precedente al quale è 

strettamente legato. 

Modulo 5 

I questo modulo si esplorano le conseguenze del riconoscimento che esistono proprietà 

incompatibili, per raggiungere i seguenti obiettivi: 

A) indentità dei sistemi quantistici 

B) indeterminismo non espistemico del processo di misura quantistico 

C) peculiarità di tale processo rispetto al processo di misura in fisica classica 

D) impossibilità di associare una traiettoria a una particella quantistica. 

Si tratta di obiettivi irrinunciabili, che tuttavia possono trovare collocazione anche 

successivamente, per esempio integrandone la discussione nel modulo 7. 

Modulo 6 

Il modulo 6 ha i seguenti obiettivi: 

A) Riconoscere l‟impossibilità di principio di prevedere i risulati a priori degli 

esperimenti microscopici 

B) Riconoscere l‟implicita contestualità (e quindi non classicità) di approcci 

deterministici ai fenomeni microscopici 

C) Avviare all‟idea di stato quantico 

L‟ultimo punto può essere integrato a conclusione del modulo 4 o all‟avvio del modulo 

7. I primi due punti possono, invece, essere completamente evitati se non sono gli


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studenti stessi a sollevarli. Gli esiti delle ricerche condotte dimostrano che i ragazzi 

stessi mettono in campo le idee che inducono a percorrere sino in fondo l‟idea di una 

teoria a variabili nascoste. Il riconoscimento che tale approccio deve essere 

evidentemente contestuale risulta spesso l‟elemento che fa transire da un approccio ai 

fenomeni microscopici con categorie classiche e uno con categorie quantistiche. 

Questo modulo pertanto non è a priori necessario, ma lo diventa nel momento in cui i 

ragazzi riescono a costruire, tramite la rappresentazione iconografica, le diverse ipotesi 

alternative. 

Modulo 7 

Il modulo 7 costituisce uno snodo obbligato del percorso. Il suo obiettivo è: 

A) costruire la rappresentazione vettorile dello stato 

B) costruire la rappresentazione vettoriale del principio di sovrapposizione e la sua 

formulazione più generale 

C) far riconoscere l‟equivalenza della rappresentazione vettoria e di quella con le 

ampiezze. 

Modulo 8 

Il modulo 8 ha il seguente obiettivo: 

A) evidenziare come emerga formalmente l‟interferenza quantistica 

Si tratta di un obiettivo importante, che più comunque essere omesso, se non trova 

ulteriore esplicitazione, oppure incluso in altre parte. 

Può costituire il modulo conclusivo di una proposta che affronta un primo livello di 

formalizzazione. 

Modulo 9 

Il modulo 9 si propone come obiettivo quello di avvicinare gradualemente all‟idea che 

le osservabili fisiche si rappresentano in MQ con operatori lineari. È ovviamente 

eliminabile, non introducendo concetti diversi da quelli introdotti nel modulo 10. 

Modulo 10 

Nel modulo 10 si fonda il secondo pilastro del formalismo quantistico: la 

rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari.


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Gli obiettivi sono: 

A) costruire l‟operatore che descrive la polarizzazione secondo una definita direzione; 

B) riconoscere il suo ruolo nella determinazione del valore di aspettazione di una 

variabile; 

C) riconoscere che gli esiti di una misura sono gli autovalori dell‟operatore che 

rappresenta l‟osservabile misurata e gli state del sistema dopo la misura sono gli 

autostati di detto operatore 

É un modulo fondamentale, dal nell‟ottica della costruzione di un quadro 

sufficientemente organico della teoria quantistica. I suoi elementi concettuali fondanti, 

tuttavia, sono già stati esplicitati nel modulo 4. Per questo motivo può essere anche 

ragionevolmente omesso in una proposta minimale. 

Modulo 11 

In questo modulo si mira all‟obiettivo di individuare le regole con cui si possono 

generalizzare i risultati ottenuti nel caso della polarizzazione. 

Costituisce una proposta minimale per mostrare come il formalismo possa essere 

generalizzato. Diventa sterile se non è accompagnata da qualche esempio, come è il 

caso degli autovettori e autovalori della quantità di moto. 

Modulo 12 

Ha come obiettivi: 

A) il riconoscimento della corrispondenza tra osservabili incompatibili e oparatori non 

commutanti 

B) Il riconoscimento che nel formalismo sono implicite le relazioni dei Heisenberg 

C) la formulazione di dette relazioni 

Anche questo modulo può essere considerato opzionale e non essenziale. Può essere 

riguardato anche come modulo di valutazione dei concetti appresi, in quanto gli studenti 

sono chiamati a cimentarsi con gli stessi concetti utilizzando gli strumenti formali che 

dovrebbero aver acquisito. 

Modulo 13 

Il presente modulo ha come obiettivo: 

A) esistono correlazioni a distanza


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B) nei processi microscopici si manifestano effetti non locali 

C) l‟entanglement 

Questi obiettivi sono evidentemente molto importanti in quanto portano nel cuore delle 

problematiche quantistiche, aprendo anche la strada ad aspetti che nel prossimo futuro 

potrebbero essere di grande attualità. 

Possono nondimeno essere tralasciati in una proposta minimale. 

Anche questo modulo come il precedente può avere il carattere di valutazione dei 

concetti appresi, ovvero della capacità di trasferirli all‟analisi di un fenomeno diverso da 

quello della polarizzazione. 

7.2 Percorsi alternativi 

Nello schema seguente, che può essere rivisto come una mappa organizzativa della 

proposta, sono tracciate con colori diversi tre sequenze alternative a quella qui 

presentata con cui si possono collegare i diversi moduli. 

Due di esse costituiscono in qualche modo i percorsi con caratteristiche estreme, solo 

qualitativo il primo e solo formale il secondo che sono evidentemente sbilanciati, ma 

rendono bene l‟idea dei limiti dello spettro dei diversi percorsi costruibili all‟interno 

della proposta.


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Filo bordeaux propone un approccio completamente qualitativo alla proposta. 

Utilizza come unico strumento di formalizzazione la rappresentazione iconografica. Può 

essere proposto anche a studenti che non dispongono di strumenti formali matematici. É 

evidentemente un percorso carente in quanto non permette di esplicitare i concetti 

quantistici e il significato che assumono nel formalismo. 

Filo rosso propone essenzialmente la costruzione del formalismo. Dovrebbe venir 

integrato con la parte di discussione dei concetti, risultato altrimenti molto problematica 

l‟attribizione di significato fisico al formalismo costruito. 

Filo blu propone un approccio minimo ai concetti e al formalismo lasciando la 

possibilità di integrare eventualmente qualche modulo come approfondimento. 

Bibliografia. 

Modulo 1 

La fenomenologia. 

Modulo 3 – Proprietà dei fotoni e 

loro rappresentazione iconografica 

Modulo 4. Proprietà mutuamente 

esclusive e proprietà incompatibili 

Am. J. Phys. 2002, Special Issues 70 (3) 

Modulo 5. 

Identicità e indeterminismo 

quantistico 

Modulo 6 

Esplorazione di ipotesi alternative 

Modulo 13. Non località 

Modulo 2 – Dalla fenomenologia alla 

interpretazione probabilistica 

Modulo 7. Lo stato quantistico e la 

sua rappresentazione formale 

Arons, B. A. 1990, A Guide to Introductory Physics Teaching, New York: J. Wiley and Sons. 

Modulo 8 

Interferenza quantistica 

Modulo 9 – Misure selettive e 

proiettori di stato 

Modulo 10 - Osservabili e operatori 

Modulo 11 Generalizzare i risultati 

Modulo 12 Incompatibilità e non commutatività


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